2018-2019学年苏教版必修一3.4函数的应用教案

问题1：方程x2－2x－3＝0和x2－2x＋1＝0的根分别是什么？提示：方程x2－2x－3＝0的根分别是－1,3；方程x2－2x＋1＝0的根是1.问题2：作出函数y＝x2－2x－3＝0和y＝x2－2x＋1的图象，指出它们与x轴的交点的坐标：提示：如图所示：函数y＝x2－2x－3的图象与x轴的交点是(－1,0)和(3,0)；函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴的交点是(1,0)．问题3：观察函数图象，它们的图象与x轴的交点与相应方程的根有什么关系？提示：函数图象与x轴交点的横坐标分别是相应方程的根．1．函数的零点：一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．2．函数y＝f(x)的零点，图象与x轴交点以及方程f(x)＝0的根之间的关系函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象，发现f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,1]上有零点，在[2,4]上也有零点．问题1：计算f(－2)与f(1)，f(2)与f(4)的积，并判断符号．提示：f(－2)f(1)＝－20<0，f(2)f(4)＝－15<0.问题2：在零点附近两侧，对于x的取值，对应函数值的乘积都小于零吗？提示：不一定．如函数y＝x2－2x＋1的零点是1，两侧对应函数值的乘积大于零．问题3：如果图象是连续不断的，函数y＝f(x)在[a，b]上，有f(a)f(b)<0，那么在[a，b]上一定有零点吗？有多少个？提示：有，个数不确定．函数的零点存在性定理：一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.1．函数的零点不是点，而是一个实数，当自变量取零点时，函数值为零．2．函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．[例1] 求下列函数的零点： (1)f (x )＝x 2－x －6；(2)f (x )＝x 3－x ； (3)f (x )＝(ax －1)(x －2)(a ∈R )．[思路点拨] 根据函数零点与方程根的关系，求函数的零点，就是求相应方程的实数根． [精解详析] (1)法一：令f (x )＝0，即x 2－x －6＝0. ∵Δ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25>0，∴方程x 2－x －6＝0有两个不相等的实数根x 1＝－2，x 2＝3. ∴函数f (x )＝x 2－x －6的零点是x 1＝－2，x 2＝3. 法二：由f (x )＝x 2－x －6＝(x －3)(x ＋2)＝0， 得x 1＝－2，x 2＝3.∴函数f (x )＝x 2－x －6的零点为x 1＝－2，x 2＝3. (2)∵x 3－x ＝x (x 2－1)＝x (x －1)(x ＋1)， ∴令f (x )＝0得x (x －1)(x ＋1)＝0. ∴f (x )的零点为x 1＝0，x 2＝1，x 3＝－1. (3)当a ＝0时，函数为f (x )＝－x ＋2， 令f (x )＝0，得x ＝2. ∴f (x )的零点为2.当a ＝12时，f (x )＝(12x －1)(x －2)＝12(x －2)2，令f (x )＝0得x 1＝x 2＝2. ∴f (x )有零点2. 当a ≠0且a ≠12时，令f (x )＝0得x 1＝1a，x 2＝2.∴f (x )的零点为1a，2.综上，当a ＝0时，f (x )的零点为2；当a ＝12时，函数有零点2；当a ≠0且a ≠12时，f (x )的零点为1a，2.[一点通] 根据函数零点的定义，求函数f (x )的零点就是求使f (x )＝0的x 的值，即方程f (x )＝0的根．一般求法是①代数法：解方程的思想．如求一元二次方程f (x )＝0的实数根常用求根公式、分解因式等方法；②几何法：函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标即为函数的零点．1．函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点为________．解析：由f (x )＝x 3－3x ＋2＝0得x 3－x －(2x －2)＝0，即(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x ＝1或x ＝－2.答案：1或－22．求下列函数的零点：(1)f (x )＝4x －3；(2)f (x )＝－x 2－2x ＋3； (3)f (x )＝x 4－1；(4)f (x )＝log 2x .解：(1)由于f (x )＝4x －3＝0，得x ＝34，所以函数f (x )＝4x －3的零点是34.(2)由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)，因此方程f (x )＝0的根为－3,1，故函数f (x )＝－x 2－2x ＋3的零点为－3,1.(3)由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，故函数f (x )＝x 4－1的零点是－1,1.(4)由于log 21＝0，故函数f (x )＝log 2x 的零点为1.3．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 有两个零点2和3，试求函数g (x )＝bx 2－ax ＋1的零点． 解：∵2和3是f (x )的零点，∴2、3是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个根．由根与系数的关系可得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝a ，2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6.∴g (x )＝6x 2－5x ＋1＝(3x －1)(2x －1)， 令g (x )＝0，得x 1＝13，x 2＝12.∴g (x )的零点为13和12.[例2] 判断下列函数在给定区间上是否存在零点： (1)f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]； (2)f (x )＝x 3－x －1，x ∈[－1,2]； (3)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]．[思路点拨] 利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f (a )f (b )<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x 轴是否有交点．[精解详析] (1)∵f (1)＝－20<0，f (8)＝22>0， ∴f (1)·f (8)<0.故f (x )＝x 2－3x －18在[1,8]上存在零点． (2)∵f (－1)＝－1<0，f (2)＝5>0，∴f (－1)·f (2)<0，∴f (x )＝x 3－x －1在[－1,2]上存在零点． (3)∵f (1)＝log 2(1＋2)－1>log 22－1＝0， f (3)＝log 2(3＋2)－3<log 28－3＝0.∴f (1)·f (3)<0，故f (x )＝log 2(x ＋2)－x 在[1,3]上存在零点．[一点通] 由函数给定的区间[a ，b ]分别求出f (a )和f (b )，判断f (a )f (b )<0是否成立，这是判断函数有无零点的基本方法，同时要注意如果f (a )f (b )>0，并不说明函数在[a ，b ]上没有零点．4．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下x ，f (x )的对应值表：则函数f (x )在区间[1,6]上的零点至少有________个． 解析：根据函数零点存在性定理可判断至少有3个零点． 答案：35．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上单调递增． 由已知条件f (0)f (1)<0，得a (a ＋2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a ＋2<0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a ＋2>0，解得－2<a <0. 答案：(－2,0)6．求下列函数零点的个数： (1)y ＝x 3＋x －1；(2)y ＝2x －log 13x .解：(1)∵f (x )＝x 3＋x －1在R 上是单调增函数， 又∵f (0)＝－1<0，f (1)＝1＋1－1＝1>0， ∴f (0)·f (1)<0.∴f (x )在R 上有且只有一个零点．(2)如图，在同一坐标系中作出f (x )＝2x 和g (x )＝log 13x 的图象．由图可知，f (x )＝2x 与g (x )＝log 13x 有且只有一个交点，即方程2x －log 13x ＝0有且只有一个根，也即y ＝2x －log 13x 有且只有一个零点.[例3] 已知二次函数f (x )＝7x 2－(k ＋13)x －k ＋2的两个零点分别在区间(0,1)与(1,2)内，试求k 的取值范围．[思路点拨] 本题其实质是方程7x 2－(k ＋13)x －k ＋2＝0的两根分别在(0,1)与(1,2)内，可利用数形结合思想求解．[精解详析] 由题意可知，方程7x 2－(k ＋13)x －k ＋2＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，也就是说函数y ＝7x 2－(k ＋13)x －k ＋2的图象与x 轴的交点横坐标分别在0与1,1与2之间，作出草图．根据图象得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0即⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋2>0，7－(k ＋13)－k ＋2<0，28－2k －26－k ＋2>0.解之得－2<k <43.故k 的取值范围是(－2，43)．[一点通] 解決此类问题可设出方程对应的函数，根据题意画出图象的草图，然后根据草图列出限制条件组成不等式组求解．限制条件可从以下几个方面去考虑：①判别式；②对称轴；③所给区间端点的函数值；④开口方向．7．已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0，若该方程有两根，一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，则函数f (x )的图象与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝2>0，f (0)＝2m ＋1<0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12.答案：(－56，－12)8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ＋34， x ≥2，log 2x ， 0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．解析：画出函数f (x )图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只零y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同交点，由图易知k ∈(34，1)．答案：(34，1)1．判断函数零点个数的主要方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，判断它与x 轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f (a )·f (b )<0，可判定y ＝f (x )在(a ，b )上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． 2．判断函数y ＝f (x )零点的存在性的两个条件(1)函数的图象在区间[a ，b ]上是一条连续不间断的曲线．(2)由f (a )·f (b )＜0就可判断函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点． 但应用时应注意以下问题：①并非函数所有的零点都能用这种方法找到．如y ＝x 2的零点在x ＝0附近就没有这样的区间．只有函数值在零点的左右两侧异号时才能用这种方法．②利用上述结论只能判别函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上零点的存在性，但不能确定其零点的个数．一、填空题1．若函数f (x )＝mx ＋n 有一个零点是2，则函数g (x )＝nx 2－mx 的零点是________． 解析：由条件知，f (2)＝2m ＋n ＝0，∴n ＝－2m . ∴g (x )＝nx 2－mx ＝－2mx (x ＋12)，由g (x )＝0得x ＝0或x ＝－12.∴g (x )的零点是0和－12.答案：0和－122．函数f (x )＝x －2－x 的零点个数为________．解析：由f (x )＝x －2－x ＝0得x ＝⎝⎛⎭⎫12x，在同一坐标系中作出函数y ＝x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，两函数图象有1个交点，即函数f (x )＝x －2－x 的零点个数为1.答案：13．已知方程a x ＝x ＋a (a >0且a ≠1)有两解，则a 的取值范围为________．解析：如图．当0<a <1时，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象只有一个交点，当a >1时y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象必存在两个交点，故a >1.答案：(1，＋∞)4．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x ＋log 2x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：在同一坐标系中画出y ＝2x 和y ＝－x 的图象，可得a <0，同样的方法可得b >0，c ＝0，∴b >c >a .答案：b >c >a5．已知函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a 的取值范围为__________．解析：∵函数f (x )的图象开口向上，又两个零点分别在1的两侧，∴f (1)＝1＋(a －1)＋(a －2)<0，即2a －2<0.∴a <1. 答案：(－∞，1)6．(天津高考改编)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为________．解析：函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点即2x |log 0.5x |－1＝0的解，即|log 0.5x |＝(12)x 的解，作出函数g (x )＝|log 0.5x |和函数h (x )＝(12)x 的图象， 由图象可知，两函数共有两个交点，故函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1有2个零点． 答案：2 二、解答题7．求下列函数的零点： (1)f (x )＝2x ＋7； (2)f (x )＝2x 2－5x ＋1； (3)f (x )＝(x －1)(x －2)(x ＋3)．解：(1)令f (x )＝2x ＋7＝0，解得x ＝－72.∴函数的零点为x ＝－72.(2)令f (x )＝2x 2－5x ＋1＝0，解得 x 1＝5－174，x 2＝5＋174.∴函数的零点为x 1＝5－174，x 2＝5＋174.(3)令f (x )＝(x －1)(x －2)(x ＋3)＝0，解得x 1＝－3，x 2＝2，x 3＝1.∴函数的零点为x 1＝－3，x 2＝2，x 3＝1.8．已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋3)x ＋4.若y ＝f (x )的两个零点为α，β，且满足0<α<2<β<4，求实数a 的取值范围．解：∵函数y ＝f (x )的两个零点是α，β，且α<β， 则当a ＝0时，显然不可能有两个不同零点．则应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0f (0)＝4>0f (2)＝2a －2<0f (4)＝12a －8>0①或⎩⎨⎧a <0f (0)<0f (2)＝2a －2>0f (4)＝12a －8<0②解①得23<a <1，②无解．综上可知，a 的取值范围为{a |23<a <1}．9．已知二次函数y ＝x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3，其中m 为实数．(1)试讨论当m 取任意实数时，这个二次函数的零点个数，并证明你的结论；(2)若这个二次函数有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2的倒数和为23，求二次函数的解析式．解：(1)记二次函数对应的方程为x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0， 则Δ＝4(m －1)2－4(m 2－2m －3) ＝4m 2－8m ＋4－4m 2＋8m ＋12＝16>0，∴方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0必有两个不相等的实数根， 即不论m 取何值，这个二次函数必有两个零点．(2)依题意，x 1，x 2是方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝2(m －1)，x 1x 2＝m 2－2m －3.又1x 1＋1x 2＝23，即x 1＋x 2x 1x 2＝23， ∴2(m －1)m 2－2m －3＝23，① 解之得m ＝0或m ＝5.经检验m ＝0或m ＝5都是方程①的解． 故所求二次函数的解析式为 y ＝x 2＋2x －3或y ＝x 2－8x ＋12.已知函数f (x )＝x 2－6.问题1：计算f (2)，f (3)，并判断(2，3)内是否有零点？提示：f (2)＝－2，f (3)＝3，∴f (2)f (3)<0，所以f (x )在(2，3)内一定有零点． 问题2：计算f (2.5)，判断零点所在的更小的区间是什么？ 提示：f (2.5)＝0.25>0.∴零点在(2，2.5)内． 问题3：能否再使零点所在的区间更小一些？ 提示：能．f (2.25)＝0.0625>0，∴可取区间(2，2.25)． 问题4：这种依次取中点的做法，会达到什么目的？ 提示：会逐步找到零点的近似值．1．二分法的定义若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a )·f (b )<0，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤 (1)确定区间(a ，b )，验证f (a )·f (b )<0； (2)求区间(a ，b )的中点x 1； (3)计算f (x 1)；①若f (x 1)＝0，则x 1就是函数的零点； ②若f (a )·f (x 1)<0，则令b ＝x 1(此时零点x 0∈(a ，x 1))；③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．(4)复(2)～(4)．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确程度，用与此区间的两个端点的近似值相等的值近似地表示函数的零点．[例1]如图所示，下列函数的图象与x轴均有交点，不能用二分法求交点横坐标的是________．[思路点拨]利用二分法的定义进行判断．[精解详析]按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的近似零点，故结合各图象可得②③④满足条件，而①不满足，在①中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．[答案]①[一点通]判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不间断的，且该零点为变号零点(在零点两侧函数值的符号相反)．因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．1．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________(把序号填在横线上)①f(x)在区间[a，b]是连续不间断；②f(a)·f(b)＜0；③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0.解析：根据函数零点存在性定理以及二分法的要求，二分法适合的是变号零点，故应填①②.答案：①②2．用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝3x＋3x－8，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间________内．解析：由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)f(1.5)<0，根据零点存在性定理，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25,1.5)，即方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25,1.5)．答案：(1.25,1.5)[例2]求方程2x＋4x＝4的根所在的一个区间．[思路点拨]判断根所在的区间，可以分别画出函数y＝2x，y＝4－4x的图象，根据交点位置，构造函数F(x)＝2x＋4x－4，由零点存在性定理进行判断．[精解详析]令f(x)＝2x，g(x)＝4－4x，在同一坐标系内画出两个函数的图象如图，由图象知方程2x＋4x＝4只有一个解．原方程即为2x＋4x－4＝0，令F(x)＝2x＋4x－4.∴F(0)＝20＋4×0－4＝－3<0，F(1)＝2＋4－4＝2>0，∴F(0)·F(1)<0，∴函数的零点在区间(0,1)内．[一点通]本题构思巧妙，运用了构造函数及数形结合的思想．往往判断方程的根所在的区间，需要多次尝试判断，对于方程f(x)＝g(x)，首先作出函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，观察两图象交点的位置，而方程的根正是交点的横坐标；再构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，利用零点存在定理判断即可．3．判断方程ln x＋2x－6＝0的解所在的区间．解：方程可化为ln x＝－2x＋6.分别作出y＝ln x，y＝－2x＋6的图象．如图．构造函数F(x)＝ln x＋2x－6，由图象可知，交点的横坐标大致在(2,3)内，∵F(2)＝ln 2－2＜0，F(3)＝ln 3＞0，∴函数的零点即方程的根在区间(2,3)内．4．求证：方程x3－3x＋1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)内．证明：令F(x)＝x3－3x＋1，它的图象是连续的，又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0，F(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，∴方程x3－3x＋1＝0的一根在区间(－2，－1)内．同理可以验证F(0)F(1)＝1×(－1)＝－1＜0，F(1)F(2)＝(－1)×3＝－3＜0，∴方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内．[例3]证明方程6－3x＝2x在(1,2)内有惟一一个实数解，并求出这个实数解的一个近似值(精确到0.1)．[思路点拨]构造函数f(x)＝6－3x－2x，利用零点存在性定理证明，根据二分法步骤求解．[精解详析]设f(x)＝6－3x－2x，∵f(1)＝6－3－2＝1＞0，f(2)＝6－6－22＝－4＜0，∴f(1)·f(2)<0又f(x)在定义域内是减函数，故方程在(1,2)内有惟一的解．用二分法逐次计算，列表如下：∴6－3x＝2x在(1,2)内的一个近似解是1.2.[一点通]用二分法求方程的近似解，首先要选好初始区间，这个区间既要包含所求的零点，又要使其长度尽量小，其次及时检验区间端点的值按近似要求是否相等，以决定停止运算还是继续运算．5．用二分法求方程x3－8＝0在区间(2,3)内的近似解，求经过几次二分后精确度能达到0.01?解：区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为127＝1128<1100＝0.01，故经过7次二分后精确度能达到0.01.6．用二分法求方程x3－2＝0的近似解(精确到0.1)．解：设f(x)＝x3－2.由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，故可取区间(1,2)为初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：由于1.250.1的近似解是1.3.1．二分法求函数的零点，只适用于变号零点．当f(a)·f(b)＞0时，在[a，b]上也可能存在零点．2．用二分法求函数的近似零点(或方程的近似解)需注意两点(1)在探索初始区间时，区间长度不易过长，否则会导致计算量增大，出现错误．(2)求解过程中，区间两端点的值按要求精确到某一值x i时，是否具有相同的值，若相同即为所求，否则继续，直到满足要求为止．一、填空题1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________．解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.答案：4,32．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]上的近似解，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有解区间为________．解析：令f (x )＝x 3－2x －5，∵f (2)＝－1<0，f (3)＝16>0，f (2.5)＝5.625，根据二分法可知，下一个有解区间为(2,2.5)． 答案：(2,2.5)3．为了求函数f (x )＝2x ＋3x －7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数f (x )的部分对应值，如下表所示：解析：由题表知f (1.375)·f (1.437 5)<0，且1.437 5－1.375＝0.062 5<0.1，所以方程的一个近似解可取为1.4.答案：1.44．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似根时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定根所在的区间为________．解析：令f (x )＝x 3－2x －1，则f (1.5)＝(1.5)3－2×1.5－1＝－0.625<0， f (1)＝13－2×1－1＝－2<0， f (2)＝23－2×2－1＝3>0， ∴f (1.5)·f (2)<0，∴区间为(1.5,2)． 答案：(1.5,2)5．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0,0.1)上有惟一的零点，如果用“二分法”求这个零点(精确到0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________次．解析：由0.12n ＜0.01，得2n ＞10，∴n 的最小值为4.答案：46．已知函数f (x )＝(13)x －log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值与0的大小关系恒有________．解析：∵f (1)f (2)＝[(13)1－0]·[(13)2－log 22]＜0，∴1＜x 0＜2.如图所示，当0＜x 1＜x 0时，函数y ＝(13)x 的图象在y ＝log 2x 的上方，即必有(13)x 1＞log 2x 1，∴f (x 1)＞0恒成立．答案：f (x 1)＞0 二、解答题7．已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．解：(1)若a ＝0，则f (x )＝－4，与题意不符，∴a ≠0. 由题意得f (－1)·f (1)＝8(a －1)(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －1<0，a －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a －2<0，∴1<a <2，故实数a 的取值范围为(1,2)． (2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0，f (0)＝2817>0，f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)上，又f (12)＝0，∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为12.8．判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确到0.1)．解：因为f(1)＝－1＜0，f(1.5)＝0.875＞0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：因为 1.3.9．求函数y＝ln x与函数y＝3－x的图象的交点的横坐标(精确到0.1)．解：求函数y＝ln x与函数y＝3－x的图象交点的横坐标，即求方程ln x＝3－x的根．令f(x)＝ln x＋x－3，因为f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＞0，所以可取初始区间为(2,3)，列表如下：由于2.187 5x＋x－3＝0在(2,3)内的一个近似根可取为2.2，即2.2可作为两函数图象交点的横坐标的近似值．问题1：目前为止，你学习过的基本初等函数有哪些？提示：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数．问题2：它们的解析式分别是什么？提示：正比例函数：y＝kx(k≠0)；反比例函数：y＝kx(k≠0)；一次函数：y＝kx＋b(k≠0)；二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；指数函数：y＝a x(a>0且a≠1)；对数函数：y＝log a x(a>0且≠1)．幂函数：y＝xα(α为常数)．问题3：匀速运动的汽车、运动的路程与时间成什么函数模型？人口增长问题属什么模型？提示：正比例函数．指数函数．1．一次函数：一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)的图象的增长特点是直线式上升(x的系数k>0)，通过其图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx(k>0)．2．二次函数：二次函数模型的一般形式是y＝ax2＋bx＋8c(a≠0)．3．指数函数模型：y＝a·b x＋c(b>0，且b≠1，a≠0)，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b>1，a>0)，常形象地称为指数爆炸．4．对数函数模型：y＝m log a x＋n(a>0，a≠1，m≠0)，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a>1，m>0`)．[例1]甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个，请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？说明理由．[思路点拨](1)利用待定系数分别求出年数与甲鱼平均只数，年数与甲鱼池数的函数解析式，利用解析式求解即可．(2)分别求出甲鱼的总只数比较即可．(3)甲鱼养殖规模是由总只数衡量的，它是二次函数，利用二次函数的性质解决． [精解详析] (1)由图可知，设直线y 甲＝kx ＋b ，且经过(1,1)和(6,2)，可求得k ＝0.2，b ＝0.8.∴y 甲＝0.2(x ＋4)． 同理可得y 乙＝4(－x ＋172)．第二年甲鱼池的个数为26个，每个甲鱼池平均出产量为1.2万只，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．(3)设第x 年规模最大，即求y 甲·y 乙＝0.2(x ＋4)· 4(－x ＋172)＝－0.8x 2＋3.6x ＋27.2的最大值．当x ＝－ 3.62×(－0.8)＝2 14≈2时，y 甲·y 乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2最大． 即第二年规模最大，为31.2万只． [一点通]这种解决图形信息的问题，首先要读懂图形，根据图象写出解析式，然后利用求出的解析式解决问题．一次函数、二次函数是大家熟知的函数，也是中学最基础的函数，解题时应牢记它们的图象和性质，以便于解决问题．1．某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发广告宣传费用共50 000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元．(1)试写出总费用y (元)与销售套数x (套)之间的函数关系式；(2)如果每套定价为700元，那么软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本？解：(1)总费用y ＝50 000＋200x (x >0)．(2)设软件公司至少要售出x 套软件才能确保不亏本． 由题意，得700x ≥50 000＋200x .解得x ≥100. 故软件公司至少要售出100套软件才能确保不亏本．2．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件．经试销调查发现，销售量y (件)与销售单价x (元/件)近似满足一次函数y ＝kx ＋b 的关系(图象如图所示)．(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S 元，求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．解：(1)由图可知所求函数图象过点(600,400)，(700,300)，得⎩⎪⎨⎪⎧400＝k ×600＋b ，300＝k ×700＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1 000， 所以y ＝－x ＋1 000(500≤x ≤800)．(2)由(1)可知S ＝xy －500y ＝(－x ＋1 000)(x －500) ＝－x 2＋1 500x －500 000＝－(x －750)2＋62 500(500≤x ≤800)， 故当x ＝750时，S max ＝62 500.即销售单件为750元/件时，该公司可获得最大毛利润为62 500元.[例2] 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同．假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数y ＝k ·a x (k ≠0)．若牛奶在0 ℃的冰箱中保鲜时间约是192 h ，而在22 ℃的厨房中保鲜时间则约是42 h.(1)写出保鲜时间y (单位：h)关于储藏温度x (单位：℃)的函数解析式；(2)如果把牛奶分别储藏在10 ℃和5 ℃的两台冰箱中，哪一台冰箱储藏牛奶保鲜时间较长？为什么？(参考数据：22732≈0.93) [思路点拨](1)利用题中数据代入函数关系式，解出k 和a 值； (2)利用函数单调性求解．[精解详析] (1)保鲜时间与储藏温度间的关系符合指数型函数y ＝k ·a x (k ≠0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧k ·a 0＝192，k ·a 22＝42， 解得⎩⎨⎧k ＝192，a ＝22732≈0.93，∴所求函数解析式为y ＝192×0.93x . (2)令f (x )＝y ＝192×0.93x ，∵0<a ＝0.93<1， ∴f (x )是单调减函数，又10>5，∴f (10)<f (5)， ∴把牛奶储藏在5 ℃的冰箱中，牛奶保鲜时间较长． [一点通] 应用已知函数模型解题，有两种题型： (1)直接依据题中的函数解析式解决相关问题；(2)若函数解析式中含有参数，将题中相应数据代入解析式，求得参数，从而确定函数解析式，并解决问题．3．如图，开始时桶1中有a 升水，如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a ·e－nt(n 为常数，t 为注水时间)，那么桶2中的水就是y 2＝a －a ·e－nt.如果由桶1向桶2中注水5分钟时，两桶中的水相等，那么经过________分钟桶1中的水只有a 8.解析：由于t ＝5时两桶中的水相等，所以a ·e －n ×5＝a －a ·e －n ×5，所以(e －n )5＝12，即e －n＝(12)15.由条件可得a ·e －nt ＝a 8，即(12)5t＝(12)3，所以t ＝15. 答案：154．衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt ，若新丸经过50天后，体积变为49a ，则一个新丸体积变为827a 需经过的时间为________． 解析：由题意知a >0，当t ＝50时，有49a ＝a ·e －50k ，即49＝(e －k )50，得e －k ＝5049，所以当V ＝827a 时，有827a ＝a ·e －kt ，即827＝(e －k )t ＝(49)50t，得(23)3＝(23)25t， 所以t ＝75. 答案：75天[例3] 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[思路点拨] 第(1)问知v 求Q ，直接求得；第(2)问知Q 求v ，也是直接代入． [精解详析] (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题中给出的公式可得：0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入题中给出的公式得： v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s .[一点通] 对数函数是一种常见的基本初等函数，但对数函数模型的应用问题不是很多．一般地都是直接给出解析式，应用其解决问题．5．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只．解析：由条件知，100＝a log 2(1＋1)，得a ＝100， ∴x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300. 答案：3006．分贝是表示声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小：把一很小的声压P 0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料列出声压级y 与声压P 的函数关系式； (2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地区为以上所说的什么区？(3)2013年春节联欢晚会上，某小品类节目上演时，现场响起多次响亮的掌声，某报记者用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时中央电视台大厅的声压是多少帕？解：(1)由已知，得y ＝20lgP P 0＝20lg P 2×10－5. (2)当P ＝0.002时，y ＝20lg 0.0022×10－5＝40，∵y <60，∴该地区为无害区．(3)设中央电视台大厅的声压是x 帕，则当y ＝90时，有lgx 2×10－5＝9020＝4.5，∴x ＝105，∴此时中央电视台大厅的声压是105帕.[例4] 某地西红柿从2月1日起开始上市．通过调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如表：(1)Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ， Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． [思路点拨] 根据这四种函数增长速度的特点选择适合表中数据函数模型，然后再用该模型解决问题．[精解详析] (1)根据直线匀速增长、指数“爆炸”，对数增长越来越慢可知，应选取二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ×502＋b ×50＋c ＝150，a ×1102＋b ×110＋c ＝108，a ×2502＋b ×250＋c ＝150.解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.∴Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)由(1)知，Q ＝1200(t －150)2＋100.∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本是最低100元/102 kg. [一点通] 建立实际情境函数的模型时，可采用以下步骤．7．某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．解：以投入额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．由散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投入额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟．取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，。