2.3 .1等差数列的前n项和

2.3 .1等差数列的前n 项和（一）教学目标：1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程和思想方法．2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题3.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思教学重点：等差数列n 项和公式的理解、推导及应教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 内容分析：本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和解决数列和的最值问题等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法 教学过程： 一、复习引入：首先回忆一下前几节课所学主要内容：1．等差数列的定义：n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数))3．几种计算公差d 的方法：① d=n a －1-n a ② d=11--n a a n ③ d=m n a a mn --4．等差中项：,,2b a ba A ⇔+=成等差数列5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒qp n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )6．数列的前n 项和： 数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记n S .“小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050 教师问：“你是如何算出答案的？ 高斯回答说：因为1+100=101； 2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050” 这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西（2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法二、讲解新课：如图，一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？ 这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的“小故事”问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前120项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n 来表示，且任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n 项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.1．等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ①1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=-- ∵=+=+=+--23121n n n a a a a a a∴)(21n n a a n S += 由此得：2)(1n n a a n S +=从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2． 等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+=用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得：2)1(1dn n na S n -+=此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1 （有时比较有用）总之：两个公式都表明要求n S 必须已知n a d a n ,,,1中三个公式二又可化成式子：n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式三、例题讲解例1 一个堆放铅笔的V 型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V 形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为{}n a ，其中120,11201==a a ，根据等差数列前n 项和的公式，得72602)1201(120120=+⨯=S答：V 形架上共放着7260支铅笔例2 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：设题中的等差数列为{}n a ，前n 项为n S则54,4)10()6(,101==---=-=n S d a由公式可得5442)1(10=⨯-+-n n n解之得：3,921-==n n （舍去）∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.例3一凸n 边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.解：由(n －2)·180＝100n ＋2)1(-n n ×10，求得n 2－17n ＋72＝0, n ＝8或n ＝9,当n ＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n ＝8.例4在等差数列{}n a 中，已知34151296=+++a a a a ，求前20项之和．分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求1a ，d 求解；也可以用等差数列的性质求解．解：法一 由343841151296=+=+++d a a a a a .由d a S 2192020120⨯+=d a 190201+=)384(51d a +=345⨯=170=法二 由)(10202)(20120120a a a a S +=⋅+=，而201129156a a a a a a +=+=+，所以17201=+a a ，所以170171020=⨯=a小结：在解决等差数列有关问题时，要熟练运用等差数列的一些性质．在本题的第二种解法中，利用q p n m a a a a +=+)(q p n m +=+这一性质，简化了计算，是解决这类问题的常用方法． 四．巩固练习1．求集合{}100*,7|<∈==m N n n m m M 且的元素个数，并求这些元素的和 解：由1007<n 得72147100=<n∴正整数n 共有14个，即M 中共有14个元素即：7，14，21，…，98 ，是以7为 首项，98为末项的等差数列。

∴7352)987(14=+⨯=n S 答：略2. 在等差数列{n a }中，若a1 － a4 － a8 － a1 2+ a15 =2，则S15= .3．等差数列{an}的首项为1a ，公差为d ，项数为n ，第n 项为n a ，前n 项和为n S ，请填4.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.五、小结 本节课学习了以下内容： 1.等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+=3.n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式六、课后作业： P46 .4题, 6题七、板书设计（略） 八、课后记：2.3.2 等差数列的前n 项和（二）教学目标1.知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值；2.过程与方法：经历公式应用的过程；3.情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。

教学重点熟练掌握等差数列的求和公式 教学难点灵活应用求和公式解决问题 授课类型：新授课 教学过程 Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1.等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+=Ⅱ.讲授新课例1.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 求其前n 项和的公式. 解：由题设：31010=S 122020=S 得： ⎩⎨⎧=+=+122019020310451011d a d a⎩⎨⎧==⇒641d a ：易得： n n n n n s n +=⨯-+=2362)1(4探究 1.n n n s s s 32,,之间的关系例2. 已知数列{},n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，求证：⑴6S ，12S -6S ，18S -12S 成等差数列；⑵n n n n n S S S S S 232,,-- （+∈N n ）成等差数列证明：设{},n a 首项是1a ，公差为d则6543216a a a a a a S +++++=∵121110987612a a a a a a S S +++++=-)6()6()6()6()6()6(654321d a d a d a d a d a d a +++++++++++= d S d a a a a a a 3636)(6654321+=++++++=∵∴1817161514131218a a a a a a S S +++++=-)6()6()6()6()6()6(121110987d a d a d a d a d a d a +++++++++++=d a a a a a a 36)(121110987++++++=d S S 36)(612+-=∴12186126,,S S S S S --是以36d 为公差的等差数列同理可得n n n n n S S S S S 232,,--是以2n d 为公差的等差数列.例3. 已知数列}{n a 的前n 项和为nn s n 212+=，求这个数列的通项公式.解：根据 n n n a a a a s ++++=-121 与1211--+++=n n a a a s , (n>1) 得：当n>1时，()()212121121221-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+=-=-n n n n n s s a n n n ⑴ 当n=1 时，231211211=⨯+==s a也满足⑴式所以数列}{n a 的通项公式为：212-=n a n探究2. 课本P51的探究活动一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？分析： 由2n S pn qn r =++，得11S a p q r ==++ 当2n ≥时1n n n a S S -=-=22()[(1)(1)]pn qn r p n q n r ++--+-+=2()pn p q -+ 1[2()][2(1)()]n n d a a pn p q p n p q -∴=-=-+---+=2p结论：通项公式是111,12(),2n n n S a p q r n a S S pn p q n -==++=⎧=⎨-=-+≥⎩当时当时 探究3. 对等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+=可化成式子：n )2da (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式，那么它有何作用呢？例4. 已知等差数列,743,724,5的前 n 项和n s ，求使得n s 最大的序号n 的值.解：由题意得，等差数列 ,743,724,5的公差为75-，所以56112521514514575)75)(1(52222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⨯=n n n n n s n 于是，当n 取与215最接近的整数即7或8时，n s 取最大值。