【全优设计】高中数学 第一章 集合的基本关系目标导学 北师大版必修1

最新北师⼤版⾼中数学必修⼀第⼀章集合教案（精品教学设计）第⼀章集合课题:§0 ⾼中⼊学第⼀课（学法指导）教学⽬标：了解⾼中阶段数学学习⽬标和基本能⼒要求，了解新课程标准的基本思路，了解⾼考意向，掌握⾼中数学学习基本⽅法，激发学⽣学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。

教学过程：⼀、欢迎词：1、祝贺同学们通过⾃⼰的努⼒，进⼊⾼⼀级学校深造。

希望同学们能够以新的⾏动，圆满完成⾼中三年的学习任务，并祝愿同学们取得优异成绩，实现宏伟⽬标。

2、同学们军训⾟苦了，收获应是：吃苦耐劳、严肃认真、严格要求3、我将和同学们共同学习⾼中数学，暂定⼀年，…4、本节课和同学们谈谈⼏个问题：为什么要学数学？如何学数学？⾼中数学知识结构？新课程标准的基本思路？本期数学教学、活动安排？作业要求？⼆、⼏个问题：1.为什么要学数学：数学是各科之研究⼯具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等⾼科技应⽤的需要；⽣活实践应⽤的需要。

2.如何学数学：请⼏个同学发表⾃⼰的看法→共同完善归纳为四点：抓好⾃学和预习；带着问题认真听课；独⽴完成作业；及时复习。

注重⾃学能⼒的培养，在学习中有的放⽮，形成学习能⼒。

⾼中数学由于⾼考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加⼤难度，即能够思考完成⼀些课后练习册，教材上每章复习参考题⼀定要题题会做。

适当阅读⼀些课外资料，如订阅⼀份数学报刊，购买⼀本同步辅导资料.3.⾼中数学知识结构：书本：⾼⼀上期（必修①、②），⾼⼀下期（必修③、④），⾼⼆上期（必修⑤、选修系列），⾼⼆下期（选修系列），⾼三年级：复习资料。

知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块）能⼒：运算能⼒、逻辑思维能⼒、空间想像能⼒、分析和解决实际问题的能⼒、应⽤能⼒。

4.新课程标准的基本理念：①构建共同基础，提供发展平台；②提供多样课程，适应个性选择；③倡导积极主动、勇于探索的学习⽅式；④注重提⾼学⽣的数学思维能⼒；⑤发展学⽣的数学应⽤意识；⑥与时俱进地认识“双基”；⑦强调本质，注意适度形式化；⑧体现数学的⽂化价值；⑨注重信息技术与数学课程的整合；⑩建⽴合理、科学的评价体系。

1 1.2 集合的基本关系本节教材分析课本从学生熟悉的集合（自然数的集合、有理数的集合等）出发，通过类比实数的大小关系引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如归纳等.值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用venn 图表，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导区分一些容易混淆的关系和符号.三维目标1．知识与技能(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

(2)理解子集.真子集的概念。

(3)能使用venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2. 过程与方法让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.3.情感.态度与价值观(1)树立数形结合的思想 ．(2)体会类比对发现新结论的作用.教学重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.教学难点：难点是属于关系与包含关系的区别.教学建议：本节的重点是集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念..难点是属于关系与包含关系的区别教学时，应通过具体例子，借助Venn 图，帮助学生直观理解集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.用图形直观说明.注意区分属于关系与包含关系，且注意包含与属于符号的方向.新课导入设计导入一:我们知道，实数有相等大小关系，如5=5，35,75><等等，类比实数之间的关系，集合之间有什么关系？教师直接点出课题.导入二：复习元素与集合的关系，举例让学生分析.引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论.教师强调集合也有，这就是我们本节课所要学习的内容.。

§1 集合的含义与表示1．理解集合的概念，会判断元素与集合的关系．2．理解并记住集合中元素的性质．3．熟记常用数集的符号．4．理解列举法和描述法，能运用它们表示集合．1．集合一般地，指定的某些对象的__________称为集合，集合中的每个对象叫作这个集合的__________．集合常用大写字母A，B， C，D，…标记．2．元素与集合的关系(1)关系：__________或_________．(2)表示：若元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a__________A；若元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a__________A.集合中元素的性质：①确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必为其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．②互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．③无序性：集合中的元素是没有顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分．3．数集(1)定义：________________的集合简称数集．(2)常见数集：自然数集记为_______________；整数集记为_______________；正整数集记为_______________；有理数集记为_______________；实数集记为_______________．【做一做1】下列关系正确的是( )．A．0∈N＋ B．πR C．1Q D．0∈Z 4．集合的表示法(1)列举法：把集合中的________________一一列举出来写在大括号内的方法．(2)描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 这种用确定的____表示某些对象是否____这个集合的方法叫作描述法．在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时，可省去竖线及其代表元素．如所有直角三角形组成的集合，可以表示为{直角三角形}，但不能表示为{所有直角三角形}，因为{ }本身就有“所有”“全部”的意思．【做一做2－1】集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是( )．A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}【做一做2－2】 3和4的所有正的公倍数的集合为__________．5．集合的分类按所含元素的个数分为：有限集和无限集．含________个元素的集合叫有限集，含________个元素的集合叫无限集．6．空集不含有任何__________的集合叫作空集，记作.数0，{0}，，{}的关系：数0不是集合，{0}是含一个元素0的集合，而是不含任何元素的集合，{}是指以为元素的集合．答案：1．全体元素2．(1)属于不属于(2)∈3．(1)数(2)N Z N＋Q R【做一做1】 D4．(1)元素(2)条件属于【做一做2－1】 A【做一做2－2】 {x|x＝12k，k∈N＋}5．有限无限6．元素1．对于集合定义的理解剖析：(1)集合中的元素是具体的，它的属性是明确的，即对于某一集合而言，任何一个元素要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必为其一．(2)对于一个集合，应该从整体的角度来看待它，例如由“我们班的学生”组成的一个集合A，这就是一个整体．(3)要注意组成集合的对象的广泛性：一方面，任何一个确定的对象，都可以组成一个集合，如人、物、数、方程、不等式等都可以作为构成集合的对象；另一方面，集合本身也可以作为集合的对象．2．结合实例说明集合中元素的性质特征剖析：(1)确定性．作为集合的元素，必须是确定的，对于集合A和元素a，要么a∈A，要么a A，二者必为其一，且只为其一．如：所有大于100的数组成一个集合．集合中的元素是确定的，而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如：“很大的树”“较高的人”等都不能构成集合．(2)互异性．对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，任何两个相同的对象在同一集合中只能出现一次．如：由a，a2组成一个集合，则a的取值不能是0或1.(3)无序性．集合中元素的次序无先后之分，如：小于3的正整数，可以表示为{1,2}，也可以表示为{2,1}，它们都表示同一个集合．由此可见，利用集合的三个特征性质来判定元素是否能构成集合，是非常有效的方法．题型一集合的判定【例1】 判断下列每组对象能否构成一个集合．(1)美丽的小鸟；(2)不超过20的非负整数；(3)立方接近零的正数；(4)直角坐标系中，第一象限内的点．分析：要判定每组对象能否构成集合，可先分析各组对象所具有的条件是否明确，若明确，再结合元素所必须具备的特征作出判断．反思：判定元素能否构成集合，关键看这些元素是否具有确定性和互异性．如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则不能构成集合．题型二 集合中元素的性质的应用【例2】 已知x 2∈{1,0，x}，求实数x 的值．分析：分类讨论x 2是集合中的哪个元素，要根据集合中元素的互异性进行取舍．反思：本题是应用集合中元素的性质来解决的．这类问题既要讨论元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，初学者解题时易忽视元素的互异性，必须在学习中高度重视．另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想．题型三 集合的表示【例3】 用适当的方法表示下列集合．(1)化简式子x |x|＋y |y|(x ，y 为非零实数)所得结果构成的集合； (2)大于4的所有奇数组成的集合；(3)直角坐标系内第二象限的点组成的集合；(4)方程(x －1)(x 2－5)＝0的根组成的集合．分析：(1)根据x ，y 值的符号，两项分别可得1或－1，化简的结果有3种情形，用列举法表示集合；(2)奇数的表达式为2k ＋1(k∈N )，由于有无数个元素，可用描述法表示；(3)代表的元素是有序实数对(x ，y )，用描述法表示；(4)只有3个根，用列举法表示．反思：1.用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如(2)小题．2．对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复；③不考虑元素顺序．题型四 求参数的取值范围【例4】 已知集合A ＝{x |ax 2－2x －1＝0，x ∈R }，若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．分析：由描述法可知集合A 是关于x 的方程ax 2－2x －1＝0的实数解集，首先应考虑方程是不是一元二次方程．反思：已知集合中元素的个数，求其中某参数的取值范围时，关键是对集合的表示法的正确理解．本题中，由于集合A 是方程的解集，所以转化为讨论方程根的问题．答案：【例1】 解：(1)中“美丽”的范畴太广，不具有明确性，因此不能构成集合；(2)中的元素可以列举出来：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21个数；(3)中接近零的界限不明确；(4)中元素具有无限个，但条件明确，即所有横、纵坐标均大于0的点均在该集合中．综上可知(2)(4)能构成集合，(1)(3)不能构成集合．【例2】 解：若x 2＝0，则x ＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去．若x 2＝1，则x ＝±1.当x ＝1时，集合为{1,0,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去；当x ＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合要求．若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合集合中元素的互异性，都舍去．综上可知，x ＝－1.【例3】 解：(1) {0,2，－2}．(2){x |x ＝2k ＋1，k ≥2且k ∈N }．(3){(x ，y )|x ＜0且y ＞0}．(4){－5，1，5}．【例4】 解：当a ＝0时，方程只有一个根－12，则a ＝0符合题意． 当a ≠0时，则关于x 的方程ax 2－2x －1＝0是一元二次方程．由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程ax 2－2x －1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝ 4＋4a ≤0.解得a ≤－1.综上可得，实数a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≤－1}．1 下列所给的对象不能构成集合的是( )．A ．某公司的全体员工B ．2009年全国经济百强县C ．2010年考入北京大学的全体学生D ．美国NBA 的篮球明星2 给出下列关系：①12∈R Q ；③|－3|N ＋；④|-∈N . 其中正确关系的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．43 集合{x ∈N ＋|x －3＜2}用列举法可表示为( )．A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}4 集合A ＝{x |mx 2＋2x ＋2＝0}中只有一个元素，则m 的值构成的集合为__________．5 选择适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合；(3)一次函数y ＝x ＋6图像上所有点组成的集合．答案：1．D 根据集合中元素的确定性来判断是否构成集合．因为选项A ，B ，C 中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项D 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA 球员是否为篮球明星，所以不能构成集合．2．B ①②正确，③④错误．3．B {x ∈N ＋|x －3＜2}＝{x ∈N ＋|x ＜5}＝{1,2,3,4}．4.10,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭当m ＝0时，A ＝{－1}满足题意； 当m ≠0时，由Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，A ＝{－2}满足题意． 5．解：(1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}． (2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为5,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. (3)一次函数y ＝x ＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}．。

1 集合的含义与表示1．集合的含义(1)集合与元素一般地，指定的某些对象的全体称为集合，集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．集合中的每个对象叫作这个集合的元素，元素常用小写字母a，b，c，d，…标记．集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)集合中元素的三个性质①确定性给定一个集合A，任何一个对象a是不是这个集合的元素就确定了．要么a在集合A中，要么a不在集合A中，二者必居之一．不允许有模棱两可的情况出现．例如：“我们班的高个子同学”就不具备确定性，因为组成集合的标准不明确，身高是多少时算“高个子”？再如“著名科学家”“较大的数”等，都不能组成集合，原因是各对象间找不出公共特征、属性，即元素的“指定”．②互异性在给定的集合中，元素是互异的．也就是说，集合中的任何两个元素都不相同，因此，集合中的元素没有重复现象．例如，方程(x－1)2(x＋3)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－3，其中1是二重根，在写由该方程的根构成的集合时，1只能出现一次，即只能写成由1和－3两个元素组成的集合，而不能写成由1,1，－3三个元素组成的集合．③无序性集合中元素的无序性，是指在表示一个集合时，我们只需将某些指定的对象集中在一起，虽然习惯上会将某些元素按一定顺序来写出，但却不强调它们的顺序，例如：由元素a，b 组成的集合与由元素b，a组成的集合是同一个集合．(3)元素与集合的关系1．符号“∈”，“∉”是表示元素与集合之间关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系的，这一点务必牢记；2．“a ∈A ”或“a ∉A ”取决于a 是不是集合A 中元素，如果是，用a ∈A ；否则，用a ∉A .【例1－1】下列语句：①2012年伦敦奥运会上获得金牌的运动员可以构成一个集合；②世界上所有的“大款”可以构成一个集合；③由实数x ，－x 所组成的集合里最多有2个元素；④小于5的正整数组成的集合中的元素可按顺序1,2,3,4书写，也可按顺序2,4,3,1书写． 其中正确的是________．解析：在①中，由于获得金牌的运动员是确定的，因此它能组成一个集合．在②中，由于“大款”没有一个确定的标准，因而不能判定一个人到底是不是“大款”，故它不能组成集合．在③,0,||,0,x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩x =-，所以由集合中元素的互异性知，当x ＝0时，由实数x ，－x 所组成的集合里只有一个元素0；当x ≠0时，集合里有两个元素x 和－x .④符合集合中元素的无序性．答案：①③④【例1－2】设不等式3－2x ＜0的解集为M ，下列关系正确的是( )．A ．0∈M,2∈MB ．0∉M,2∈MC ．0∈M,2∉MD ．0∉M,2∉M解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x ＜0的解即可．当x ＝0时，3－2x ＝3＞0，所以0不是不等式3－2x ＜0的解，故0∉M ；当x ＝2时，3－2x ＝－1＜0，所以2是不等式3－2x ＜0的解，故2∈M .答案：B2．常用的数集及其记法在数学中，最常用到的集合是关于数的集合，简称为数集．例如：不等式的解集、方程的解集等等．随着学习的深入，经常会用到自然数、整数、正整数、有理数、实数各自构成的集合，为了表达起来方便，对于这些常用的数集，我们专门指定一些大写字母来表示(如下表)：警误区N与N＋的区别在这些特定集合符号中，N与N＋的区别为：N比N＋多一个元素0，也就是说，自然数集包括数0,0是最小的自然数．再就是符号N＋中的“＋”号在下标位置，不能写成N＋.【例2】R；0.3∈Q；0∈N；0∈{0}；0∈N＋；12∈N＋；－π∈Z；－5∈Z.其中正确的关系式的个数是()．A．4 B．5 C．6 D．7解析：判断数与常用数集之间的关系，关键是要牢记各数集字母所表示的集合的意义，R，0.3∈Q,0∈N,0∈{0},0∉N＋，12∈N＋，－π∉Z，－5∈Z，所以正确的关系式有5个．答案：B3．集合的表示方法集合的常用表示方法有列举法、描述法．(1)列举法把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法叫作列举法．一般来说，对于元素较少的集合常用列举法表示．例如：中国的直辖市构成的集合用列举法可表示为{北京，上海，天津，重庆}，关于x的方程x－a＝0的解集可写成{a}．破疑点用列举法表示集合的几点注意事项用列举法表示集合时，必须注意如下几点：①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合的元素必须是明确的；③不必考虑元素出现的先后顺序；④集合的元素不能重复；⑤集合的元素可以表示任何事物，如人、物、地点、数等；⑥对含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，也可用列举法表示，但是必须把元素间的规律显示清楚后，才能用省略号表示，如N＋＝{1,2，3，…}，所有正偶数组成的集合可写成{2,4,6,8，…}．(2)描述法用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法叫描述法．用描述法表示集合的具体方法是：在大括号内先写上表示这个集合元素的代表符号及取值范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出这个集合中元素所满足的条件．例如，不等式x ＋5＜1的整数解组成的集合可以表示为{x∈Z|x＋5＜1}；方程x2－2x－3＝0的解集可以表示为{x|x2－2x－3＝0}；函数y＝－3x＋1图像上的点(x，y)的集合可以表示为{(x，y)|y＝－3x ＋1}．破疑点 用描述法表示集合的几点注意事项使用描述法表示集合时注意：①弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式；②弄清元素所满足的条件是什么，当用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑；③当条件中出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围；④当集合的元素有无数多个，或者集合的元素是有限个但比较多时，用列举法显然不能或不容易表示出集合，这时就采用描述法．【例3－1】不等式|8－3x |＞0的解集是( )．A ．∅B ．RC ．8|3x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭ D ．83⎧⎫⎨⎬⎩⎭解析：由|8－3x |＞0可知，8－3x ≠0，即83x ≠，所以不等式|8－3x |＞0的解集是8|3x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭. 答案：C【例3－2】用列举法表示下列集合：①小于7的所有正偶数组成的集合；②方程x 3＝x 2的解集．分析：列举法是把集合中的全部元素一一列举出来写在大括号内的方法，因此①中要明确小于7的所有正偶数有哪些；②中要明确方程x 3＝x 2的实数根的大小，即要解方程．解：①∵小于7的正偶数有2,4,6，∴小于7的所有正偶数组成的集合为{2,4,6}．②由x 3＝x 2得，x 2(x －1)＝0，∴x ＝0或x ＝1.∴方程x 3＝x 2的解集为{0,1}．【例3－3】用描述法表示下列集合：①函数y ＝－2x 2＋x －9图像上的所有点组成的集合；②不等式2x －3＜1的解组成的集合；③如图中阴影部分的点(含边界)的集合．分析：描述法是用确定的条件表示某些对象属于一个集合的方法，在应用时，关键是写出这个集合中元素的代表符号及其所满足的条件．①集合中的元素是点，因此元素的代表符号可用(x ，y )表示，元素满足的条件是y ＝－2x 2＋x －9；②集合中的元素是不等式的解，可用不等式中未知数x 来表示元素，满足的条件是2x －3＜1；③集合中的元素也是点，用(x ，y )来表示元素，满足的条件可由阴影部分点的横坐标x 和纵坐标y 的取值范围来确定．解：①函数y ＝－2x 2＋x －9的图像上的所有点组成的集合可表示为{(x ，y )|y ＝－2x 2＋x －9}．②不等式2x －3＜1的解组成的集合可表示为{x |2x －3＜1}，即{x |x ＜2}．③图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为31(,)|1,1,022x y x y xy ⎧⎫-≤≤-≤≤≥⎨⎬⎩⎭. 4．集合的分类按集合中元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集．(1)有限集：含有限个元素的集合叫有限集，如{0,1,9}，有限集常用列举法表示．(2)无限集：含无限个元素的集合叫无限集，如{x |x ＞7}，无限集常用描述法表示．(3)空集：不含有任何元素的集合叫作空集，记作∅.如小于5且大于6的实数组成的集合是空集．引进空集的概念是出于实际的需要，在集合论中，空集有重要的意义．如“方程在某个数集中无解”就可以说成“在某个数集上方程的解集是空集”．警误区 {0}与∅的区别{0}与∅的区别：{0}表示含有一个元素0的集合，是一个非空集合，而∅表示空集，不含任何元素．【例4－1】判断下列集合是有限集，还是无限集，并选择适当的方法表示．①1和70组成的集合；②大于1且小于70的自然数组成的集合；③大于1且小于70的实数组成的集合．分析：观察本题中的三个集合，可以看出均是用文字语言来描述的集合．①中集合仅有两个元素，是有限集，用列举法表示；②中集合有68个元素，是有限集，但元素个数较多，所以可用描述法表示；③中集合有无数个元素，是无限集，用描述法表示．解：①设1和70组成的集合为A，则集合A中仅有两个元素，是有限集，用列举法可表示为A＝{1,70}．②设大于1且小于70的自然数组成的集合为B，则集合B中有68个元素，用描述法可表示为B＝{x∈N|1＜x＜70}．③设大于1且小于70的实数组成的集合为C，则集合C中有无数个元素，用描述法可表示为C＝{x∈R|1＜x＜70}．可简记为{1＜x＜70}．【例4－2】下列四个集合中，表示空集的是________．①{x∈N||x|＝5}；②{x|x＞2，且x＜1}；③{x|2x2＋3x－2＝0}；④{(x，y)|y2＝－x2}．解析：空集是不含任何元素的集合．在①中由|x|＝5得x＝±5，又因为x∈N，所以x ＝5，故①中集合含有一个元素5，不是空集；在②中，因为没有大于2且小于1的实数，所以②中集合是空集；在③中，因为方程2x2＋3x－2＝0的解是x＝－2或12x ，所以③中集合有两个元素－2，12，不是空集；在④中，由y2＝－x2知，x2＋y2＝0，所以x＝y＝0，故④中集合有一个元素(0,0)，不是空集．答案：②5．集合中元素的“三性”问题集合中的元素具有“三性”，即“确定性、互异性、无序性”．对于含参数的集合问题，有时可利用这三个性质找到解题的切入点，列方程或方程组求出参数的值．值得注意的是，最后需检验所得结果是否符合集合元素的互异性，这一点要引起足够的重视．例如，已知集合A＝{1,0，x}，x2∈A，求实数x的值．由元素与集合的关系可知x2＝1,0或x.解得x＝－1,0或1.当x＝0或1时，不满足集合中元素的互异性，故舍去，所以实数x 的值为－1.【例5】由三个实数组成的集合，既可以表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可以表示为{a 2，a ＋b,0}，则a 2 013＋b 2 013＝__________. 解析：法1：根据集合中元素的确定性，我们不难得到两个集合中的元素是相等的，这样需要列方程组分类讨论，显然复杂又繁琐．仔细观察两个集合中的元素可发现，要使b a 有意义，则a ≠0，于是必有0b a=，即b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝－1或a ＝1.当a ＝1时不满足集合中元素的互异性，故舍去．因此a ＝－1.故a 2 013＋b 2 013＝(－1)2 013＋02 013＝－1.法2：根据两集合中的元素相等，可以得到两集合中元素的和相等，元素的积相等，于是，221,1()0,b a a a b a b a a a b a⎧++=++⎪⎪⎨⎪⋅⋅=⋅+⋅⎪⎩∴0,±1,b a =⎧⎨=⎩经检验a ＝－1.所以a 2 013＋b 2 013＝－1. 答案：－16．列举法和描述法的选取列举法和描述法是集合的常用表示方法．用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．用什么方法表示集合，要具体问题具体分析．一般情况下，常根据集合中所含元素的个数来选择表示集合的方法，对所含元素较少的有限集宜采用列举法，对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法．【例6】用适当的方法表示下列集合：(1)被3除余1的自然数组成的集合；(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合．解：(1)由于被3除余1的自然数有无数个，所以此集合是无限集，适合用描述法表示．又因为这些自然数常表示为3n ＋1(n ∈N )，所以此集合可表示为{x |x ＝3n ＋1，n ∈N }．(2)由题意知，满足条件的正整数有3,5,7,11,13,17,19，此集合中的元素有7个，所以此集合是有限集，用描述法可表示为{x |x 是小于20的奇质数}；用列举法可表示为{3,5,7,11,13,17,19}．考虑到在没有指定集合的表示方法时，能明确表示的集合要明确表示出来，因此本题选择用列举法{3,5,7,11,13,17,19}表示更好．7．数集与点集的区分方法集合的元素类型多是以数、点、集合、图形等形式出现，对于已知集合，必须知道集合中的元素是什么，特别是对于用描述法给定的集合，要弄清它的代表元素是什么，元素满足什么条件．如果一个集合中所有元素均是数，那么这个集合称为数集．同样，如果一个集合中所有元素均是点，那么这个集合称为点集．例如：集合A＝{x|1＜x＜2}中元素代表符号是x，满足1＜x＜2，即大于1且小于2的实数组成的集合，故集合A是数集；集合B＝{(x，y)|y＝2x＋1}中元素代表符号是有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝2x＋1，则(x，y)可看作一次函数y＝2x＋1图像上的点的坐标，故集合B是点集．因此，形如{x|x满足的条件}的集合是数集，形如{(x，y)|x，y满足的条件}的集合是点集．【例7】判断正误：(1)|3y＋3|＝0的解集是1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；()(2)方程x2＋x－6＝0的解集为{(－3,2)}．()解析：在(1)中，由方程可知210,330,xy-=⎧⎨+=⎩即1,21.xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩|3y＋3|＝0的解集是点集1,12⎧⎫⎛⎫-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭，而不是数集1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；在(2)中，方程x2＋x－6＝0的解是x＝－3或x＝2，故此方程的解集是数集{－3,2}，而不是点集{(－3,2)}．答案：(1)×(2)×8．集合语言在函数、不等式、方程等方面的应用集合语言是现代数学的基本语言，是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言．集合语言与其他语言的关系以及它的构成如下：集合语言的不同形态各有自己的特点，符号语言比较简洁、严谨，可大大缩短语言表达的“长度”，有利于推理、计算；图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互间的关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和帮助理解的作用(在后面的学习中可深刻体会到这一点)；文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来．将集合语言具体化为自然语言，将它们描述的语言形象化、直观化，是解决集合问题的常用技巧．【例8－1】已知集合A＝{x|ax2－2x－1＝0，x∈R}，若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．分析：集合A是用描述法表示的关于x的方程ax2－2x－1＝0的解集．由于A中至多有一个元素，则关于x的方程ax2－2x－1＝0仅有一个实数解或无实数解，这样就转化为讨论关于x的方程ax2－2x－1＝0的实数解的个数问题，首先考虑该方程是否是关于x的一元二次方程，也就是对a是否等于0分类讨论．解：当a＝0时，方程为－2x－1＝0，解得12x=-，即a＝0，符合题意；当a≠0时，则关于x的方程ax2－2x－1＝0是一元二次方程，∵集合A中至多有一个元素，∴一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个相等的实数根或没有实数根．∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.综上可得，实数a满足的条件是a＝0或a≤－1.【例8－2】若集合M＝{0,1,2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为()．A．9B．6C．4D．2解析：在集合N中，由于x，y∈M，而M＝{0,1,2}，所以(x，y)的值共有9种取法：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，可采用代入验证法，将x，y的值代入条件x－2y＋1≥0和x－2y－1≤0，快速选择答案．我们可以得出N＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,1)}．答案：C9．与集合有关的新概念问题与集合有关的新概念问题除了考查基本概念外，还会考查一些新定义的集合问题．以集合概念为背景给出新的定义，使问题变得新颖巧妙，这类问题的特点是信息“新”，意义深刻，往往具有一定的实际背景．解决这类问题的关键是理解透彻集合的概念、表示方法、集合中元素的性质以及所给的新定义．求解时，应紧扣题目中给出的新定义，将新、旧知识联系起来，并用已有的解题方法来分析、解决问题．有时可将集合中的元素一一列举出来，然后得出正确的答案．【例9－1】设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为()．A．9 B．8 C．7 D．6解析：由P＋Q的含义可知，当P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}时，元素和有：0＋1＝1,0＋2＝2,0＋6＝6,2＋1＝3,2＋2＝4,2＋6＝8，5＋1＝6,5＋2＝7，5＋6＝11，而0＋6＝5＋1，重复，只计一次．所以P＋Q中共有8个不同的元素1,2,3,4,6,7,8,11.答案：B【例9－2】设⊕是R上的一个运算，A是某些实数组成的集合．若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()．A．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集解析：该题以信息给予的形式辨别运算．自然数集中的减法运算的结果可能产生负数，如3－4＝－1∉N；整数集中的除法运算的结果可能产生小数，如2÷4＝0.5∉Z；无理数集2∈Q，故选C.答案：C。

参考资料 学习帮手§1.1.2集合间的基本关系【课标定向】学习目标理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集;在具体情境中了解空集的含义；能用Venn 图表示集合的关系. 提示与建议子集是描述两个集合关系的概念.集合A 是集合B 的子集的本质是:集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,无论是有限集还是无限集,只要是集合A 的元素就一定是集合B 的元素.特别注意: ∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.【互动探究】自主探究1.用___________代表集合，这种图称为Venn 图．2. 如果_____________，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集．记作：___________．3. 若集合A B ⊆，_________，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）记作___________．4.⊆⊇若集合ＡＢ且ＡＢ，则称集合Ａ与集合Ｂ_________，记作___________．5.空集是指_________，记作___________．6.写出{1,2}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.7. 下列六种关系中正确的是_____． ①{}a a ⊆， ②∅{a }， ③a a b ∈｛｝｛，｝，④a a ⊆｛｝｛｝，⑤a b ∅∈｛，｝，⑥a a b ∈｛，｝．剖例探法★讲解点一 子集与真子集1.如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集．记作：()A B B A ⊆⊇或．读作：A 包含于B ，或B 包含A ．即任意x ∈A 都有x ∈B ⇔A B ⊆．2.若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。

记作：AB （或B A ）. 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.A B ⇔A B ⊆，且存在x B x A ∈∉且.3.子集的性质⑴规定：空集是任意集合的子集，即∅⊆A ． 所以空集是任意非空集合的真子集，即若A ≠∅，则∅A ．⑵传递性：若B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆；若AB ，A C ，则A C ． 例题 1 已知{1,2}⊆A{1,2,3,4}写出所有的集合A .【思维切入】根据子集，真子集的定义求解. 【解析】适合题意的A 有{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.【规律方法总结】集合A 含有1,2，在内的二元素或三元素集合，且满足A {1,2,3,4}例题2 已知集合A ＝{–1，3，2m –1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝____【思维切入】B ⊆A ,说明B 中的所有元素都属于A ，3是A 的元素, m 2也是A 的元素,所以m2＝一l 或者m 2＝2m —1.【解析】∵B ⊆A ，∴3∈A A,m 2∈A ．∴m2＝一l(舍去)或m 2＝2m —1．解得m ＝1．∴m ＝1【规律技巧总结】解决这类问题,需要从分析集合间元素的关系入手,同时需要注意元素的互异性.★讲解点二 集合相等两个集合相等就是两个集合中元素都相同．从子集的角度考虑就是: A B B A ⊆⊆且⇔A B =例题3 已知集合{2,,}A x y =，2{2,2,}B x y =,且A =B ,求,x y 的值.【思维切入】由A =B 可得22x xy y =⎧⎨=⎩或22x y y x⎧=⎨=⎩,解后要验证2x y ≠≠,222x y ≠≠ 【解析】由A =B 可得22x x y y =⎧⎨=⎩或22x y y x⎧=⎨=⎩ 解得00x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩或1412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.ＸM B M参考资料学习帮手参考资料学习帮手。

第一章集合教学设计整体设计教学分析本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和络化，基本方法条理化．本章内容的三部分是独立，但又相互联系的，集合的含义与表示是基础，集合间的基本关系和基本运算是应用，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体．三维目标通过总结和归纳集合的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养其抽象思维能力．重点难点教学重点：①集合的基本结构．②判断两个集合间的关系．③交集、并集、补集的求法及其实际应用．教学难点：①集合的基本结构网络化、系统化．②有关补集的混合运算．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.建设高楼大厦的过程中，每建一层，都有质量检查人员验收，合格后，再继续建上一层，否则返工重建．我们学习知识也是这样，每学完一个章节都要总结复习，引出课题．思路2.为了系统掌握第一章的知识，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题①第一节是集合的含义与表示，分为几部分？②第二节是集合的基本关系，分为几部分？③第三节是集合的基本运算，分为几部分？④画出本章的知识结构图.活动：让学生自己回顾所学知识或结合教材，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按教材的章节标题来分类．对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图．讨论结果：①分为：集合的有关概念和集合的表示法两部分．②分为：子集、相等、真子集三部分．③分为：交集、并集、补集三部分．④第一章的知识结构图如图1所示：图1应用示例思路1例1设集合A＝{x|x≤13}，a＝23，那么下列关系正确的是( )．A．a⊂A B．a∈AC．a A D．{a}∈A分析：∵a＝23＝12＜13，∴a是集合A的元素．答案：B点评：本题主要考查元素与集合间的关系．变式训练1．设集合A＝{0，a}，且B＝{x|x∈A}，则集合A与集合B的关系是( )．A．A B B．B AC．A＝B D．A∈B分析：∵B＝{x|x∈A}，∴集合B中的任一元素都是集合A的元素，集合A中的任一元素都是集合B的元素．答案：C2．已知A ＝{x |x ＜3}，B ＝{x |x ＜a }，(1)若B ⊆A ，则a 的取值X 围是________；(2)若A B ，则a 的取值X 围是________．答案：(1)a ≤3 (2)a ＞3例2集合A ＝{x |x 2－3x －4＝0}，B ＝{x |mx －1＝0}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 分析：集合B 是关于x 的方程mx －1＝0的解集，∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，关于x 的方程mx －1＝0无解，则m ＝0；当B ≠∅时，x ＝1m ∈A ，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3m－4＝0， 即4m 2＋3m －1＝0.解得m ＝－1或14. 故填－1或0或14. 答案：－1或0或14黑色陷阱：本题容易忽视B ＝∅的情况，导致出现错误m ＝－1或14.避免此类错误的方法是考虑问题要全面，要注意空集是任何集合的子集．3设全集U ＝{x |0＜x ＜10，x ∈N ＋}，若A ∩B ＝{3}，A ∩(U B )＝{1,5,7}，(U A )∩(U B )＝{9}，求集合A 和B .分析：借助Venn 图来解决．解：U ＝{x |0＜x ＜10，x ∈N ＋}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，Venn 图如图2所示．图2所以A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,6,8}．点评：本题主要考查集合的基本运算以及应用知识解决问题的能力.变式训练1．已知集合A ＝{0,2,4,6}，U A ＝{－1，－3,1,3}，U B ＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.答案：B＝{－3,1,3,4,6}．2．已知全集S＝{1,3，x3＋3x2＋2x}，A＝{1，|2x－1|}，如果S A＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由．解：∵S A＝{0}，∴0∈S，但0∉A.∴x3＋3x2＋2x＝0，x(x＋1)(x＋2)＝0，即x1＝0，x2＝－1，x3＝－2.当x＝0时，|2x－1|＝1，A中已有元素1，则x＝0不合题意；当x＝－1时，|2x－1|＝3,3∈S，则S＝{1,3,0}，A＝{1,3}，则x＝－1符合题意；当x＝－2时，|2x－1|＝5，但5∉S，则x＝－2不合题意．∴实数x的值存在，它只能是－1，即x＝－1.思路2例1设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|－2＜x＜2}，则A∪B等于( )．A．{x|x＞－2} B．{x|x＞－1}C．{x|－2＜x＜－1} D．{x|－1＜x＜2}分析：方法一：利用数轴可得A∪B＝{x|x＞－2}，故选A.方法二：(代入验证法)很明显3∈A，则3∈(A∪B)，但是3∉{x|－2＜x＜－1},3∉{x|－1＜x＜2}，排除C，D；∈A，∈(A∪B)，∉{x|x＞－1}，排除B.答案：A变式训练1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3,6}，则集合U A 等于( )．A ．{1,4}B ．{4,5}C ．{1,4,5}D ．{2,3,6}答案：C2．设S ＝{x |2x ＋1＞0}，T ＝{x |3x －5＜0}，则S ∩T 等于( )．A ．∅B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >53 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <53 答案：D例2若集合P ＝{x |y ＝x 2}，Q ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }，则必有( )．A ．P ∩Q ＝∅B ．P QC ．P ＝QD ．P Q分析：从选项来看，本题是判断集合P ，Q 的关系，其关键是对集合P ，Q 的意义理解．集合P 是函数y ＝x 2的定义域，则集合P 是数集，集合Q 是函数y ＝x 2的图像上的点组成的集合，则集合Q 是点集，∴P ∩Q ＝∅.答案：A点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素．形如集合{x |x ∈P (x )，x ∈R }是数集，形如集合{(x ，y )|x ，y ∈P (x ，y )，x ，y ∈R }是点集，数集和点集的交集是空集.变式训练定义集合A 与B 的运算A *B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B ，且x ∉A ∩B }，则(A *B ) *A 等于( )．A ．A ∩B B ．A ∪BC ．AD ．B分析：设A ＝{1,2,3,4}，B ＝{1,2,5,6,7}，则A *B ＝{3,4,5,6,7}，于是(A *B ) *A ＝{1,2,5,6,7}＝B .答案：D点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A B 的本质就是集合A 与B 的并集中除去它们公共元素组成的集合. 知能训练1．已知集合P ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，集合Q ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则P ∩Q 等于( )．A ．{1,2,3}B ．{2,3}C ．{1,2}D ．{2}分析：明确集合P ，Q 的运算，依据交集的定义求得．P ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，Q ＝{－3,2}，则P ∩Q ＝{2}，故选D. 答案：D点评：集合P 是大于等于1且小于等于10的自然数组成的集合，集合Q 是方程x 2＋x －6＝0的解集，解答本题关键是将这两个集合化简后再运算．2．设全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S ＝{1,3,5}，T ＝{3,6}，则U (S ∪T )等于( )．A ．∅B ．{2,4,7,8}C ．{1,3,5,6}D ．{2,4,6,8}分析：直接观察(或画出Venn 图)，得S ∪T ＝{1,3,5,6}，则U (S ∪T )＝{2,4,7,8}，故选B.答案：B点评：求解用列举法表示的数集运算时，首先看清集合元素的特征，理解并确定集合中的元素，最后通过观察或借助于数轴、Venn 图写出运算结果． 课堂小结本节课总结了第一章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法．作业 1．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }，若A 中元素至多有1个，则a 的取值X 围是________．答案：a ＝0或a ≥982．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ≤3}，N ＝{x |x ＜1}，求M ∩N ，M ∪N ，(U M )∩N ，M ∩(U N )，(U M )∩(U N )，(U M )∪(U N )．分析：借助数轴，依据集合的运算定义写出结果．解：由题意得M ∩N ＝{x |x ＜1}，M ∪N ＝{x |x ≤3}，∁U M ＝{x |x ＞3}，∁U N ＝{x |x ≥1}，则(∁U M )∩N ＝{x |x ＞3}∩{x |x ＜1}＝∅， M ∩(U N )＝{x |x ≤3}∩{x |x ≥1}＝{x |1≤x ≤3}，(U M )∩(U N )＝{x |x ＞3}∩{x |x ≥1}＝{x |x ＞3}，(U M )∪(U N )＝{x |x ＞3}∪{x |x ≥1}＝{x |x ≥1}．设计感想本节在设计过程中注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考的要求，对教材内容适当拓展．备课资料[备用习题]1．向50名学生调查对A ，B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的学生数比对A ，B 都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A ，B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？分析：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，Venn 图法等，需要考生切实掌握．本题主要强化学生的这种能力．解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用Venn 图直观地表示出来．解：赞成A 的人数为50×35＝30，赞成B 的人数为30＋3＝33，如图3，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合B .图3设对事件A ，B 都赞成的学生人数为x ，则对A ，B 都不赞成的学生人数为x 3＋1， 赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x ， 依题意(30－x )＋(33－x )＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1＝50， 解得x ＝21.所以对A ，B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人．点评：本题难点在于所给的数量关系错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索．画出Venn 图，形象地表示出各数量关系间的联系．2．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－2x －8＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋a 2－12＝0}，B ⊆A ，某某数a 的取值集合．解：A ＝{－2,4}，∵B ⊆A ，∴B ＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}．若B ＝∅，则a 2－4(a 2－12)＜0，a 2＞16，a ＞4或a ＜－4；若B ＝{－2}，则(－2)2－2a ＋a 2－12＝0且Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，解得a ＝4； 若B ＝{4}，则42＋4a ＋a 2－12＝0且Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，此时a 无解；若B ＝{－2,4}，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝4－2，a 2－12＝－2×4.∴a ＝－2.综上知，所某某数a 的集合为{a |a ＜－4，或a ＝－2，或a ≥4}．3．集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}．(1)若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值；(2)若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．解：由已知，得B ＝{2,3}，C ＝{2，－4}．(1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B .于是2,3是一元二次方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的两个根，由韦达定理，知⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝a ，2×3＝a 2－19.解之，得a ＝5.(2)由A ∩B ∅⇒A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，得3∈A,2∉A ，－4∉A ，由3∈A ，得32－3a ＋a 2－19＝0，解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A 矛盾； 当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，符合题意．∴a ＝－2.。

§2 集合的基本关系1．理解子集的概念，并能写出给定集合的子集、真子集．2．熟记集合相等的定义，能判定给定集合间的关系．3．会用Venn图表示或判断集合间的关系．1．Venn图(1)定义：在数学中，为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的____表示集合，称为Venn图．(2)使用方法：把____写在封闭曲线的内部．常把封闭曲线画成椭圆或矩形等图形．2．子集(1)一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的____，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A______集合B，或集合B包含集合A，这时我们说集合A 是集合B的子集，记作A____B(或B A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．(2)当A B时，用Venn图表示，如图①，图②所示．(3)规定：空集是任何集合的____，即A.子集性质：任何一个集合都是它本身的子集，即A A；对于集合A，B，C，如果A B，B C，那么A C.【做一做1】列举出集合{1,2,3}的所有子集．3．集合相等(1)定义1：只要构成两个集合的__________是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等.(2)定义2：如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即___________，且集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，即___________，那么就说集合A与集合B相等，记作A＝B.(3)图示：当A＝B时，用Venn图表示，如图所示．【做一做2】试确定整数x，y，使得{2x，x＋y}＝{7,4}．4．真子集(1)定义：如果集合A B，且________，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A )．(2)图示：当A B 时，用Venn 图表示，如图所示．(3)当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，记作A B (或B A )．空集是任何非空集合的真子集，即A (A ≠)．当A B 时，A B 或A ＝B .【做一做3】 下列说法正确的是( )． A ．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 B ．任何一个集合必有一个真子集 C ．任何集合都有子集 D ．空集不是空集的子集答案：1．(1)内部 (2)元素2．(1)元素 包含于 (3)子集【做一做1】 解：集合{1,2,3}的所有子集为，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共8个．3．(1)元素 (2)A B B A【做一做2】 解：由集合相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝7，x ＋y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4，x ＋y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5.又x ，y 是整数，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5.4．(1)A ≠B【做一做3】 C 此题主要考查对子集、真子集概念的理解以及空集的有关问题，注意以下几个结论：①任何非空集合既有子集又有真子集，而空集只有子集(空集本身)，没有真子集．②空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．故A ，B ，D 是错误的，应选C.1．如何理解子集的概念？剖析：(1) “A 是B 的子集”的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由任意x ∈A 能推出x ∈B .(2)不能把“AB ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为当A ＝时，A B ，但A 中不含任何元素；又当A ＝B 时，也有A B ，但A 中含有B 中的所有元素，这两种情况都使A B 成立．2．符号∈和有什么区别？剖析：符号∈只能适用于元素与集合之间，符号∈的左边只能写元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z ，2∈R ；符号只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，左边集合的元素均属于右边的集合，如{1}{1,0}，{x |x ＜2}{x |x ＜3}．题型一 确定集合的子集、真子集【例1】 设A ＝{x |(x 2－16)(x 2＋5x ＋4)＝0}，写出集合A 的子集，并指出其中哪些是它的真子集．分析：要确定集合A 的子集、真子集，首先必须清楚集合A 中的元素．由于集合A 中的元素是方程(x 2－16)(x 2＋5x ＋4)＝0的根，所以要先解该方程．反思：(1)求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类，再依次找出每类中符合要求的集合．(2)解决这类问题时，还要注意两个比较特殊的集合，即和集合自身．(3)集合的子集、真子集个数的规律为：含有n 个元素的集合有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．题型二 集合的相等【例2】 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y x ，B ＝{－x 2,0}，若A ＝B ，则x 2 009＋y 2 010＝__________，A ＝B＝__________.反思：解决此类问题的步骤：(1)利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数．(2)把所得数值依次代入集合验证，若满足元素的三个特性，则所求是可行的，否则应舍去．题型三 判断集合间的关系【例3】 设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝{ x |x ＝⎭⎬⎫k 4＋12，k ∈Z ，则( )．A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ∩N ＝反思：判断两个集合间的关系时，主要是根据这两个集合中元素的特征，结合有关定义来判断．对于用列举法表示的集合，只需要观察其元素即可得它们之间的关系；对于用描述法表示的集合，要从所含元素的特征来分析，分析之前可以用列举法多取几个元素来估计它们之间可能有什么关系，然后再加以证明．题型四 已知两集合之间的关系，求参数的范围【例4】 设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，已知B A .求实数m 的取值范围．分析：由BA 可得集合B ＝或B 中的任何一个元素都在集合A 中，可借助数轴解决．反思：已知两集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式．本题中，集合B 可能为易被忽视，要注意这一“陷阱”，B A 表明集合B 的元素都是集合A 的元素，其中包含B ＝.题型五 易错辨析 易错点 忽略空集致错【例5】 已知集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，Q ＝{x |mx －1＝0}，若Q P ，则实数m ＝__________.错解：由P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，得P ＝{－3,2}；由Q ＝{x |mx －1＝0}，得Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1m .∵QP ，∴1m ＝－3或1m ＝2，解得m ＝－13或m ＝12. 则实数m 的值可取－13或12.错因分析：当集合Q ＝，即m ＝0时，显然也满足QP ，错解中少了对这种情况的讨论．答案：【例1】 解：将方程(x 2－16)(x 2＋5x ＋4)＝0因式分解得(x －4)(x ＋1)(x ＋4)2＝0，则可得方程的根为x ＝－4或x ＝－1或x ＝4.故集合A ＝{－4，－1,4}，其子集为，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4,1,4}，真子集为，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．【例2】 －1 {－1,0} 根据集合相等的定义知x ＝0或y x＝0.当x ＝0时，y x 无意义，所以只能y x＝0，得y ＝0，代入A ，B 得A ＝{x,0}，B ＝{－x 2,0}． 又∵A ＝B ，∴－x 2＝x .∴x ＝0或x ＝－1. 当x ＝0时，不合题意，舍去．当x ＝－1时，A ＝{－1,0}，B ＝{－1,0}． ∴A ＝B ，符合题意．∴x 2 009＋y 2 010＝(－1)2 009＋02 010＝－1.【例3】 B M 中，x ＝k 2＋14＝2k ＋14，N 中，x ＝k ＋24，由于k ∈Z ，∴M 中的x 表示14的奇数倍，N 中的x 表示14的整数倍．∴M N .【例4】 解：当m －1＞2m ＋1，即m ＜－2时，B ＝，符合题意． 当m －1≤2m ＋1，即m ≥－2时，B ≠. 由B A ，借助数轴表示如图所示．则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－1，2m ＋1≤6，解得0≤m ≤52.综上所述，m ＜－2或0≤m ≤52.【例5】 正解：由P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，得P ＝{－3,2}．当m ＝0时，方程mx －1＝0无解，此时集合Q ＝，满足题意；当m ≠0时，方程mx －1＝0的解为x ＝1m，此时集合Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1m .∵Q P ，∴1m ＝－3或1m ＝2，解得m ＝－13或m ＝12.综上所述，实数m 的值为0或－13或12.1 下列关系中正确的个数为( )． ①0∈{0}；②{0}；③{0,1}{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}A ．1B ．2C ．3D ．4 2 集合A ＝{x |0≤x ＜3且x ∈N }的真子集的个数是( )．A ．16B ．8C ．7D ．43 已知集合A ＝{x ∈R |－2＜x ＜4}，B ＝{x |x －5＜0}，则A 与B 之间的关系为( )． A ．A B B ．A B C ．A ＝B D ．不确定4 已知集合M ＝{－8,1,9}，集合N ＝{1，m －1}，若N M ，则实数m ＝__________.5 已知M ＝{0,2，b }，N ＝{0,2，b 2}，且M ＝N ，求实数b 的值．答案：1．B ①②正确，③④错误．2．C 由题意知，A ＝{0,1,2}，故A 的真子集的个数是23－1＝7.3．A 为便于考察A ，B 中元素的范围，利用数轴把A ，B 表示出来，如图所示．∵x －5＜0，∴x ＜5.因此B 中元素不能都属于A ，但A 中元素都小于5(即都在B 中)，由真子集的定义知A 是B 的真子集．4．－7或10 ∵m －1∈N ，N M ，∴m －1∈M . ∴m －1＝－8或m －1＝9.∴m ＝－7或10.5．分析：由b ＝b 2解得b ，要注意满足集合元素的互异性．解：∵M ＝N ，∴b ＝b 2.解得b ＝1或b ＝0(舍去)．∴b ＝1.。

高一数学第一章《集合》全部教案北师大版必修（Ⅰ）第一课时高中入学第一课（学法指导）一、课题:高中入学第一课（学法指导）二、教学目标：了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。

三、教学过程：（一）、欢迎词：1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一级学校深造。

希望同学们能够以新的行动，圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同学们取得优异成绩，实现宏伟目标。

2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐劳、严肃认真、严格要求。

3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定一年， (4)本节课和同学们谈谈几个问题：为什么要学数学？如何学数学？高中数学知识结构？新课程标准的基本思路？本期数学教学、活动安排？作业要求？（二）、几个问题：1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。

2.如何学数学：请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听课；独立完成作业；及时复习。

注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。

高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参考题一定要题题会做。

适当阅读一些课外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料.3.高中数学知识结构：书本：高一上期（必修①、②），高一下期（必修③、④），高二上期（必修⑤、选修系列），高二下期（选修系列），高三年级：复习资料。

知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块）能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。

4.新课程标准的基本理念：①构建共同基础，提供发展平台；②提供多样课程，适应个性选择；③倡导积极主动、勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思维能力；⑤发展学生的数学应用意识；⑥与时俱进地认识“双基”；⑦强调本质，注意适度形式化；⑧体现数学的文化价值；⑨注重信息技术与数学课程的整合；⑩建立合理、科学的评价体系。