东南大学《数值分析》上机练习——算法与程序设计实验报告
第四章 多项式插值与函数最佳逼近
——曲线拟合之3次样条插值
*****（学号） *****（姓名）
上机题目要求见教材P195,37题。
一、算法原理
题目要求编写第一边界条件的3次样条插值函数的通用程序，同时根据汽车门曲线值点构造三次紧压样条曲线函数()Sx。其基本原理如下
定义 设0{(,)}Nkkkxy有N+1个点，其中01Naxxxb。如果存在N个三次多项式()kSx，系数为,0,1,2,3,,kkkkSSSS和满足如下性质：
23,0,1,2,3()()()()kkkkkkkkSxssxxsxxsxx (1)
111''111''''111(), 0,1,...,()(), 0,1,...,2()(), 0,1,...,2()(), 0,1,...,2kkkkkkkkkkkkkkSxyforkNSxSxforkNSxSxforkNSxSxforkN (2)
则成()Sx为三次样条函数。
现证明其存在：
由于()Sx是分段三次多项式，其二阶导数是在区间0[,]Nxx内是分段线性的。根据线性拉格朗日插值"()"()kSxSx可以表示为：
11111"()"()"()kkkkkkkkkxxxxSxSxSxxxxx (3)
用111(),()kkkkkkkmSxmSxxx和h代入上式，得
11"()kkkkkkkmmSxxxxxhh (4)
将上式积分两次，会引入两个积分常数，可得到如下形式：
33111()()()66kkkkkkkkkkkmmSxxxxxpxxqxxhh (5) 第二章 非线性方程的解法
(完整)三次样条插值的C程序(很全啊)
三次样条插值C/C++程序（自己整理的)
具体推导看书<
code:
#include
using
namespace
std;
const
int
MAXN
=
100;
int n；
double x[MAXN］, y[MAXN］; //下标从0。。n
double alph［MAXN], beta[MAXN]， a[MAXN］， b[MAXN］；
double h［MAXN];
double m［MAXN]; //各点的一阶导数；
inline double sqr（double pa） {
return pa * pa;
｝
double sunc(double p, int i) {
return (1 + 2 ＊ (p — x[i］) / (x[i + 1] - x［i］)） ＊ sqr((p - x[i + 1]) / (x[i + 1] — x［i］）） ＊ y［i]
+ （1 + 2 ＊ (p — x[i + 1]) / （x［i］ - x［i + 1]）） * sqr（(p - x［i]) / (x［i + 1] — x［i］)) * y［i + 1]
+ (p - x［i］) ＊ sqr（(p — x[i + 1］） / (x［i] - x［i + 1］)) ＊ m［i]
+ (p — x[i + 1]） ＊ sqr（(p — x［i]) / (x［i + 1］ — x［i])) * m[i + 1]；
}
int main() {
int i, j； (完整)三次样条插值的C程序(很全啊)
double
xx;
freopen（"threeInsert.in"，
"r"，
stdin)； scanf(”％d"， &n）；
for （i = 0； i <= n； i++） scanf（”%lf％lf”, &x［i］, ＆y[i］）；
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--完整版学习资料分享---- 1设计目的、要求
对龙格函数22511)(xxf在区间[-1,1]上取10n的等距节点，分别作多项式插值、三次样条插值和三次曲线拟合，画出)(xf及各逼近函数的图形，比较各结果。
2设计原理
（1） 多项式插值：利用拉格朗日多项式插值的方法，其主要原理是拉格朗日多项式，即：
01,,...,nxxx表示待插值函数的1n个节点，
0()()nnjkkjjkLxylxy，其中0,1,...,jn；
011011()...()()...()()()...()...()...()kknkkkkkkknxxxxxxxxlxxxxxxxxx
（2） 三次样条插值：三次样条插值有三种方法，在本例中，我们选择第一边界条件下的样条插值，即两端一阶导数已知的插值方法：
00'()'Sxf
'()'nnSxf
（3）三次曲线拟合：本题中采用最小二乘法的三次多项式拟合。最小二乘拟合是利用已知的数据得出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。在本题中，n= 10，故有11个点，以这11个点的x和y值为已知数据，进行三次多项式拟合，设该多项式为23432xiiiipaaxaxax，该拟合曲线只需2[]xiipy的值最小即可。
3采用软件、设备
计算机、matlab软件
4设计内容
1、多项式插值： -----WORD格式--可编辑--专业资料-----
--完整版学习资料分享---- 在区间1,1上取10n的等距节点，带入拉格朗日插值多项式中，求出各个节点的插值，并利用matlab软件建立m函数，画出其图形。
在matlab中建立一个lagrange.m文件，里面代码如下：
%lagrange 函数
function y=lagrange(x0,y0,x)
/* 三次样条插值计算算法 */
#include "math.h "
#include "stdio.h "
#include "stdlib.h "
/*
N：已知节点数N+1
R：欲求插值点数R+1
x，y为给定函数f(x)的节点值{x(i)} (x(i)
<=N
P0=f(x0)的二阶导数；Pn=f(xn)的二阶导数
u:存插值点{u(i)} 0 <=i <=R
求得的结果s(ui)放入s[R+1] 0 <=i <=R
返回0表示成功，1表示失败
*/
int SPL(int N,int R,double x[],double y[],double P0,double Pn,double
u[],double s[])
{
/*声明局部变量*/
double *h; /*存放步长:{hi} 0 <=i <=N-1 */
double *a; /*存放系数矩阵{ai} 1 <=i <=N ； 分量0没有利用 */
double *c; /*先存放系数矩阵{ci} 后存放{Bi} 0 <=i <=N-1 */
double *g; /*先存放方程组右端项{gi} 后存放求解中间结果{yi} 0 <=i <=N
*/
double *af; /*存放系数矩阵{a(f)i} 1 <=i <=N ； */
double *ba; /*存放中间结果 0 <=i <=N-1*/
double *m; /*存放方程组的解{m(i)} 0 <=i <=N ； */
int i,k;
double p1,p2,p3,p4;
/*分配空间*/
if(!(h=(double*)malloc(N*sizeof(double)))) exit(1);
if(!(a=(double*)malloc((N+1)*sizeof(double)))) exit(1);
if(!(c=(double*)malloc(N*sizeof(double)))) exit(1);
if(!(g=(double*)malloc((N+1)*sizeof(double)))) exit(1);
