圆的旋转体体积

授课课题 定积分的应用（二）

教学

目标和要求 掌握利用定积分来求解平面图形的面积和旋转体的体积

教学

重点和难点 平面图形的面积

旋转体的体积

教学方法 情景教学法 教学手段 板书PPT

授课时间 第 18 周 课时累计 53-54

教 学 过 程

教学步骤及教学内容 时间分配

一，复习引入

（1）前面学习了定积分的求解方法也与原函数有关

（2）并且掌握了定积分的直接积分法

（3）学会了定积分的换元积分法与分布积分法

（4）那么我们定积分在实际应用中主要起到什么样的作用呢？

新课：

二、体积

1、旋转体的体积

旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴.

计算由曲线yfx()直线xa，xb及x轴所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而生成的立体的体积.

取x为积分变量，则],[bax，对于区间],[ba上的任一区间],[dxxx，

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教学步骤及教学内容 时间分配

它所对应的窄曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以)(xf为底半径，dx为高的圆柱体体积.即：体积元素为

dxxfdV2)(

所求的旋转体的体积为

dxxfVba2)(

例1求由曲线xhry及直线0x，)0(hhx和x轴所围成的三角形绕x轴旋转而生成的立体的体积.

解：取x为积分变量，则],0[hx

hrdxxhrdxxhrVhh20222023

2、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 )

由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算.

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取定轴为x轴， 且设该立体在过点ax，bx且垂直于x轴的两

教学步骤及教学内容 时间分配

个平面之内， 以)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积.

旋转体体积公式

⼀、公式的发现

个⼈06年~07年独⽴提出问题并总结的旋转体体积公式（前⼈也给出过）：V=2π·G·S

其中2π表⽰旋转⼀整周，G为旋转的⼆维平⾯的重⼼到旋转轴的距离（需要把所有⾯积归算到旋转轴的同⼀侧），S为旋转的⼆维平⾯的⾯

积（同G的要求）。

⼆、公式的拓展

个⼈还对这个公式做了⼀些拓展，⽅便应⽤和记忆。

（⼀）旋转任意⾓度：V=α·G·S

其中α为旋转的弧度（超过2π则按照2π计算）

（⼆）⼀维到⼆维的旋转S=α·G·L

其中需要旋转轴变成了⼀个点，旋转的对象变成了⼀维曲线，需要将以为曲线全部投影到径向的长度L（指向旋转点），G为L的重⼼。

（三）0维到⼀维的旋转

这种情况下，旋转对象和旋转轴全都是⼀个点，G就是作为旋转对象的点到旋转点的距离。L=α·G

（四）三维到四维的旋转

会不会就是α·G·V呢？这有点难以想象。

三、公式的应⽤

圆环的体积

⼆维的圆形围绕垂直于平⾯的轴旋转360°即为3D圆环（类似于⼿镯），可以直接套公式2π·G·S就可以得到体积。

四、公式的⼏何证明

任何形状都可以被不同⼤⼩形状的三⾓形完全填满，任何三⾓形⼜可以被直⾓三⾓形填充。在直⾓三⾓形围绕旋转轴旋转成体问题中，直⾓

三⾓形和旋转轴可以分为三种情况，⼀条边与旋转轴重合，⼀个点在旋转轴上，以及完全分离。⽽⼀条斜边与旋转轴重合的情况，可以分解

成两个直⾓三⾓形的直⾓边与旋转轴重合，其他两种情况都可以转化成加法或者减法，变成直⾓边与旋转轴重合的情况（具体过程就没记了）。因此只需要证明这⼀种情况，整个问题就被证明了。

以上情况旋转360°变成了圆锥，体积公式：V=1/3·π·r^2·h=2π·1/3 r·1/2 rh=2π·G·S

当然，这种证明⽅法有问题，需要先有重⼼的性质和圆锥体积公式（圆锥体积实际可以绕过）。常见的是积分⽅法，⽹上都有。

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旋转体的体积的计算

作者：蒋银山

来源：《东方教育》2016年第09期

摘要：旋转体的的体积计算方法有⑴以 为积分变量绕 轴旋转，⑵以 为积分变量绕 轴旋转，（3）以 为积分变量绕 旋转，⑷以 为积分变量绕 轴旋转，⑸以 为积分变量绕 轴旋转，（6）以 为积分变量绕 旋转

关键词：连续曲线；旋转体的体积；曲边梯形；空心圆柱

由于旋转体的体积的种类很多，计算比较复杂，为了便于同学们能过掌握好现总结如下

1.以 为积分变量绕 轴旋转

由连续曲线 ，直线 及 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。相应于 上的任以小区间 的窄曲边梯形绕 轴旋转而成的体积近似于以 为底半径、 为高的扁圆柱体的体积 .

一般地由连续曲线 围成的图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

简记为：

2.以 为积分变量绕 旋转

由连续曲线 ，直线 及 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。相应于 上的任以小区间 的窄曲边梯形绕 轴旋转而成的体积为空心圆柱近似于以半径为 的圆的周长为 为长、 为宽、 为高的长方体的体积 .则

一般地由连续曲线 围成的图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

简记为：

3.以 为积分变量绕 旋转

由连续曲线 ，直线 及 围成的平面图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。相应于 上的任以小区间 的窄曲边梯形绕 轴旋转而成的体积为近似于以底面半径为 、 为高的圆柱的体积 .则

由连续曲线 及 轴围成的图形绕 旋转一周而成的旋转体的体积。 龙源期刊网

一般地由连续曲线 围成的图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

简记为：

旋转体的体积教案设计

1 授课题目 旋转体的体积

课时数 1课时

教学目标 用定积分解决几何问题---旋转体的体积。

重点与

难点 教学重点：直角坐标和参数方程下旋转体的体积计算。

教学难点：复杂旋转体的体积计算。

学情分析 我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。

教材分析 本次课是学生学习完定积分的概念和计算方法后的学习，定积分的元素法在几何上的应用为学生尝试解决各种实际问题做了很好的铺垫。将来把元素法的思想推广到多元函数后，其应用范围将会更宽更广。所以无论从内容还是数学思想方面，本次课在教材中都处于重要的地位。

教学方法 根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。

教学手段 传统教学与多媒体资源相结合。

课程资源 同济大学《高等数学》（第七版）上册 旋转体的体积教案设计

2 教学内容与过程

一、已知平行截面面积函数的立体体积

dxxAdV)(

dxxAVba)(

二、旋转体的体积

)(,)]([2bxadxxfVba

)(,)]([2dycdyyVdc

.112222体积轴旋转而成的椭球体的所围图形绕、计算由椭圆例xbyax

坐标方程解：方法一，利用直角

)(22axaxaaby

dxxaabdxyVaa)(222022202则 xabxxxd)(xAxoabxyoab)(xfyxxoy)(yxcdyayxbox旋转体的体积教案设计

3 20322234]31[2abxxaaba

tbytaxsincos方程方法二，利用椭圆参数