高三 一轮复习 椭圆 教案

1 教学内容

椭圆

1．椭圆的定义

(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆

①在平面内；

②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；

③常数大于|F1F2|.

(2)焦点：两定点．

(3)焦距：两焦点间的距离．

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)

图形

性

质 范围 －a≤x≤a

－b≤y≤b －b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性 对称轴：x轴、y轴

对称中心：(0,0)

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴 长轴A1A2的长为2a

短轴B1B2的长为2b

焦距 |F1F2|＝2c

离心率 e＝ca，e∈(0,1)

a，b，c

的关系 c2＝a2－b2

1．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹．

2 2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．

3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．

[试一试]

若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为________．

1．求椭圆标准方程的方法

(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．

2．椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.

3．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．

[练一练]

1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与双曲线x2m2－y2n2＝1(m＞0，n＞0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是________．

2．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．

考点一 椭圆的定义及标准方程

1.(2014·镇江期末)如图，P为椭圆x225＋y216＝1上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，则△PF1F2的周长为________．

3

2．一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2, 3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________．

3．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．

[类题通法]

1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．

2．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|，再结合|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2| 进行转化，可求焦点三角形的周长和面积．

3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x2m＋y2n＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)．

考点二 椭圆的几何性质

[典例] (2013·福建高考)椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．

本例条件变为“过F1，F2的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在椭圆的内部”求离心率的取值范围.

[类题通法]

椭圆几何性质的应用技巧

(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．

(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．

[针对训练]

4 1．椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为________．

2．若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是________．

考点三 直线与椭圆的位置关系

[典例] (2013·常州期中)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F(4m,0)(m>0，m为常数)，离心率等于0.8，过焦点F，倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M，N两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若θ＝90°时，1MF＋1NF＝529，求实数m的值；

(3)试判断1MF＋1NF的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．

5

[类题通法]

1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．

2．直线和椭圆相交的弦长公式

|AB|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]

或|AB|＝ 1＋1k2[y1＋y22－4y1y2].

[针对训练]

(2013·新课标卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)右焦点的直线x＋y－3＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.

(1)求M的方程；

(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

6

[课堂练通考点]

1．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．

2．(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是________．

3．(2014·镇江模拟)已知P是椭圆x212＋y24＝1上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则1PF·2PF的取值范围为________．

4．(2014·南京、盐城一模)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值是________．

7 5．点A，B分别是椭圆x236＋y220＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.

(1)求点P的坐标；

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

[课下提升考能]

第Ⅰ卷：夯基保分卷

1．(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为 d2，若d2＝6d1，则椭圆C的离心率为________．

2．设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．

3．(2013·扬州模拟)已知F1，F2是椭圆x2k＋2＋y2k＋1＝1的左、右焦点，弦AB过F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为________．

4．(2013·南京、盐城一模)已知F1，F2分别是椭圆x28＋y24＝1的左、右焦点，P是椭圆上的任意一点，则|PF1－PF2|PF1的取值范围是________．