2017年河北省八所重点中学高考一模数学

河北省保定市2017年高考一模文科数学试卷答 案1~5．BAADC 6~10．BBBAD 11．C 12．413．1414．8π 15．(,1)-∞16．（12分）解：（1）由题意,2π()cos 2cos 2cos212sin(2)16f x x x x x x x =+=++=++（2）∵π()2sin(2)126f A A =++=,∴π1sin(2)62A +=,∵(0,π)A ∈,∴ππ13π2(,)666A +∈,∴π3A =,∵ABC △,∴112c ⨯⨯=, ∴2c =,∴a 12分） 17．（12分）证明：（1）连接AC BD 、,交于点O ,连结SO ,∵四棱锥S ABCD -的底面边长为1的正方形,∴AC BD ⊥,且O 是BD 中点,∴SO AC ⊥, ∵BDSO O =,∴AC SBD ⊥平面,∵SD SBD ⊂平面,∴AC SD ⊥．（2）由（1）知OB OC OS 、、两两垂直,建立空间直角坐标系O xyz -,则(22S D ,(0,A C =, 设(,,),P a b c SP SD λ=,则(,,(,0,)2a b c =,解得,0,a b c ===,∴()P =, 2622662(,0,),(,,),(SD PA PC λλλ=--=--=, ∵SD PAC ⊥平面,∴16602441660244SD PASD PC λλλλ⎧=-+-=⎪⎪⎨⎪=-+-=⎪⎩,解得34λ=, ∴P 到平面ACD的距离34d =, ∴三棱锥P ACD -的体积11111332ACD V d S =⨯⨯=⨯⨯=△．18．（12分）解：（1）由表中数据计算2K 的观测值：2250(221288) 5.556 5.024********K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．所以根据统计有97.5%的把握认为加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关； （2）设小明与小刚解答这道题所用的时间分别为x y 、分钟,则基本事件所满足的条件是5768x y⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域；设事件A 为“小刚比小明先解答完试题”,则满足的区域为x y >；由几何概型的概率,计算11112()228P A ⨯⨯==⨯,∴小刚比小明先正确解答完的概率是18；（3）根据题意,X 的所有可能取值为012，，,则21166222881512(0),(1),2828C C C P X P X C C ====== 22281(2)28C P X C ===；∴X 的分布列为：X 的数学期望为()E X 所以151211()0122828282E X =⨯+⨯+⨯=．19．（12分）解：（1）()e 2x f x '=-, 令()0f x '＞,解得：ln 2x ＞, 令()0f x '＜,解得：ln 2x ＜,故()f x 在(,ln 2)-∞递减,在(ln 2,)+∞递增,故当ln 2x =时()f x 有极小值(ln 2)22ln 2f =-,无极大值．（2）令22()()(2)1e 1x g x f x x a x x ax =----=---,()e 2()x g x x a f x a '=--=-,∴min min ()()22ln 2g x f x a a '=-=--, ∵2ln 4a -＜∴()0g x '＞, ∴()g x 在(0,)+∞单调递增, ∴()(0)0g x g =＞,即2()(2)1f x x a x +-+＞．20.解：（1）由题意的标准方程：22184x y +=,则2,2a b c ===,椭圆的离心率e c a =（2）证明：方法一：曲线22184x y +=,当0x =时,2y =±,故(0,2),(0,2)A B -,将直线4y kx =+代入椭圆方程22184x y+=得：22(21)16240k x kx +++=,若4y kx =+与曲线C 交于不同两点,M N ,则232(23)0k ∆=-＞,解得：232k ＞,设(,4),(,4),(,1)N N M M G N x kx M x kx G x ++,由韦达定理得：21612M N kx x k+=-+① 22412M N x x k =+②MB 方程为：62M Mkx y x x +=-,则3(,1)6MM x G kx +,∴3(,1),(,2)6MN N M x AG AN x kx kx =-=++,欲证,,A G N 三点共线,只需证,AG AN 共线,即3(2)6MN N M x kx x kx +=-+, 将①②代入可得等式成立, 则,,A G N 三点共线得证．方法二：将直线y=kx+4代入椭圆方程22184x y +=得：22(21)16240k x kx +++=,则232(23)0k ∆=-＞,解得：232k ＞,由韦达定理得：21612M N kx x k +=-+（1）22412M N x x k =+（2）设(,4),(,4),(,1)N N M M G N x kx M x kx G x ++,MB 方程为：62M M kx y x x +=-,则3(,1)6MM x G kx +,则1232242()633N M N M NA GAN M N M M Nkx x x x k k k k k x kx x x x x -++-=-=+++=++, 将①②代入上式：0NA GA k k -=, ∴,,A G N 三点共线． [选修4-4坐标系与参数方程]21．（10分）解：（1）∵圆221:(4C x y +=,即2210x y ++-=,∴1C的极坐标方程为2cos 10ρθ+-=,∵曲线2C 的参数方程为22cos ()2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数, ∴2C 的普通方程为：22(2)4x y -+=．（2）∵直线3C 的极坐标方程为π()3θρ=∈R , ∴直线3C的直角坐标方程为y =, 由题意知2C 与3C 交于坐标原点,设,A O 重合,∴11||2,||120AB AC BAC ︒==∠=, ∴1ABC △的面积（1C 为圆C 的圆心）：1113||||sin12022ABC S AB AC ︒=⨯=△． [选修4-5不等式选讲]22．解：由题意可得,不等式|1|3ax +≤, 即313ax -+≤≤,即42ax -≤≤,即21x -≤≤, ∴2a =；（2）,11()32,121,2x x g x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪-⎪⎩≤≥,∴12x =-时,min 1()2g x =-．河北省保定市2017年高考一模文科数学试卷解析1．【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出B中y值域确定出B,找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A=={1,,,2},∴A∩B={1,2},故选：B【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设C（x,y）,由O（0,0）,A（2,﹣1）,B（0,3）,可得,结合OACB为平行四边形列式求得复数z．【解答】解：如图,设C（x,y）,∵O（0,0）,A（2,﹣1）,B（0,3）,∴,,由题意可得,即,解得x=y=2．∴复数z=2+2i．故选：A．【点评】本题考查复数的性质和应用,是基础题．3．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的性质、三角函数求值即可得出．【解答】解：∵{a n}为等差数列,a1+a5+a9=4π,∴3a5=4π,解得a5=．∴cosa5=cos=﹣．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．4．【考点】J7：圆的切线方程．【分析】由直线与圆相切,得到圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值【解答】解：圆x2+（y﹣a）2=1的圆心坐标为（0,a）,半径为1,∵直线x+y=0与圆x2+（y﹣a）2=1相切,∴圆心（0,a）到直线的距离d=r,即=1,解得：a=．故选D．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,熟练掌握此性质是解本题的关键．5．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】先判断命题p,q的真假,进而根据复合命题真假判断的真值表,可得答案．【解答】解：若a＜b,则∀c∈R,ac2＜bc2,在c=0时不成立,故p是假命题；∃x0=1＞0,使得x0﹣1+lnx0=0,故命题q为真命题,故命题p∧q,p∨（￢q）,（￢p）∧（￢q）是假命题；命题（￢p）∧q是真命题,故选：C【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复合命题,不等式的基本性质,对数运算等知识点,难度中档．6．【考点】3E：函数单调性的判断与证明；3K：函数奇偶性的判断．【分析】根据题意,写出函数g（x）的解析式,设x＞0,则﹣x＜0,分析可得g（﹣x）=﹣g（x）,可得g（x）为奇函数；由x＞0时g（x）的解析式,对其求导可得g′（x）=﹣2•=＜0,可得函数g（x）在区间（0,+∞）上递减,结合单调性可得其在（﹣∞,0）上也递减,综合可得答案．【解答】解：根据题意,=,设x＞0,则﹣x＜0,g（﹣x）=﹣=﹣=﹣g（x）,故g（x）为奇函数；当x＞0时,g（x）==x﹣2,g′（x）=﹣2•=＜0,即g（x）在区间（0,+∞）上递减,又由函数g（x）为奇函数,则在（﹣∞,0）上也递减,故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性单调性的判定,涉及分段函数的应用,关键是写出g（x）的解析式．7．【考点】EF：程序框图．【分析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,即可得出输出i的值．【解答】解：根据题意,得a=2017,i=1,b=﹣,i=2,a=﹣,b=,i=3,a=,b=2017,不满足b≠x,退出循环,故选B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,从而得出正确的结论,是基础题．8．【考点】8B：数列的应用．【分析】由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{a n},其中q=,S6=378．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{a n},其中q=,S6=378．则=378,解得a1=192．所以a2=192×=96．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．9．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是以主视图为底面的四棱锥,进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是以主视图为底面的四棱锥,其底面面积S=4×4=16,高h=4,故体积V==,故选：A．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积,简单几何体的三视图,难度中档．10.【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的三角形法则和向量的数乘运算求出λ=,μ=,再代值计算即可．【解答】解：∵=+=+=+（﹣）=+,∴λ=,μ=,∴+=3+=,故选：D【点评】本题考查了向量的三角形法则和向量的数乘运算,属于基础题．11．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】令f（x）令f（x）=1得x1=﹣,x2=1,x3=5,再画出f（x）的图象,结合图象可得答案．【解答】解：令f（x）=1得x1=﹣,x2=1,x3=5,令g（x）=f[f（x）]﹣1=0,作出图象如图所示：由图象可得当f（x）=﹣无解,f（x）=1有3个解,f（x）=5有1个解,综上所述函数g（x）=f[f（x）]﹣1的零点个数为4,故选：C【点评】本题考查了函数零点的问题,以及分段函数的问题,属于中档题二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上．12．【考点】7C：简单线性规划．【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划,我们可以先画出足约束条件的平面区域,再由目标函数P=x2+y2的几何意义：表示区域内一点到原点距离的平方,不难根据图形分析出目标函数P=x2+y2的最大值．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图：∵目标函数P=x2+y2表示区域内一点到原点距离的平方,故当x=0,y=2时,P有最大值4故答案为：4【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的点的坐标,即可求出答案．13．【考点】49：指数函数的图象与性质．【分析】首先利用已知函数图象过定点A,得到m,n的等式,利用基本不等式求mn的最大值．【解答】解：因为函数y=a x﹣1（a＞0,a≠1）的图象恒过定点A（1,1）,又点在直线mx+ny=1上,所以m+n=1, mn≤=；所以mn的最大值为；当且仅当m=n时等号成立．故答案为：【点评】本题考查了指数函数的图象以及基本不等式的运用；属于基础题．14．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【分析】以PA,PB,PC分棱构造一个长方体,这个长方体的外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球,由此能求出三棱锥的外接球的表面积．【解答】解：如图,PA,PB,PC两两垂直,设PC=h,则PB==,PA==,∵PA2+PB2=AB2,∴4﹣h2+7﹣h2=5,解得h=,三棱锥P﹣ABC,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=,∴以PA,PB,PC分棱构造一个长方体,则这个长方体的外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球,∴由题意可知,这个长方体的中心是三棱锥的外接球的心,三棱锥的外接球的半径为R==,所以外接球的表面积为S=4πR2=42=8π．故答案为：8π．【点评】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意构造法的合理运用．15．【考点】8I：数列与函数的综合；8H：数列递推式．【分析】通过并项相加可知当n≥2时a n﹣a1=n+（n﹣1）+…+3+2,进而可得数列{a n}的通项公式a n=n（n+1）,裂项、并项相加可知b n=2（﹣）==,通过求导可知f（x）=2x+（x≥1）是增函数,进而问题转化为m2﹣mt+＞（b n）max,由恒成立思想,即可得结论．【解答】解：∵a1=1,a n﹣a n﹣1=n（n≥2,n∈N）,当n≥2时,a n﹣a n﹣1=n,a n﹣1﹣a n﹣2=n﹣1,…,a2﹣a1=2,并项相加,得：a n﹣a1=n+（n﹣1）+…+3+2,∴a n=1+2+3+…+n=n（n+1）,又∵当n=1时,a1=×1×（1+1）=1也满足上式,∴数列{a n}的通项公式为a n=n（n+1）,∴b n=+++…+=++…+=2（﹣+﹣+…+﹣）=2（﹣）==,令f（x）=2x+（x≥1）,则f′（x）=2﹣,∵当x≥1时,f'（x）＞0恒成立,∴f（x）在x∈[1,+∞）上是增函数,故当x=1时,f（x）min=f（1）=3,即当n=1时,（b n）max=,对任意的正整数n,当m∈[1,2]时,不等式m2﹣mt+＞b n恒成立,则须使m2﹣mt+＞（b n）max=,即m2﹣mt＞0对∀m∈[1,2]恒成立,即t＜m的最小值,可得得t＜1,∴实数t的取值范围为（﹣∞,1）,故答案为：（﹣∞,1）．【点评】本题考查数列的通项及前n项和,涉及利用导数研究函数的单调性,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于难题．16．【点评】本题考查向量知识的运用,考查三角形面积的计算,考查余弦定理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．17．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）连接AC、BD,交于点O,连结SO,推导出AC⊥BD,SO⊥AC,从而AC⊥平面SBD,由此能证明AC⊥SD．【点评】本题考查线线垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力,考查函数与方程思想、化归转化思想、数形结合思想,是中档题．18．【点评】本题考查了独立检验以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求法问题,是综合题．19．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道中档题【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出f（x）的极值即可；（2）令g（x）=f（x）﹣x2﹣（a﹣2）x﹣1,求出函数的导数,根据函数的单调性求出g（x）的最小值,从而判断大小即可．20．【考点】K4：椭圆的简单性质；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）求得椭圆的标准方程,求得a和c的值,则e==；（2）方法一：代入椭圆方程方程,由韦达定理及向量数量积的坐标运算,=（,﹣1）,=（x N,kx N+2）,由（kx N+2）=﹣x N,A,G,N三点共线；方法二：由题意可知：k MA﹣k GA=﹣,由韦达定理求得k MA﹣k GA=0,即可求证A,G,N三点共线．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质,考查直线与椭圆的位置关系,韦达定理,向量数量积的坐标运算,直线共线的求法,考查计算能力,属于中档题．21．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）圆C1转化为,由此能求出C1的极坐标方程,曲线C2的参数方程消去参数,能求出C2的普通方程．（2）求出直线C3的直角坐标方程为y=,由题意知C2与C3交于坐标原点,设A,O重合,分别求出|AB|=2,|AC1|=,∠BAC1=120°,由此能求出△ABC1的面积．【点评】本题考查曲线的参数方程、普通方程的求法,考查三角形面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意极坐标、直角坐标互化公式的合理运用．22．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）由题意可得﹣3≤ax≤2,即﹣2≤x≤1,由此可得a的值．（2）写出分段函数,即可求g（x）的最小值．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,属于基础题．。

2017年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1．（5分）若复数z满足（3+4i）z＝25，则复平面内表示z的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＞0}，，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B3．（5分）若函数，则f（f（2））＝（）A．1B．4C．0D．5﹣e24．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．π+2B．2π+4C．π+4D．2π+25．（5分）在△ABC中，∠B＝90°，，，则λ＝（）A．﹣1B．1C．D．46．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝﹣4，S6＝6，则S5＝（）A．1B．0C．﹣2D．47．（5分）已知双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S＝（）△ABFA．B．C．D．8．（5分）二项式（x﹣a）7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，则dx＝（）A．ln2B．ln2+1C．1D．9．（5分）一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n为6时，输出结果为2.45，则m可以是（）A．0.6B．0.1C．0.01D．0.0510．（5分）已知ω＞0，将函数f（x）＝cosωx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则ω的最小值是（）A．B．3C．D．11．（5分）在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知a＞b＞0，a b＝b a，有如下四个结论：①b＜e；②b＞e；③∃a，b满足a•b＜e2；④a•b＞e2．则正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值是．14．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且，若a4＝32，则a1＝．15．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，，抛物线C上的点B满足AB⊥AF，且|BF|＝4，则p＝．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两互相垂直，且AB＝4，AC ＝5，则BC的取值范围是．三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2＝λab．（1）若，，求sin A；（2）若λ＝4，AB边上的高为，求C．18．（12分）某市春节期间7家超市的广告费支出x i（万元）和销售额y i（万元）数据如下：（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；（2）用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：，经计算得出线性回归模型和对数模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额．参数数据及公式：，，，ln2≈0.7．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，M、N分别是AB、A1C的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．21．（12分）已知函数f（x）＝sin x+tan x﹣2x．（1）证明：函数f（x）在（﹣，）上单调递增；（2）若x∈（0，），f（x）≥mx2，求m的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝1，l与C交于不同的两点P1，P2．（1）求φ的取值范围；（2）以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．23．已知x，y∈（0，+∞），x2+y2＝x+y．（1）求的最小值；（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）＝5？并说明理由．2017年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1．（5分）若复数z满足（3+4i）z＝25，则复平面内表示z的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：（3+4i）z＝25，∴（3﹣4i）（3+4i）z＝25（3﹣4i），∴z＝3﹣4i．则复平面内表示z的点（3，﹣4）位于第四象限．故选：D．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＞0}，，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x＞0}＝{x|x＞1或x＜0}，，∴A∩B＝{x|﹣或1＜x＜}，A∪B＝R．故选：B．3．（5分）若函数，则f（f（2））＝（）A．1B．4C．0D．5﹣e2【解答】解：由题意知，，则f（2）＝5﹣4＝1，f（1）＝e0＝1，所以f（f（2））＝1，故选：A．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．π+2B．2π+4C．π+4D．2π+2【解答】解：由三视图可得，直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体，体积为+＝π+2，故选：A．5．（5分）在△ABC中，∠B＝90°，，，则λ＝（）A．﹣1B．1C．D．4【解答】解：△ABC中，，，∴＝﹣＝（2，λ+2），又∠B＝90°，∴⊥，∴•＝0，即2﹣2（λ+2）＝0，解得λ＝﹣1．故选：A．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝﹣4，S6＝6，则S5＝（）A．1B．0C．﹣2D．4【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4＝﹣4，S6＝6，∴d＝﹣4，d＝6，解得a1＝﹣4，d＝2．则S5＝5×（﹣4）+×2＝0，故选：B．7．（5分）已知双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的＝（）一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S△ABFA．B．C．D．【解答】解：由双曲线，可得a2＝1，b2＝3，故c＝＝2，∴A（1，0），F（2，0），渐近线方程为y＝±x，不妨设BF的方程为y＝（x﹣2），代入方程y＝﹣x，解得：B（1，﹣）．＝|AF|•|y B|＝•1•＝．∴S△AFB故选：B．8．（5分）二项式（x﹣a）7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，则dx＝（）A．ln2B．ln2+1C．1D．【解答】解：（x﹣a）7的展开式的通项为（﹣1）r a r C7r x7﹣r，令7﹣r＝4得r＝3，∴展开式中x4项的系数（﹣1）3a3C73＝﹣35a3＝﹣280，∴a＝2，∴dx＝lnx＝1．故选：C．9．（5分）一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n为6时，输出结果为2.45，则m可以是（）A．0.6B．0.1C．0.01D．0.05【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝6，a＝3b＝2.5，不满足条件|b﹣a|＜m，执行循环体，a＝2.5，b＝2.45，由题意，此时应该满足条件|b﹣a|＜m，退出循环，输出b的值为2.45．可得：|2.5﹣3|≥m，且|2.45﹣2.5|＜m，解得：0.05＜m≤0.5，故选：B．10．（5分）已知ω＞0，将函数f（x）＝cosωx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则ω的最小值是（）A．B．3C．D．【解答】解：由函数f（x）＝cosωx＝sin（ωx）图象向右平移个单位后得到：sin（），由题意可得：，（k∈Z）解得：，∵ω＞0，∴当k＝0时，ω的值最小值为．故选：A．11．（5分）在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，基本事件总数n＝＝120，乙、丙都不与甲相邻出场包含的基本事件个数m＝++＝36，∴乙、丙都不与甲相邻出场的概率p＝＝．故选：D．12．（5分）已知a＞b＞0，a b＝b a，有如下四个结论：①b＜e；②b＞e；③∃a，b满足a•b＜e2；④a•b＞e2．则正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【解答】解：【特殊值法】a＞b＞0，a b＝b a，不妨令a＝4，b＝2，满足条件；则a＝4＞e，b＝2＜e，①正确，②错误；又ab＝2×4＞e2，④正确，③错误；综上，正确的命题是①④．【直接法】a＞b＞0，a b＝b a，∴blna＝alnb，∴＝；设f（x）＝（x＞0），则f′（x）＝，令f′（x）＝0，得1﹣lnx＝0，解得x＝e；∴x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；∴x＝e时f（x）取得最大值为f（e）＝；由函数的图象知，a、b中a＞e，1＜b＜e，∴①正确，②错误；由＝＝t＞0，∴①﹣②得＝t①+②得lna+lnb＝t（a+b）＝＝lna+lnb﹣2＝﹣2③令u＝，则③式变为lna+lnb﹣2＝﹣2＝（lnu﹣）∵a＞e，1＜b＜e，∴u∈（1，+∞）另f（u）＝lnu﹣∵f′（u）＝﹣＞0，∴f（u）在（1，+∞）上单调递增，f（u）＞0，由∵u﹣1＞0，∴lna﹣lnb＞2∴a•b＞e2，③错误，④正确．综上，正确结论的序号是①④．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值是﹣2．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（﹣1，﹣1），化目标函数z＝x+y为y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1﹣1＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且，若a4＝32，则a1＝．【解答】解：∵，a4＝32，∴＝32，∴a1＝，故答案为．15．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，，抛物线C上的点B满足AB⊥AF，且|BF|＝4，则p＝2或6．【解答】解：由题意，k AF＝﹣，∴直线AB的方程为y＝x+，代入y2＝2px，可得p2x2﹣12px+36＝0，∴x＝，∵|BF|＝4，∴+＝4，∴p＝2或6，故答案为2或6．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两互相垂直，且AB＝4，AC ＝5，则BC的取值范围是（3，）．【解答】解：如图设P A、PB、PC的长分别为a、b、c，BC＝m．∵P A，PB，PC两两互相垂直，∴a2+b2＝16，a2+c2＝25，b2+c2＝m2⇒m2＝41﹣2a2，且a2＜16，a2＜25⇒﹣2a2＞﹣32，⇒﹣2a2＞﹣50⇒⇒﹣2a2＞﹣32⇒m2＝41﹣2a2＞9⇒m＞3在△ABC中，⇒3＜m＜故答案为（3，）三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2＝λab．（1）若，，求sin A；（2）若λ＝4，AB边上的高为，求C．【解答】解：（1）由已知，，结合正弦定理得：，于是．因为，所以，可得．（2）由题意可知，得：．从而有：，即，又因为，所以，．18．（12分）某市春节期间7家超市的广告费支出x i（万元）和销售额y i（万元）数据如下：（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；（2）用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：，经计算得出线性回归模型和对数模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额．参数数据及公式：，，，ln2≈0.7．【解答】解：（1），所以，y关于x的线性回归方程是（2）∵0.75＜0.97，∴对数回归模型更合适．当x＝8万元时，预测A超市销售额为47.2万元．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，M、N分别是AB、A1C的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接AC1，BC1，则N∈AC1且N为AC1的中点，又∵M为AB的中点，∴MN∥BC1，又BC1⊂平面BB1C1C，MN⊄平面BB1C1C，故MN∥平面BB1C1C．…（4分）（2）解：由A1A⊥平面ABC，得AC⊥CC1，BC⊥CC1．以C为原点，分别以CB，CC1，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设CC1＝2λ（λ＞0），则M（1，0，1），N（0，λ，1），B 1（2，2λ，0），，＝（﹣1，λ，0），．取平面CMN的一个法向量为，由，得：，令y＝1，得，同理可得平面B 1MN的一个法向量为，∵平面CMN⊥平面B1MN，∴，解得，得，又，设直线AB与平面B1MN所成角为θ，则．所以，直线AB与平面B1MN所成角的正弦值是．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，得，∴＝∴，∴a2＝2b2；将Q代入椭圆C的方程，得+＝1，解得b2＝4，∴a2＝8，∴椭圆C的方程为；（2）当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为：或，从而有，所以四边形OPMN的面积为；当直线PN的斜率k存在时，设直线PN方程为：y＝kx+m（m≠0），P（x1，y1），N（x2，y2）；将PN的方程代入C整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，所以，，，由得：，将M点坐标代入椭圆C方程得：m2＝1+2k2；点O到直线PN的距离为，，四边形OPMN的面积为．综上，平行四边形OPMN的面积S为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝sin x+tan x﹣2x．（1）证明：函数f（x）在（﹣，）上单调递增；（2）若x∈（0，），f（x）≥mx2，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin x+tan x﹣2x则，∵，∴cos x∈（0，1]，于是（等号当且仅当x＝0时成立）．故函数f（x）在上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在上单调递增，又f（0）＝0，∴f（x）＞0，（ⅰ）当m≤0时，f（x）＞0≥mx2成立．（ⅱ）当m＞0时，令p（x）＝sin x﹣x，则p'（x）＝cos x﹣1，当时，p'（x）＜0，p（x）单调递减，又p（0）＝0，所以p（x）＜0，故时，sin x＜x．（*）由（*）式可得f（x）﹣mx2＝sin x+tan x﹣2x﹣mx2＜tan x﹣x﹣mx2，令g（x）＝tan x﹣x﹣mx2，则g'（x）＝tan2x﹣2mx由（*）式可得，令h（x）＝x﹣2m cos2x，得h（x）在上单调递增，又h（0）＜0，，∴存在使得h（t）＝0，即x∈（0，t）时，h（x）＜0，∴x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，又∵g（0）＝0，∴g（x）＜0，即x∈（0，t）时，f（x）﹣mx2＜0，与f（x）＞mx2矛盾．综上，满足条件的m的取值范围是（﹣∞，0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝1，l与C交于不同的两点P1，P2．（1）求φ的取值范围；（2）以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ＝1，根据ρ2＝x2+y2可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝1，将代入x2+y2＝1得t2﹣4t sinφ+3＝0（*）由16sin2φ﹣12＞0，得，又0≤φ≤π，∴所求φ的取值范围是；（Ⅱ）由（1）中的（*）可知，，代入中，整理：得P1P2的中点的轨迹方程为（φ为参数，）．故得线段P1P2中点轨迹的参数方程为为（φ为参数，）．23．已知x，y∈（0，+∞），x2+y2＝x+y．（1）求的最小值；（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）＝5？并说明理由．【解答】解：（1），当且仅当x＝y＝1时，等号成立．所以的最小值为2．（2）不存在．因为x2+y2≥2xy，所以（x+y）2≤2（x2+y2）＝2（x+y），∴（x+y）2﹣2（x+y）≤0，又x，y∈（0，+∞），所以x+y≤2．从而有（x+1）（y+1）≤≤＝4，因此不存在x，y，满足（x+1）（y+1）＝5．。

河北省衡水市2017年普通高等学校招生 全国统一考试理科模拟数学试卷（一）答 案1~5．ABCBD 6~10．ABDCB 11~12．AA13．23-14．3-15．416．17．解：（1）在ABC △中，cos(2016π)sin(2017π)0B b C --+=Q ，cos sin 0B b C +=，cos sin sin 0C B B C +=．（3分）又0πsin 0C C <<∴≠，，sin 0B B +=，即tan B =， 又2π0π3B B <<∴=，． （6分）（2）由点D 在ABC △的外接圆上，得ππ3D B =-=，或2π3B D ==． （7分）11sin 522ACD S CD AD D AD =⋅=⨯=△解得4AD =．在ACD △中，由余弦定理，得2222cos 21AC AD CD AD CD D =+-⋅=或61，AC ∴=（12分）18．解：（1）2AB CD =Q ，O 是线段AB 的中点，OB CD ∴=．又OB CD //Q ，∴四边形OBCD 为平行四边形． 又90BCD ∠=︒，AB OD ∴⊥．又O Q 是等腰直角EAB △斜边上的中点，EO AB ∴⊥．EO DO O =Q I ，AB ∴⊥平面EOD ．AB ⊂Q 平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面EOD ．（5分）（2）Q 平面ABE ⊥平面ABCD ，且EO AB ⊥，EO ∴⊥平面ABCD ，EO OD ∴⊥．OB OD OE ∴,,两两垂直．以O 为坐标原点，以OB OD OE ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ．EAB Q △为等腰直角三角形，且1CD BC ==， 1OA OB OD OE ∴====，(000)(100)(100)C(1,1,0)D(010)E(001)O A B ∴-,,,,,,,,,,,,,,,，(100(011)CD DE ∴=-=-u u u r u u u r ,,）,,,．（9分）设平面ECD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则有0,0,n CD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r0,0,x y z -=⎧∴⎨-+=⎩ 取1z =，得(0,1,1)n =．OD ⊥Q 平面ABE ，∴平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =u u u r．设平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角为θ，则cos cos ,OD n θ===u u u r∴平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角的大小为45︒．（12分）19．解：（1）记所选取的两家商家加入团购网站的数量相等为事件A ，则2225252025020()49C C C P A C ++==， 所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为291(A)49P -=． （3分）（2）由题，知ξ的可能取值分别为0,1,2． 2225252025020(0)49C C C P C ξ++===， 1111525202525025(1)49C C C C P C ξ+===， 115202504(2)49C C P C ξ===． （6分）从而ξ的分布列为()01249494949E ξ=⨯+⨯+⨯=． （8分）（3）所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从A 市中任取一家加入团购网站的商家，他同时加入两个团购网站的概率为251502P ==．所以1(3,)2B η:．（10分）所以事件“2η≥”的概率为2233331111(2)(3)C ()(1)()2222P P C ηη=+==-+=． （12分）20．解：（1）由于点P 为线段MF 的垂直平分线， 故PM PF =，因此4PE PF PE PM ME +=+==>， 故点P 轨迹为椭圆，其中24,a c ==因此P 点的轨迹C 的方程为2214x y +=． （4分）（2）由FD FA FB =+u u u r u u u r u u u r，知四边形AFBD 为平行四边形，故2AFBD AFB S S =Y △，①当AB 为短轴时，11222AFB S AB OF =⋅=⨯△即AFBD S =Y②当AB 为长轴时，易知AFBD 不是四边形，故AB 斜率不为0．③当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，则直线AB 的方程为(0)y kx k =≠， 设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程221,4,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去x ，得222(14)40k y k +-=，所以21212240,14k y y y y k -+==+．121222AFBD ABF S S OF y y ==⨯⋅-Y △==．而2144k+>，所以0=．综上所述，四边形AFBD的面积的取值范围为．（12分）21．解：（1）令()ln 0f x x x a =+=，得ln a x x =-． 记()ln h x x x =-， 则'()ln 1h x =--，∴当1(0,)x e ∈时，'()0h x >，()h x 单调递增；∴当1(,)x e∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减．max 11()()()h x h x h e e∴===极大值．（2分）而x 趋向于0时，0,ln 0,()0x x h x -<<>；x 趋向于+∞时，()0h x <∴当1(0,)x e ∈时，()0h x >；当1(,)x e∈+∞时，恰好存在一个实数0x ，使得0()0h x =．（3分）∴当1a e=或0a ≤时，()f x 恰有一个零点； 当1a e>时，()f x 没有零点； 当10a e<<时，()f x 恰有两个零点．（5分）（2）()()f x g x a >+等价于12ln ()x xx x e g x e->-=．由（1），知min 1(ln )x x e =-．（6分）而111212()2(1)'()()x x x x e xe x g x e e ------==．当(0,1)x ∈时，'()0g x >，()g x 单调递增；(1,)x ∈+∞时，'()0g x <，()g x 单调递减． ()=()(1)2g x g x g e ∴==-最大值极大值．（10分）11(2)20e e e e ---=-->Q ，min max (ln )()x x g x ∴>．()()f x g x a ∴>+得证．（12分）22．解：（1）直线l 的普通方程为y mx =， 圆C 的普通方程为22(1)1x y +-=． 圆心(0,1)C 到直线l 的距离d ，相交弦长为=令1m ≤-或1m ≥． 即实数m 的取值范围为(,1][1,)-∞-+∞U ． （5分）（2）设(cos ,1sin ),(x,y)P Q αα+，则由线段的中点坐标公式，得cos 2,2()1sin 2x y ααα+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩为参数， 消去参数α并整理，得22(22)(21)1x y -+-=， 即线段PA 的中点Q 的轨迹方程为2211(1)().24x y -+-=（10分）23．解：（1）由零点分段法，得4(1),()22(13),4(3),x f x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩函数()f x 的图像如图所示．（4分）（2）311311211m mm mm m +--++-≤=++，当且仅当(31)(1)0m m +-≤， 且311,1m m m +≥-≠-， 即1m ≥或1m <-时，取等号． 由不等式311()1m mf x m +--≥+对任意实数1m ≠-恒成立，得132x x +--≥．由（1）中图像，可知2x ≥． 所以实数x 的取值范围是{|2}x x ≥． （10分）。

2017年河北省保定市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{1，4}D．{1，2，3，4} 2．（5分）在复平面xOy内，若A（2，﹣1），B（0，3），则▱OACB中，点C对应的复数为（）A．2+2i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i3．（5分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9＝4π，则cos a5的值为（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）若直线x+y＝0与圆x2+（y﹣a）2＝1相切，则a的值为（）A．1B．±1C．D．±5．（5分）命题p：若a＜b，则∀c∈R，ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得x0﹣1+lnx0＝0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）6．（5分）已知函数，设，则g（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增B．奇函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递减C．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递减7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x＝2017，则输出的i＝（）A．2B．3C．4D．58．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第二天走了（）里？A．76B．96C．146D．1889．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．32C．64D．10．（5分）如图，已知△OAB，若点C满足，则＝（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝若数列{a n}满足a n＝f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2]C．（2，3）D．[，3）12．（5分）已知函数f（x）＝则函数g（x）＝f[f（x）]﹣1的零点个数为（）A．1B．3C．4D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）满足条件的目标函数P＝x2+y2的最大值是．14．（5分）函数y＝a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点在直线mx+ny ＝1上，则mn的最大值为．15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB＝，BC＝，AC＝2，则此三棱锥外接球的表面积为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2，n∈N），设b n＝+++…+，若对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2﹣mt+＞b n恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知（1）求的f（x）解析式；（2）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若f（A）＝2，b＝1，△ABC的面积为，求a的值．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面边长为1的正方形，每条侧棱的长均为，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面P AC，求三棱锥P﹣ACD的体积．19．（12分）教育学家分析发现加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关，某校兴趣小组为了验证这个结论，从该校选择甲、乙两个同轨班级进行实验，其中甲班加强阅读理解训练，乙班常规教学无额外训练，一段时间后进行数学应用题测试，统计数据情况如下面2×2列联表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关？（2）经过多次测试后，小明正确解答一道数学题所用的时间在5﹣7分钟，小刚正确解答一道数学题所用的时间在6﹣8分钟，现小明、小刚同时独立解答同一道数学应用题，求小刚比小明先正确解答完的概率；（3）现从乙班成绩优秀的8名同学中任意抽取两人，并对他们的大题情况进行全程研究，记A、B两人中被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式K2＝．20．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2x．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＜2﹣ln4且x＞0时，试比较f（x）与x2+（a﹣2）x+1的大小．21．（12分）设椭圆x2+2y2＝8与y轴相交于A，B两点（A在B的上方），直线y＝kx+4与该椭圆相交于不同的两点M，N，直线y＝1与BM交于G．（1）求椭圆的离心率；（2）求证：A，G，N三点共线．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标xOy中，圆C1：（x+）2+y2＝4，曲线C2的参数方程为（θ为参数），并以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出C1的极坐标方程，并将C2化为普通方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），C2与C3相交于A，B两点，求△ABC1的面积（C1为圆C1的圆心）．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（1）求a的值；（2）如函数g（x）＝f（x）﹣|x+1|，求g（x）的最小值．2017年河北省保定市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{1，4}D．{1，2，3，4}【解答】解：∵A＝＝{1，，，2}，∴A∩B＝{1，2}，故选：B．2．（5分）在复平面xOy内，若A（2，﹣1），B（0，3），则▱OACB中，点C对应的复数为（）A．2+2i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i【解答】解：如图，设C（x，y），∵O（0，0），A（2，﹣1），B（0，3），∴，，由题意可得，即，解得x＝y＝2．∴复数z＝2+2i．故选：A．3．（5分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9＝4π，则cos a5的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵{a n}为等差数列，a1+a5+a9＝4π，∴3a5＝4π，解得a5＝．∴cos a5＝cos＝﹣．故选：A．4．（5分）若直线x+y＝0与圆x2+（y﹣a）2＝1相切，则a的值为（）A．1B．±1C．D．±【解答】解：圆x2+（y﹣a）2＝1的圆心坐标为（0，a），半径为1，∵直线x+y＝0与圆x2+（y﹣a）2＝1相切，∴圆心（0，a）到直线的距离d＝r，即＝1，解得：a＝．故选：D．5．（5分）命题p：若a＜b，则∀c∈R，ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得x0﹣1+lnx0＝0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：若a＜b，则∀c∈R，ac2＜bc2，在c＝0时不成立，故p是假命题；∃x0＝1＞0，使得x0﹣1+lnx0＝0，故命题q为真命题，故命题p∧q，p∨（￢q），（￢p）∧（￢q）是假命题；命题（￢p）∧q是真命题，故选：C．6．（5分）已知函数，设，则g（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增B．奇函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递减C．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递减【解答】解：根据题意，＝，设x＞0，则﹣x＜0，g（﹣x）＝﹣＝﹣＝﹣g（x），故g（x）为奇函数；当x＞0时，g（x）＝＝x﹣2，g′（x）＝﹣2•＝＜0，即g（x）在区间（0，+∞）上递减，又由函数g（x）为奇函数，则在（﹣∞，0）上也递减，故选：B．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x＝2017，则输出的i＝（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：根据题意，得a＝2017，i＝1，b＝﹣，i＝2，a＝﹣，b＝，i＝3，a＝，b＝2017，不满足b≠x，退出循环，故选：B．8．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第二天走了（）里？A．76B．96C．146D．188【解答】解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{a n}，其中q＝，S6＝378．则＝378，解得a1＝192．所以a2＝192×＝96．故选：B．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．32C．64D．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是以主视图为底面的四棱锥，其底面面积S＝4×4＝16，高h＝4，故体积V＝＝，故选：A．10．（5分）如图，已知△OAB，若点C满足，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝+＝+＝+（﹣）＝+，∴λ＝，μ＝，∴+＝3+＝，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）＝若数列{a n}满足a n＝f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2]C．（2，3）D．[，3）【解答】解：∵数列{a n}是递增数列，又∵f（x）＝，a n＝f（n）（n∈N*），∴3﹣a＞0，且a＞1且f（10）＜f（11）∴10（3﹣a）﹣6＜a2解得a＜﹣12，或a＞2故实数a的取值范围是（2，3），故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝则函数g（x）＝f[f（x）]﹣1的零点个数为（）A．1B．3C．4D．6【解答】解：令f（x）＝1得x1＝﹣，x2＝1，x3＝5，令g（x）＝f[f（x）]﹣1＝0，作出图象如图所示：由图象可得当f（x）＝﹣无解，f（x）＝1有3个解，f（x）＝5有1个解，综上所述函数g（x）＝f[f（x）]﹣1的零点个数为4，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）满足条件的目标函数P＝x2+y2的最大值是4．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图：∵目标函数P＝x2+y2表示区域内一点到原点距离的平方，故当x＝0，y＝2时，P有最大值4故答案为：414．（5分）函数y＝a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点在直线mx+ny＝1上，则mn的最大值为．【解答】解：因为函数y＝a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），又点在直线mx+ny＝1上，所以m+n＝1，mn≤＝；所以mn的最大值为；当且仅当m＝n时等号成立．故答案为：15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB＝，BC＝，AC＝2，则此三棱锥外接球的表面积为8π．【解答】解：如图，P A，PB，PC两两垂直，设PC＝h，则PB＝＝，P A＝＝，∵P A2+PB2＝AB2，∴4﹣h2+7﹣h2＝5，解得h＝，三棱锥P﹣ABC，P A，PB，PC两两垂直，且P A＝1，PB＝2，PC＝，∴以P A，PB，PC分棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球，∴由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的心，三棱锥的外接球的半径为R＝＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝42＝8π．故答案为：8π．16．（5分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2，n∈N），设b n＝+++…+，若对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2﹣mt+＞b n恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）．【解答】解：∵a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2，n∈N），当n≥2时，a n﹣a n﹣1＝n，a n﹣1﹣a n﹣2＝n﹣1，…，a2﹣a1＝2，并项相加，得：a n﹣a1＝n+（n﹣1）+…+3+2，∴a n＝1+2+3+…+n＝n（n+1），又∵当n＝1时，a1＝×1×（1+1）＝1也满足上式，∴数列{a n}的通项公式为a n＝n（n+1），∴b n＝+++…+＝++…+＝2（﹣+﹣+…+﹣）＝2（﹣）＝＝，令f（x）＝2x+（x≥1），则f′（x）＝2﹣，∵当x≥1时，f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故当x＝1时，f（x）min＝f（1）＝3，即当n＝1时，（b n）max＝，对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2﹣mt+＞b n恒成立，则须使m2﹣mt+＞（b n）max＝，即m2﹣mt＞0对∀m∈[1，2]恒成立，即t＜m的最小值，可得得t＜1，∴实数t的取值范围为（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知（1）求的f（x）解析式；（2）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若f（A）＝2，b＝1，△ABC的面积为，求a的值．【解答】解：（1）由题意，f（x）＝2sin x cos x+2cos2x＝sin2x+cos2x+1＝2sin（2x+）+1…（5分）（2）∵，∴，∵A∈（0，π），∴，∴A＝，∵△ABC的面积为，∴＝，∴c＝2，∴a＝＝…（12分）18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面边长为1的正方形，每条侧棱的长均为，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面P AC，求三棱锥P﹣ACD的体积．【解答】证明：（1）连接AC、BD，交于点O，连结SO，∵四棱锥S﹣ABCD的底面边长为1的正方形，∴AC⊥BD，且O是BD中点，∵每条侧棱的长均为，∴SO⊥AC，∵BD∩SO＝O，∴AC⊥平面SBD，∵SD⊂平面SBD，∴AC⊥SD．解：（2）由（1）知OB、OC、OS两两垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则S（0，0，），D（﹣，0，0），A（0，﹣，0），C（0，，0），设P（a，b，c），，则（a，b，c﹣）＝（﹣，0，﹣λ），解得a＝﹣，b＝0，c＝，∴P（﹣，0，），＝（﹣，0，﹣），＝（，﹣，），＝（，，），∵SD⊥平面P AC，∴，解得λ＝，∴P到平面ACD的距离d＝＝，∴三棱锥P﹣ACD的体积V＝＝＝．19．（12分）教育学家分析发现加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关，某校兴趣小组为了验证这个结论，从该校选择甲、乙两个同轨班级进行实验，其中甲班加强阅读理解训练，乙班常规教学无额外训练，一段时间后进行数学应用题测试，统计数据情况如下面2×2列联表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关？（2）经过多次测试后，小明正确解答一道数学题所用的时间在5﹣7分钟，小刚正确解答一道数学题所用的时间在6﹣8分钟，现小明、小刚同时独立解答同一道数学应用题，求小刚比小明先正确解答完的概率；（3）现从乙班成绩优秀的8名同学中任意抽取两人，并对他们的大题情况进行全程研究，记A、B两人中被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式K2＝．【解答】解：（1）由表中数据计算K2的观测值：K2＝≈5.556＞5.024．所以根据统计有97.5%的把握认为加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关；（2）设小明与小刚解答这道题所用的时间分别为x、y分钟，则基本事件所满足的条件是所表示的平面区域；设事件A为“小刚比小明先解答完试题”，则满足的区域为x＞y；由几何概型的概率，计算P（A）＝＝，∴小刚比小明先正确解答完的概率是；（3）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X ＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝；∴X的分布列为：X的数学期望为EX＝所以E（X）＝0×+1×+2×＝．20．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2x．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＜2﹣ln4且x＞0时，试比较f（x）与x2+（a﹣2）x+1的大小．【解答】解：（1）f′（x）＝e x﹣2，令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，令f′（x）＜0，解得：x＜ln2，故f（x）在（﹣∞，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故当x＝ln2时f（x）有极小值f（ln2）＝2﹣2ln2，无极大值．（2）令g（x）＝f（x）﹣x2﹣（a﹣2）x﹣1＝e x﹣x2﹣ax﹣1，g′（x）＝e x﹣2x﹣a＝f（x）﹣a，∴g′（x）min＝f（x）min﹣a＝2﹣2ln2﹣a，∵a＜2﹣ln4∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，∴g（x）＞g（0）＝0，即f（x）＞x2+（a﹣2）x+1．21．（12分）设椭圆x2+2y2＝8与y轴相交于A，B两点（A在B的上方），直线y＝kx+4与该椭圆相交于不同的两点M，N，直线y＝1与BM交于G．（1）求椭圆的离心率；（2）求证：A，G，N三点共线．【解答】解：（1）由题意的标准方程：，则a＝2，b＝2，c＝2，椭圆的离心率e＝＝；（2）证明：方法一：曲线，当x＝0时，y＝±2，故A（0，2），B（0，﹣2），将直线y＝kx+4代入椭圆方程得：（2k2+1）x2+16kx+24＝0，若y＝kx+4与曲线C交于不同两点M，N，则△＝32（2k2﹣3）＞0，解得：k2＞，设N（x N，kx N+4），M（x M，kx M+4），G（x G，1），由韦达定理得：x M+x N＝﹣，①，x M x N＝，②MB方程为：y＝x﹣2，则G（，1），∴＝（，﹣1），＝（x N，kx N+2），欲证A，G，N三点共线，只需证，共线，即（kx N+2）＝﹣x N，将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．方法二：将直线y＝kx+4代入椭圆方程得：（2k2+1）x2+16kx+24＝0，则△＝32（2k2﹣3）＞0，解得：k2＞，由韦达定理得：x M+x N＝﹣，（1）x M x N＝，（2）设N（x N，kx N+4），M（x M，kx M+4），G（x G，1），MB方程为：y＝x﹣2，则G（，1），则k NA﹣k GA＝﹣＝k+++＝+2（），将①②代入上式：k NA﹣k GA＝0，∴A，G，N三点共线．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标xOy中，圆C1：（x+）2+y2＝4，曲线C2的参数方程为（θ为参数），并以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出C1的极坐标方程，并将C2化为普通方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），C2与C3相交于A，B两点，求△ABC1的面积（C1为圆C1的圆心）．【解答】解：（1）∵圆C1：（x+）2+y2＝4，即，∴C1的极坐标方程为，∵曲线C2的参数方程为（θ为参数），∴C2的普通方程为：（x﹣2）2+y2＝4．（2）∵直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），∴直线C3的直角坐标方程为y＝，由题意知C2与C3交于坐标原点，设A，O重合，∴|AB|＝2，|AC1|＝，∠BAC1＝120°，∴△ABC1的面积（C1为圆C1的圆心）：°＝．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（1）求a的值；（2）如函数g（x）＝f（x）﹣|x+1|，求g（x）的最小值．【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，∴a＝2；（2）g（x）＝，∴时，g（x）min＝﹣．。

河北省石家庄市2017届高三一模考试文科数学试卷（A 卷）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|05}A x x =≤≤，{|12}B x x =∈-≤N*，则A B =（ ）A ．{|13}x x ≤≤B ．{|03}x x ≤≤C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}2．设1sin(π)3θ-=，则cos2θ=（ ）A ．B ．79C ．D ．79-3．若z 是复数，12i1iz -=+，则z z =（ ）A BC ．52D ．14．下列说法错误的是（ ）A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程0.20.8y x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y 平均增加0.2个单位D ．对分类变量X 与Y ，随机变量2K 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 5．若定义在R 上的函数()f x 当且仅当存在有限个非零自变量x ，使得()()f x f x -=，则称()f x 为类偶函数，则下列函数中为类偶函数的是（ ） A ．()cos f x x =B ．()sin f x x =C ．2()2f x x x =-D ．3()2f x x x =-6．已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ∙=，则||a b c +-的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．⎡⎣C ．1,1⎤⎦D ．7．某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A ．48B ．54C ．60D ．648．已知函数()f x 的图象关于1x =-对称，且()f x 在(1,)-+∞上单调，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且5051()()f a f a =，则{}n a 的前100项的和为（ ） A ．200-B ．100-C ．50-D ．09．已知抛物线22(0)y px p =>过点1(2A ，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB AB λ=，则实数λ为（ ） A ．13B ．12C ．2D ．310．已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且2b x y =--，当b 取得最大值时，直线20x y b ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长为（ ）A ．10B．C．D．11．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④12．已知函数e ()xf x kx x=-（e 为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．2e(0,)4C ．(0,e)D ．(0,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知命题p ：n ∀∈N ，22n n ＜，则p ⌝为_____________．14．程序框图如图所示，若输入1S =，1k =，则输出的S 为_____________．15．已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a ＞，0b ＞）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M为12PF F △的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ=_____________（注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF △、2MPF △、12MF F △的面积）．16．已知等比数列{}n b 满足1132n n n a a -++=，n ∈N*.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式2n n S ka -＞对一切n ∈N*恒成立，则实数k 的取值范围为_____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值.18．在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求点C 到平面SAB 的距离．19．某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，以此类推，统计结果如表：（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a 小时，求a 的值；（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．20．已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN △的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线. 21．已知函数21()ln 2f x x x a x =-+，a ∈R . （Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当209a ＜＜时，函数()f x 的两个极值点为1x ，2x ，且12x x ＜.证明：12()51ln3123f x x --＞. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=． （Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程． 23．选修4—5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a -＜时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．。

2017年河北省衡水市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=3x2+1}，则M∩（∁U N）=（）A．{x|﹣1≤x＜1}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|1≤x≤3}D．{x|1＜x≤3}2．若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．﹣C．D．43．设实数x，y满足不等式组，若z=x+2y，则z的最大值为（）A．﹣1 B．4 C．D．4．若tanθ+=4，则sin2θ=（）A．B．C．D．5．若m∈R，则“log6m=﹣1”是“直线l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．设f（x）=lg（+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）8．已知四棱锥，它的底面是边长为2的正方形，其俯视图如图所示，侧视图为直角三角形，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为（）A．B．0 C．﹣D．﹣110．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（）A．258 B．306 C．336 D．29611．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）A．B．[2，4]C．[3，6]D．[4，6]12．设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，n=1，2，3，…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n=a n，+1，，则∠A n的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是．14．已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为．15．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=4，A=，B=，则△ABC 的面积S=．16．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（Ⅰ）求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=11﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．18．一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”，（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求η的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC．（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围．20．设F（，0），点A在x轴上，点B在y轴上，且=2，•=0．（1）当点B在y轴上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）设点P是轨迹E上的动点，点R，N在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PRN，求△PRN 的面积的最小值．21．设函数f（x）=e2x﹣4ae x﹣2ax，g（x）=x2+5a2，a∈R．（1）若a=1，求f（x）的递增区间；（2）若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围；（3）记F（x）=f（x）+g（x），求证：．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．直线l的参数方程为，曲线C的极坐标方程（1+sin2θ）ρ2=2．（1）写出直线l的普通方程与曲线C直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于两点A、B，若点P为（1，0），求+．[选修4-5：不等式选讲]24．设实数a，b满足2a+b=9．（i）若|9﹣b|+|a|＜3，求x的取值范围；（ii）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．2017年河北省衡水市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=3x2+1}，则M∩（∁U N）=（）A．{x|﹣1≤x＜1}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|1≤x≤3}D．{x|1＜x≤3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解一元二次不等式求得M，求函数的值域得到N，根据补集的定义求得∁U N，再根据两个集合的交集的定义求得M∩（∁U N）．【解答】解：∵集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，N={y|y=3x2+1}={y|y≥1}，∴∁N={y|y＜1}，U∴M∩（∁U N）={x|﹣1≤x＜1}，故选：A．2．若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．﹣C．D．4【考点】复数求模；复数的基本概念．【分析】根据复数的有关概念进行运算即可．【解答】解：由（3﹣4i）z=|4+3i|，得（3﹣4i）z=5，即z===+i，故z的虚部为，故选：C3．设实数x，y满足不等式组，若z=x+2y，则z的最大值为（）A．﹣1 B．4 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（，），此时z的最大值为z=+2×=，故选：C4．若tanθ+=4，则sin2θ=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．【解答】解：sin2θ=2sinθcosθ=====故选D．5．若m∈R，则“log6m=﹣1”是“直线l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线平行的等价条件求出m，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由log6m=﹣1得m=，若l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行，则直线斜率相等或斜率不存在，解得m=0或m=，则“log6m=﹣1”是“直线l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行”的充分不必要条件，故选：A6．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，点（3，4）到原点的距离等于半焦距，可得a2+b2=25．由点（3，4）在双曲线的渐近线上，得到=，两式联解得出a=3且b=4，即可得到所求双曲线的方程．【解答】解：∵点（3，4）在以|F1F2|为直径的圆上，∴c=5，可得a2+b2=25…①又∵点（3，4）在双曲线的渐近线y=x上，∴=…②，①②联解，得a=3且b=4，可得双曲线的方程﹣=1．故选：C．7．设f（x）=lg（+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【考点】奇函数；对数函数的单调性与特殊点．【分析】首先由奇函数定义，得到f（x）的解析式的关系式（本题可利用特殊值f（0）=0），求出a，然后由对数函数的单调性解之．【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x），，，即=，1﹣x2=（2+a）2﹣a2x2此式恒成立，可得a2=1且（a+2）2=1，所以a=﹣1则即解得﹣1＜x＜0故选A8．已知四棱锥，它的底面是边长为2的正方形，其俯视图如图所示，侧视图为直角三角形，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由俯视图判断出PO⊥平面ABCD，由线面垂直的定义、判定定理判断出侧面中直角三角形的个数．【解答】解：由俯视图可得，PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AB，∵AB⊥BC，且PO∩BC=O，∴AB⊥PB，同理可证，CD⊥PC，则△PAB、△PDC是直角三角形，∵侧视图为直角三角形，∴△PBC是直角三角形，且PC⊥PB，∴四棱锥的侧面中直角三角形的个数是3，如图所示．故选：C．9．执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为（）A．B．0 C．﹣D．﹣1【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=的值，根据条件确定跳出循环的n值，利用余弦函数的周期性求输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=的值，∵跳出循环的n值为2014，∴=故选C．10．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（）A．258 B．306 C．336 D．296【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意知本题需要分类解决，共有两种情况，对于7个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类解决，∵对于7个台阶上每一个只站一人有A73种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C31A72种，∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+C31A72=336种．故选C．11．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）A．B．[2，4]C．[3，6]D．[4，6]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b ﹣1）2，0≤b≤1，求出范围．【解答】解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为：y=3﹣x，设M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）•（b，3﹣b）=2ab ﹣3（a +b ）+9=2（b 2﹣2b +3），0≤b ≤2， ∴b=1时有最小值4；当b=0，或b=2时有最大值6，∴的取值范围为[4，6]故选：D12．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n=1，2，3，…，若b 1＞c 1，b 1+c 1=2a 1，a n +1=a n ，，，则∠A n 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列递推式．【分析】根据数列的递推关系得到b n +c n =2a 1为常数，然后利用余弦定理以及基本不等式即可得到结论．【解答】解：∵a n +1=a n ，∴a n =a 1，∵，，∴b n +1+c n +1=a n +=a 1+，∴b n +1+c n +1﹣2a 1=（b n +c n ﹣2a 1）， 又b 1+c 1=2a 1，∴当n=1时，b 2+c 2﹣2a 1=（b 1+c 1+﹣2a 1）=0，当n=2时，b 3+c 3﹣2a 1=（b 2+c 2+﹣2a 1）=0， …∴b n +c n ﹣2a 1=0， 即b n +c n =2a 1为常数，∵b n ﹣c n =（﹣）n ﹣1（b 1﹣c 1）， ∴当n→+∞时，b n ﹣c n →0，即b n →c n ，则由基本不等式可得b n +c n =2a 1≥2，∴b n c n ≤（a1）2，由余弦定理可得=﹣2b n c n cosA n=（b n+c n）2﹣2b n c n﹣2b n c n cosA n，即（a1）2=（2a1）2﹣2b n c n（1+cosA n），即2b n c n（1+cosA n）=3（a1）2≤2（a1）2（1+cosA n），即3≤2（1+cosA n），解得cosA n≥，∴0＜A n≤，即∠A n的最大值是，故答案为：．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线方程直接求解抛物线的焦点坐标即可．【解答】解：抛物线y=4ax2（a≠0）的标准方程为：x2=，所以抛物线的焦点坐标为：．故答案为：．14．已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】半径为2的半圆的弧长是2π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是2π，利用弧长公式计算底面半径后利用勾股定理求圆锥的高即可求解圆锥的体积．【解答】解：一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=2π，解得：r=1，这个圆锥的底面半径是1，∴圆锥的高为h==．所以圆锥的体积为：V=πr2h=，故答案为：．15．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=4，A=，B=，则△ABC的面积S=6+2．【考点】正弦定理．【分析】先求角C，然后由正弦定理可求得b的值，从而可求△ABC的面积．【解答】解：∵A=，B=，∴C=π﹣﹣=，又∵由正弦定理知：b===2，=absinC==4sin=4cos（）=6+2．∴S△ABC故答案为：6+2．16．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（1，2] ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意知g（x）在[m，+∞）上有一个零点，在（﹣∞，m）上有两个零点；从而由一次函数与二次函数的性质判断即可．【解答】解：∵函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，∴g（x）在[m，+∞）上有一个零点，在（﹣∞，m）上有两个零点；∴；解得，1＜m≤2；故答案为：（1，2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（Ⅰ）求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=11﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由等差中项和等比数列的通项公式列出方程，结合题意求出q的值，再代入等比数列的通项公式化简；（Ⅱ）由（Ⅰ）和题意化简b n，并判断出数列{b n}是等差数列，求出首项和公差，代入等差数列的前n项和公式，再对T n进行配方，根据二次函数的性质求出它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，a n＞0因为2a1，a3，3a2成等差数列，所以2a1+3a2=2a3，即，所以2q2﹣3q﹣2=0，解得q=2或（舍去），又a1=2，所以数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由题意得，b n=11﹣2log2a n=11﹣2n，﹣b n=﹣2，则b1=9，且b n+1故数列{b n}是首项为9，公差为﹣2的等差数列，所以=﹣（n﹣5）2+25，所以当n=5时，T n的最大值为25．18．一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”，（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求η的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设A i表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒有效的有i人”，i=0，1，2，B j 表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有j人”，j=0，1，2，一个试用组为“甲类组”的概率P=P（B0A1）+P（B0A2）+P（B1A2），由此能求出结果．（2）η的可能取值为0，1，2，3，且η～B（3，），由此能求出η的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒有效的有i人”，i=0，1，2，B j表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有j人”，j=0，1，2，依题意有P（A1）=，P（A2）=，P（B0）==，P（B1）==，∴一个试用组为“甲类组”的概率：P=P（B0A1）+P（B0A2）+P（B1A2）==．（2）η的可能取值为0，1，2，3，且η～B（3，），∴P（η=0）==，P（η=1）==，P（η=2）==，P（η=3）=（）3=，∴η的分布列为：∵η～B（3，），∴Eη=3×=．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC．（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；（2）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．【解答】证明：如图，（1）∵AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F为CD的中点，∴ABFD为矩形，AB⊥BF．∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE⊂面ABE，∴平面ABE⊥平面BEF．（2）解：∵DE=EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA．以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系，则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，a），C（2，2，0），E（1，1，）平面BCD的法向量，设平面EBD的法向量为，由⇒，即，取y=1，得x=2，z=则．所以．因为平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角，所以cosθ∈，即．由得：由得：或．所以a 的取值范围是．20．设F （，0），点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且=2， •=0．（1）当点B 在y 轴上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；（2）设点P 是轨迹E 上的动点，点R ，N 在y 轴上，圆（x ﹣1）2+y 2=1内切于△PRN ，求△PRN 的面积的最小值． 【考点】轨迹方程．【分析】（1））设M （x ，y ），由，得点B 为线段AM 的中点，由=﹣x +=0，即可得到动点M 的轨迹E 的方程；（2）设P （x 0，y 0），R （0，b ），N （0，c ），且b ＞c ，可得PR 直线的方程为：（y 0﹣b ）x ﹣x 0y +x 0b=0，由直线PR 、PN 与题中的圆相切，运用距离公式算出（x 0﹣2）b 2+2y 0b ﹣x 0=0、（x 0﹣2）c 2+2y 0c ﹣x 0=0，可得b 、c 是方程（x 0﹣2）x 2+2y 0x ﹣x 0=0的两个根，运用根与系数的关系算出|b ﹣c |关于x 的式子，再代入计算△PRN 的面积可得面积S 关于x 的表达式，最后利用基本不等式即可求出△PRN 的面积的最小值．【解答】解：（1）设M （x ，y ），由，得点B 为线段AM 的中点，∴B （0，），A （﹣x ，0），∴=（﹣x，﹣），=（，﹣）．由=﹣x+=0，得y2=2x．所以动点M的轨迹E的方程为y2=2x；（2）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且b＞c，∴PR直线的方程为y=，整理得l PR：（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，∵圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PRN，可得PR与圆相切，∴=1，注意到x0＞2，化简得：（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，同理可得：（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，因此，b、c是方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0=0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，化简整理可得|b﹣c|==，由此可得△PRN的面积为S=••x0=（x0﹣2）++4≥8，∴当x0﹣2=时，即当x0=4时，△PRN的面积的最小值为8．21．设函数f（x）=e2x﹣4ae x﹣2ax，g（x）=x2+5a2，a∈R．（1）若a=1，求f（x）的递增区间；（2）若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围；（3）记F（x）=f（x）+g（x），求证：．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）分离参数，结合二次函数的性质求出a的范围即可；（3）求出F（x）的解析式，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而证明结论即可．【解答】解：（1）当a=1，f（x）=e2x﹣4e x﹣2x，f'（x）=2e2x﹣4e x﹣2，令f'（x）＞0得，∴f（x）的递增区间为．（2）∵f'（x）=2e2x﹣4ae x﹣2a≥0在R上恒成立，∴e2x﹣2ae x﹣a≥0在R上恒成立．∴=在R上恒成立．∵e﹣x＞0，∴，∴a≤0．（3）证明：∵F（x）=e2x﹣4ae x﹣2ax+x2+5a2=5a2﹣（4e x+2x）a+x2+e2x=，设h（x）=e x﹣2x，则h'（x）=e x﹣2，令h'（x）＜0，得x＜ln2，则h（x）在（﹣∞，ln2）单调递减；令h'（x）＞0，得x＞ln2，则h（x）在（ln2，+∞）单调递增；∴h（x）min=h（ln2）=2﹣ln2＞0，∴．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】（I）如图所示，连接DE．由于DB垂直BE交圆于点D，可得∠DBE=90°．即DE为圆的直径．由于∠ABC的角平分线BE交圆于点E，利用同圆中的弧圆周角弦之间的关系可得∠DCB=∠DBC，DB=DC．（II）由（I）利用垂径定理及其推论可得：DE⊥BC，且平分BC，设中点为M，外接圆的圆心为点O．连接OB，OC，可得OB⊥AB．在Rt△BOM中，可得∠OBM=30°，∠BOE=60°．进而得到∠CBA=60°．∠BCE=30°，∠BFC=90°．即可得到△BCF外接圆的半径=．【解答】（I）证明：如图所示，连接DE．∵DB垂直BE交圆于点D，∴∠DBE=90°．∴DE为圆的直径．∵∠ABC的角平分线BE交圆于点E，∴，∴，∴∠DCB=∠DBC，∴DB=DC．（II）解：由（I）可知：DE⊥BC，且平分BC，设中点为M，外接圆的圆心为点O．连接OB，OC，则OB⊥AB．在Rt△BOM中，OB=1，BM=BC=．∴∠OBM=30°，∠BOE=60°．∴∠CBA=60°．∴．∴∠BFC=90°．∴△BCF外接圆的半径==．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．直线l的参数方程为，曲线C的极坐标方程（1+sin2θ）ρ2=2．（1）写出直线l的普通方程与曲线C直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于两点A、B，若点P为（1，0），求+．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由直线l的参数方程为，消去t即可得出，由曲线C的极坐标方程（1+sin2θ）ρ2=2，利用ρ2=x2+y2，即可得出．（II）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A、B两点在直线l中对应的参数分别为t1、t2，利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．【解答】解：（I）由直线l的参数方程为，消去t可得l：，由曲线C的极坐标方程（1+sin2θ）ρ2=2，可得x2+y2+y2=2．即．（II）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A、B两点在直线l中对应的参数分别为t1、t2，则，．∴，∴．[选修4-5：不等式选讲]24．设实数a，b满足2a+b=9．（i）若|9﹣b|+|a|＜3，求x的取值范围；（ii）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（i）由题意可得|9﹣b|=2|a|，不等式|9﹣b|+|a|＜3可化为|a|＜1，由此解得a的范围．（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，再根据z=a2b=a•a•b，利用基本不等式求得它的最大值．【解答】解：（i）由2a+b=9得9﹣b=2a，即|9﹣b|=2|a|．所以|9﹣b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得﹣1＜a＜1．所以a的取值范围﹣1＜a＜1．（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，所以，当且仅当a=b=3时，等号成立．故z的最大值为27．…。

河北省衡水市2017年普通高等学校招生全国统一考试理科模拟数学试卷（一）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|2},{|30}A x y x B x x x ==-=-≥，则集合A B =I （ ）A ．[]0,2B ．[]0,3C ．[0,2)D ．(,0]-∞2．已知复数2i 1iz -=+（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．5 B ．10 C ．32 D ．10 3．若[1,6]a ∈，则函数a y x x=+在区间内单调递增的概率是（ ） A ．15 B ．25 C ．35 D ．454．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有大夫，不更，赞茅，上造，公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵位分之，问各得几何？”其意是：今有大夫，不更，赞茅，上造，公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵位高低依次递减相同的量来分配，问各得多少，若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更，赞茅，上造这三人分得鹿肉斤数为（ ）A ．200B ．300C ．5003D ．400 5．已知双曲线M 的实轴长为2，且它的一条渐近线方程为2y x =，则双曲线M 的标准方程可能是（ ） A ．2241x y -= B ．221464x y -= C ．2214y x -= D ．2241y x -= 6．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．146510π++B ．146520π++C ．1212π+D ．266510π++ 7．函数()22(1)sin 1e f x x =-+的图象的大致形状是（ ）8．设10.151420.3,log ,log 25a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>9．执行如图是的程序框图，输出的n 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．1310．如图所示为函数()π2sin()(0,)2f x wx w ϕϕ=+>≤的部分图象，其中,A B 两点之间的距离为5，则函数()2cos()g x x w ϕ=+图象的对称轴为（ ）A ．128,()x k k =-∈ZB ．62,()x k k =-∈ZC ．64,()x k k =-∈ZD ．122,()x k k =-∈Z11．已知O 为坐标原点，F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，若抛物线于准线与直线:302p l x y --=在第一、四象限分别交于,A B 两点，则22()()OF OA OF OB --u u u r u u u r u u u r u u u r 的值等于（ ） A ．97563+ B ．144 C ．73403+ D ．24p12．不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，已知()[]cos f x x x =-，给出下列结论： ①是()f x 偶函数； ②()f x 是周期函数，且最小正周期为π；③的()f x 单调递减区间为[],1()k k k +∈Z ；④()f x 的值域为[]cos1,1．正确的结论有（ ）A ．③B ．①③C ．③④D ．②③第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．13．已知向量(sin ,1),(sin ,0),(cos ,1)a b c θθθ==-=-r r r ，且(2)//a b c -r r r ，则tan θ等于_________14．若1(21)6m x dx -=⎰（其中1m >），则二项式1()m x x-展开式中含x 项的系数为__________ 15．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234216,24a a a a ==，若不等式1n S λ≤+对一切n ∈+N 恒成立，则实数λ的最大值为__________16．下图是两个腰长均为10cm 的等腰直角三角形拼成一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为_________2cm ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）已知ABC △的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c π)sin(2017π)0B b C --+=．（1）求角B 的大小；（2）若点D 在ABC △的外接圆上，且5,CD ACD =△的面积为AC 的长．18．（本小题满分12分）如图（1），在五边形BCDAE 中，0//,90,1,2,CD AB BCD CD BC AB ABE ∠====△是以AB 为斜边的等腰直角三角形，现将ABE △沿AB 折起，使平面ABE ⊥平面ABCD ，如图（2），记线段AB 的中点为O ．（1）求证：平面ABE ⊥平面EOD ；（2）求平面BCD 与平面ABE 所成角的锐二面角的大小．19．（本小题满分12分）团购已成为时下商家和顾客均分成青睐的一种省钱、高效的消费方式，不少商家同时加入多家团购网，现恰有三个团购网站在A 市开展了团购业务，A 市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入团购的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示．（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；（2）从所调查的50家商家中任取两家，用ξ表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量ξ分布列和数学期望；（3）将频率视为概率，现从A 市随机抽取3家已加入网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为η，求事件“2η≥”的概率．20．（本小题满分12分）已知点M 是圆心为E 点圆22(16x y +=上的动点，点F ，线段MF 的垂直平分线角EM 于点P ．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过原点O 作直线交（1）中轨迹C 于点A 、B ，点D 满足FD FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，试求四边形AFBD 的面积的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数()()12ln (),e(e ex x f x x x a a g x -=+∈=-R 为自然对数的底数）． （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）求证：当0x >时，()()f x g x a >+． 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为(x t t y mt =⎧⎨=⎩为参数），圆C 的参数方程为cos (1sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数）．（1）若直线l 与圆C ，求实数m 的取值范围；（2）若点A 的坐标为(2,0)，动点P 在圆C 上，试求线段PA 的中点Q 的轨迹方程．23．（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲已知函数()13f x x x =+--．（1）画出函数()f x 的图象；（2）若不等式()3111m m f x m +--≥+对任意实数1m ≠-恒成立，求实数x 的取值范围．。

2017年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|0≤x≤5}，B={x∈N*|x﹣1≤2}则A∩B=（）A．{x|1≤x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}2．若z是复数，z=．则z•=（）A．B．C．1 D．3．下列说法错误的是（）A．回归直线过样本点的中心（，）B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小D．在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时预报变量平均增加0.2个单位4．函数f（x）=e x﹣3x﹣1（e为自然对数的底数）的图象大致是（）A． B． C．D．5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，其图象关于直线x=对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C． D．6．已知三个向量，，共面，且均为单位向量，•=0，则|+﹣|的取值范围是（）A．[﹣1， +1]B．[1，]C．[，]D．[﹣1，1]7．某几何体的三视图如图所示（在右边的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（）A．48 B．54 C．60 D．648．已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200 B．﹣100 C．0 D．﹣509．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）A．①②B．①③C．②④D．①④10．已知x，y满足约束条件，若2x+y+k≥0恒成立，则直线2x+y+k=0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长的最大值为（）A．10 B．2 C．4 D．311．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且=3，抛物线的准线l与x轴交于点C，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1CF的面积为12，则准线l的方程为（）A．x=﹣B．x=﹣2C．x=﹣2 D．x=﹣112．已知函数f（x）=ax+elnx与g（x）=的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣e B．a＞1 C．a＞e D．a＜﹣3或a＞1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知命题p：∀n∈N，n2＜2n，则￢p为．14．程序框图如图，若输入s=1，n=10，i=0，则输出的s为．15．已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，M为△PF1F2的内心，满足S=S△+λS若该双曲线的离心率为3，则λ=、S分别为△MPF1、△MPF2、△MF1F2的面积）（注：S、S△=3a n+8n+6，若{a n）为递增数列，则实数a的取值范围为．16．已知数列{a n}中，a1=a，a n+1三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）点D满足=2，且线段AD=3，求2a+c的最大值．18．（12分）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，AD=SD=2，BA=BS=4．（Ⅰ）证明：BD⊥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．19．（12分）人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0﹣25db（分贝），并规定测试值在区间（0，5]为非常优秀，测试值在区间（5，10]为优秀，某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为（0，10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数X，求X的分布列与数学期望．（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发声情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4，测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号a1，a2，a3，a4（其中a1，a2，a3，a4为1，2，3，4的一个排列），若Y为两次排序偏离程度的一种描述，Y=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，求Y≤2的概率．20．（12分）已知椭圆C： +y2=1的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，且MF⊥NF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点．（Ⅰ）求△MFN的面积的最小值；（Ⅱ）证明；E，O，D三点共线．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣1+aln（1﹣x），a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．证明：＞．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）过原点O且关于y轴对称点两条直线l1与l2分别交曲线C2于A、C和B、D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+4|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a＜﹣2时，f（x）的最小值为1，求实数a的值．（Ⅱ）当f（x）=|x+a+4|时，求x的取值范围．2017年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|0≤x≤5}，B={x∈N*|x﹣1≤2}则A∩B=（）A．{x|1≤x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【考点】1E：交集及其运算．【分析】容易求出B={1，2，3}，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={1，2，3}，且A={x|0≤x≤5}；∴A∩B={1，2，3}．故选C．【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．2．若z是复数，z=．则z•=（）A．B．C．1 D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，然后代入z•计算得答案．【解答】解：由z==，得，则z•=．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．下列说法错误的是（）A．回归直线过样本点的中心（，）B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小D．在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时预报变量平均增加0.2个单位【考点】BK：线性回归方程．【分析】利用线性回归的有关知识即可判断出．【解答】解：A．回归直线过样本点的中心（，），正确；B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；C．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确；D．在线性回归方程=0.2x+0.8中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确．综上可知：只有C不正确．故选：C．【点评】本题考查了线性回归的有关知识，考查了推理能力，属于中档题．4．函数f（x）=e x﹣3x﹣1（e为自然对数的底数）的图象大致是（）A． B． C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】利用导数判断f（x）的单调性和单调区间，根据单调性和单调区间得出答案．【解答】解：f′（x）=e x﹣3，令f′（x）=0得x=ln3．∴当x＜ln3时，f′（x）＜0，当x＞ln3时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，ln3）上单调递减，在（ln3，+∞）上单调递增．故选D．【点评】本题考查了函数单调性与单调区间的判断，属于中档题．5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，其图象关于直线x=对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C． D．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的周期性求得ω的值，再利用它的图象的对称性，求得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的最小正周期为=π，∴ω=2．根据其图象关于直线x=对称，可得2•+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，则|φ|的最小值为，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于基础题．6．已知三个向量，，共面，且均为单位向量，•=0，则|+﹣|的取值范围是（）A．[﹣1， +1]B．[1，]C．[，]D．[﹣1，1]【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），得|+﹣|=，结合图形求出它的最大、最小值．【解答】解：三个向量，，共面，且均为单位向量，•=0，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），则+﹣=（1﹣x，1﹣y），||==1；∴|+﹣|==，它表示单位圆上的点到定点P（1，1）的距离，其最大值是PM=r+|OP|=1+，最小值是|OP|﹣r=﹣1，∴|+﹣|的取值范围是[﹣1， +1]．故选：A．【点评】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，是中档题．7．某几何体的三视图如图所示（在右边的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（）A．48 B．54 C．60 D．64【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是底面为矩形的四棱锥，根据图中数据计算它的表面积即可．【解答】解：由三视图可知：该几何体是底面为矩形的四棱锥，如图所示；根据图中数据，计算它的表面积为S=S矩形ABCD+S△PAB+2S△PAD+S△PCD=3×6+×6×4+2××3×5+×6×5=60．故选：C．【点评】本题考查了利用几何体三视图求表面积的应用问题，是基础题．8．已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200 B．﹣100 C．0 D．﹣50【考点】85：等差数列的前n项和；3F：函数单调性的性质．【分析】由函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1轴对称，平移可得y=f（x）的图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，可得y=f（x）的图象关于x=﹣1对称，由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则{a n}的前100项的和为=﹣100故选：B．【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．9．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）A．①②B．①③C．②④D．①④【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用祖暅原理分析题设中的四个图形，能够得到在①和④中的两个几何体满足祖暅原理．【解答】解：在①和④中，夹在两个平行平面之间的这两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，截面面积都相等，∴①④这两个几何体的体积一定相等．故选：D．【点评】本题考查满足祖暅原理的两个几何体的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知x，y满足约束条件，若2x+y+k≥0恒成立，则直线2x+y+k=0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长的最大值为（）A．10 B．2 C．4 D．3【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出2x+y的最小值，结合2x+y+k≥0恒成立求得k的范围，再由直线与圆的关系可得当k=6时，直线2x+y+k=0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长最大，从而求得最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，﹣2），令z=2x+y，化为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣6．由2x+y+k≥0恒成立，得﹣k≤2x+y恒成立，即﹣k≤﹣6，则k≥6．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心（1，2）到直线2x+y+k=0的距离d=，当k≥6时，d．∴当d=时，直线2x+y+k=0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长最大，为2．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．11．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且=3，抛物线的准线l与x轴交于点C，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1CF的面积为12，则准线l的方程为（）A．x=﹣B．x=﹣2C．x=﹣2 D．x=﹣1【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设|BF|=m，|AF|=3m，则|AB|=4m，p=m，∠BAA1=60°，利用四边形AA1CF的面积为12，建立方程，求出m，即可求出准线l的方程．【解答】解：设|BF|=m，|AF|=3m，则|AB|=4m，p=m，∠BAA1=60°，∵四边形AA1CF的面积为12，∴=12，∴m=，∴=，∴准线l的方程为x=﹣，故选A．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查四边形面积的计算，正确运用抛物线的定义是关键．12．已知函数f（x）=ax+elnx与g（x）=的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣e B．a＞1 C．a＞e D．a＜﹣3或a＞1【考点】6D：利用导数研究函数的极值；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可知：令f（x）=g（x），化简求得t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，根据h（x）的单调性求得方程根所在的区间，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．【解答】解：由ax+elnx=，整理得：a+=，令h（x）=，且t=h（x），则t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，求导h′（x）==0，解得：x=e，∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）单调递减，则当x→+∞时，h（x）→0，如图所示，由题意可知方程有一个根t1在（0，1）内，另一个根t2=1或t2=0或t2∈（﹣∞，0），当t2=1方程无意义，当t2=0时，a=1，t1=0不满足题意；则t2∈（﹣∞，0），由二次函数的性质可知：，即，解得：a＞1，故选：B．【点评】本题考查函数零点与函数方程的关系，考查利用导数判断函数的极值，考查二次函数的性质，考查数形结合思想，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知命题p：∀n∈N，n2＜2n，则￢p为∃n0∈N，n02≥．【考点】2J：命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．【解答】解：∵命题p是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题，可知：￢p：∃n0∈N，n02≥，故答案为：∃n0∈N，n02≥【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，比较基础．14．程序框图如图，若输入s=1，n=10，i=0，则输出的s为1025．【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得s=1，n=10，i=0，执行循环体，s=2，i=1满足条件i＜11，执行循环体，s=1++…+=1+1024=1025，故答案为：1025．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．15．已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，M为△PF1F2的内心，满足S=S△+λS若该双曲线的离心率为3，则λ=（注：S、S、S分别为△MPF1、△MPF2、△MF1F2的面积）△【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设△PF1F2的内切圆的半径r，运用三角形的面积公式和双曲线的定义，以及离心率公式，化简整理即可得到所求值．【解答】解：设△PF1F2的内切圆的半径r，由满足S=S+λS，可得△r•|PF1|=r•|PF2|+λ•r•|F2F1|，即为|PF1|=|PF2|+λ•|F2F1|，即为|PF1|﹣|PF2|=λ•|F2F1|，由点P为双曲线右支上一点，由定义可得2a=λ•2c，即a=λc，由e===3，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积公式的运用，注意运用定义法解题，以及离心率公式，考查运算能力，属于中档题．16．已知数列{a n}中，a1=a，a n+1=3a n+8n+6，若{a n）为递增数列，则实数a的取值范围为（﹣7，+∞）．【考点】8H：数列递推式．【分析】a n+1=3a n+8n+6，a1=a，可得：n=1时，a2=3a+14．n≥2时，a n=3a n﹣1+8n﹣2，相减可得：a n+1﹣a n+4=3（a n﹣a n﹣1+4），a=﹣9时，可得a n+1﹣a n+4=0，数列{a n}是单调递减数列，舍去．由数列{a n+1﹣a n+4}是等比数列，首项为2a+18，公比为3．利用“累加求和”方法可得a n，根据{a n）为递增数列，因此∀n∈N*，a n+1＞a n都成立．解出即可得出．【解答】解：∵a n+1=3a n+8n+6，a1=a，∴n=1时，a2=3a1+14=3a+14．n≥2时，a n=3a n﹣1+8n﹣2，相减可得：a n+1﹣a n=3a n﹣3a n﹣1+8，变形为：a n+1﹣a n+4=3（a n﹣a n﹣1+4），a=﹣9时，可得a n+1﹣a n+4=0，则a n+1﹣a n=﹣4，是单调递减数列，舍去．∴数列{a n+1﹣a n+4}是等比数列，首项为2a+18，公比为3．∴a n+1﹣a n+4=（2a+18）×3n﹣1．∴a n+1﹣a n=（2a+18）×3n﹣1﹣4．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2a+18）×（3n﹣2+3n﹣3+…+3+1）﹣4（n﹣1）+a=（2a+18）×﹣4n+4+a=（a+9）（3n﹣1﹣1）﹣4n+4+a．＞a n都成立．∵{a n）为递增数列，∴∀n∈N*，a n+1∴（a+9）（3n﹣1）﹣4（n+1）+4+a＞（a+9）（3n﹣1﹣1）﹣4n+4+a．化为：a＞﹣9，∵数列{}单调递减，∴n=1时取得最大值2．∴a＞2﹣9=﹣7．即a＞﹣7．故答案为：（﹣7，+∞）．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）（2017•安徽一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）点D满足=2，且线段AD=3，求2a+c的最大值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理和余弦定理，即可求出cosB以及B的值；（Ⅱ）结合题意画出图形，根据图形利用余弦定理和基本不等式，即可求出2a+c的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，=，∴=，∴ac﹣c2=a2﹣b2，∴ac=a2+c2﹣b2，∴cosB===；又B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）如图所示，点D满足=2，∴BC=CD；又线段AD=3，∴AD2=c2+4a2﹣2•c•2acos=c2+4a2﹣2ac=9，∴c2+4a2=9+2ac；又c2+4a2≥2c•2a，∴4ac≤9+2ac，∴2ac≤9；∴（2a+c）2=4a2+4ac+c2=9+6ac≤9+3×9=36，∴2a+c≤6，即2a+c的最大值为6．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合题．18．（12分）（2017•石家庄一模）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，AD=SD=2，BA=BS=4．（Ⅰ）证明：BD⊥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）用余弦定理求出BD=2，从而利用勾股定理得BD⊥AD，BD⊥SD，由此能证明BD⊥平面SAD．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣SB﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵∠SAD=30°，AD=SD=2，∴∠SDA=120°，SA==6，∵底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，BA=BS=4．∴cos60°=，解得BD=2，∴AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，∵SD2+BD2=SB2，∴BD⊥SD，∵AD∩SD=D，∴BD⊥平面SAD．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，2，0），S（﹣，0，3），=（3，0，﹣3），=（），=（﹣，2，﹣3），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，），设平面BCS的法向量=（a，b，c），则，取b=3，得=（0，3，2），设二面角A﹣SB﹣C的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣SB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查应用意识，属于中档题．19．（12分）（2017•石家庄一模）人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0﹣25db（分贝），并规定测试值在区间（0，5]为非常优秀，测试值在区间（5，10]为优秀，某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为（0，10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数X，求X的分布列与数学期望．（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发声情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4，测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号a1，a2，a3，a4（其中a1，a2，a3，a4为1，2，3，4的一个排列），若Y为两次排序偏离程度的一种描述，Y=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，求Y≤2的概率．【考点】B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据题意得X的可能值为0，1，2，3，4，求出对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）序号a1，a2，a3，a4的排列总数为，计算Y≤2对应的种数为Y=0或Y=2时共4种，求出对应的概率值．【解答】解：（Ⅰ）X的可能值为0，1，2，3，4，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==；∴X的分布列为数学期望为EX=0×+1×+2×+3×+4×=1.6；（Ⅱ）序号a1，a2，a3，a4的排列总数为=24种，∵Y=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，当Y=0时，a1=1，a2=2，a3=3，a4=4；当Y=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|=2时，a1，a2，a3，a4的可能取值为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=3；a1=1，a2=3，a3=2，a4=4；a1=2，a2=1，a3=3，a4=4；∴Y≤2的概率为P（Y≤2）==．【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是综合题．20．（12分）（2017•安徽一模）已知椭圆C： +y2=1的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，且MF⊥NF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点．（Ⅰ）求△MFN的面积的最小值；（Ⅱ）证明；E，O，D三点共线．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）F（1，0），设M（0，t1），N（0，t2）．不妨设t1＞t2．由MF⊥NF，可得=0，化为：t1t2=﹣1．S△MFN=，利用基本不等式的性质即可得出．（II）A（﹣，0）．设M（0，t），由（1）可得：N（0，﹣），（t≠±1）．直线AM，AN的方程分别为：y=x+t，y=x﹣．分别与椭圆方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系可得k OE，k OD．只要证明k OE=k OD．即可得出E，O，D三点共线．【解答】（I）解：F（1，0），设M（0，t1），N（0，t2）．不妨设t1＞t2．∵MF⊥NF，∴=1+t1t2=0，化为：t1t2=﹣1．∴S△MFN==≥=1．当且仅当t1=﹣t2=1时取等号．∴△MFN的面积的最小值为1．（II）证明：A（﹣，0）．设M（0，t），由（1）可得：N（0，﹣），（t≠±1）．直线AM，AN的方程分别为：y=x+t，y=x﹣．联立，化为：（1+t2）x2+2t2x+2t2﹣2=0，∴﹣x E=，可得x E=，y E=×+t=，可得k OE=．联立，化为：（1+t2）x2+2x+2﹣2t2=0，可得：x D=，解得x D=，y D=×﹣=，可得k OD=．∴k OE=k OD．∴E，O，D三点共线．【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率与三点共线关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017•石家庄一模）已知函数f（x）=x2﹣1+aln（1﹣x），a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．证明：＞．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导，由二次函数的性质，当a≥，函数f′（x）＜0恒成立，则f（x）在（﹣∞，1）上单调减函数，a＜，函数的两个极值点，根据函数的单调性即可求得实数a 的取值范围；（Ⅱ）由题意可知：﹣2x2+2x﹣a=0，在x＜1有两个不等式的实根，利用韦达定理即可求得x1，x2，分别求得﹣，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性求得﹣＞0，即可求得＞．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣∞，1），求导：f′（x）=2x﹣=，x＜1，令g（x）=﹣2x2+2x﹣a，则△=4﹣4（﹣2）（﹣a）=4﹣8a，当4﹣8a≤0时，即a≥，则﹣2x2+2x﹣a≤0恒成立，则f（x）在（﹣∞，1）上单调减函数，当4﹣8a＞0时，即a＜，则﹣2x2+2x﹣a=0的两个根为x1=，x2=，当x∈（﹣∞，x1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（x1，），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，不符合题意，综上可知：函数f（x）为定义域上的单调函数，则实数a的取值范围（，+∞）；（Ⅱ）证明：由函数有两个极值点，则f′（x）=0，在x＜1上有两个不等的实根，即﹣2x2+2x﹣a=0，在x＜1有两个不等式的实根，x1，x2，由0＜a＜，则，且x1∈（0，），x2∈（，1），则===﹣（1+x1）+2x1ln（1﹣x1），同理可得：=﹣（1+x2）+2x2ln（1﹣x2），则﹣=（x2﹣x1）+2x1ln（1﹣x1）﹣2x2ln（1﹣x2），=2x2﹣1+2（1﹣x2）lnx2﹣2x2ln（1﹣x2），令g（x）=2x﹣1+2（1﹣x）lnx﹣2xln（1﹣x），x∈（，1），求导，g′（x）=﹣2ln[x（1﹣x）]+ +，x∈（，1），由x∈（，1），则+＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在x∈（，1），上单调递增，则g（x）＞g（）=0，则﹣＞0，∴＞成立．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数的单调及极值的关系，二次函数的性质，考查构造法，考查计算能力，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•安徽一模）在平面直角坐标系，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）过原点O且关于y轴对称点两条直线l1与l2分别交曲线C2于A、C和B、D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C2的普通方程，即可求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）设四边形ABCD的周长为l，设点A（2cosα，sinα），则l=8cosα+4sinα=4sin（α+θ），cosθ=，sinθ=，由此，可求直线l1的普通方程．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x2+y2=4，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2： +y2=1，∴曲线C2的参数方程为（α为参数）；（Ⅱ）设四边形ABCD的周长为l，设点A（2cosα，sinα），则l=8cosα+4sinα=4sin（α+θ），cosθ=，sinθ=，α+θ=+2kπ（k∈Z）时，l取得最大值，此时cosα=sinθ=，sinα=cosθ=，A（，），∴直线l1的普通方程为y=x．【点评】本题考查求直线l1的普通方程，考查参数方程的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•安徽一模）已知函数f（x）=|2x+4|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a＜﹣2时，f（x）的最小值为1，求实数a的值．（Ⅱ）当f（x）=|x+a+4|时，求x的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a＜2时，写出分段函数，利用函数f（x）的最小值为1，求实数a的值．（Ⅱ）由条件求得（2x+4）•（x﹣a）≤0，分类讨论求得x的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+4|+|x﹣a|的零点为﹣2和a，当a＜﹣2时，f（x）=，∴f（x）min=f（﹣2）=2﹣4﹣a=1，得a=﹣3＜﹣2（合题意），即a=﹣3．（Ⅱ）由f（x）=|2x+4|+|x﹣a|，可得|2x+4|+|x﹣a|=|x+a+4|．由于|2x+4|+|x﹣a|≥|x+a+4|，当且仅当（2x+4）•（x﹣a）≤0时，取等号．当a=﹣2时，可得x=2，故x的范围为{2}；当a＞﹣2时，可得﹣2≤x≤a，故x的范围为[﹣2，a]；当a＜﹣2时，可得a≤x≤﹣2，故x的范围为[a，﹣2]．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

河北省邯郸市2017年高考一模数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2230|,|2A x x x B x x =-<=≥-,则AB =（ ）A ．(]2,3B ．[]2,3C ．()2,3D ．[)2,32．已知,a b ∈R ,i 为虚数单位,当()i i 1i a b +=-时,则iia b a b +=-（ ） A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -3．已知向量,a b 满足()2,3,7a b a b a ==-=,则a 与b 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6 4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为(),0F c -,上顶点为B ,若直线c y x b =与FB 平行,则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．2D ．35．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列,BC 边上的中线2AD AB ==,则ABC S =△（ ）A ．3B ．C ．D ．66．从5种主料职工选2种,8种辅料中选3种烹制菜肴,烹制方式有5种,那么最多可以烹制出不同的菜肴种数为（ ） A ．18B ．200C ．2 800D ．33 6007．执行如图所示的程序框图,则输出的结果是（ ）A ．8B ．13C ．21D ．348．如图,在边长为2的正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,则过,,C M D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分的面积是（ ）A ．23B ．43C ．52D ．839．设{}n a 是公差为2的等差数列2n n b a =,若{}n b 为等比数列,则12345b b b b b ++++=（ ） A ．142B ．124C ．128D ．14410．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）ABCD11ABCD （四个面都是正三角形）,在侧棱AB 上任取一点P （与,A B 都不重合）,若点P 到平面BCD 及平面ACD 的距离分别为,a b ,则41a b+的最小值为（ ） A ．72B ．4C ．92D ．512．设()()()(),e xf x f xg xh x ==-,且()g x 为偶函数,()h x 为奇函数,若存在实数m ,当,1[]1x ∈﹣时,不等式()()0mg x h x +≥成立,则m 的最小值为（ ）A ．22e 1e 1-+B ．22e 1+C ．22e 1e 1+-D ．221e 1e -+二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分）． 13．已知函数()41,05log ,0x f x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩,则()3f f ⎡-⎤=⎣⎦__________．14．已知函数()()(),012,111f x ax b f f =+<<<<--,则2a b -的取值范围是___________． 15．已知三个命题,,p q m 中只有一个是真命题,课堂上老师给出了三个判断：:A p 是真命题；:B p q ∨是假命题；:C m 是真命题．老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的,那么三个命题,,p q m 中的真命题是___________．16．已知点(),0A a ,点P 是双曲线22:14x C y -=右支上任意一点,若||PA 的最小值为3,则a =__________．三、解答题：本大题共5小题,共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知,a b 分别是ABC △内角,A B 的对边,且2sin cos sin b A A B =,函数()22sin cos sin sin 22f A x A x x =-,π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）求函数()f x 的值域．18．如图,在五棱锥P ABCDE -中,ABE △是等边三角形,四边形BCDE 是直角梯形且90DEB CBE ∠=∠=︒,G 是CD 的中点,点P 在底面的射影落在线段AG 上．（Ⅰ）求证：平面PBE ⊥平面APG ；（Ⅱ）已知2,AB BC ==,侧棱PA 与底面ABCDE 所成角为45,PBE S ︒=△,点M 在侧棱PC 上,2CM MP =,求二面角M AB D --的余弦值．19．某校后勤处为跟踪调查该校餐厅的当月的服务质量,兑现奖惩,从就餐的学生中随机抽出100位学生对餐厅服务质量打分（5分制）,得到如图柱状图．（Ⅰ）从样本中任意选取2名学生,求恰好有1名学生的打分不低于4分的概率；（Ⅱ）若以这100人打分的频率作为概率,在该校随机选取2名学生进行打分（学生打分之间相互独立）记X 表示两人打分之和,求X 的分布列和()E X ．（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果,后勤处对餐厅服务质量情况定为三个等级,并制定了对餐厅相应的奖惩方案,如表所示,设当月奖金为Y （单位：元）,求E Y （）．20．已知F 为抛物线()2:20E x py p =>的焦点,直线:2Pl y kx =+交抛物线E 于,A B 两点． （Ⅰ）当|1,8|k AB ==时,求抛物线E 的方程；（Ⅱ）过点,A B 作抛物线E 的切线12,l l ,且12,l l 交点为P ,若直线PF 与直线l 斜率之和为32-,求直线l 的斜率．21．已知函数()()2ln 0f x x a x a -=>的最小值是1．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）若关于x 的方程()()2e 69e 0x xf x mf x m -+=-在区间[)1,+∞有唯一的实根,求m 的取值范围．从22、23题中任选一题作答． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线12,C C 的极坐标方程分别为π2sin ,cos 4⎛⎫=- ⎪⎝⎭ρθρθ（Ⅰ）求1C 和2C 交点的极坐标；（Ⅱ）直线l的参数方程为：12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,直线l 与x 轴的交点为P ,且与1C 交于,A B 两点,求||PA PB +． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数()2||f x ax =-．（Ⅰ）当2a =时,解不等式()1f x x >+； （Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x f x m+-<有实数解,求m 的取值范围．广东省广州市2017届高三12月模拟考试理科数学试卷答 案一、选择题（1）~（5）BDABA（6）~（10）CDCBB（11）~（12）DA二、填空题 （13）6 （14）40 （15）3 （16）2 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）因为1a =，2cos 2C c b +=，由余弦定理得2221222b c c b b+-⨯+=,即221b c bc +-=．……………………（2分）所以22211cos 222b c bc A bc bc +-===．…………………………………………（4分）由于0πA ＜＜，所以π3A =．…………………………………………（6分）（Ⅱ）法1：由12b =及221bc bc +-=，得2211()122c c +-=，……………………（7分）即24230c c --=，………………………………………………………………（8分）解得c =或c =（舍去）．…………………………………………（9分） 由正弦定理得sin sin c aC A=，…………………………………………（10分）得sin sin60C =︒………………………………………（12分） 法2：由12b =及正弦定理得sin sin b aB A=，…………………………………………（7分）得1sin sin6024B =︒=．…………………………………………（8分）由于b a ＜，则060B A ︒=︒＜＜，则cos B ==…………………………………………（9分） 由于180A B C ++=︒，则120C B =︒-．………………………………………（10分）所以sin sin(120)C B =︒-sin120cos cos120sin B B =︒-︒．………………………………………（11分）12+E8=．……………………………………………………………（12分） （18）解： （Ⅰ）150.46780.16EX a b =⨯+++⨯=，即67 3.2a b +=，……………………（1分） 又由1X 的概率分布列得0.40.11,0.5a b a b +++=+=，……………………（2分） 得0.3a =，0.2b =．…………………………………………………………（4分） （Ⅱ）由已知得，样本的频率分布表如下：………………………………………………………………（5分）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列如下：………………………………………………………………（6分）所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………（7分） 即乙厂产品的等级系数的数学期望为4.8．……………………………………………（8分） （Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为616=，…………（9分） 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.81.24=，…（10分）据此，乙厂的产品更具可购买性．……………………………………………（12（19）解：（Ⅰ）因为ABC △是等边三角形，M 是AB 的中点， 所以CM AB ⊥．…………………………………（1分） 因为EA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以CM EA ⊥．…………………………………（2分） 因为AM EA A =I ，所以CM ⊥平面EAM ．……………………（3分） 因为EM ⊂平面EAM ，所以CM EM ⊥．……………………………（4分）（Ⅱ）法1：以点M 为坐标原点，MC 所在直线为x 轴，MB 所在直线为y 轴，过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -．PNM DEB A因为DB ⊥平面ABC ，所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角．……………………………………（5分） 由题意得tan 2BDDMB MB∠==，即2BD MB =，…………………………………（6分） 从而BD AC =．不妨设2AC =，又2AC AE =，则CM =1AE =.…………………………（7分） 故(0,1,0)B，C ，(0,1,2)D ，(0,1,1)E -．……………………………（8分）于是1,0)BC =-uu u r ，(0,0,2)BD =uu u r，(1,1)CE =-uu u r，(CD =uu u r， 设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为111(,,)m x y z =u r ，222(,,)n x y z =r由00m BC m BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r uu u r g u r uu u rg，得111020y z -==⎪⎩，令11x =，得1y =所以m =u r．…………………………………（9分）由00n CE n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩r uu u r g r uu u r g，得222222020y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，令21x =，得2y =2z =．所以(1,n =r ．…………………………………（10分）所以cos ,0||||m nm n m n <>==u r ru r r g u r r ．…………………………………（11分）所以二面角B CD E --的余弦值为0．…………………………………（12分） 法2：因为DB ⊥平面ABC ，所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角．…………………………………（5分） 由题意得tan 2BDDMB MB∠==，即2BD MB =，…………………………………（6分） 从而BD AC =．不妨设2AC =，又2AC AE =，则CM =1AE =，2AB BC BD ===．…………………………………（7分） 由于EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，则EA BD ∥． 取BD 的中点N ，连接EN ，则2EN AB ==． 在Rt END △中，ED == 在Rt EAC △中，EC = 在Rt CBD △中，CD ==取CD 的中点P ，连接EP ，BP ，BE ，则EP CD ⊥，BP CD ⊥…………………………………（8分）所以EPB ∠为二面角B CD E --的平面角．…………………………………（9分） 在Rt EPC △中，EP ==，在Rt CBD △中，12BP CD ==在Rt EAB △中，EB =因为2225EP BP EB +==，…………………………………（10分） 所以90EPB ∠=︒．…………………………………（11分）所以二面角B CD E --的余弦值为0．…………………………………（12分） （20）解：（Ⅰ）设圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为(,)x y ，由于动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切，且与圆222:(2)1F x y -+=相内切，所以动圆P 与圆1F 只能内切．…………………………………（1分）所以1271PF RPF R ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩…………………………………（2分）则121264PF PF F F +=>=．…………………………………（3分） 所以圆心P 的轨迹是以点1F ，2F 为焦点的椭圆， 且3a =，2c =，则2225b a c =-=．所以曲线C 的方程为22195x y +=．…………………………………（4分）（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，33(,)Q x y ，直线MN 的方程为2x my =+，由222195x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得22(59)20250m y my ++-=，则1222059m y y m +=-+，1222559y y m =-+．…………………………………（5分）所以||MN =（6分）2230(1)59m m +=+．…………………………………（7分） 因为MN OQ ∥，所以QMN △的面积等于OMN △的面积．…………………（8分）点O 到直线:2MN x my =+的距离d =．……………………………（9分）所以QMN △的面积221130(1)||2259m S MN d m +==⨯=+g .………（10分）t =，则221(1)m t t =-≥，2230303045(1)9545t t S t t t t===-+++．设4()5(1)f t t t t=+≥，则222454()5t f t t t -'=-=． 因为1t ≥，所以2254()0t f t t -'=＞．所以4()5f t t t=+在[1,)+∞上单调递增．所以当1t =时，()f t 取得最小值，其值为9．…………………………………（11分）所以QMN △的面积的最大值为309．…………………………………（12分） 说明：QMN △的面积2121||||2S OF y y =-==g ．（21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．()ln mx nf x m x x+'=+．………………………………………………………………（1分） 依题意得(e)e f =，'(e)2f =，即e e e 2e m n m nm +=⎧⎪+⎨+=⎪⎩……………………（3分） 所以1m =，0n =．………………………………………………………………（4分） 所以()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+．当1(0,)e x ∈时，()0f x '<；当1(,)ex ∈+∞时，()0f x '>．所以函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e，单调递增区间是1(,)e +∞.………………（6分）（Ⅱ）当a ，b +∈R 时，()()()22f a f b a bf ++≥．()(b)()22f a f a b f ++≥等价于ln ln ln222a ab b a b a b+++≥， 也等价于2ln (1)ln(1)ln20a a a ab b b b-+++≥．………………………………………（7分）不妨设a b ≥，设()ln(2)(1)ln(1)ln2g x x x x x =-+++（[1,)x ∈+∞）则()ln(2)ln(1)g x x x '=-+．…………………………………………………………（8分） 当[1,)x ∈+∞时，()0g x '≥，所以函数()g x 在[1,)+∞上为增函数，即()ln2(1)ln(1)ln2(1)0g x x x x x g =-+++≥=，……………………（9分）故当[1,)x ∈+∞时，()ln2(1)ln(1)ln20g x x x x x =-+++≥（当且仅当1x =时取等号）．令1a x b =≥，则()0ag b ≥，…………………………………………（10分） 即2ln (1)ln(1)ln20a a a a b b b b-+++≥（当且仅当a b =时取等号），……………（11分） 综上所述，当a ，b +∈R 时，()()()22f a f b a bf ++≥（当且仅当a b =时取等号）………（12分）（22）解：（Ⅰ）由sin 1cos x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩消去t 得cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=，……………………（1分）所以直线l 的普通方程为cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=．……………………（2分） 由2cos 4sin ρθθ=，得2(cos )4sin ρθρθ=，……………………（3分） 把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得24x y =，所以曲线C 的直角坐标方程为24x y =．…………………………………………（5分） （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入24x y =，得22sin 4cos 40t t ϕϕ--=，………………（6分）当πϕ=时，||AB 的最小值为4．…………………………………………（10分）11 / 11（Ⅱ）因为()()|21||21||(21)(21)|23f x f x x x x x +--++--+==≥………………（7分） （8分） （9分） （10分）。