山西大学往届高等数学期末试题及答案

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

高数期末考试题大题及答案一、极限题目1：求函数 \( f(x) = \frac{3x^2 - x}{x^2 + 2} \) 在 \( x \to \infty \) 时的极限。

解答：首先，我们可以通过分子分母同时除以 \( x^2 \) 来简化函数：\[ f(x) = \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x^2}} \]当 \( x \to \infty \) 时，\( \frac{1}{x} \) 和\( \frac{2}{x^2} \) 都趋向于 0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3 \]二、导数与微分题目2：求函数 \( g(x) = x^3 - 2x^2 + x \) 的导数。

解答：使用幂函数的导数规则，我们有：\[ g'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \]三、积分题目3：计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \)。

解答：首先，我们需要找到 \( x^2 \) 的原函数，即：\[ F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \]然后，我们可以计算定积分：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1^3}{3} -\frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]四、无穷级数题目4：判断级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \) 的收敛性。

解答：该级数可以重写为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}\right) \]这是一个交错级数，我们可以通过比较测试来判断其收敛性。

由于每一项都是正的且递减，我们可以得出结论，该级数是收敛的。

山大高数期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3在x=2处的导数是：A. -1B. 0B. 1D. 22. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(1,4)处的切线斜率是：A. -6B. -4C. 0D. 43. 曲线y=sin(x)在区间[0, π/2]上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=45. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 16. 函数f(x)=e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是：A. 1+x+x^2/2B. 1+x+x^2C. 1+x+x^2/6D. 1+x+x^2/37. 曲线y=ln(x)在x=e处的切线方程是：A. y=x-1B. y=x-eC. y=1D. y=x8. 函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-2x+1的拐点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=49. 函数f(x)=1/x在区间(0,1)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增10. 定积分∫[1,e] e^x dx的值是：A. e^e - eB. e^e - 1C. e^e - e^2D. e^e - e^2 + 1二、填空题（每题2分，共20分）11. 若f(x)=2x-1，则f'(x)=________。

12. 函数g(x)=x^2+3的最小值点是x=________。

13. 曲线y=cos(x)在x=π/3处的导数是-________。

14. 函数h(x)=x^3-3x^2+2x的拐点是x=________。

15. 定积分∫[-1,1] |x| dx的值是________。

16. 函数p(x)=sin(x)+cos(x)的泰勒展开式在x=0处的前两项是1+________。

山西大学全日制本科生试卷科 目：高等数学B3（A 卷）一、 选择题(15分)1．下列等式中正确的是A ．()A A A A 233-=-B ．()T T TB A AB =C ．()()22B A B A B A -=+- D ． ()222B BA AB A B A +++=+2．设有m 维向量组()n ααα,,,:21 I ，则A ．当m<n 时，(I)一定线性相关B ．当m>n 时，(I)一定线性相关C ．当m<n 时，(I)一定线性无关D ．当m>n 时，(I)一定线性无关 3．下列叙述不正确的是(A) 任意实对称矩阵都可以借助于一个正交矩阵进行对角化 (B) n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是矩阵A 有n 个不同的特征值(C)任何实二次型都可化为标准形(D)矩阵A 的特征向量系是线性无关向量系4．设离散型随机变量X 的分布律为{}k b k X P λ==，0>b ， ,3,2,1=k ，则λ=A ．11+b B ．b -1C ．bD ．b +1共 8 页 第 1 页科目： 专业： 学号： 姓名：密 封 线 密 封 线 密 封 线山西大学全日制本科生试卷5. 设随机变量1X ，2X ，…，n X ，…相互独立，且都服从于参数为λ的指数分布，则对任意x ，由中心极限定理有（A ）()x x n n x n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-P ∑=∞→λλ1lim （B ）()x x n n x n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-P ∑=∞→λλ1lim （C ）()x x n n x n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-P ∑=∞→λλ1lim （D ）()x x n n x n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-P ∑=∞→21lim λλ二、 填空题 (15分)1. 设A ,B ,C 为三个事件，已知()()()41===C P B P A P ，()()0==BC P AB P ，()81=AC P ，则()=ABC P2. 设X ～()2,3σN ，且{}1.00=<X P ，则{}=<<63X P3. 设X ～()8.0,10b ，Y ～()2π，且X 与Y 相互独立，则()=-Y X D 24. 设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡240130002, 则1-A = 5. 设实二次型Q(x 1, x 2, x 3)= x 12+ x 22+ 5x 32+2tx 1x 2-2x 1x 3+4 x 2x 3是正定二次型，则实数t 应满足共 8 页 第 2 页三、(7分) 计算n 阶行列式aa a a 111111111111共 页 第 3 页山西大学全日制本科生试卷山西大学全日制本科生试卷科目： 专业： 学号： 姓名：密 封 线 密 封 线 密 封 线四、(8分)用配方法将实二次型Q= x 12+ 2x 22-4x 1x 2-4x 1x 3化为标准形，并写出相应的坐标变换。

2025届山西省山大附中高三数学第一学期期末检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ） A ．12πB ．3π C ．6π D ．9π 2．设复数121,1z i z i =+=-，则1211z z +=（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．已知直线22y x a =-是曲线ln y x a =-的切线，则a =（ ） A ．2-或1B ．1-或2C ．1-或12D ．12-或1 4．已知a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>5．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29B ．30C ．31D ．326．由曲线3,y x y ==）A ．512 B ．13C ．14D ．127．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π-8．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．9．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β11．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8B ．7C ．6D ．512．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．-3 C ．2 D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高数期末考试卷和答案**高数期末考试卷**一、选择题（每题4分，共40分）1. 极限的定义中，当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于一个确定的数值，这个数值称为该点的（）。

A. 函数值B. 极限C. 导数D. 积分答案：B2. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. -1答案：C3. 以下哪个函数是奇函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B4. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：A5. 以下哪个选项是正确的不定积分？（）A. ∫x^2 dx = x^3 + CB. ∫x^2 dx = 2x^3 + CC. ∫x^2 dx = 3x^3 + CD. ∫x^2 dx = x^3/3 + C答案：D6. 以下哪个选项是正确的定积分？（）A. ∫[0,1] x^2 dx = 1/3B. ∫[0,1] x^2 dx = 1/2C. ∫[0,1] x^2 dx = 2/3D. ∫[0,1] x^2 dx = 1/4答案：A7. 以下哪个选项是正确的二重积分？（）A. ∬[0,1] x^2 dy dx = 1/3B. ∬[0,1] x^2 dy dx = 1/2C. ∬[0,1] x^2 dy dx = 2/3D. ∬[0,1] x^2 dy dx = 1/4答案：A8. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数？（）A. ∂f/∂x = 2xB. ∂f/∂y = 2yC. ∂f/∂z = 2zD. ∂f/∂x = 2x + 2y答案：A9. 以下哪个选项是正确的多元函数全微分？（）A. df = 2x dx + 2y dyB. df = 2x dx + 2y dy + 2z dzC. df = x dx + y dyD. df = x dx + y dy + z dz答案：A10. 以下哪个选项是正确的泰勒展开？（）A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. e^x = 1 + x + x^2 + x^3 + ...C. e^x = 1 + x + x^2/3! + x^3/4! + ...D. e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/3 + ...答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = sin(x)在x=0处的导数为______。

山西省山西大学附中2024年高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -2．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A ．48B ．36C ．42D ．315．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）．A B C D 6．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．36以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 9．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+10．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（ ）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . A ．① B ．①②C ．②③D ．①②③11．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高数期末考试题及答案大全试题一：极限的概念与计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二：导数的应用问题：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求其在 \(x=1\) 处的切线方程。

答案：首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。

在 \(x=1\) 处，导数值为 \(f'(1) = -1\)，函数值为 \(f(1) = 0\)。

切线方程为 \(y - 0 = -1(x - 1)\)，即 \(y = -x + 1\)。

试题三：不定积分的计算问题：计算不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。

答案：这是一个基本的三角换元积分问题，令 \(x = \tan(\theta)\)，\(dx = \sec^2(\theta) d\theta\)。

则 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta\)。

利用二倍角公式，\(\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}\)。

积分变为 \(\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C\)。

11-12高数上期末：一、填空题 （共5小题，每题4分，共20分）1. 设0 < a < b , 则()1lim .nnnn ab--→∞+=2. 2232ln (1)d ()d x t t yy y x x y t t=-+⎧==⎨=+⎩设函数由参数方程所确定，则________.3. 100()()d x x x x x ϕϕ=⎰设是到离最近的整数的距离，则.4. 322A y x x x x =-++曲线 与轴所围图形的面积=________.5.3s in (),()d x f x x f x x x'=⎰已知的一个原函数为则_________.一、选择题 （共5小题，每题4分，共20分） 6.下列命题中正确的一个是( )(A) 若0lim ()lim ()0x x x x f x g x δ→→≥⇒∃>,当00x x δ<-<时，有()()f xg x ≥；(B) 若0δ∃>,当00x x δ<-<时有()()f xg x >且0lim(),x x f x →0lim ()x x g x →都存在,则0lim()lim ()x x x x f x g x →→>(C)若0δ∃>,当00x x δ<-<时恒有()()f xg x >，则lim ()lim ()x x x x f x g x →→≥;(D)若0lim ()lim ()0x x x x f x g x δ→→>⇒∃>,当00x x δ<-<时有()()f xg x >7.0000(2)()()lim()2h f x h f x f x x h→--=设在处可导，则0000(A )()(B )()(C )()(D )2()f x f x f x f x ''''--000(3)0()()''()0()0y f x x f x f x fx '===<8.设在点的某邻域内具有连续的三阶导数,若，且，则()''00000(A )()()(B )()()(C )()()(D )(,())()f x f x f x f x f x f x x f x y f x =是的极大值是的极大值是的极小值为曲线的拐点9. 设2s in ()es in d ,x txf x t t π+=⎰则()F x ______.(A )为正常数 (B )为负常数 (C )恒为零 (D )不为常数10. 若连续函数()f x 满足关系式20()()d ln 2,2xt f x f t =+⎰则()f x =______(A )e ln 2x2(B )eln 2x()e ln 2xC + 2(D )eln 2x+三、解答题（共6道小题，4个学分的同学选作5道小题，每题12分，共60分；5个学分的同学6道题全做，每题10分，共60分）11. 求极限201(1)lim s inx x x→10(2)l i m,,,0.3xxx xx ab c a b c →⎛⎫++> ⎪⎝⎭其中(),012.(),()0(0)0,,0(0)(0)0,(),()0g x x f x g x x g x x g g f x f x x ⎧≠⎪''==⎨⎪=⎩'''===设函数其中可导,且在处二阶导数存在，且试求并讨论在处的连续性.[]110()0,1(0,1)(1)=e()d xk f x f k x f x x-⎰13.已知函数在上连续,在内可导,且满足(1).k >其中 1(0,1),()(1)().f f ξξξξ-'∈=-证明：至少存在一点使得14.()()d xf tg x t t -⎰求(0),x ≥0x ≥其中当时，(),f x x =s in ,02.0,2x x x x ππ⎧≤<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩而g ()=15. 求微分方程243(1)22x y x y x y '++=满足初始条件 01|2x y ==的特解2s in s in s in 16.(1)lim 1112n n nn n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭.计算 (2).()[0,1]1()2,f x f x ≤≤设函数在连续,且 证明：1119()d d .()8f x x x f x ≤⎰⎰一．填空题1.1a2.(65)(1)t t t++ 3. 25 4.37125. 22ln ln x x C -+二．选择题6. D7. A8. D9. A 10. B 三．解答题 11. 21(1)lim s inx x x→2211s in1,lim 0lim s in0x x xx xx→→≤=∴=有界10(2)l i m,,,0.3xxx xx ab c a b c →⎛⎫++> ⎪⎝⎭其中()()0013131(1)(1)(1)1ln 1lim 1limln ln ln 33333lim eeeex x xx x x x x xx x a b c a b c a b c a b c x x xx a b c →→⎛⎫⎛⎫++-++--+-+-⋅+ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→=====原极限2222()(0)()()1()(0)1(0)limlimlimlim(0)222()(),0()1(0),02()()()(0)(lim ()limlimlim(0)l x x x x x x x x f x f g x g x g x g f g xxxxx g x g x x xf xg x x g x g x g x g g x f x xxxg →→→→→→→→'''--'''====='-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩'''--'==-''=-12.解：）0()1im(0)(0)22()0x g x g f xf x x →''''=='∴=在处连续1-11-1111113.[0,],(1)e().11, 1.(0,1).()e (),()[0,](0,)(1)=(1)e ()().(0,)()e()e()e()0,e0,xf f kk kF x x f x F x F f f F F f f f f ηηξξξξηηηηηηηηηηξξξξξξξ-----∃∈=><∈===''=-+=>由积分中值定理，使得得则令由题意知在上连续，内可导且由罗尔中值定理，在内存在一点，使得得-1()()()0()(1-)().(0,1).f f f f ξξξξξξξξξ''-+=⇒=∈其中20014.,d d .()()d ()()d ()()d ;()()d =()s in d s in ;2()()d ()s in d 0 1.2s in 2()()d =12xxxx x xxu x t u t f t g x t t f x u g u u f x u g u u x f x u g u u x u u u x x x f x u g u u x u u u x x x x f t g x t t x x πππππ=-=--=--=-≤<--=-≥-=-+=--≤<--≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令则于是当0时，当时,，0所以，⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩4322342222222d 2215.,d 3(1)3(1)d d ,3d d 1d 22d 22-,--(1)3d 3(1)3(1)d 11d 2-0,(1)z (1)(d 1y x x yyxx x z y z y yxxz xx zxx z z xx x x xxzxz z C x x u x x ----+=++==-+==++++==+=++讲方程改写为：这是贝努里方程.令则，代入上述方程得：即， 这是一阶线性非齐次方程，它对应的齐次方程为它的通解为，令22222222203321)d d (1)2(),(1)d d d 22d 2(1)2()(1)()-,-,d 11d 11,(1)1(1),1111(1).|81,7.2(78).x x z u x x u x xxu x x u x x x u x x u x xxxxxu C z C x xC x y C C yy x =--=++++-+==+++=+=+++=++==+==+则将其代入得即积分得即的通解为从而原方程的通解为由初始条件，有故所求的特解为11112s ins ins in 12116.(1)(s ins ins in )s in111212lims ins in ()d .2s ins ins in 121(s ins ins in )s in111112limni nn i ni n i n nn nnnnnn n ni x x nnn i n nn n nnn nnn n nnn πππππππππππππππππ=→∞==→∞+++<+++=+++==+++>+++=++++++∑∑⎰∑而另一方面且1112s in=s in ()d .12.ni i x x nnππππ===∑⎰所以由夹逼准则知原式111011100(2)1()2(()1)(()2)0,(()1)(()2)10()d 2d 3()()1d 3()19()d d .()8f x f x f x f x f x f x x x f x f x xx f x f x xx f x ≤≤∴--≤--≤+≤≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰得，即，得到从而整理得：。

山大期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 地球是平的B. 太阳是宇宙的中心C. 地球绕太阳转D. 月球是地球的卫星答案：C2. 以下哪个化学元素的原子序数是8？A. 氢（H）B. 氧（O）C. 碳（C）D. 氮（N）答案：B3. 以下哪个历史事件标志着第二次世界大战的结束？A. 诺曼底登陆B. 珍珠港事件C. 广岛原子弹爆炸D. 柏林墙倒塌答案：C4. 以下哪个公式是计算圆的面积的？A. A = πr²B. V = πr²hC. P = 2πrD. S = πd答案：A5. 以下哪个是计算机编程语言？A. HTMLB. CSSC. JavaScriptD. All of the above答案：D6. 下列哪个是生物体的基本单位？A. 细胞B. 组织C. 器官D. 系统答案：A7. 以下哪个是经济学中的需求定律？A. 价格越高，需求量越少B. 价格越低，需求量越多C. 价格与需求量成正比D. 价格与需求量成反比答案：A8. 以下哪个是著名的物理学家？A. 阿尔伯特·爱因斯坦B. 艾萨克·牛顿C. 尼尔斯·玻尔D. All of the above答案：D9. 以下哪个是计算机存储单位？A. 位（bit）B. 字节（byte）C. 千字节（KB）D. 兆字节（MB）答案：B10. 以下哪个是心理学中的认知失调理论？A. 人们倾向于避免心理冲突B. 人们倾向于保持一致性C. 人们倾向于接受新信息D. 人们倾向于拒绝新信息答案：A二、填空题（每空2分，共20分）1. 牛顿的三大定律是______、______、______。

答案：运动定律、惯性定律、作用与反作用定律2. 光合作用是植物通过______将______转化为______的过程。

答案：叶绿体、光能、化学能3. 计算机的冯·诺依曼体系结构包括______、______、______、______和______。

第一学期高等数学期末考试试卷答案•计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）,1 .求极限limx x 1 cosx i；-2.3sinx解:/ x1 cosx -2xlimx)0二limx)033sin x xln kcosxe 2-1x 1 cosx 心x_0—sin x X—P1 cosx 2xxln二lim—-1x 0 , 1 cosxxln ------2•设x > 0时，f x与解:由于当x > 0时,f dtli m x )0limAx x「o6Akx1k -1f 1 +cosx、Jli二linx )0-1.1 cosxxln ------limx )0二limx ]0x2是等价无穷小，23xf t dt与Ax k等价无穷小，求常数k与A•f tdt3 &f t dt与A k等价无穷小，所以lim」_k tAx=1 .而0 _f^x 3；F="m f辰爲厂Akx k t 0|因此，k=1, A 二x323 22 3 xk -JAkx3.如果不定积分= lim X X2—2—二limx 306Akx'33k 二x )06Akx^1[ dx中不含有对数函数，求常数a与b应满足的条件.x ax b2 .x ax b __________ 2■ Tj2" "x 1 1x 化为部分分式，有2x ax b A B Cx D__________________________ = ________ r _____________ r —x 1 2 1 x x 1 x 1 1 x2x ax b dx中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数x 1 22 1 厂A = C = 0 -2即X2 ax b _ B D _ B 1 X ； D x 12(x+1 $1 +x2) (x +1 )2 1 +x2 ~(x 十1弭十x)所以，有x2 ax b = B x2 D x 12「D £ 2Dx B D -比较上式两端的系数，有1 = B D, a =2D, ^B D •所以，得b = 1 •52 d5•计算定积分min" |x—2>dx•解：• I 彳x 2}Q x —2| |x — 2 兰1min〔1, x-2 i = \円1円1 |x_2>1f x v12-x121 Jx 乞2=$ .x—2 2vx兰3x—2 } dx = J1dx + J(2 — x)dx 十J(x—2)dx =因此不定积分3 52 ___________所以，mi,n 1,5.设曲线C的极坐标方程为r =asin 3二，求曲线C的全长.313 8曲线r =asin3-一周的定义域为3 Q，即0乞二乞3二•因此曲线C的全长为3JI 002 ・ 6 •• 2 ・ 4 •• 2 .a sin a sin cos d3 3 3 0第2页共7页•（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分）,6•求出函数fx=nm晋的所有间断点并指出这些间断点的类型解：型间断点.7•设 是函数f x = arcsinx 在区间〔0, b ］上使用Lagrange （拉格朗日）中值定理中的 中值” 求极限lim—b解：f （x ）= arcsinx 在区间〔0, b 】上应用Lagrange 中值定理，知存在 匕丘（0, b ），使得所以，2•因此,arcs inb= lim a：sinb[2b—0 b arcs inb2令 t =arcsinb ,则有b )0x|x :：:sin (兀 x )5)=愧而歹2 1 2 1 因此x 1二-1与x ^ =1是函数2 222 !02|xf X 的间断点.lim f x = lim _0 = 0， 1 — — x - _2可去型间断点. 1 x ——_2lim . f x = lim sin 二 x = -1， 因此X = - 1是函数f x 的第一类lim _f x = lim书inlimlim 0 = 0，因此x1是函数f x 的第一类可去lim —2 b 2arcs inb - arcsb _0.2 2 . 2 2 . 2t - sin t t - sin t lim 才=lim lim 汁亠 b 卩 b t 0 t si nt t 0 ta - 0在区间-：：,-::内实根的个数.令「X =0，得函数f x 的驻点x i =0,由于a 0，所以2 -xxlim f(x)=Jim ax e T )=邑，= lim 2t —sin2t t 0 3 4t 二 lim t 0^2^ KJlim 2^ 16t 0 lim 12t6七刃2t所以，lim b 01 -x8 设 f X = ey2』dy ，求 f f(x)dx-0 解: 1 『f (x )dx = xf (x j 0 - [xf "(x )dx 01 _x在方程 f (x )= j e y fj»y 中，令 x=1 ,得 0 f （1）」同诃=泮空=0 •0 0再在方程f x ]=1丄 e y2」dy 两端对x 求导，得f x i ；=0 1 -x2-e，1 11因此，f x dx0 001二 xf x| 0 - xf x dx - - xf x dx 1 142二 xe12 dx = e xe dx 二e解:设函数f x =ax2e^ -1， f x 二 2axe^ 2 -x-ax e各有一个零点，即方程e lax'在（-旳，+旳）'内有3个实根•2⑵右4ae‘—仁0，即时，函数fCx^ax ；」—1在（一近' °）、（ °，+迂）内各有一个2⑶ 若4a e‘-仁°，即ac ；时，函数伦戶拟；」—1在（—°°，°）有一个零点，即方程e =ax 在（—旳，+旳）内有1个实根.1°.设函数f x 可导，且满足f -x=xfx-1 ，f 0=0.试求函数f X 的极值.解：在方程 f '( 一 x )= x(f '(x J-1 中令 t = —X ，得 f "( t )= —t ( f '( 一 t )一 1 卜即f X 二- X f 〔 一 X - 1 .X —oO(-«, °) °(°，2) 2 （2，代） +□0「（X ）—°+°—f (x ) + Q0-124ae -11-1因此，得函数f X 的性态⑴若4ae-1 O 即 24时，函数 f x i ；=ax e -1在 0、 °，2、 2,x2零点，即方程e 二ax 在_ :二-::内有2个实根.在方程组7fx XXf f-Hx —x中消去f _x ，得2 2由f X a X :得函数f x 的驻点X 1 =0, X 2 = -1 •而f x =1 2x~x •所以，1+X(1 + x 2)J1 f 0 =1 0，f -10•所以，f 0 =0是函数f x 极小值； f 一1 = 一1 fln2 _丄是函数f x 极大值.三•应用题与证明题（本题满分 20分，共有2道小题，每道小题10分）,11.求曲线y= X 的一条切线，使得该曲线与切线|及直线x = 0和X = 2所围成的图形绕X 轴旋 转的旋转体的体积为最小. 解:设切点坐标为,、tt ，由y 二丄，可知曲线y =“x 在t, t .处的切线方程为2左"缶…），或因此所求旋转体的体积为e f x arctanxdx = 1 , f 1 ；=0 •2t t 2wdt=x 1In 1 x 2- arctanx -2VIt川 2dx=y_38Il uI 4 2t所以，dVdt41兀f1-2^— + 21=0 .得驻点 t = ± ，舍去 t = .由于33■ : 163t d 2V dt 223t因而函数V 在t = 2处达到极小值，而且也是最小值.因此所求3切线方程为y =12.设函数f X 在闭区间〔0,1 ］上连续，在开区间0, 1内可导，且第6页共7页证明：至少存在一点I 三,0， 1，使得f —= （1 +乎）arctan©解:因为f （x ）在闭区间［0, 1 ］上连续，所以由积分中值定理，知存在2e f x arctanxdx 2 e f h arctan .212 1由于 [e f f )arctanxdx =-, 所以，一 e f ("arctan H = — •再由 f (1)=0，得0 2 二 2e f arctan 二二=e f 「brctan1.作函数 g （x ）=e f F ） ［ 4 （arcta nx ，则函数在区间n , 1］u ［。

大一高数c期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=x^2+2x+1的导数是（）。

A. 2x+1B. 2x+2C. 2x+3D. x^2+2x+12. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. πD. 23. 函数y=e^x的不定积分是（）。

A. e^x+CB. e^x-CC. ln(e^x)+CD. ln(x)+C4. 曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -2D. 25. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是（）。

A. 1/3C. 2/3D. 16. 函数y=ln(x)的反函数是（）。

A. e^xB. ln(x)C. x^eD. e^x7. 函数y=x^3的二阶导数是（）。

A. 3x^2B. 6xC. 9x^2D. 18x8. 曲线y=x^2在x=2处的法线方程是（）。

A. y=-1/4x+9/2B. y=1/4x+9/2C. y=-1/2x+2D. y=1/2x+29. 函数y=x^2-4x+4的极值点是（）。

A. x=2B. x=-2C. x=4D. x=-410. 函数y=x^3-3x的拐点是（）。

A. x=0B. x=1D. x=3二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y=x^3的一阶导数是 y'=3x^2 。

2. 函数y=x^2+2x+1的二阶导数是 y''=6x 。

3. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是 0 。

4. 函数y=e^x的反函数是 y=ln(x) 。

5. 函数y=x^2-4x+4的最小值是 y_min=0 。

三、计算题（每题10分，共50分）1. 求函数y=x^3-3x^2+2的导数。

解：y'=3x^2-6x。

2. 求极限lim(x→0) (x^2/sin(x))。

解：lim(x→0) (x^2/sin(x)) = lim(x→0) (x/sin(x)) * x = 1 * 0 = 0。

山西财经大学高等数学期末考试试卷(含答案)
一、高等数学选择题
1．由曲线，直线，轴及所围成的平面图形的面积为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．函数是微分方程的解．
A、正确
B、不正确
【答案】B
3．设函数，，则函数．
A、正确
B、不正确
【答案】A
4．设曲线如图示，则在内
( )．
A、没有极大值点
B、有一个极大值点
C、有两个极大值点
D、有三个极大值点
【答案】B
5．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
6．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】A
7．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
8．函数的单调减少区间是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
9．不是函数的极值点．
A、正确
B、不正确
【答案】B
10．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】B
11． ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
12．函数的图形如图示，则是函数的
( )．
A、最大值点
B、极大值点
C、极小值点也是最小值点
D、极小值点但非最小值点
【答案】C
13．设，则=（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C
14．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
15．不定积分.
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题。

高数c大一期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(0)的值。

A. 0B. 4C. -4D. 8答案：B2. 求极限lim (x→0) (sin(x)/x)的值。

A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 计算定积分∫(0 to 1) (3x^2 - 2x + 1)dx的值。

A. 1/3B. 1C. 2D. 3答案：B4. 已知序列{a_n}满足a_1 = 1, a_(n+1) = 2a_n + 1，求a_3的值。

A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = ln(x)，求f'(x)的值。

答案：1/x2. 求级数1 + 1/2 + 1/4 + ...的和。

答案：23. 已知向量a = (3, -4)，b = (2, 1)，求向量a与向量b的点积。

答案：-104. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵A的行列式值。

答案：-2三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 15在x = 2处的导数。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9，代入x = 2得到f'(2) =3(2)^2 - 12(2) + 9 = 3。

2. 证明：若a > b > 0，则a^3 > b^3。

证明：由a > b > 0，得a^2 > b^2，两边同时乘以a，得a^3 > ab^2，又因为a > b，所以ab^2 > b^3，故a^3 > b^3。

四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上可积。

证明：根据连续函数的性质，若f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上满足黎曼可积的条件，即存在一个实数I，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得任意两个分划P1和P2，只要它们的最大子区间长度都小于δ，那么它们的黎曼和之差小于ε。

山西大学往届高等数学期末试题及答案2013—2014学年第一学期期末试题一、填空题（每题3分，共24分） 1、20lim(1ln(1))______xx x →++=2、函数sin ln ()1x xf x x =-的可去间断点是________3、2cos(1)()(1)e (1)e ,xx f x x x -=-+- 则(1)_______f '=4、设,0(x)sin ,0ax e x f b x x ?<=?+≥?在0x = 处可导，则____,______a b ==5、设()f x 连续，arctan 0()xf t dt x =?，则(0)_____f =6、设222x y += ，232(1()),()a y b y '''=+= ，则2____a b -= 7、232(sin ________x -+=?8、设320y y y '''-+=的通解为________ 二、简答题（每题8分，共48分）1、设()y f x = 是由2cos()1x ye xy e +-=-所确定，求()yf x =在(0,1)的切线方程；2、讨论323x y x=- 的渐近线； 3、若曲线()y f x =由参数方程sin ,cos t tx e t y e t ==所确定，求该曲线对应于02t π<<的弧长； 4、若0sin (),xtf x dt tπ=-?求0()d f x x π?5、3221(1)dx x +∞+?；6、已知()F x 是()f x 的一个原函数，且2()()1xF x f x x =+ 求()f x ；三、证明题与综合题（每题7分，共28分）1、已知某曲线过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求曲线方程2、若方程2ln (1)x x k x =-恰有两个不同的根，讨论k 得取值范围； 3、曲线21(0)2y x x =≥ 上一点M 处作切线，曲线及x 轴围成的面积为131）切点M 坐标；2）过点M 的切线方程3）上述平面绕2x = 旋转一周得到的旋转体的体积； 4、证明当1x <时，(1)1xe x -≤ 附加题：（20分）1．求2100031n n-=∑的整数部分；2．设()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且()0f x ''>，且0x ?使得0()0f x <，又lim ()0x f x α→-∞'=<，lim ()0x f x β→+∞'=>，证明：()f x 有且仅有两个零点。

大一第二学期高数期末考试之杨若古兰创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2.　）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无量小，但不是等价无量小； （B ）()()x x αβ与是等价无量小；（C ）()x α是比()x β高阶的无量小； （D ）()x β是比()x α高阶的无量小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点.（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 和'(0)y .9.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 扭转一周所得扭转体的体积V .六、证实题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证实对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证实：在()π,0内至多存在两个分歧的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：133()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12.解：由(0)0f =，知(0)0g =.2()()lim ()lim22xx x xf x f u duA A g x A x→→-'==-=⎰，'()g x 在=0x 处连续.13. 解：2ln dy y xdx x +=1(1),09y C =-=，11ln 39y x x x =- 四、 解答题（本大题10分）14.解：由已知且02d xy y x y'=+⎰，将此方程关于x 求导得y y y '+=''2特征方程：022=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r其通解为x x e C e C y 221+=-代入初始条件y y ()()001='=，得 31,3221==C C故所求曲线方程为：x x e e y 23132+=-五、解答题（本大题10分）15.解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：)(1ln 000x x x x y -=-因为切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：x e y 1=则平面图形面积⎰-=-=10121)(e dy ey e A y（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则2131e V π=曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得扭转体体积为V 2D 绕直线x = e 扭转一周所得扭转体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π六、证实题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16.证实：1()()qf x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())qqqf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰故有：1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx证毕.证：构造辅助函数：π≤≤=⎰x dt t f x F x0,)()(0.其满足在],0[π上连续，在),0(π上可导.)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F由题设，有⎰⎰⎰⋅+===ππππ)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ，有⎰=πsin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别利用罗尔定理，知存在 ),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .。

高数期末试题及答案1. 选择题（每题2分，共40分）
1.1 选择题题干
答案：选项A
解析：解析内容
1.2 选择题题干
答案：选项B
解析：解析内容
......
2. 填空题（每题4分，共40分）
2.1 填空题题干
答案：填空答案
解析：解析内容
2.2 填空题题干
答案：填空答案
解析：解析内容
......
3. 计算题（每题10分，共80分）3.1 计算题题干
解答：
计算过程
3.2 计算题题干
解答：
计算过程
......
4. 证明题（每题20分，共80分）4.1 证明题题干
解答：
证明过程
4.2 证明题题干
解答：
证明过程
......
5. 应用题（每题15分，共60分）5.1 应用题题干
解答：
解题思路和步骤
5.2 应用题题干
解答：
解题思路和步骤
......
综上所述，这是一份高数期末试题及答案，包括选择题、填空题、计算题、证明题和应用题。

每道题目都提供了准确的答案和解析，以帮助同学们检验和巩固他们的数学知识。

请同学们认真阅读每道题目并按照正确的解题思路和步骤进行答题。

祝大家期末考试顺利！
（文章结束，共计xxx字）。

2013—2014学年第一学期期末试题一、填空题（每题3分，共24分） 1、20lim(1ln(1))______xx x →++=2、函数sin ln ()1x xf x x =-的可去间断点是________3、2cos(1)()(1)e (1)e ,xx f x x x -=-+- 则(1)_______f '=4、设,0(x)sin ,0ax e x f b x x ⎧<=⎨+≥⎩ 在0x = 处可导，则____,______a b ==5、设()f x 连续，arctan 0()xf t dt x =⎰，则(0)_____f =6、设222x y += ，232(1()),()a y b y '''=+= ，则2____a b -= 7、232(sin ________x -+=⎰8、设320y y y '''-+=的通解为________ 二、简答题（每题8分，共48分） 1、设()y f x = 是由2cos()1x yexy e +-=-所确定，求()y f x =在(0,1)的切线方程；2、讨论323x y x=- 的渐近线； 3、若曲线()y f x =由参数方程sin ,cos t tx e t y e t ==所确定，求该曲线对应于02t π<<的弧长； 4、若0sin (),xtf x dt tπ=-⎰求0()d f x x π⎰5、3221(1)dx x +∞+⎰；6、已知()F x 是()f x 的一个原函数，且2()()1xF x f x x =+ 求()f x ；三、证明题与综合题（每题7分，共28分）1、已知某曲线过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求曲线方程2、若方程2ln (1)x x k x =-恰有两个不同的根，讨论k 得取值范围； 3、曲线21(0)2y x x =≥ 上一点M 处作切线，曲线及x 轴围成的面积为131）切点M 坐标；2）过点M 的切线方程3）上述平面绕2x = 旋转一周得到的旋转体的体积； 4、证明 当1x <时，(1)1xe x -≤ 附加题：（20分）1．求2100031n n-=∑的整数部分；2．设()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且()0f x ''>，且0x ∃使得0()0f x <，又lim ()0x f x α→-∞'=<，lim ()0x f x β→+∞'=>，证明：()f x 有且仅有两个零点。