中职数学函数奇偶性
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中职数学 函数的奇偶性和图象的对称性
-x o f(-x) (-x,-y) x
y
(x,y) f(x)
x
1、偶函数定义:
设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x, 都有-x D,且f(-x)=f(x), 那么函数y=f(x)就叫做偶函数.
2、奇函数定义:
设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x, 都有-x D,且f(-x)=-f(x),那么函数y=f(x)就叫做奇函数.
y=f(x)在[a,b]上单调增 加，图像随x增加而上升； y=f1(x)在[a,b]上单调减 小，图像随x增加而下降．
引 例：
问题１：画出函数f(x)=x2的图象，并求f(-2),f(2), f(-3),f(3)值． 解: f(-2)=(-2)2=4 f(2)=２２＝4
y
f(-３)=(-３)2=９ f(３)= ３2=９ 思考 : 通过练习,同学们发现了什么规律?
问题３.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1), f(1)及f(-x) 解: f (-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f (-1)=(-1)3=-1 f (1)=1 f (-x)=(-x)3=-x3 思考 : 通过练习,同学们发现了什么规律? f (-2)= - f (2) f (-1)= - f (1) f (-x)= - f (x)
－３－２
o
２３
x
f(-2)=f(2)
f(-３)=f(３)
问题２：对于定义域内的任意x是否存在一个-x，使 f(x)=x2满足f(-x)=f(x)结论呢？
1、偶函数定义: 设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意 一个x,都有-x D,且f(-x)=f(x), 那么函数y=f(x)就 叫做偶函数.
y
(x,y) f(x)
x
1、偶函数定义:
设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x, 都有-x D,且f(-x)=f(x), 那么函数y=f(x)就叫做偶函数.
2、奇函数定义:
设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x, 都有-x D,且f(-x)=-f(x),那么函数y=f(x)就叫做奇函数.
y=f(x)在[a,b]上单调增 加，图像随x增加而上升； y=f1(x)在[a,b]上单调减 小，图像随x增加而下降．
引 例：
问题１：画出函数f(x)=x2的图象，并求f(-2),f(2), f(-3),f(3)值． 解: f(-2)=(-2)2=4 f(2)=２２＝4
y
f(-３)=(-３)2=９ f(３)= ３2=９ 思考 : 通过练习,同学们发现了什么规律?
问题３.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1), f(1)及f(-x) 解: f (-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f (-1)=(-1)3=-1 f (1)=1 f (-x)=(-x)3=-x3 思考 : 通过练习,同学们发现了什么规律? f (-2)= - f (2) f (-1)= - f (1) f (-x)= - f (x)
－３－２
o
２３
x
f(-2)=f(2)
f(-３)=f(３)
问题２：对于定义域内的任意x是否存在一个-x，使 f(x)=x2满足f(-x)=f(x)结论呢？
1、偶函数定义: 设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意 一个x,都有-x D,且f(-x)=f(x), 那么函数y=f(x)就 叫做偶函数.
中职数学-函数的奇偶性
2、若函数 是奇函数，且在 = 0 处有定义，
则必有 0 = ？函数图象必过？
3、对于定义域内的任意，若 + − =0，则函数
是否具有奇偶性？若 − − =0呢？
1
0
1
2
3
...
可以发现，
当自变量任取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
f x x ，
2
例如对函数
有
f 3 9 f 3 ，f 2 4 f 2 .
思考？
我们发现表格中列出的点具有上述性质，那么表
格中没有出现的点是否也具有相同的性质呢？
比如
− =
思考？
定义中“
”可以删去吗？为什么？
不可以！函数的奇偶性体现了函数的整体性质，即
它要求定义域中的任意一个自变量都具有这样的特
性。
小组讨论
奇函数与偶函数的相同点与不同点有哪些？
不同点：
相同点：
① 当自变量取一对相反数时，
① 定义域关于原点对称；
偶函数的函数值相等，
② 都是函数的整体性质.
奇函数的函数值是一对相反数；
（3） = + ；（4） =
（5） = ， ∈ −, .
；
−
+ 了什么？
奇偶性
图像法
f(-x)=-f(x)
奇函数
关于原点对称
f(-x)=f(x)
偶函数
关于y轴对称
思考交流
1、若奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b]，则a+b=？
2、判断定义域是否关
于原点对称
3、求f(-x)与f(x)的关系
4、写出结论
中职数学上册函数的奇偶性
该函数是非奇非偶函数
函数的奇偶性
练习：第56面
x 2 （3）f ( x) 3 x 1 (4) f ( x) 3 x 2
２．判断下列函数的奇偶性： 1 1 f ( x) x （2）f ( x) 2
解：（ 1 ）函数f ( x) x的定义域为（ ， ） 且对于任意x （ ， ） , 都有 f ( x) x x f ( x)
△
偶函数
ｆ(-x)=ｆ(x)
图象关于y轴对称
奇函数
ｆ(-x)=－ｆ(x)
图象关于原点对称
函数的奇偶性
作业：第56面
A组题：1、2、3
函数的奇偶性
*作函数ｆ(x)=x ,x∈R的图像
y f(x) -x 0 [-x,-f(x)] f(-x) x [x,f(x)]
3
函数图像 关于原点 对称
x
f(-x)=-f(x)
这样的函数我们称之为奇函数
函数的奇偶性
奇函数定义：
◆如果对于函数ｆ(x)定义域内的任意一个x，
都有ｆ(-x)=－ｆ(x)成立,则称函数ｆ(x)为奇函数. ◆奇函数图象关于原点对称。
• （2）点Ｐ（ a, b)关于 y轴的对称点的坐标为Ｐ（ - a, b) , 其坐标特征为：纵坐标不变，横坐标变为相反数； • （3）点Ｐ（ a, b) 关于原点 对称点的坐标为Ｐ（-a,-b) , 其坐标特征为：横坐标变为相反数，纵坐标也变为相 反数．
函数的奇偶性 *作函数f(x)=2x2，x∈(-∞,+∞)的图像。 y
★图像关于原点对称的函数为奇函数。
函数的奇偶性
△判断函数奇偶性的必要条件： 定义域关于原点对称。
◇判断函数奇偶性的方法：
中职数学函数的奇偶性教案
中职数学函数的奇偶性教案一、教学目标1. 理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
2. 能够运用函数奇偶性解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 函数奇偶性的定义与性质2. 判断函数奇偶性的方法3. 函数奇偶性在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：函数奇偶性的定义与性质，判断函数奇偶性的方法。
2. 难点：函数奇偶性在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数奇偶性的定义与性质。
2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题感受函数奇偶性的应用价值。
3. 运用讨论法，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：引导学生回顾已学过的函数性质，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解：介绍函数奇偶性的定义与性质，讲解判断函数奇偶性的方法。
3. 案例分析：选取实际问题，让学生运用函数奇偶性进行解决，巩固所学知识。
4. 练习：布置课后习题，让学生进一步巩固函数奇偶性的概念和方法。
6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课后作业：通过学生完成的课后习题，评估学生对函数奇偶性的理解和掌握程度。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习态度和积极性。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作能力、问题解决能力等。
七、教学拓展1. 引入高阶函数的奇偶性讨论，加深学生对函数奇偶性的认识。
2. 探讨函数奇偶性与图像的关系，让学生更加直观地理解奇偶性。
3. 推荐学生阅读相关的数学文章或书籍，扩展知识面。
八、教学资源1. 教材：选用合适的中职数学教材，提供基础理论知识。
2. 教案：准备详细的教学计划和教案，确保教学过程的顺利进行。
3. PPT：制作直观的PPT课件，辅助教学讲解和展示。
4. 实际问题案例：收集相关的实际问题，用于案例分析和练习。
中职数学函数奇偶性主要内容
1x
奇函数的图象特征 以坐标原点为对称中心的中心对称图形.
奇函数图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形
Page 5
改变奇函数的定义域，它还是奇函数吗？
y = x3 (x≠0)
y
y = x3 (x≠1)
y
y = x3 (x≥0)
y
y=x3 (－1≤x≤1)
y
1
-1-O1 1 x
1
-1 O 1 x -1
解： （1）函数 f（x）= x2 + x4 的定义域为R， 所以当 x R时，-x R． 因为 f（-x）= (-x)2 +(- x)4 = x2 + x4 = f（x）， 所以函数 f（x）= x2 + x4 是偶函数．
Page 14
例2 判断下列函数是不是偶函数： （1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1； （3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x[-1， 3]．
解： （2）函数 f（x）= x2 + 1的定义域为R， 所以当 x R时，-x R． 因为 f（-x）= (-x)2 +1 = x2 + 1 = f（x） ， 所以函数 f（x）= x2 + 1 是偶函数．
Page 15
例2 判断下列函数是不是偶函数： （1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1； （3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x[-1， 3]．
x2 1
Page 18
1. 函数的奇偶性
奇函数 偶函数
定义
图象特征
奇函数的图象特征 以坐标原点为对称中心的中心对称图形.
奇函数图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形
Page 5
改变奇函数的定义域，它还是奇函数吗？
y = x3 (x≠0)
y
y = x3 (x≠1)
y
y = x3 (x≥0)
y
y=x3 (－1≤x≤1)
y
1
-1-O1 1 x
1
-1 O 1 x -1
解： （1）函数 f（x）= x2 + x4 的定义域为R， 所以当 x R时，-x R． 因为 f（-x）= (-x)2 +(- x)4 = x2 + x4 = f（x）， 所以函数 f（x）= x2 + x4 是偶函数．
Page 14
例2 判断下列函数是不是偶函数： （1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1； （3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x[-1， 3]．
解： （2）函数 f（x）= x2 + 1的定义域为R， 所以当 x R时，-x R． 因为 f（-x）= (-x)2 +1 = x2 + 1 = f（x） ， 所以函数 f（x）= x2 + 1 是偶函数．
Page 15
例2 判断下列函数是不是偶函数： （1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1； （3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x[-1， 3]．
x2 1
Page 18
1. 函数的奇偶性
奇函数 偶函数
定义
图象特征
中职数学函数的奇偶性教案
中职数学函数的奇偶性教案第一章：函数的奇偶性概述1.1 函数奇偶性的定义解释奇函数和偶函数的定义举例说明奇函数和偶函数的特点1.2 奇偶性的判定条件讲解奇函数和偶函数的判定条件引导学生理解奇偶性判定条件的应用第二章：奇函数的性质2.1 奇函数的图像特征分析奇函数的图像特点举例说明奇函数图像的性质2.2 奇函数的运算性质讲解奇函数的运算性质引导学生运用奇函数的运算性质解决问题第三章：偶函数的性质3.1 偶函数的图像特征分析偶函数的图像特点举例说明偶函数图像的性质3.2 偶函数的运算性质讲解偶函数的运算性质引导学生运用偶函数的运算性质解决问题第四章：奇偶函数的应用4.1 奇偶函数在实际问题中的应用举例说明奇偶函数在实际问题中的应用引导学生学会运用奇偶性解决实际问题4.2 奇偶函数在数学问题中的应用举例说明奇偶函数在数学问题中的应用引导学生学会运用奇偶性解决数学问题第五章：奇偶性的进一步探究5.1 奇偶性的推广介绍奇偶性的推广概念引导学生理解奇偶性推广的应用5.2 奇偶性与周期性的关系讲解奇偶性与周期性的关系引导学生理解奇偶性与周期性的联系第六章：对称性在奇偶函数中的应用6.1 奇偶函数的对称性解释奇偶函数的对称性概念举例说明奇偶函数的对称性质6.2 奇偶函数在对称变换中的应用讲解奇偶函数在对称变换中的应用引导学生学会运用奇偶函数解决对称性问题第七章：奇偶性在函数极限中的应用7.1 奇偶性在函数极限中的作用解释奇偶性在函数极限中的作用举例说明奇偶性在函数极限中的应用7.2 奇偶性在极限运算中的应用讲解奇偶性在极限运算中的应用引导学生学会运用奇偶性解决极限问题第八章：奇偶性在函数积分中的应用8.1 奇偶性在函数积分中的性质解释奇偶性在函数积分中的性质举例说明奇偶性在函数积分中的应用8.2 奇偶性在积分运算中的应用讲解奇偶性在积分运算中的应用引导学生学会运用奇偶性解决积分问题第九章：奇偶性在函数微分中的应用9.1 奇偶性在函数微分中的性质解释奇偶性在函数微分中的性质举例说明奇偶性在函数微分中的应用9.2 奇偶性在微分运算中的应用讲解奇偶性在微分运算中的应用引导学生学会运用奇偶性解决微分问题第十章：奇偶性在实际问题中的应用案例分析10.1 奇偶性在物理学中的应用案例分析奇偶性在物理学中的应用案例引导学生理解奇偶性在物理学中的应用10.2 奇偶性在其他学科中的应用案例分析奇偶性在其他学科中的应用案例引导学生理解奇偶性在其他学科中的应用重点和难点解析重点一：奇偶性的定义和判定条件奇偶性是函数的重要性质，对于理解函数的图像和性质有着关键作用。
中职数学函数的奇偶性教案
中职数学函数的奇偶性教案一、教学目标1. 理解函数奇偶性的概念。
2. 学会判断函数的奇偶性。
3. 能运用函数的奇偶性解决实际问题。
二、教学内容1. 函数奇偶性的定义。
2. 函数奇偶性的判断方法。
3. 函数奇偶性的性质和应用。
三、教学重点与难点1. 重点：函数奇偶性的概念和判断方法。
2. 难点：函数奇偶性的性质和应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究函数奇偶性的概念和判断方法。
2. 利用实例分析，让学生掌握函数奇偶性的性质和应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考函数的奇偶性。
2. 新课导入：介绍函数奇偶性的定义和判断方法。
3. 实例分析：分析具体函数的奇偶性，让学生理解函数奇偶性的性质。
4. 练习与讨论：让学生通过练习，巩固函数奇偶性的判断方法。
5. 应用拓展：利用函数奇偶性解决实际问题，提高学生的应用能力。
6. 总结与反馈：对本节课的内容进行总结，收集学生反馈，为后续教学做好准备。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解他们对函数奇偶性概念的理解程度。
2. 练习题：布置一些有关函数奇偶性的练习题，检查学生掌握判断方法的情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估他们合作解决问题的能力。
七、教学延伸1. 探索函数的周期性：引导学生进一步研究函数的周期性，并与奇偶性进行对比。
2. 函数的奇偶性在实际应用中的例子：找一些实际问题，让学生运用函数的奇偶性进行解决。
八、课后作业1. 完成教材上的相关练习题，加深对函数奇偶性的理解。
2. 找一些生活中的实例，尝试用函数的奇偶性进行解释。
九、教学反思1. 学生是否掌握了函数奇偶性的概念和判断方法？2. 教学过程中是否存在不足之处，如何改进？3. 如何进一步激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果？十、教学计划调整根据学生的学习情况和反馈，对后续的教学计划进行调整。
中职数学教案：函数的奇偶性
中等专业学校2023-2024-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级一年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题§3.3.2函数的奇偶性教学目标1.结合函数图像，能用数学语言表达函数奇偶性的定义，2.能通过图像法和定义法判断函数的奇偶性，逐步提高直观想象和数学抽象等核心素养3.知道函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系重点定义法判断函数奇偶性难点定义法判断函数奇偶性教法引导探究，讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一创设情景大千世界，美无处不在．下图展示了生活中的对称之美．其实，我们的数学中也存在着对称美，函数图像的对称就是其中一种．义务教育阶段，我们已经知道函数f(x)=x2的图像和f(x)=1x的图像：函数f(x)=x2的图像是关于y轴对称的轴对称图形，函数f(x)=1x的图像是关于原点对称的中心对称图形．观察这两种对称的函数图像，自变量互为相反数时，它们对应的函数值有什么关系？并指出函数的单调区间．（1）由于函数f=f(f)是偶函数，所以它的图像关于y轴对称，因此它的图像如图所示．函数f = f(f)的减区间为(—∞, 0]，增区间为[0, +∞)．（2）由于函数f=f(f)是奇函数，所以它的图像关于原点中心对称，因此它的图像如图所示．函数f = f(f)的增区间为(—∞, +∞)．利用函数图像可以判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性也可以研究函数图像．如在研究函数时，如果我们知道它是奇函数或偶函数，就可以先研究它在非负区间上的性质，然后利用对称性便可得到它在非正区间上的性质，从而减少工作量．三练习巩固四小结与作业1、判断或证明偶函数的基本步骤：一看：二找：三判断：2、偶函数的图像特征关于y轴对称布置作业教材P108 习题。
中职数学基础模块上册《函数的奇偶性》ppt课件
y
y=x3 (－1≤x≤1)
y
1
-1-O1 1 x
1
-1 O 1 x -1
1
-1-O1 1 x
1
-1-O1 1 x
是
否
否
是
奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称．
2020/7/31
判断下列函数是奇函数吗？ （1） f (x) = x3，x[－1，3]； 否 （2） f (x) = x，x(－1，1]． 否 奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称．
f (1) = 1 ；f (-1) = -1 ；
f (-x) = -x3 =- f (x)
y
1
-1-O1
f (x) = x3 1x
图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形
2020/7/31
奇函数的定
义 如果对于函数 y = f (x)的定义域
A内的任意一个 x,
y y=f(x)
叫做都奇有函ff数((--.xx)) (x)
= =
--ff
(x)，则1 这(个x，函f(x)数)
(-x，f(-x))-1-O1 1
x
奇函数的图象特征
以坐标原点为对称中心的中心对称图形.
奇函数图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形
2020/7/31
改变奇函数的定义域，它还是奇函数吗？
y = x3 (x≠0)
y
y = x3 (x≠1)
y
y = x3 (x≥0)
解： （3）函数 f（x）= x2 + x3 的定义域为R， 所以当 x R时，-x R． 因为 f（-x）= (-x)2 +(- x)3 = x2 – x3 ， 所以当 x ≠ 0时， f（-x）≠ f（x） 函数 f（x）＝ x2 + x3 不是偶函数．
y=x3 (－1≤x≤1)
y
1
-1-O1 1 x
1
-1 O 1 x -1
1
-1-O1 1 x
1
-1-O1 1 x
是
否
否
是
奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称．
2020/7/31
判断下列函数是奇函数吗？ （1） f (x) = x3，x[－1，3]； 否 （2） f (x) = x，x(－1，1]． 否 奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称．
f (1) = 1 ；f (-1) = -1 ；
f (-x) = -x3 =- f (x)
y
1
-1-O1
f (x) = x3 1x
图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形
2020/7/31
奇函数的定
义 如果对于函数 y = f (x)的定义域
A内的任意一个 x,
y y=f(x)
叫做都奇有函ff数((--.xx)) (x)
= =
--ff
(x)，则1 这(个x，函f(x)数)
(-x，f(-x))-1-O1 1
x
奇函数的图象特征
以坐标原点为对称中心的中心对称图形.
奇函数图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形
2020/7/31
改变奇函数的定义域，它还是奇函数吗？
y = x3 (x≠0)
y
y = x3 (x≠1)
y
y = x3 (x≥0)
解： （3）函数 f（x）= x2 + x3 的定义域为R， 所以当 x R时，-x R． 因为 f（-x）= (-x)2 +(- x)3 = x2 – x3 ， 所以当 x ≠ 0时， f（-x）≠ f（x） 函数 f（x）＝ x2 + x3 不是偶函数．
中职数学第三章函数的奇偶性复习课件
A．是增函数
B．是减函数
C．可能增函数也可能减函数
（2）函数的奇偶性： ①对于函数f(x) ，其定义域关于原点对称：
②若_f(_-_x_)_=_-__f(_x_)，则 f(x)为奇函数； 若__f(_-_x_)=__f_(_x_) ，则f(x) 为偶函数. ③奇函数的图像关于__原__点______对称，偶函数的图像关于___y_轴_____对称. ④奇函数在对称区间的增减性相同 ；偶函数在对称区间的增减性相反 .x fx m 3x 1 3x 1
m 3x 1 3x 1
m 13x
3x 1 0
1 0 m 1
例3 已知函数 y x2 4(a 2)x 4 在,6 上是增函数，试确定
实数a的取值范围.
答案：由对称轴
x
4a 2 2 1
6
a
5
例4 定义在(－1, 1)上的奇函数f (x)是减函数，解关于a的不等式： f (1―a)＋f (1―a²)<0.
（二）课堂探究
1.探究问题： 【探究1】我们有过许多对“美”的感受，“对称美”就大量存在于我们的生活 中.观察以下图形，分析以下有什么对称特点？
【探究2】数学中也能发现很多对称问题，回忆我们学过的函数，列举若干使它 们具有类似的对称特点.
2．知识链接： （1）函数的奇偶性定义：
一般地，对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个x ，都有 f (-x)= f (x) ，那么 f (x) 就叫做偶函数（如： f (x)=x2 , f (x)= | x |等）．
§3.4函数的奇偶性
一、学习要求
1.了解图像的对称性；理解奇（偶）函数概念. 2.会利用定义判断简单函数是否为奇（偶）函数. 3.掌握奇（偶）函数图像性质.