第3节 线性微分方程(组)的一般理论(2)

线性微分方程的一般理论摘要：本文描述了线性微分方程的定义,齐次线性微分方程的解的性质与结构,以及非齐次线性微分方程与常数变易法,给读者展示了线性微分方程的一般理论和解法.关键词：齐次线性微分方程； 朗斯基行列式；通解；基本解组；常数变易法The General Theory of Linear Differential Equation Abstract ：In this paper,we describe the definition of a linear differential equation, the properties and structure of the solutions of the homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation,showing the readers the linear differential equation method of the general theory of reconciliation. KeyWords :Homogeneouslineardifferentialequation;Langyankeesdeterminant;General solution;Basic set of solutions;Method of variation constant前言在微分方程的理论中,线性微分方程是很重要的一部分.线性微分方程是研究非齐次线性微分方程的基础,它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛的应用.因此学习线性微分方程的一般理论是非常有用的.1. 引言先讨论如下的n 阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dxa t a t a t x f t dt dt dt---++++= ， (1) 其中()(1,2,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数.如果()0f t ≡,则方程(1)变为1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt---++++= ， (2) 我们称它为n 阶齐次线性微分方程,简称齐次线性微分方程,而称一般的方程(1)为n 阶非齐次线性微分方程,简称非齐次线性微分方程,并且通常把方程(2)叫做对应于方程(1)的齐次线性方程.首先给出方程(！)的解的存在唯一性定理.定理1[1] 如果()(1,2,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数,则对于任一[]0,t a b ∈及任意的0x ,()10x , ,()10n x -,方程(1)存在唯一解()x t ϕ=,定义于区间a t b ≤≤上,且满足初值条件()00t x ϕ=,()()100d t x dt ϕ=, ,()()11001n n n d t x dt ϕ---=. (3) 2. 齐次线性微分方程的解的性质与结构首先讨论齐次线性微分方程1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dt dt---++++= . (2) 根据“常数可以从微分号下提出来”以及“和的倒数等于倒数之和”的法则,容易得到齐次线性微分方程的解的叠加原理.定理2(叠加原理) 如果()1x t ,()2x t , ,()k x t 是方程(2)的k 个解,则它们的线性组合()()()1122k k c x t c x t c x t +++ 也是(2)的解,这里1c ,2c , ,k c 是任意常数.特别地，当k n =时，即方程(2)有解()()()1122n n x c x t c x t c x t =+++ (4)它含有n 个任意常数.考虑定义在区间a t b ≤≤上的函数()1x t ,()2x t , ,()k x t ,如果存在不全为零的常数1c ,2c , ,k c ,使得恒等式()()()11220k k c x t c x t c x t +++≡对于所有[],t a b ∈都成立,我们称这些函数是线性相关的,否则就成这些函数在所给区间上线性无关.有定义在区间a t b ≤≤上的k 个可微1k -次的函数()1x t ,()2x t , ,()k x t 所做成的行列式()()()[]()()()()()()()()()()()()1212'''1211112,,,k k k k k k k W x t x t x t x t x t x t x t x t x t W t x t x t x t ---⎡⎤⎣⎦≡≡成为这些函数的朗斯基行列式.定理3 若函数()1x t ,()2x t , ,()n x t 在区间a t b ≤≤上线性相关，则在[],a b 上它们的朗斯基行列式[]0W t ≡.证明 有假设知,存在一组不全为零的常数1c ,2c , ,n c ,使得()()()11220n n c x t c x t c x t +++≡ ，a t b ≤≤ (5)依次对t 微分此等式,得到()()()()()()()()()'''1122''''''1122(1)(1)(1)11220,0,0.n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t ---⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(6) 把(6)和(7)看成关于1c ,2c , ,n c 的齐次线性代数方程组,它的系数行列式()()()12,,,n W x t x t x t ⎡⎤⎣⎦ ,于是由线性代数理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零,即[]0W t ≡()a t b ≤≤.定理证毕.定理 4 如果方程(2)的解()1x t ,()2x t , ,()n x t 在区间a t b ≤≤上线性无关,则()()()12,,,n W x t x t x t ⎡⎤⎣⎦ 在这个区间的任何点上都不等于零,即[]0W t ≠()a t b ≤≤.证明 采用反证法.设有某个0t 0()a t b ≤≤使得[]00W t =.考虑关于1c ,2c , ,n c 的齐次线性代数方程组()()()()()()()()()1102200'''1102200(1)(1)(1)1102200000.n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t ---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(7) 其系数行列式[]00W t =,故(7)有非零解1c ,2c , ,n c .先在以这组常数构造函数()()()()1122n n x t c x t c x t c x t ≡+++ ,a t b ≤≤,根据叠加原理,()x t 是方程(2)的解.注意到(7),知道这个解()x t 满足初值条件()()()(1)000'0n x t x t x t -==== , (8)但是0x =显然也是方程(2)的满足初始条件(8)的解.有解的唯一性,即知()0x t ≡()a t b ≤≤,即()()()11220n n c x t c x t c x t +++≡ ,a t b ≤≤.因为1c ,2c , ,n c 不全为零,这就与()1x t ,()2x t , ,()n x t 线性无关的假设矛盾.定理得证.根据定理3和定理4可以知道,由n 阶齐次线性微分方程(2)的n 个解构成的朗斯基行列式或者恒等于零,或者在方程的系数为连续的区间内处处不等于零.定理 5[2] n 阶齐次线性微分方程(2)一定存在n 个线性无关的解. 证明 线性微分方程(2)存在满足下列初始条件()101y x =,()'100y x =, ,()(1)100n y x -=; ()200y x =,()'201y x =, ,()(1)200n y x -=; ()00n y x =,()'00n y x =, ,()(1)01n n y x -=的n 个解1()y x ,2()y x , ,()n y x ,[]0,,x x a b ∈.又因10200[(),(),,()]10n W y x y x y x =≠ ,于是可知这n 个解在[],a b 上线性无关.定理6[3](通解结构定理) 如果()1x t ,()2x t , ,()n x t 是方程(2)的n 个线性无关的解,则方程(2)的通解可表为()()()1122n n x c x t c x t c x t =+++ , (9)其中1c ,2c , ,n c 是任意常数.且通解(9)包括了方程(2)的所有解.推论 方程(2)的线性无关解的最大个数等于n .因此可得结论: n 阶齐次线性微分方程的所有解构成一个n 维线性空间.方程(2)的一组n 个线性无关解称为方程的一个基本解组.显然,基本解组不是唯一的.特别的,当[]01W t =时称其为标准基本解组.3.非齐次线性微分方程与常数变易法考虑n 阶非齐次线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dxa t a t a t x f t dt dt dt---++++= , (1) 易见方程(2)是它的特殊形式,首先容易验证如下两个简单性质:性质1 如果_()x t 是方程(1)的解,而()x t 是方程(2)的解,则()_()x t x t +也是方程(1)的解.性质2 方程(1)的任意两个解之差必为方程(2)的解. 有如下定理:定理7 设()1x t ,()2x t , ,()n x t 是方程(2)的基本解组，而_1()x t 是方程(1)的某一解,则方程(1)的通解可表为()()()_1122()n n x c x t c x t c x t x t =++++ , (10)其中1c ,2c , ,n c 是任意常数.而且这个通解(10)包括了方程(1)的所有解.证明 根据性质1易知(10)是方程(1)的解,它包含有n 个任意常数,像定理6的证明过程一样,不难证明这些常数是彼此独立的,因此,它是方程(1)的通解.现设()x t ≈是方程(1)的任一解,则由性质2,_()()x t x t ≈-是方程(2)的解,根据定理6,必有一组确定的常数1c,2c , ,n c,使得()()()_1122()()n n x t x t c x t c x t c x t ≈-=+++,即()()()_1122()()n n x t c x t c x t c x t x t ≈=++++这就是说,方程(1)的任一解()x t可以由(10)表出,其中1c ,2c , ,n c 为相应的确定常数,由于()x t的任意性,这就证明了通解表达式(10)包括方程(1)的所有解.定理证完.设()1x t ,()2x t , ,()n x t 是方程(2)的基本解组，因而()()()1122n n x c x t c x t c x t =+++ (11)为(2)的通解,把其中的任意常数1c 看作t 的待定函数()i c t (1,2,,)i n = ,这(11) 变为1122()()()()()()n n x c t x t c t x t c t x t =+++ . (12) 将它代入方程(1)，就得到()1c t ,()2c t , ,()n c t 必须满足的一个方程,但待定函数有n 个,即()1c t ,()2c t , ,()n c t ,为了确定它们,必须再找出1n -个限制条件,在理论上,这些另加的条件可以任意给出,其法无穷,当然以运算上简便为宜,考虑下面的1n -个条件.对t 微分等式(12)得()()()()()'''''''11221122()()()()()()()n n n n x c t x t c t x t c t x t x t c t x t c t x t c t =+++++++ , 令()()'''1122()()()()0n n x t c t x t c t x t c t +++= ， 1(13)得到()()()''''1122()()()n n x c t x t c t x t c t x t =+++ . 1(14)对t 微分等式(12),并像上面一样做法,令含有函数'()i c t 的部分等于零,我们又得到一个条件()()''''''1122()()()()0n n x t c t x t c t x t c t +++= 2(13)和表达式()()()''''''''''1122()()()n n x c t x t c t x t c t x t =+++ . 2(14)继续上面做法,在最后一次我们得到第1n -个条件.()()(2)'(2)'(2)'1122()()()()0n n n n n x t c t x t c t x t c t ---+++= 1(13)n -和表达式()()()(1)(1)(1)(1)1122()()()n n n n n n x c t x t c t x t c t x t ----=+++ 1(14)n -最后,对t 微分1(14)n - 得到()()()()()()()()()1122(1)'(1)'(1)'1122()()()()()()()n n n n n n n n n n n x c t x t c t x t c t x t x t c t x t c t x t c t ---=+++++++ (14)n现将(12), 1(14) , 2(14), ,(14)n 代入(1),并注意到()1x t ,()2x t , ,()n x t 是方程(2)的解，得到()()(1)'(1)'(1)'1122()()()()()n n n n n x t c t x t c t x t c t f t ---+++= (13)n这样,我们得到了含n 个未知函数'()i c t (1,2,,i n = 的n 个方程1(13),2(13), ,(13)n 它们组成一个线性代数方程组,其系数行列式就是()()()12,,,n W x t x t x t ⎡⎤⎣⎦ ,它不等于零,因而方程的解可以唯一确定,设求得'()()i i c t t ϕ=,1,2,,i n = ,积分得'()()i i i c t t dt ϕγ=+⎰ 1,2,,i n = ,这里i γ是任意常数.将所得'()i c t (1,2,,)i n = 的表达式代入(11)即得方程(1)的解11()()()nni i i i i i x x t x t t dt γϕ===+∑∑⎰.显然,它并且是方程(1)的通解.为了得到方程的一个解,只需给常数i γ(1,2,,)i n = 以确定的值.例如,当取0i γ=(1,2,,)i n = 时,即得解1()()ni i i x x t t dt ϕ==∑⎰.从这里可以看出,如果已知对应的齐次线性微分方程的基本解组,那么非齐次线性微分方程的任一解可由求积得到.因此,对于线性微分方程来说,关键是求出齐次线性微分方程的基本解组.例1 求方程''1cos x x t+=的通解,已知它的对应齐次线性微分方程的基本解组为cos t ,sin t .解 应用常数变易法,设12()cos ()sin x c t t c t t =+为齐次方程的解. 则1()c t ,2()c t 满足下列方程组:''12''12()cos ()sin 01()(sin )()cos cos c t t c t t c t t c t t t ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解之得'1sin ()cos tc t t=-,'2()1c t = 积分得1()ln cos c t t =,2()c t t =所以原方程的通解为cos ln cos sin x t t t t =+参考文献[1] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程第三版[M ],北京:高等教育出版社,2006. [2] 焦宝聪,王在洪,时红延.常微分方程[M ],北京:清华大学出版社,2008.[3] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程第三版[M ],北京:高等教育出版社,2006.。

一．线性微分方程组的一般理论1. 线性微分方程组一般形式为：1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 ,()()()(),n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⋅⋅⎪⎪'=++++⎩（） 记：111212122212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦非齐次线性方程组表示为：()() x A t x f t '=+齐次线性方程组表示为：()x A t x '=2.齐次线性方程组的一般理论(1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯是齐次方程组()x A t x '=的k 个解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++⋯+也是齐次方程组的解，这里12,,,n c c c ⋯是任意常数(2)向量函数线性相关性定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯，如果存在不全为零的常数k c c c ,,,21⋯使得1212()()()0n n c x t c x t c x t ++⋯+≡在],[b a 上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。

第三章 线性微分方程线性微分方程是常微分方程理论的重要组成部分，它在自然科学和工程技术方面有着极其广泛的应用，很多实际问题都可以用线性微分方程来处理.在第一章中，我们学习了一阶线性微分方程的处理方法，本章介绍高阶线性微分方程的概念以及常系数线性微分方程的解法.3.1 线性微分方程的一般理论在第一章，我们介绍了一阶线性微分方程)()(x q y x p y =+'的解法，这里介绍n 阶线性微分方程的概念，以及解的存在唯一性定理.首先来研究下面一个实际的例子.例1 弹簧振动设一质量为m 的物体A 悬挂在一上端固定的弹簧的末端（假设弹簧的质量相对于物体A 的质量可以忽略）试求该物体在外力)(t f 作用下的所满足的微分方程.当物体A 不受外力时，重力与弹簧的拉力平衡时的位置选为坐标轴x 的原点O ，向下的方向取为x 轴的正向.设t 时刻，物体A 的位移为)(t x ，速度为)(t v ，加速度为)(t a ，则22)(,)(dtx d t a dt dx t v ==. 由牛顿第二定律知，ma F =，其中m 是物体A 的质量，a 是加速度，F 是合外力.下面对物体A 所受到的力进行分析，由以下几个部分构成.（1）弹簧的拉力1f ，设弹簧的弹性系数为k ，在t 时刻，物体的位移为)(t x ，依据胡克定律知kx f -=1（2）空气的阻力2f ，当速度不太大时，空气的阻力与物体的速度成正比，设比例常数为)0(>μ，因为阻力的方向与速度的方向相反，所以dtdx v f μμ-=-=2 （3）外力)(t f因此，我们得到合外力)(t f dtdx kx F +--=μ 代入ma F =得物体A 所满足的微分方程为)(22t f kx dt dx dtx d m =++μ （3.1） 那么物体A 的运动规律方程)(t x 就是上述微分方程（3.1）的解，如何解该方程是我们本章学习的重点.方程（3.1）和我们第一章中所学的一阶线性微分方程一样，都是线性微分方程，因为方程（3.1）中的导数的最高阶数为2，所以（3.1）是二阶线性微分方程.一般的n 阶线性微分方程具有如下的形式：)0)((),()()()()(01)1(1)(0≠=+'+++--x a x y x a y x a y x a y x a n n n n ϕ因为0)(0≠x a ，所以上式可化为)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++-- （3.2） 其中)()()();,,2,1(,)()()(00x a x x f n i x a x a x p i i ϕ=== 方程（3.2）的初值条件为)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y （3.3） 方程（3.2）在什么条件下存在满足初值条件（3.3）的解呢？有解的话，其解是否唯一？存在区间又是什么呢？为了解决这些问题，我们先给出一般的n 阶方程),,,,()1()(-'=n n y y y x f y满足初值条件)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y 的解的存在唯一性定理.定理3.1 如果函数),,,,()1(-'n y y y x f 在闭区域1)1(0)1(100001,,,,:---+≤-≤'-'≤-≤-n n n n b y y b y y b y y a x x R上满足（1）),,,,()1(-'n y y y x f 在1+n R 上连续；（2）),,,,()1(-'n y y y x f 在1+n R 上关于变量)1(,,,-'n y y y 满足李普希兹条件，即存在正数N ，使得对于任何一对点1)1(222)1(111),,,,(),,,,,(+--∈''n n n R y y y x y y y x ，总有)(),,,,(),,,,()1(2)1(12121)1(222)1(111-----++'-'+-≤'-'n n n n y y y y y y N y y y x f y y y x f 则初值问题⎩⎨⎧='='='=---)1(00)1(0000)1()()(,,)(,)(),,,,(n n n n y x y y x y y x y y y y x f y 在0000h x x h x +≤≤-上存在唯一解)(x y ϕ=. 这里),,,,(max },,,,,min{)1(),,,,(11001)1(-∈'-'==+-n R y y y x n y y y x f M Mb M b M b a h n n . 定理3.1的证明和第二章中的解的存在唯一性定理的证明是相仿的，读者可以模仿定理2.1的证明，完成定理3.1的证明.n 阶线性微分方程（3.2）只是一般的n 解微分方程的一种特殊形式，和一阶线性微分方程类似，有如下的解的存在唯一性定理.定理3.2 如果方程（3.2）的系数),,2,1)((n i x p i =以及右端函数)(x f 在区间],[b a 上有定义而且都连续，则初值问题⎩⎨⎧='='==+'+++----)1(00)1(00001)1(1)()(,,)(,)()()()()(n n n n n n y x yy x y y x y x f y x p y x p y x p y 在],[b a 上存在唯一解)(x y ϕ=.该定理的证明可以利用定理3.1，只要),,2,1)((n i x p i =以及)(x f 在区间],[b a 上连续，则该初值问题就满足了定理3.1的两个条件，从而定理3.2是成立的.如无特别声明，在本章的讨论中，总假定方程（3.2）的系数),,2,1)((n i x p i =以及右端函数)(x f 在区间],[b a 上有定义而且都连续，从而，方程（3.2）满足初值条件（3.3）的解在闭区间],[b a 上存在且唯一.特别地，如果0)(=x f ，则方程（3.2）变为0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n （3.4）方程（3.4）称为n 阶线性齐次微分方程；如果0)(≠x f ，则称方程（3.2）为n 阶线性非齐次微分方程.这时，称方程（3.4）为方程（3.2）所对应的n 阶线性齐次微分方程.3.2 n 阶线性齐次微分方程的一般理论方程（3.4）称为n 阶线性齐次微分方程，对于这类方程应该如何处理呢？我们先研究方程（3.4）的解的性质（1）如果1y 是方程（3.4）的解，则对任意常数C ，1Cy 也是方程（3.4）的解.证明 因为1y 是方程（3.4）的解，所以0)()()(111)1(11)(1=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n 从而有))(())(())(()(111)1(11)(1Cy x p Cy x p Cy x p Cy n n n n +'+++--00))()()((111)1(11)(1=⨯=+'+++=--C y x p y x p y x p y C n n n n 因此，1Cy 也是方程（3.4）的解.（2）如果21,y y 是方程（3.4）的解，则21y y +也是方程（3.4）的解.证明 因为21,y y 是方程（3.4）的解，所以0)()()(111)1(11)(1=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n 0)()()(221)1(21)(2=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n 从而有))(())(())(()(21211)1(211)(21y y x p y y x p y y x p y y n n n n ++'++++++--))(())((])())[(()()(21211)1(2)1(11)(2)(1y y x p y y x p y y x p y y n n n n n n ++'+'+++++=--- ))()()(())()()((221)1(21)(2111)1(11)(1y x p y x p y x p y y x p y x p y x p y n n n n n n n n +'+++++'+++=---- 000=+=因此，21y y +也是方程（3.4）的解.推论 如果n y y y ,,,21 是方程（3.4）的解，则对任意n 个常数n C C C ,,,21 ，线性组合n n y C y C y C +++ 2211也是方程（3.4）的解.该推论可由性质（1）和性质（2）直接推出.并且根据性质（1）和性质（2），我们可以得出，n 阶线性齐次微分方程（3.4）的解构成一个线性空间，称为解的线性空间.例1 易于验证函数x x e x y e x y -==)(,)(21是方程0=-''y y的解，因此，函数x x e C e C x y -+=21)(也是原方程的解.反过来，方程0=-''y y 的通解是不是x x e C e C x y -+=21)(呢？同样地，给出了方程（3.4）的n 个解)(,),(),(21x y x y x y n 后，含有n 个任意常数n C C C ,,,21 的函数)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++=是否就是线性齐次微分方程的通解呢？为了解决这个问题，我们首先给出函数组的线性相关和线性无关的概念.定义3.1 函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义，如果其中的某个函数可由其余的1-n 个函数线性表出，则称函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上是线性相关的.如果任何一个函数都不能由其余的1-n 个函数线性表出，则称函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上是线性无关的.定理3.3（判定定理）函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义，如果存在一组不全为零的常数n k k k ,,,21 ，使得0)()()(2211=+++x y k x y k x y k n n则函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性相关.如果只有n k k k ,,,21 全为零时，0)()()(2211=+++x y k x y k x y k n n 才成立，则称函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性无关.证明 如果存在一组不全为零的常数n k k k ,,,21 ，使得0)()()(2211=+++x y k x y k x y k n n不妨假定01≠k ，则)()()(12121x y k k x y k k x y n n ---= 即)(1x y 可由)(,),(2x y x y n 线性表出，因此函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性相关.由线性相关与线性无关的定义，我们可以很容易的得出下面的结论：（1）在函数组)(,),(),(21x y x y x y n 中，如果含有一个零函数，比如0)(=x y i ，则函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关.事实上，)(x y i 可由其余1-n 个函数线性表出，即)(0)(0)(0)(0)(00)(1121x y x y x y x y x y x y n i i i ⨯++⨯+⨯++⨯+⨯=+-（2）如果函数组只含有两个函数)(),(21x y x y ，则它们线性相关等价于它们之比)()(21x y x y 为常数. 证明 如果)(),(21x y x y 线性相关，则其中的一个可以由另一个线性表出，不妨设)()(21x y x y →，则存在常数k ，使得)()(21x ky x y =，所以k x y x y =)()(21为常数. 反过来，如果)()(21x y x y 为常数，设k x y x y =)()(21，则)()(21x ky x y =， 即)()(21x y x y →，所以)(),(21x y x y 线性相关.例2 函数组x x e x y e x y -==)(,)(21在任意区间是线性无关的.证明 因为x e x y x y 221)()(=不是常数，所以x x e x y e x y -==)(,)(21线性无关. 例3 函数组x x y x x y x x y 23221sin )(,cos )(,2cos )(===在任意区间上是线性相关的.证明 因为x x x 22sin cos 2cos -=，即)()()(321x y x y x y -=，所以函数组 x x y x x y x x y 23221sin )(,cos )(,2cos )(===线性相关.对于一般的函数组，直接用线性相关和线性无关的定义，或者用定理3.3去判定是非常困难的.比如函数组1)(,cos )(,sin )(321===x y x x y x x y 是线性相关的，还是线性无关的呢？为了解决这个问题，我们下面给出朗斯基（Wronski ）行列式的定义.定义3.2 设函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义，而且都存在1-n 阶导数，我们称行列式)()()()()()()()()()()1()1(2)1(12121x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W n n n n n n ---'''=为函数组)(,),(),(21x y x y x y n 的朗斯基行列式.函数组的朗斯基行列式有如下的性质：定理3.4 函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义而且线性相关，又对每个),,2,1)((n k x y k =存在1-n 阶导数，则它们的朗斯基行列式恒等于零.证明 因为函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关，所以其中的一个函数可由其余1-n 个函数线性表出，不妨设)(x y i 可由其余1-n 个函数线性表出，即存在1-n 个常数n i i k k k k k ,,,,,,1121 +-，使得)()()()()()(11112211x y k x y k x y k x y k x y k x y n n i i i i i ++++++=++--而且有)()()()()()(11112211x y k x y k x y k x y k x y k x y n n i i i i i '++'+'++'+'='++-- …………………………………………………………………………………………)()()()()()()1()1(11)1(11)1(22)1(11)1(x y k x y k x y k x y k x y k x y n nn n i i n i i n n n i --++------++++++= 则在朗斯基行列式)()()()()()()()()()()()()()1()1()1(2)1(12121x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W n n n n n i n n i i ----''''=的计算中，第一列乘以1k -，第二列乘以2k -，…，第1-i 列乘以1--i k ，第1+i 列乘以1+-i k ，…，第n 列乘以n k -后，全加至第i 列，则第i 列中的每个元素全为零，所以0)()()(0)()(0)()(0)()()()1()1(2)1(12121='''=---x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W n nn n n n推论1 函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义，而且都存在1-n 阶导数，如果存在某一点I x ∈0，使得0)(0≠x W ，则函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性无关.该推论是定理3.4的逆否命题，所以显然是成立的.例4 函数组1)(,cos )(,sin )(321===x y x x y x x y 在任意区间上是线性无关的.证明 函数组1)(,cos )(,sin )(321===x y x x y x x y 的朗斯基行列式为01cos sin sin cos 0cos sin 0sin cos 1cos sin )(≠-=---=---=x x x x x x x x x x x W 所以函数组1)(,cos )(,sin )(321===x y x x y x x y 是线性无关的.例5 函数组x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121 （其中n λλλ ,,21两两互异）在任意区间上是线性无关的.证明 函数组x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121 的朗斯基行列式为1121121)(1121121111)(21212121---+++---==nnn n nx x nn x n x n x n x x x x xn n n n e e e e e e e e e e x W λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ∏≤<≤+++-=n j i i j xn e 1)()(21λλλλλ因为n λλλ ,,21两两互异，所以0)()(1)(21≠-=∏≤<≤+++n j i i j xn e x W λλλλλ ，因此，函数组x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121 线性无关.由定理3.4知，函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关，则它们的朗斯基行列式恒为零；反过来，如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 的朗斯基行列式恒为零，能不能得出函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关呢？即朗斯基行列式恒为零是不是线性相关的充分必要条件呢？下面的例子给出了答案.例6 函数组,0,0)(21<≥⎩⎨⎧=x x x x y 0,0,0)(,22<≥⎩⎨⎧=x x x x y 显然是线性无关的，因为)()(21x y x y 不是常数.但是，它们的朗斯基行列式为 当0≥x 时，0020)(2==x x x W ，当0<x 时，0200)(2==xx x W . 即，对所有的R x ∈，朗斯基行列式恒为零.通过这个例子，我们可以看出即使函数组的朗斯基行列式恒为零，该函数组也有可能是线性无关的，所以函数组的朗斯基行列式恒为零是判定函数组线性相关的必要条件，而不是充分条件.我们只能用朗斯基行列式在某点处不为零，判定该函数组线性无关.但是，如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n的n 个解，这时它们的朗斯基行列式恒为零是判定该函数组线性相关的充分必要条件.这可由下面的定理得到.定理3.5 如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n定义在区间),(b a 上的n 个线性无关的解，则它们的朗斯基行列式0)(≠x W在区间),(b a 上恒成立.证明 假设0)(≠x W 在区间),(b a 上不恒成立，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x W .构造n C C C ,,,21 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++='++'+'=+++---0)()()(0)()()(0)()()(0)1(0)1(220)1(1100220110022011x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y C n n n n n n n n n因为方程组的系数行列式0)(0=x W ，所以方程组有非零解，设为)0()0(2)0(1,,,n C C C （)0()0(2)0(1,,,nC C C 不全为零） 以)0()0(2)0(1,,,nC C C 为系数，构造)(,),(),(21x y x y x y n 的线性组合)()()()()0(2)0(21)0(1x y C x y C x y C x y n n +++=根据齐次线性微分方程解的性质知，它是方程（3.4）的解.而且满足初始条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=='++'+'='=+++=----0)()()()(0)()()()(0)()()()(0)1()0(0)1(2)0(20)1(1)0(10)1(0)0(02)0(201)0(100)0(02)0(201)0(10x y C x y C x y C x yx y C x y C x y C x y x y C x y C x y C x y n n n n n n n n n n 而0)(≡x y 也是方程（3.4）的解，也满足0)(,,0)(,0)(0)1(00=='=-x y x y x y n .因为初值问题⎩⎨⎧=='==+'+++---0)(,,0)(,0)(0)()()(0)1(001)1(1)(x yx y x y y x p y x p y x p y n n n n n 的解是唯一的，所以0)()()()()0(2)0(21)0(1≡+++=x y C x y C x y C x y n n又)0()0(2)0(1,,,nC C C 不全为零，由定理3.3知，函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是线性相关，这与函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性无关矛盾. 所以，假设不成立，因此，0)(≠x W 在区间),(b a 上恒成立. 推论2如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n定义在区间),(b a 上的n 个解，如果存在),(0b a x ∈，使得它们的朗斯基行列式0)(0=x W则该解组在),(b a 上线性相关.该推论是定理3.5的逆否命题，所以显然是成立的. 推论3方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n的n 个解)(,),(),(21x y x y x y n 在其定义区间),(b a 上线性无关的充要条件是，存在),(0b a x ∈，使得它们的朗斯基行列式0)(0≠x W . 这样，我们就可以得出下面的结论：设函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n在区间),(b a 上的n 个解，则)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关⇔)),((0)(0)(00b a x x W x W ∈=⇔≡ )(,),(),(21x y x y x y n 线性无关⇔)),((0)(0)(00b a x x W x W ∈≠⇔≠.这样，我们判定方程的n 个解是线性相关还是线性无关就可以看),,(0b a x ∈∀ )(0x W 是否为零.解决了线性相关与线性无关的判定问题后，我们继续解决线性齐次微分方程的通解问题，首先给出基本解组的概念.定义3.3 方程（3.4）的定义在区间),(b a 上的n 个线性无关的解，称为方程（3.4）的基本解组.例7 在例1中，我们验证了函数x x e x y e x y -==)(,)(21是方程0=-''y y的解，而且x x e x y e x y -==)(,)(21是线性无关的两个解，即)(),(21x y x y 是方程0=-''y y的基本解组，那么x x e C e C x y -+=21)(是否为方程的通解呢？我们需要证明，方程的任一解是否可由基本解组线性表出？定理 3.6 如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程（3.4）的一个基本解组，则对于（3.4）的任一解)(x y ，均可由函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性表出，即，存在一组数)0()0(2)0(1,,,nC C C ，使得 )()()()()0(2)0(21)0(1x y C x y C x y C x y n n +++= .证明 设)(x y 是方程（3.4）的任一解，并且满足初始条件)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y 构造n C C C ,,,21 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++'='++'+'=+++----)1(00)1(0)1(220)1(110002201100022011)()()()()()()()()(n n n n n n n n n n y x y C x y C x y C y x y C x y C x y C y x y C x y C x y C因为)(,),(),(21x y x y x y n 是方程（3.4）的基本解组，即)(,),(),(21x y x y x y n 是线性无关的，所以它们的朗斯基行列式在0x x =的值不为零，即方程组的系数行列式0)(0≠x W ，因此方程组存在唯一的解，设其解为)0()0(2)0(1,,,n C C C ，这样，我们可以用)0()0(2)0(1,,,nC C C 构造函数 )()()()()0(2)0(21)0(1~x y C x y C x y C x y n n +++=根据线性齐次微分方程解的性质知，)(~x y 是方程（3.4）的解，而且)(~x y 满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++='='++'+'='=+++=-----)1(00)1()0(0)1(2)0(20)1(1)0(10~)1(00)0(02)0(201)0(10~00)0(02)0(201)0(10~)()()()()()()()()()()()(n n n n n n n n n n n y x y C x y C x y C x yy x y C x y C x y C x y y x y C x y C x y C x y 又)(x y 是方程（3.4）的任一解，并且满足初始条件)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y 因为初值问题⎩⎨⎧='='==+'+++----)1(00)1(00001)1(1)()(,,)(,)(0)()()(n n n n n n y x y y x y y x y y x p y x p y x p y 的解是唯一的，所以)()()()()()0(2)0(21)0(1~x y C x y C x y C x y x y n n +++==即，)(x y 可由函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性表出. 由定理3.6，可以得出下面的基本定理.定理3.7（基本定理）如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程（3.4）的一个基本解组，则)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++=是方程（3.4）的通解，其中n C C C ,,,21 是n 个任意常数.证明 首先由线性齐次微分方程解的性质知，对任意的n C C C ,,,21)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++=是方程（3.4）的解.其次，由定理3.6知，方程（3.4）的任一解均可由)(,),(),(21x y x y x y n 线性表出，即，任一解都可以表示成)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++= 的形式. 因此，)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++= 是方程（3.4）的通解. 由基本定理可知，方程（3.4）的求解，关键是找到方程（3.4）的一个基本解组，即，方程（3.4）的n 个线性无关的解)(,),(),(21x y x y x y n ，这样就可以很容易的写出方程（3.4）的通解：)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++= .例8 求方程0=-''y y的通解.解 我们验证了函数x x e x y e x y -==)(,)(21是方程0=-''y y的两个线性无关的两个解，因此方程的通解为：x x e C e C x y -+=21)(.根据基本定理，我们可以得到下面的推论.推论4 n 阶线性齐次微分方程（3.4）的线性无关解的个数不超过n 个. 证明 设)(),(,),(),(121x y x y x y x y n n + 是方程（3.4）的任意1+n 个解.如果前n个解)(,),(),(21x y x y x y n 是线性相关的，则上述1+n 个解是线性相关的. 如果前n 个解)(,),(),(21x y x y x y n 是线性无关的，由定理3.6知，)(,),(),()(211x y x y x y x y n n →+所以)(),(,),(),(121x y x y x y x y n n + 是线性相关的. 因此，方程（3.4）的线性无关解的个数不超过n 个.由推论4知，n 阶线性齐次微分方程（3.4）的线性无关解的个数不超过n 个，那么方程（3.4）的线性无关解的个数是不是有且只有n 个呢？其基本解组存在吗？下面的定理可以回答这个问题.定理3.8 方程（3.4）总存在定义在),(b a 上的基本解组，即，总存在n 个线性无关的解.证明 在),(b a 上任取一点0x x =，由解的存在唯一性定理，方程（3.4）在),(b a 上必存在n 个解)(,),(),(),(321x y x y x y x y n ，它们分别满足下列初始条件：0)(,,0)(,0)(,1)(0)1(1010101==''='=-x y x y x y x y n 0)(,,0)(,1)(,0)(0)1(2020202==''='=-x y x y x y x y n 0)(,,1)(,0)(,0)(0)1(3030303==''='=-x y x y x y x y n………………………………………………………1)(,,0)(,0)(,0)(0)1(000==''='=-x y x y x y x y n n n n n由于这n 个解在0x x =点的朗斯基行列式的值011000010100001)(0≠==x W所以)(,),(),(),(321x y x y x y x y n 是线性无关的解，从而它们是方程（3.4）定义在),(b a 上的基本解组.由定理3.8知，线性齐次微分方程（3.4）的基本解组一定存在，且含有n 个线性无关的解.而且方程（3.4）的解与它的系数之间满足如下的刘维尔（Liouville ）公式.定理3.9 设)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n的任意n 个解，)(x W 是这n 个解的朗斯基行列式，则对),(b a 上的任一点0x x =，总有⎰=-xx dtt p ex W x W 01)(0)()(.在给出定理3.9的证明之前，先给出行列式函数求导法则 设n 阶行列式函数为)()()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x D nn n n n n n =则+'''+'''=)()()()()()()()()()()()()()()()()()())((212222111211212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a dxx D d nn n n n n nn n n n n n)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n nn n '''+证明 当2=n 时，这时)()()()()()()()()(21122211222112112x a x a x a x a x a x a x a x a x D -===dxx D d ))((2)]()()()([)]()()()([2112221121122211x a x a x a x a x a x a x a x a '-'+'-' )()()()()()()()(2221121122211211x a x a x a x a x a x a x a x a ''+''= 当3=n 时，)()()()()()()()()()()()()()()()(3231222113333123211233322322113x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x D +-==dx x D d ))((3)()()()()()()()()()()()()()()(323122211333312321123332232211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a '+'-' ))()()()()(())()()()()(())()()()()((323122211333312321123332232211'+'-'+x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(333231232221131211333231232221131211333231232221131211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a '''+'''+'''= 假设对1-n 阶方阵成立，则对于n 的情形有：)()()()()()()(1112121111x A x a x A x a x A x a x D n n n +++==dxx D d n ))(()]()()()()()([1112121111x A x a x A x a x A x a n n '++'+' )()([1111x A x a '+ )]()()()(111212x A x a x A x a n n '++'+ )()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(212222111211212222111211212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a nnn nn n nn n n n n nn n n n n '''++'''+'''=下面，我们给出定理3.9的证明.证明 因为)()()()()()()()()()()1()1(2)1(12121x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W n n n n n n ---'''=对朗斯基行列式求导得：)()()()()()()()()()()()()()()(2)(1)2()2(2)2(12121x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y dxx dW n n n n n n n n n n---'''=分别用)(,),(),(21x p x p x p n n -乘以上述行列式的第一行，第二行，…，第1-n 行后，全部加至第n 行，这时第n 行元素为：),,2,1(,)()()(1)2(2)(n i y x p y x p y x p y i n i n n i n i =+'+++--因为)(,),(),(21x y x y x y n 均是方程（3.4）的解，即),,2,1(,0)()()()(1)2(2)1(1)(n i y x p y x p y x p y x p y i n i n n i n i n i ==+'++++--- 所以),,2,1(,)()()()()1(11)2(2)(n i y x p y x p y x p y x p y n i i n i n n i n i =-=+'+++--- 所以第n 行元素可以换为：),,2,1(,)()1(1n i y x p n i =--因此)()()()()()()()()()()()()()()()()()(1)1(1)1(21)1(11)2()2(2)2(12121x W x p x y x p x y x p x y x p x y x y x y x y x y x y x y x y x y dxx dW n n n n n n n n n n -=---'''=------即)()()(1x W x p dxx dW -= 即dx x p x W x dW )()()(1-= 从0x 到x 积分得：⎰=-xx dtt p ex W x W 01)(0)()(.在前面我们已经得出：如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n在区间),(b a 上的n 个解，则)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关⇔)),((0)(0)(00b a x x W x W ∈=⇔≡ )(,),(),(21x y x y x y n 线性无关⇔)),((0)(0)(00b a x x W x W ∈≠⇔≠. 现在刘维尔公式直接给出了n 个解)(,),(),(21x y x y x y n 的朗斯基行列式的值与它在某一点0x x =处的值之间的关系：⎰=-xx dtt p ex W x W 01)(0)()(.下面给出刘维尔公式的一个简单应用：对于二阶线性齐次方程0)()(=+'+''y x q y x p y如果已知它的一个非零解)(1x y ，则由刘维尔公式可以求得与)(1x y 线性无关的另一个解，从而可求得方程的通解.设)(x y 是二阶线性齐次方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的与)(1x y 线性无关的解，则由刘维尔公式得：)0()()(11≠⎰=''=-C Ce y y y y x W dxx p即⎰='-'-dxx p Ce y y y y )(11两边同时乘以211y 得： ⎰='-'-dx x p ey C y y y y y )(212111 积分得：⎰⎰⎰=⎰=--dx e y C dx e y C y y dxx p dx x p )(21)(2111 即⎰⎰=-dx e y Cy y dxx p )(2111 因此方程的通解为：⎰⎰+=-dx e y Cy y C x y dxx p )(2111*1)(. 例9 已知方程011)ln 1(2=-'+''-y xy x y x的一个解x y ln 1=，试求其通解.解 这里)1(ln 1)(--=x x x p ，由公式可得通解为：]ln 1[ln ]1[)1(ln 1ln 12*)1(ln 121*1⎰⎰⎰+=⎰+=---dx e xC C x dx e y C C y y x d x dx x x)]ln 1ln 1([ln ]ln 1ln [ln 2*2*⎰⎰⎰-+=-+=dx x dx x C C x dx xx C C x Cx x C xCx C x dx x x xd x x C C x +=+=--+=⎰⎰ln )ln (ln )]ln 1ln 1ln ([ln **2*. 上述例子表明，一个二阶的线性齐次微分方程，如果能得到其一个非零解，利用刘维尔公式可求得该线性齐次微分方程的通解.我们也可以采用换元法，将二阶线性齐次微分方程降阶为一阶微分方程，从而求得该方程的通解，下面介绍一下换元法.对于二阶线性齐次方程0)()(=+'+''y x q y x p y如果已知它的一个非零解)(1x y ，下面做变量代换，令z y y 1=则z y z y z y y z y z y y ''+''+''='''+'='111112,，代入原方程得： 0)())((2111111=+'+'+''+''+''z y x q z y z y x p z y z y z y 即0))(2())()((111111=''+'+'++'+''z y z y x p y z y x q y x p y 因为)(1x y 是原方程的解，所以0)()(111=+'+''y x q y x p y ，从而上式可化为： 0))(2(111=''+'+'z y z y x p y 令u z ='，则u z '=''，代入得：0))(2(111='++'u y u y x p y 降为了一阶微分方程，而且是变量可分离的方程，整理得：dx y y x p y u du111)(2+'-=102积分得：⎰=+'-dxy y x p y Ceu 111)(2.从而得到⎰⎰⎰=⎰=+'-+'-dx Cey y dx Cez dxy y x p y dxy y x p y 111111)(21)(2,.因此方程的通解为：⎰⎰+=+'-dx eCy y C x y dx y y x p y 111)(211*)(.例10 求方程066323=-'+''-'''y y x y x y x的通解，已知它的两个特解221,x y x y ==.解 令xz y =，则z z x y z z x y z z x y ''+'''=''''+''=''+'='3,2, 代入066323=-'+''-'''y y x y x y x 得：06)(6)2(3)3(23=-+'+'+''-''+'''xz z z x x z z x x z z x x即04='''z x ，所以,,,12321x z x z z ===因此33x y =故原方程的通解为：33221x C x C x C y ++=.习 题 3.21.试讨论下列各函数组在它们的定义区间上是线性相关的还是线性无关的？（1）;sin ,cos ,2sin t t t （2）;tan ,cos ,sin x x x （3）;42,2,322+++-x x x x x （4）.,,2t t t e t te e2.设在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(x p 在某区间I 上连续且恒不为零，103试证它的任意两个线性无关的解的朗斯基行列式是区间I 上的严格单调函数.3.试证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数.4.已知方程022)1(2=+'-''-y y x y x 的一个解x y =1，试求其通解.5.已知方程0)1(=+'-''-y y x y x 的一个解x y =1，试求其通解.6.在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，当系数满足什么条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.7.设)(1x y 是n 阶线性齐次方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x a y x a y x a y n n n n的一个非零解.试证明：利用线性变换z x y y )(1=可将已知方程化为1-n 阶的齐次方程.3.3 n 阶线性非齐次微分方程的一般理论对于线性非齐次微分方程)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++-- （3.2）而言，我们首先研究其解与对应的线性齐次微分方程解之间的关系.（1）如果)(x y 是线性齐次微分方程（3.4）的解，)(*x y 是线性非齐次微分方程（3.2）的解，则)()(*x y x y +是线性非齐次微分方程（3.2）的解.证明 因为)(x y 是线性齐次微分方程（3.4）的解， 所以0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n因为)(*x y 是线性非齐次微分方程（3.2）的解， 所以)()())(())(()(**1)1(*1)(*x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--因此))(())(())(()(**1)1(*1)(*y y x p y y x p y y x p y y n n n n ++'++++++--104))(())()(())()(()(**1)1(*)1(1)(*)(y y x p y y x p y y x p y y n n n n n n ++'+'+++++=--- )1(*1)(*1)1(1)())(()(())()()((---+++'+++=n n n n n n y x p y y x p y x p y x p y )()(0))())((**1x f x f y x p y x p n n =+=+'++- . 即，)()(*x y x y +是线性非齐次微分方程（3.2）的解.（2）如果)(),(*2*1x y x y 是线性非齐次微分方程（3.2）的解，则)()(*2*1x y x y -是线性齐次微分方程（3.4）的解.证明 因为)(),(*2*1x y x y 是线性非齐次微分方程（3.2）的解，所以)()())(())(()(*1*11)1(*11)(*1x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++-- )()())(())(()(*2*21)1(*21)(*2x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--因此))(())(())(()(*2*1*2*11)1(*2*11)(*2*1y y x p y y x p y y x p y y n n n n -+'-++-+---))(())())((())())((()()(*2*1*2*11)1(*2)1(*11)(*2)(*1y y x p y y x p y y x p y y n n n n n n -+'-'++-+-=--- )1(*21)(*2*1*11)1(*11)(*1))(()(())())(())(()((---+-+'+++=n n n n n n y x p y y x p y x p y x p y 0)()())())((*2*21=-=+'++-x f x f y x p y x p n n . 即，)()(*2*1x y x y -是线性齐次微分方程（3.4）的解.根据上述两条性质，我们可以得到下面的定理. 定理3.10 n 阶线性非齐次微分方程)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--的通解等于它对应的齐次方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n的通解与它本身的一个特解之和.即)()()()()(*2211x y x y C x y C x y C x y n n ++++=证明 因为)()()(2211x y C x y C x y C n n +++ 是齐次方程（3.4）的解，)(*x y 是105非齐次方程（3.2）的解，由性质（1）知，)()()()()(*2211x y x y C x y C x y C x y n n ++++=是非齐次方程（3.2）的解.下面证明非齐次方程（3.2）的任一解)(x y 都可以表示成)()()()(*2211x y x y C x y C x y C n n ++++事实上，因为)(x y 和)(*x y 都是非齐次方程（3.2）的解，由性质（2）知，)()(*x y x y -是齐次方程（3.4）的解，所以可表示成方程（3.4）的通解形式，即)()()()()(2211*x y C x y C x y C x y x y n n +++=-因此)()()()()(*2211x y x y C x y C x y C x y n n ++++= .故非齐次方程（3.2）的通解可以表示为齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和.由定理3.10知，求解一个线性非齐次方程（3.2）的关键是先找到对应的线性齐次方程（3.4）的通解，再找到一个非齐次方程的特解就可以了，这时有非齐通解=齐通解+非齐特解.假定我们已经求得了线性齐次微分方程（3.4）的齐通解)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++=这时，可以采用常数变易法求非齐次方程的特解)(*x y .下面来看一下n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法.已知)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++= 是齐次方程（3.4）的通解，设)()()()()()()(2211*x y x C x y x C x y x C x y n n +++=是线性非齐次方程（3.2）的一个特解，为了将)(*x y 代入方程（3.2），我们需要首先计算)(*x y 的一阶，二阶，…，n 阶导数.则)()()()([)]()()()()()([))((22112211*x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y n n '+'+'++'+'='106)]()(x y x C nn '++ 在求二阶导数之前，我们先研究一下特解)(*x y ，要想得到)(*x y ，必须求得)(,),(),(21x C x C x C n ，但是代入方程（3.2）只能得到一个等式，所以我们必须构造)(,),(),(21x C x C x C n 满足的另外1-n 个等式，因此在))((*'x y 中，令0)()()()()()(2211='++'+'x y x C x y x C x y x C n n 则)()()()()()())((2211*x y x C x y x C x y x C x y n n '++'+'=' 这时，再求))((*''x y ，有)()()()([)]()()()()()([))((22112211*x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y n n ''+''+''++''+''='' )]()(x y x C n n ''++ 再令0)()()()()()(2211=''++''+''x y x C x y x C x y x C n n 则)()()()()()())((2211*x y x C x y x C x y x C x y n n ''++''+''='' 序行此法，可得)()([)]()()()()()([))(()1(11)2()2(22)2(11)1(*x y x C x y x C x y x C x y x C x y n n n n n n n -----+'++'+'= )]()()()()1()1(22x y x C x y x C n n n n --+++令0)()()()()()()2()2(22)2(11='++'+'---x y x C x y x C x y x C n n n n n则)()()()()()())(()1()1(22)1(11)1(*x y x C x y x C x y x C x y n n n n n n ----++++=这时，再求)(*))((n x y ，有)()([)]()()()()()([))(()(11)1()1(22)1(11)(*x y x C x y x C x y x C x y x C x y n n n n n n n +'++'+'=--- )]()()()()()(22x y x C x y x C n n n n +++107最后将求得的)(*x y 的一阶，二阶，…，n 阶导数代入方程（3.2）得：)()()()([)]()()()()()({[)(22)(11)1()1(22)1(11x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C n n n n n n n ++'++'+'--- )]()()()()()()[()]}()()1()1(22)1(111)(x y x C x y x C x y x C x p x y x C n n n n n n n n ---++++++)()()[()]()()()()()()[(1122111x y x C x p x y x C x y x C x y x C x p n n n n +'++'+'++- )()]()()()(22x f x y x C x y x C n n =+++ 即)]()()()()()()()[(111)1(11)(11x y x p x y x p x y x p x y x C n n n n +'+++-- ++'++++--)]()()()()()()()[(221)1(21)(22x y x p x y x p x y x p x y x C n n n n )]()()()()()()()[(1)1(1)(x y x p x y x p x y x p x y x C n n n n n n n n n +'++++-- )()]()()()()()([)1()1(22)1(11x f x y x C x y x C x y x C n n n n n ='++'+'+---因为),,2,1(,0)()()()()()()(1)1(1)(n i x y x p x y x p x y x p x y i n i n n i n i ==+'+++-- 所以)()()()()()()()1()1(22)1(11x f x y x C x y x C x y x C n n n n n ='++'+'---这样，就得到了)(,),(),(21x C x C x C n ''' 的n 个方程 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='++'+'='++'+'=''++''+''='++'+'------)()()()()()()(0)()()()()()(0)()()()()()(0)()()()()()()1()1(22)1(11)2()2(22)2(1122112211x f x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C n n n n n n nn n n n n n n 该方程组的系数行列式为)(,),(),(21x y x y x y n 的朗斯基行列式)(x W ，因为这n 个解是线性无关的，所以0)(≠x W ，因此，该方程组存在唯一解，这样就可以求得)(,),(),(21x C x C x C n ''' ，再逐个积分，求得)(,),(),(21x C x C x C n ，从而得到特解)(*x y .例1 求方程10812-=-''x xe e y y的通解.解 齐次方程0=-''y y的通解为：x x e C e C y -+=21.设xxe x C e x C x y -+=)()()(21*为方程12-=-''x xe e y y 的一个特解，则⎪⎩⎪⎨⎧-='-'='+'--12)()(0)()(2121x x xx x x e e e x C e x C e x C e x C ， 解方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-='-='x xx e e x C e x C 1)(11)(221，所以x e de ee de e e dx e x C xx x x x x x x --=--=-=-=⎰⎰⎰1ln )111()1(111)(1 )1(ln )111(11)(22xx x x x x x x x e e de e de e e dx e e x C +--=+--=-=-=⎰⎰⎰ 因此非齐特解为)11ln (1ln )(*+----=-x x x x x e e xe e e x y故方程的通解为)11ln (1ln )(21+----++=--x x x x x x x e e xe e e e C e C x y .例2 求方程)(2t f x x =+∙∙ω的通解. 解 对应的齐次方程020=+∙∙x x ω的通解为t C t C t x 0201sin cos )(ωω+=.。

线性微分方程组
线性微分方程组是高中数学的一个重要内容，也是高考必考内容之一。

因此我们有必要对其进行深入理解和掌握。

方程组通常可以表示为：
(x-a)+(y-b)=0
(x-a)=(y-b)
(x-a)(y-b)两边都乘以同一个不为0的实数的积分子或者分母
可以等于0。

所以称它为方程组。

一般来说方程组有两种情况：(1)有且只有一个方程；(2)有多个方程。

，一个重要的类型是线性微分方程组。

在线性微分方程组中，有两个或两个以上的线性微分方程，这里将方程的解称为“根”，即线性微分方程的根(或线性方程的根)的集合就是方程组。

这些根之间是相关联的，具有相同的增减性和线性特征。

通常有下列几种情况：(1)一个方程无解。

( 2)一个方程有唯一解。

(3)存在无穷多个解。

4.1基本形式:((x-a)+(y-b))=0(x-a)=(y-b)(x-a)(y-b)4.2解法：利用定义、建立坐标系，根据变量的取值范围选择恰当的解法，一般求出各方程的一个解即可。

如：例1：设二次函数： ax2+bx+c=0解析：利用一次、二次函数的解析式可求得： a=4， b=6， c=1，故当c=1时， x=0，当c=-4时， x=4，当c=-6时， x=-12，解方程可得： 0=4， 1=-4， -12=-8，解得： x=4。

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