《数学分析》(华师大版)课本上习题

习 题 二十、二十二1．计算下列第一型曲线积分．(1) ，其中L 是的上半圆周． ()x y ds L +∫x y R 22+=2 (2) x y d L 22+∫s 2，其中L 是的右半圆周． x y R 22+= (3) e d x y L 22+∫s 2，其中L 是圆，直线x y a 22+=y x =以及x 轴在第一象限中所围成图形的边界． (4) xyds L ∫，其中L 是由所构成的矩形回路．x y x y ====004，，，2(5) ，其中： xds L∫ (a) L 是上从原点O 到点y x =2(,)00B (,)11间的一段弧．(b) L 是折线OAB 组成，A 的坐标为(,，B 的坐标为．)10(,)11(6)，其中∫L ds y 2L 为曲线)cos 1()sin (t a y t t a x −=−=，,其中,0>a π20≤≤t .(7) ，其中L 是螺旋线弧段(x y z d L 222++∫)s cos sin ，，x a t y a t z bt ===）（π20,0≤≤>t a ．(8) ,其中∫L yzds x 2L 为折线,这里依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)ABCD D C B A ,,,2．计算下列第二型曲线积分．(1),其中∫−L ds y x )(22L 为在抛物线上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.2x y =(2) ，其中L 为xdy ydx L −∫① 沿直线从点(,到点(,；)00)12② 沿抛物线x y =24从点到点； (,)00(,)12③ 沿折线从点(,经点(,到点(,．)00)02)12(3) xydx L ∫，其中L 是由所构成的沿逆时针方向的矩形回路．x y x y ====004，，，2(4) x dy y dxx y L 225353−+∫，其中L 是沿星形线在第一象限中从点(,x R t y R t ==cos sin 33，)R 0到(,)0R 的弧段（R >0）．(5) ，其中L 是从点到xdx ydy zdz L ++∫A (,,)111B (,,)234的直线段． (6) ,其中L 为曲线∫−+Lydz zdy dx x 2θθκθsin cos ,a z a y x ===，上对应θ从0到π的一段弧.3．设质点受力F 作用，力的方向指向原点，大小等于质点到原点的距离．(1) 计算当质点沿椭圆在第一象限中的弧段从(,到(,时，F 所作的功；x a t y b t ==cos sin ，)a 0)0b (2) 计算当质点沿椭圆逆时针方向运动一圈时，力F 所作的功．4．利用格林公式计算下列积分．(1) ()()x y dx x y dy L +++∫222，L 是沿逆时针方向，以为顶点的三角形． A B C (,)(,)(,)113125，， (2)()()x y dx x y dy L ++−∫，L 是方程x y +=1所围成的顺时针方向的闭路．(3) []e ydx y y x L (cos (sin )1−−−∫dy x ，L 是沿y =sin 上从点(,)π0到点的一段弧．(,)00(4) dy ye x x dx e y x xy x y x x x L )2sin ()sin 2cos (222−+−+∫,其中L 为正向星形线)0(323232>=+a a yx . (5) dy y x x y dx x y xy x L )3sin 21()cos 2(223+−+−∫,其中L 为在抛物线上由点(0,0)到22y x π=)1,2(π的一段弧. (6) ,其中dy y x dx y x L ∫+−−)sin ()(22L 为在圆周22x x y −=上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧.5．验证下列曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ，L 是从点经圆周上半部到点的弧段．()()12222++−∫xe dx x e y dy y y L O (,)00+−2)2(x 42=y A (,)40 (2)，L 是从点到点的任意弧段． e ydx ydy x L (cos sin )−∫(,)00(,)a b (3) ydx xdy x −∫22112(,)(,)沿右半平面的任意路线．(4) ，L 是从点经抛物线到点的弧段．()(x y xdx ydy L22++∫)(,)00y x =2(,)11 (5) ∫++L y x xcdxydy 322)(，L 是从点到点的不经过原点的弧段．(,)11(,)22 6．求椭圆所围图形的面积．x a t y b t ==cos sin ， 7．求下列微分方程的通解．(1) ．()()x xy y dx x xy y dy 222222+−+−−=0 (2) [][]e e x y y dx e e x y dy x y x y ()()−+++−+=1100=．(3) ．()()x xy dx x y y dy 43224465++− 8．下列各式是否为某函数的全微分，若是，求出原函数．(1) ; (2)x dx y dy 22+xdx ydy x y ++22. 9．求下列第一型曲面积分．(1)，其中S 是球面:． zds S ∫∫x y z R 222++=2 (2)(243x y z d S ++∫∫)s ，其中S 是平面x y z 2341++=在第一卦限的部分． (3) ，其中S 是锥面(xy z d S 222++∫∫)s z x y =+22）介于之间的部分．z z ==01、 (4) ，其中S 是由曲面和平面所围立体的表面．∫∫+Sds y x )(22x y z 2220+−=z h h =>（0(5) ，其中S 是锥面(xy yz zx dsS ++∫∫)z x y =+22x 被柱面所截得的部分．x y a 222+=(6) ∫∫SxyzdS ,其中S 是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的四面体的整个边界曲面.(7) ,其中S 为锥面∫∫++S ds zx yz xy )(z x y =+22x ）0被柱面所截得的有限限部分.x y a 222+= 10．计算下列第二型曲面积分．(1) ， 其中S 是三个坐标平面与平面所围成的正方体的表面的外侧．()()()x yz dydz y zx dzdx z xy dxdy S222−+−+−∫∫x a y a z a a ===>，，（0(2) ，其中S 是由平面 xydydz yzdzdx xzdxdy S++∫∫x y z ===00，，与平面x y z ++=1所围成的四面体表面的外侧．(3)，其中S 是上半球面yzdzdx S ∫∫z a x y =−−222的下侧． (4) e x y dxdy z S 22+∫∫，其中S 是锥面z x y =+22与平面所围成立体边界曲面的外侧．z z ==12， 11．利用奥－高公式计算下列第二型曲面积分． (1) x dydz y dzdx z dxdy S333++∫∫，其中S 是球面：的外侧．x y z a a 22220++=>（） (2) xdydz y dzdx z dxdy S 222++∫∫，其中S 是锥面与平面所围成的立体表面的外侧．x y z 22+=2)z h =(h >0 (3) ()()x y dxdy x y z dydz S−+−∫∫，其中S 为柱面及平面所围立体的表面外侧．x y 221+=z z ==0，1(4) ，其中S 为三个坐标平()()()x y z dxdy y z z dzdx S+++++−∫∫23212面与平面x y z ++=1所围成的四面体的外侧．（5）∫∫++S yzdxdy dzdx yxzdydz 24，其中为平面S 0,0,0===z y x ，所围成的立方体的表面外侧.1,1,1===z y x 12．利用斯托克斯公式计算下列第二型曲线积分． (1) x y dx dy dz L 23++∫，其中L 为坐标平面上圆周，并取逆时针方向． Oxy x y a 22+=2 (2) ()()()y z dx x z dy x y d L 222222+++++∫z ，其中L 是x y z ++=1与三个坐标平面的交线． (3) x yzdx x y dy x y d L 2221+++++∫()(z )，其中L 为曲面与曲面的交线，且从面对z 轴正向看去取顺时针方向．x y z 2225++=z x y =++221 13．验证下列的空间曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ． 22000xe dx z x e dy y zdz y y x y z −−+−−∫(cos )sin (,,)(,,) (2) ． xdx y dy z dz +−∫23111234(,,,)(,,) 14．求下列各式的原函数．(1) yzdx xzdy xydz ++．(2) ． ()()(x yz dx y xz dy z xy dz 222222−+−+−)15.计算,其中为圆周 ∫L ds x 2S ⎩⎨⎧=++>=++.0),0(2222z y x a a z y x 16. 若dy cx Y dy ax X +=+=,，且L 为包围坐标原点的简单的封闭曲线，计算∫+−=L YX YdX XdY I 2221π. 17.证明:若L 为封闭的曲线且l 为任意的方向,有∫=Lds l 0),cos(. 18．若半径为的球面上每点的密度等于该点到球的某一直径上距离的平方，求球面的质量．a 19．为了使线积分()F x y ydx xdy L (,)+∫与积分路径无关，可微函数F x y (,)应满足怎样的条件？20．设磁场强度为E x y z (,,)，求从球内出发通过上半球面的磁通量．x y z a z 22220++=≥，。

第十七章 多元函数微分学一、证明题1. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有xy1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.6.设Z=()22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1x Z ∂∂+y 1y Z ∂∂=2y Z . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明:x Z ∂∂ sec x + y Z ∂∂secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ之下.()2x f +()2y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ).则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2vg .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),试求:F x (0,0)与F g (0,0)10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是:()z ,y ,x xF x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z).并证明:Z=xy y x xy 222-+为二次齐次函数.11..设f(x,y,z)具有性质f ()Z t ,y t ,tx m k =f t n (x,y,z)(t>0)证明:(1) f(x,y,z)=⎪⎭⎫ ⎝⎛m k n x Z ,x y ,1f x ; (2) ()z ,y ,x xf x +()z ,y ,x kyf y +()z ,y ,x mzf z =nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n 2n 22211n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中()t a ij (i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明()dt t dD =∑=n 1k ()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n kn k21k 1n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 13.证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数);(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;(4) grad f(u)=f '(u)grad u.14.设f(x,y)可微,L 1与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明;若()0,≡y x f i λ(i=1,2)则f(x,y)≡常数.15.通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某∈θ (0,1),有43=6cos 3cos 3πθπθπ6sin 3sin 6πθπθπ-. 16.证明:函数 u=()t a 4b x 2e t a 21--π(a,b 为常数)满足热传导方程:t u ∂∂=222xu a ∂∂ 17.证明:函数u=()()22b y a x ln -+-(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22x u ∂∂+22yu ∂∂=0. 18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程: 22x u ∂∂+22yu ∂∂=0.则函数V=f(22y x x +,22y x y +)也满足此方程. 19.设函数u=()()y x φ+ϕ,证明:⋅∂∂x u y x u 2∂∂∂=⋅∂∂y u 22x u ∂∂. 20.设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0) 的某领域内存在,f yx 在点(x 0,y 0)连续,证明f xy (x 0,y 0)也存在,且f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0),21.设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微,则有f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0)二、计算题1.求下列函数的偏导数:(1) Z=x 2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22y x 1+;(4) Z=ln(x+y 2); (5) Z=e xy ; (6) Z=arctgx y ; (7) Z=xye sin(xy); (8) u=zx y Z x y -+; (9) u=(xy)z ; (10) u=z y x. 2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx ; 求f x (x,1). 3. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1ysin y)f(x,222222考察函数f 在原点(0,0)的偏导数.4. 证明函数Z=22y x +在点(0,0)连续但偏导数不存在.5. 考察函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1xysin y)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.6. 求下列函数在给定点的全微分;(1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0),(1,1); (2) Z=22y x x+在点(1,0),(0,1).7. 求下列函数的全微分;(1) Z=ysin(x+y);(2) u=xe yx +e -z +y8. 求曲面Z=arctg x y 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1,1π处的切平面方程和法线方程. 9. 求曲面3x 2+y 2-Z 2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy 上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11. 计算近似值:(1) 1.002×2.0032×3.0043;(2) sin29°×tg46°.12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13. 设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续(1) 若在intD 内有f x ≡0,试问f 在D 上有何特性?(2) 若在intD 内有f x =f y ≡0,f 又怎样?(3) 在(1)的讨论中,关于f 在D 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14. 求曲面Z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ 轴的交角. 15. 测得一物体的体积v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d=vw 算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限. 16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=e x ,求x dZ α; (2) 设Z=xy y x 2222e xy y x ++,求x Z ∂∂,yZ ∂∂; (3) 设Z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtZ ∂; (4) 设Z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u Z ∂∂，v Z ∂∂； (5) 设u=f(x+y,xy),求x u ∂∂,yu ∂∂; (6) 设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z y ,y x ,求x u ∂∂,y u ∂∂,Z u ∂∂. 17.求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.18.求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数.19.求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3z )处的梯度以及它们的模. 20.设函数u=ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛r 1,其中r=()()()222c z 0y a x -+-+- 求u 的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu =1. 21设函数u=222222by a x c z --,求它在点(a,b,c)的梯度.22.设r=222z y r ++,试求:(1)grad r; (2)grad r1. 23.设u=x 3+y 3+z 3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微,L 是R 2上的一个确定向量,倘若处处有f L (x,y)≡0,试问此函数f 有何特征?25.求下列函数的高阶偏导数:(1) Z=x 4+y 4－4x 2y 2,所有二阶偏导数;(2) Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数; (3) Z=xln(xy),y x z 23∂∂∂,23yx z ∂∂∂; (4) u=xyze x+y+z ,r q p z q p zy x u ∂∂∂∂++; (5) Z=f(xy 2,x 2y),所有二阶偏导数;(6) u=f(x 2+y 2+x 2),所有二阶偏导数； (7)Z=f(x+y,xy,yx ),z x , z xx , Z xy . 26.求下列函数在指定点处的泰勒公式:(1) f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0)(到二阶为止); (2) f(x,y)=yx 在点(1,1)(到三阶为止); (3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2―xy ―y 2―6x ―36+5在点(1,－2).27.求下列函数的极值点:(1) Z=3axy ―x 3―y 3 (a>0);(2) Z=x 2+5y 2―6x+10y+6;(3) Z=e 2x (x+y 2+2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1) Z=22y x -,(){2x y ,x +}4y 2≤；(2) Z=22y xy x +-,(){}1y x y ,x ≤+;(3) Z=sinx+sing －sin(x+y),()(){}π≤+≥2y x ,0x y ,x y ,x29.在已知周长为2P 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在xy 平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y －16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n 个点的坐标分别是 ()111y ,x A ,()222y ,x A ,…()n n n y ,x A .试求一点,使它与这n 个点距离的平方和最小.32.设 u=222z y x z y x1 1 1求(1)u x +u y +u z ; (2)xu x +yu x +zu z ; (3)u xx +u yy +u zz .33.设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题1. 设f(x,y,z)=x 2y+y 2z+z 2x,证明f x +f y +f z =(x+y+z)2.2. 求函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,22222233在原点的偏导数f x (0,0)与f y (0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3. 设 1n n1n 21n 12n 2221n21 x x x x x x x x x 11 1u ---=证明: (1)∑==∂∂n 1k k0;x u (2)∑=-=∂∂n 1k k k u 21)n(n x u x . 4. 设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数 kt)b ht,f (a y k xh dt g(t)d n n n ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=. 5. 设 22x 求x k z h y g y f x e z d zc y b x a z)y,(x,∂∂+++++++++=ϕϕ. 6. 设 (z )h (z)h (z)h (y)g (y)g (y)g (x)f (x)f (x)f z)y,Φ(x,321321321=求z y x Φ3∂∂∂∂. 7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有u xy =0,试求u 关于x,y 的函数式.8. 设f 在点p 0(x 0,y 0)可微,且在p 0给定了n 个向量L i (i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n2π，证明 ∑==n 1i 0Li 0)(p f.9. 设f(x,y)为n 次齐次函数,证明 1)f m (n 1)n(n f y y x x m +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ . 10. 对于函数f(x,y)=sin x y ,试证 my y x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂f=0.。

P.94 习题1．已知直线运动方程为2510t t s +=。

分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从4=t 至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及4=t 时的瞬时速度。

解 平均速度t t tt t t t t t t t s t t s v ∆++=∆--∆++∆+=∆-∆+=51010510)(5)(10)()(22 当1=∆t 时，55154101051010=⨯+⨯+=∆++=t t v当1.0=∆t 时，5.501.054101051010=⨯+⨯+=∆++=t t v 当01.0=∆t 时，05.5001.054101051010=⨯+⨯+=∆++=t t v 瞬时速度50)541010(lim )4()4(lim00=∆+⨯+=∆-∆+=→∆→∆t ts t s v t t2．等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。

解 设旋转体时刻t 转过的角度为)(t θ，若极限00)()(limt t t t t t --→θθ存在，则定义该极限值为旋转体在时刻0t 的角速度。

3．设0)(0=x f ，4)(0='x f ，试求极限xx x f x ∆∆+→∆)(lim00解 4)()()(lim )(lim000000='=∆-∆+=∆∆+→∆→∆x f xx f x x f x x x f x x 4．设⎩⎨⎧<+≥=33)(2x b ax x x x f ，试确定a ，b 的值，使f 在3=x 可导。

解 要使f 在3=x 可导，f 在3=x 必连续，于是必左连续。

9)3(3)(lim )(lim 33==+=+=--→→f b a b ax x f x x ，从而a b 39-=。

f 在3=x 的右导数633lim 3)3()(lim )3(2233=--=--='++→→+x x x f x f f x x 。

左导数为a x a ax x b ax x f x f f x x x =---+=--+=--='---→→→-3939lim 33lim 3)3()(lim )3(3233只要6=a ，则f 在3=x 的左导数与右导数相等，从而可导。

第十二章 数项级数§ 1 级数的收敛性1． 试讨论几何级数（也称为等比级数） )0....( (2)≠++++a a a ar a r rn的收敛性。

2． 证明下列级数的收敛性，并求其和数：（1）....;)15)(45(1......161111161611++-+⋅+⋅+⋅n n （2）.....;)11....()11()312!(323222++++++nn（3）;)2)(1(1++∑n n n（4）);122(n n n ++-+∑ （5）;122nn -∑3． 证明：若级数un∑发散，0≠c ,则unc∑也发散。

4． 设级数un∑和v n∑都发散，试问)(v u nn+∑一定发散吗？又若un与v n（n=1,2,….）都是非负数，则能得出什么结论？ 5． 证明：若数列}{a n收敛于a,则级数a a aa n n-=-∑+11)(6． 证明：若数列}{b n有+∞=bnlim ，则（1） 级数)(1b bn n -∑+发散；（2） 当0≠b n 时，级数)11(1bb n n+-∑=117． 应用第5，6题的结果求下列级数的和：（1）;))(1(1∑+-+n a n a（2）;)1(12)1(1++∑-+n n n n（3）;]1)[1(12)1(22∑++++n n n8． 应用柯西准则判别下列级数的收敛性：（1）∑22sin n n； （2）∑-+-12221)1(n n n ；（3）∑-n)1(； （3）∑+nn 21；9． 证明级数∑un收敛的充要条件是：任给正数ξ，存在某自然数N,对一切n>N,总有ξ<++++u uu n N N (1)。

10． 举例说明：若级数∑un对每一个自然数p 满足条件0)...(1lim =++++∞→u uu p n n nn ，则这级数不一定收敛。

§ 2 正项级数1． 应用比较原则判别下列级数的收敛性：（1）an 221+∑； （2）32sinnnπ∑；（3）∑+n211； （4）∑∞=2)(ln 1n nn ；（5）)1cos 1(∑-n ； （6）∑nnn1；（7）)0(),2(11>-+-∑a a a nn； （8）∑∞=2ln )(ln 1n nn ；2． 用比较判别法或根式判别法鉴定下列级数的收敛性：（1）∑-⋅⋅⋅⋅!)12(31n n ； （2）∑+10)!1(n n ；（3）∑+)12(n n n； （4）∑n nn !；（5）∑22nn； （6）∑)(a b nn（其中)0,,);(b a b a n a a an n≠>∞→→且3． 设∑u n和∑vn为正项级数，且存在正数N,对一切n>N,有vv uunn nn 11++≤。

数学分析课本(华师大三版)篇一：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第八章第八章不定积分一. 填空题x1．若f?(e)?1?x，则f(x)?___________2．设f(x)的一个原函数为xe，则?xf?(x)dx?_____________ 3．若e?xx是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?________________4．若f(x)?1，则f(x)?____________ 5．?max(x,x)dx?___________________6．若f(x)有原函数xlnx，则?xf??(x)dx?_______________ 7．?ln(sinx)sin2?3??2xdx?________________8．若?dx(1?2cosx)2?Asinx1?2cosx?B?dx1?2cosx，则A?__________，B?__________ 9．设?xf(x)dx?arcsinx?C，则? dxx(4?x)lnx?1x2dxf(x)?_________10．??_________________11．?dx?_________________12．?13．?14．??a?sin(lnx)?cos(lnx)nx?________________?f(x)?xf?(x)?dxdx1?ex?________________?_____________15．?16．?xex2(1?x)dx?_____________________4sinx?3cosxsinx?2cosxdx?______________217．已知f?(2?cosx)?sinx?tan 2x，则f(x)?_______________ 18．?f?(x)1??f(x)?2dx?______________19. 若?f(x)dx?F(x)?C,而u??(x),则?f(u)du?___________. 20设函数f(x)的二阶导数f??(x)连续,那么?xf??(x)dx?__________. 21设f(x)的原函数是sinxx,则?xf?(x)dx?__________.11222已知曲线y?f(x)上任一点的切线斜率为3x2?3x?6,且x??1时,y?则f(x)?__________;f(x)的极小值是__________.1?x2是极大值,23已知一个函数的导数为f(x)?,并且当x?1时,这个函数值等于32?,则这个函数为F(x)?__________. 24 设f?(sin2x)?cosx(x?1),则f(x)?__________.225 若f(x)为连续函数,且f?(x)?f(x),则?f(x)dx?__________.26 若(?f(x)dx)??lnx,则f(x)?__________. 27 已知e28?x2是f(x)的一个原函数,则?f(tanx)secxdx?__________.22?f()dx?__________. 2xx1?x29 设f(x)dx??C,则f(x)?__________.1?x?1?30 在积分曲线族?二、选择填空题 1．设I?1xxdx中,过(1,1)点的积分曲线是y?__________.?xe?1e?1xx，则I?()(1?e)?C (1?e)?x?C ?2ln(1?e)?C (e?1)?C2．设f(x)是连续的偶函数，则期原函数F(x)一定是() A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数 D.有一个是奇函数xxx3．设I1??1?xdx,I2??du，则存在函数u?u(x)，使()x(1?xex)u(1?u)?I2?x ?I2?x ??I1 ?I1 4．当n??1时，?xn lnxdx?() nn?1n(lnx?1n)?C B.xn?1(lnx?1n?1)?Cn?1?1xn?1xn(lnx?1n?1)?CD.n?1lnx?C 7．?(cosx2 ?sinx2)dx?() (sinx?cos x)?C (cos xx222?sin 2)?C?cosxxx22?C?sin2?C8．?x?sinx1?cosxdx?()??2cotx??C9．若f(x)的导函数是e?x?cosx，则f(x)的一个原函数为()?x?cosxB.?e?x?sinxC.?e?x??x?sinx10．若f(x)是以l为周期的连续函数，则其原函数()。

第十九章 含参量积分P.178 含参量正常积分 习题 1. 设n R y x ∈,，证明：).(22222y x yx yx +=-++2. 设n n R x R E ∈⊂点,到集合E 的距离定义为).,(inf ),(y x E x Ey ρρ∈=证明：（1）若E 是闭集，;0),(,>∉E x E x ρ则（2）若E E 是连同其全体聚点所组成的集合（称为E 的闭包）,则{}.0),(==E x x E ρ 3. 设证明的任意子集是.,;:,,X B A Y X f R y R x m n →⊂⊂： （1）);()()(B f A f B A f = （2）);()()(B f A f B A f ⊂（3）若).()()(B f A f B A f f =是一一映射，则4. 设证明.)(lim ,)(lim ,,,,:,c x g b x f R c b R a R R g f ax ax m n m n ==∈∈→→→：(1) 时可逆；且当0,)(lim ==→b b x f ax(2) .)]()([lim c b x g x f TT ax =→5. 设.:,mn R D f R D →⊂若存在正实数r k ,，对任何点D y x ∈,满足 ry x k y f x f -≤-)()(， 试证明.上的连续函数是D f 6. 设nR y x ∈,，证明下列各式： （1）;1x n x ni i ≤∑= （2）22y x y x y x +≤-+；（3）.y x y x -≤-并讨论各不等式等号成立的条件和解释2=n 时的几何意义. 7. (1)证明定理19.6;(2) 设的所有于上一致连续，是否等价在试问向量函数f D R D f R D mn →⊂:,坐标函数m i f i ,,2,1, =都在D 上一致连续？为什么？８. 设mn R R f →:为连续函数，nR A ⊂为任意开集，nR B ⊂为任意闭集．试问)(A f 是否必为开集？)(B f 是否必为闭集？ P.189 含参量反常积分 习题 1. 证明定理19.12.2. 求下列函数的导数：(1) ；和，求)2,0(),()2,)(,sin (),(21222212121πf x x f x x x x x x x f T''-=(2) Tex x f )x x (x ),(21x x 222121=++=，,求).1,0,1(),,(321f x x x f ''和3. 设nR D ⊂为开集，m R D g f →:,均为可微函数.证明g f T 也是可微函数，而且 .)(f g g f g f T T T '+'=' 4. 设函数t s h g f ,,,,的定义如下：T T x x x x x x h x x x g x x x x f ),(),(,)cos ,(sin )(,)(1221212121-==-=+，.),(),,(,)4,2,(),(321321*********T T x x x x x x x x x t x x x x x s ++=+=试依链式法则求下列复合函数的导数:(1))('g f (2) )('f g (3) )('h h ; (4) )('h s (5) )('s t (6) )('t s . 5. 设),,(),,,(),,(v u x H w u y x g v y x f u ===,应用链式法则计算).,(y x w '6. 设nR D ⊂为开域,mR D f →:可微函数.利用定理19.14证明：（1） 若在)(0)(x f x f D 矩阵（零矩阵），则恒为上'为常向量函数; （2） 若在.,,)()()(mR b D x b cx x f c x f D ∈∈+=≡'，则常数阵上7. 设mn R R f →:为可微函数，试求分别满足以下条件的函数)(x f :(1) ；单位阵)()(I x f ≡'(2) )(,),(),()),(()(2211n n i i x x x x diag x f ϕϕϕϕ 即以='为主对角线元素的对角阵， Tn x x x ),,(1 =.8. 求下列函数f 的海赛矩阵，并根据例2的结果判断该函数的极值点： (1) ;322)(3213223222121x x x x x x x x x x x f -++-++-= (2) 31322322212166424)(x x x x x x x x x x f --+-+-=.9. 设t s h g f ,,,,为第4题中的五个函数.(1) 试问：除第4题6个小题中的两个函数的复合外，还有哪些两个函数可以进行复合，并求这些复合函数的导数； (2) 求下列复合函数的导数： （i ）)('h f g ; (ii))('s t s .10. 设nR D ⊂为开集，.:0可微在D x R D f m ∈→试证明：（1） 任给时，有当存在),(,0,00δδεx U x ∈>>000))(()()(x x x f x f x f -+'≤-ε.(2) 存在000)()(,),(,0,0x x K x f x f x U x K -≤-∈>>有时当δδ （这称为在可微点领域内满足局部利普希兹条件.）11. 设的可微函数是凸开集，n n R D g R D →⊂:，且满足：对任何D x ∈和任何非零的 n R h ∈，恒有.0)(>'h x g h T 时证明：D g 在上是一一映射。

第二十二章 曲线积分与曲面积分P.361 第一型曲线积分与第一型曲面积分 1. 计算下列第一型曲线积分： （1）)1,0(),0,1(),0,0(,)(B A O L ds y x L是以其中⎰+为顶点的三角形；（2）⎰+Lds y x2122)(，其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；（3）⎰L xyds ，其中L 为椭圆12222=+by a x 在第一象限中的部分；（4）⎰Lds y ，其中L 为单位圆122=+y x ；（5）ds z y x L)(222⎰++，其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段； （6）⎰Lxyzds ，其中L 为曲线)10(21,232,22≤≤===t t z t y t x 的一段； （7）⎰+Lds z y 222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆周．2. 求曲线)0,10(21,,2>≤≤===a t at z at y a x 的质量．设其线密度为.2az =ρ 3. 求摆线⎩⎨⎧≤≤-=-=)0()cos 1()sin (πt t a y t t a x 的重心，设其质量分布是均匀的．4. 计算下列第一类型曲面积分： （１）⎰⎰++SdS z y x )(,其中S 是上半圆面0,2222≥=++z a z y x ； （２）⎰⎰+SdS y x )(22，其中S 为立体122≤≤+z y x 的边界曲面； （３），⎰⎰+S yx dS 22其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分； （４）⎰⎰SxyzdS ，其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分；5. 若曲线以极坐标))((21θθθθρρ≤≤=表示，试给出计算⎰Lds y x f ),(的公式，并用此公式计算下列曲线积分： （１）⎰+Ly x ds e22，其中L 为曲线)4(πθρ≤≤=a 的一段；（２）⎰Lxds ，其中L 为对数螺线)0(>=k ae k θρ在圆a r =内的部分．6. 设有一质量分布不均匀的半圆弧)0(sin ,cos πθθθ≤≤==r y r x ，其线密度θρa =（a 为常数），求它对原点)0,0(处质量为m 的质点的引力．7. 证明：若函数f 在光滑曲线],[),(),(:βα∈==t t y y t x x L 上连续，则存在点L y x ∈),(00，使得L y x f dS y x f L∆=⎰),(),(00，其中L ∆为L 的长．8. 计算dS z S⎰⎰2，其中S 为圆锥表面的一部分： ⎩⎨⎧≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,20,0:;cos sin sin sin cos :πϕθθϕθϕa r D r z r y r x S这里θ为常数).20(πθ≤≤P.371 第二型曲线积分1. 计算第二型曲线积分： （１）⎰-L ydx xdy ，其中L 为本节例２中的三种情形．（２）⎰+-Ldy dx y a )2(，其中L 为摆线)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 沿t 增加方向的一段； （３）⎰++-L y x ydy xdx 22，其中L 为圆周222a y x =+，依逆时针方向；（４）⎰+Lxdy ydx sin ，其中L 为)0(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向； （５）⎰++Lzdz ydy xdx ，其中L ：从（１，１，１）到（２，３，４）的直线段．2. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比．若质点由)0,(a 沿椭圆移动到),0(b ，求力所作的功。

第六章 微分中值定理与其应用一、填空题1．若0,0>>b a 均为常数,则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x b a 302lim ________. 2．若21sin cos 1lim 0=-+→x x b x a x ,则=a ______,=b ______. 3．曲线x e y=在0=x 点处的曲率半径=R _________. 4．设2442-+=xx y ,则曲线在拐点处的切线方程为___________. 5．=-+→x ex xx 10)1(lim ___________. 6．设)4)(1()(2--=x x x x f ,则0)(='x f 有_________个根,它们分别位于________区间；7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的__________=ξ；8．函数3)(x x f =与21)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ； 9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ；10．函数2)(xe xf x=的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33-=的极大值点是______,极大值是_______.12．设x xe x f =)(,则函数)()(x f n 在=x _______处取得极小值_________.13．已知bx ax x x f ++=23)(,在1=x 处取得极小值2-,则=a _______,=b _____.14．曲线22)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点,则=k ________.15．设)2,1()1()( =-⨯=n x n x f n ,n M 是)(x f 在[]1,0上的最大值,则=∞→n n M lim ___________.16．设)(x f 在0x 可导,则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的______条件；17．函数x bx x a x f ++=2ln )(在1=x 与2=x 取得极值,则______,==b a ；18. 函数3223)(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数xx x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为______,最小值为_____； 21. 设点)2,1(是曲线b a x y +-=3)(的拐点,则___________,==b a ;22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为________;23. 曲线323x x y -=的上凹区间为________;24. 曲线)1ln(2x y +=的拐点为__________;25．曲线x y ln =在点______处曲率半径最小.26．曲线)1ln(x e x y +=的渐近线为__________.二.选择填空1．曲线2)5(35+-=x y 的特点是< >.A.有极值点5=x ,但无拐点B.有拐点)2,5(,但无极值点C.5=x 是极值点,)2,5(是拐点D.既无极值点,又无拐点2．奇函数)(x f 在闭区间[]1,1-上可导,且M x f ≤)(',则< >. A.M x f ≥)( B.M x f >)( C.M x f ≤)( D.M x f <)(3．已知方程)0(122>=+y y y x 确定y 为x 的函数,则< >.A.)(x y 有极小值,但无极大值B.)(x y 有极大值,但无极小值C.)(x y 即有极大值又有极小值D.无极值4．若)(x f 在区间),[+∞a 上二阶可导,且0)(>=A x f ,,0)('<a f 0)(<''x f )(a x >,则方程0)(=x f 在()+∞,a 内< >A.没有实根B.有两个实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根 5．已知)(x f 在0=x 处某邻域内连续,2cos 1)(lim0=-→xx f x ,则在0=x 处)(x f < >.A.不可导B.可导且2)0('=fC.取得极大值D.取得极小值6．设函数)(x f 在区间[)+∞,1内二阶可导,且满足条件0)1()1(='=f f ,1>x 时0)(<''x f ,则xx f x g )()(=在[)+∞,1内< > A ．必存在一点ε,使0)(=εfB ．必存在一点ε,使0)(='εfC ．单调减少 D. 单调增加7．设)(x f 有二阶连续导数,且0)0(='f ,1)(lim 0=''→xx f x ,则< > A ．)0(f 是)(x f 的极大值 B.)0(f 是)(x f 的极小值C ．())0(,0f 是曲线)(x f y=的拐点 D ．)0(f 不是)(x f 的极值,())0(,0f 也不是曲线)(x f y =的拐点8．若)(x f 和)(x g 在0x x =处都取得极小值,则函数)()()(x g x f x F +=在0x x =处< >A ．必取得极小值 B.必取得极大值C.不可能取得极值D.是否取得极值不确定9．设)(x y y =由方程03223=+-by y ax x 确定,且1)1(=y ,1=x 是驻点,则< >A.3==b aB.25,23==b aC.21,23==b a D.3,2-=-=b a 10．曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为< >A.0B.1C.2D.311．)(),(x g x f 是大于0的可导函数,且0)(')()()('<-x g x f x g x f ,则当b x a <<时有< >A ．)()()()(x g b f b g x f > B.)()()()(x g a f a g x f >C.)()()()(b g b f x g x f >D.)()()()(a g a f x g x f >12．曲线()()211arctan 212+-++=x x x x e y x 的渐近线有< > A ．1条 B.2条 C.3条 D.4条13．q x x x f ++=2)(3的O 点的个数为< >A ．1 B.2 C.3 D.个数与q 有关14．曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==111t b t x 则曲线< > A ．只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线C ．无渐近线 D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线15．设)(x f y =为0sin =-'+''x ey y 的解,且0)(0='x f ,则)(x f 有< > A ．0x 的某个邻域内单调增加B ．0x 的某个邻域内单调减少C ．0x 处取得极小值D ．0x 处取得极大值16. 罗尔定理中的三个条件;)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且)()(b f a f =是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf 成立的< >.)(A 必要条件 )(B 充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要17. 下列函数在],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是< >.)(A );ln(ln x )(B x ln ; )(C xln 1; )(D )2ln(x -; 18. 若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且21,x x 是),(b a 内任意两点,则至少存在一点ξ使得下式成立< >.)(A )()()()(2112ξf x x x f x f '-=-),(b a ∈ξ;19. 设)(x f y =是),(b a 内的可导函数,x x x ∆+,是),(b a 内的任意两点,则< > .)(B 在x x x ∆+,之间恰有一个ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ)(C 在x x x ∆+,之间至少存在一点ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ)(D 对于x 与x x ∆+之间的任一点ξ,均有x f y ∆'=∆)(ξ20.若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且对),(b a 内任意两点21,x x 恒有21212)()()(x x x f x f -≤-,则必有< >.)(C x x f =)()(D c x f =)( <常数>21. 已知函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,则方程)(x f '0=有< >.)(A 分别位于区间)4,3(),3,2(),2,1(内的三个根;)(B 四个根,它们分别为4,3,2,14321====x x x x ;)(C 四个根,分别位于);4,3(),3,2(),2,1(),1,0()(D 分别位于区间)4,1(),3,1(),2,1(内的三个根;22. 若)(x f 为可导函数,ξ为开区间),(b a 内一定点,而且有0)()(,0)(≥'->x f x f ξξ,则在闭区间],[b a 上必总有< >.23. 若032<-b a ,则方程0)(23=+++=c bx ax x x f < >. )(A 无实根 )(B 有唯一实根 )(C 有三个实根 )(D 有重实根24. 若)(x f 在区间],[+∞a 上二次可微,且,0)(,0)(<'>=a f A a f 0)(≤''a f <a x >>,则方程0)(=x f 在],[+∞a 上< >.)(A 没有实根 )(B 有重实根 )(C 有无穷多实根 )(D 有且仅有一个实根25. 设)()(lim 0x g x f x x →为未定型,则)()(lim 0x g x f x x ''→存在是)()(lim 0x g x f x x →也存在的< >. )(A 必要条件 )(B 充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件26. 指出曲线23x x y -=的渐近线< >. )(A 没有水平渐近线,也没有斜渐近线;)(B 3=x 为垂直渐近线,无水平渐近线;)(C 既有垂直渐近线,又有水平渐近线;)(D 只有水平渐近线.27 曲线)2)(1(1arctan 212+-++=x x x x e y x 的渐近线有< >. )(A 1条 ; )(B 2条 ; )(C 3条 ; )(D 4条 ;28． 函数x x a x f 2cos 21cos )(-=在3π=x 取得极值,则=a 〔 〕. )(A 0 ； )(B 21 ； )(C 1 ； )(D2 . 29． 下列曲线集邮水平渐近线,又有垂直渐近线的是〔 〕.)(A xx x x f +=32sin )( ； )(B 13)(2-+=x x x f ； )(C )3ln()(xe xf -= ； )(D 2)(x xe x f -=. 30． x x x -→111lim =〔 〕.)(A 1 ； )(B 1-e ； )(C e ； )(D ∞ .三、计算题1. 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ使得f ′<ξ>=0：〔1〕f<x>=⎪⎩⎪⎨⎧=≤<0;x 0,,π1x ,0x 1xsin〔2〕f<x>=|x|, —|≤x ≤|.2. 求下列不定式极根: <1>x sin 1e lim x 0-→x ; <2> x cos 2sinx -1lim 6x x →; <3> 1-cosx x -x)1n(1lim 0+→x ; <4> sinx-x x -tgx lim 0→x ; <5> 5sec 6-tgx lim 2+→x x x ; <6> )11x 1(lim 0--→x x e ; <7> sinx 0)tgx (lim +→x ; <8> x -111lim x x →; <9> x 12)1(lim x x ++∞→; <10> x x x ln sin lim 0+→; <11> )sin 1x 1(lim 220xx -→; <12> 210)x tgx (lim x x →.3.求下列不定式极限: <1>2sin 1)1cos(ln lim 1x x x π--→; <2>x 2arctgx)ln (πlim x -+∞→; <3> x x x sin 0lim +→ <4> x tg x x tgx 24)(lim → <5> xx x x x 1)1ln(lim 2)1(0-++→ <6> )1(lim 0xctgx x -→; <7> x e x xx -+→10)1(lim ; <8> x x ln 1)arctgx 2(lim -+∞→π.4. 求下列函数在提定点处带拉格朗日型余项的泰勒公式:<1> f<x>=x 3+4x 2+5,在x=1处; <2> f<x>=,11x+在x=0处; <3> f<x>=cosx 的马克林公式.5. 求下列函数带皮亚诺型余项的马克劳林公式：〔1〕f<x>=arctgx 到含x 5的项；〔2〕f<x>=tgx 到含x 5的项.6.求下列极限: <1>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-∞→→)11ln(lim )2(;)1(sin lim 230x x x x x x x e x x x ; <3>ctgx)x1(x 1lim 0x -→. 7. 估计下列近似公式的绝对误差: <1>21||,6sin 3≤-≈x x x x 当; <2>,82112x x x -+≈+当x ∈[0,1]. 8. 计算: <1>数e 准确到10-9;<2>lg11准确到10-5.1. 确定下列函数的单调区间:<1> f<x>=3x-x 3; <2> f<x>=2x 2-lnx; <3> f<x>=22x x -; <4> f<x>=x x 12-. 9. 求下列函数的极值.<1> f<x>=2x 3-x 4; <2> f<x>=212x x +; <3>f<x>=x nx)(|2; <4> f<x>=arctgx-21ln<1+x 2>. 10. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:<1> y=x 5-5x 4+5x 3+1,[-1,2];<2> y=2tgx-tg 2x, [0,2π]; <3> y=x lnx, <0,+∞>.11. 把长为1的线段截为两段, 问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大?12. 一个无盖的圆柱形容器, 当给定体积为V 时, 要使容器的表面积为最小, 问底的半径与容器的高的比例应该怎样?13. 设用某仪器进行测量时,读得n 次实验数据为a 1,a 2,…, a n .问以怎样的数值x 表达所要测量的真值,才能使它与这n 个数之差的平方和为最小？14. 求下列函数的极值:<1> f<x>=|x<x 2-1>|; <2> f<x>=1)1(242+-+x x x x ;<3> f<x>=<x-1>2<x+1>3. 15. 设f<x>=alnx+bx 2+x 在x 1=1,x 2=2处都取得极值;试定出a 与b 的值;并问这时f 在x 1与x 2是取得极大值还是极小值?16. 求正数a,使它与其倒数之和为最小.17. 要把货物从运河边上A 城运往与运河相距为BC=a 千米的B 城<见图7-1>.轮船运费的单价是α元/千米.火车运费的单价是β元/千米<β>α>,试求运河边上的一点M,修建铁路MB,使总运费最省.18. 确定下列函数的凸性区间与拐点:<1> y=2x 3-3x 2-36x+25; <2> y=x+x 1; <3> y=x 2+x1; <4> y=ln<x 2+1>; 19. 问a 和b 为何值时,点<1,3>为曲线y=ax 3+bx 3的拐点?四、证明题1. 证明：〔1〕方程x 3—3x+c=0〔这里C 为常数〕在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；〔2〕方程x n +px+q=0<n 为自然数,p,q 为实数>当n 为偶数时至多有两个实根；当n 为奇数时至多有三个实根.2. 证明：〔1〕若函数f 在[a,b]上可导,且f '<x>≥m,则f<b>≥f<a>+m<b-a>;<2>若函数f 在[a,b]上可导,且|f '<x>|≤M,则|f<b>-f<a>|≤M<b-a>；〔3〕对任意实数x 1,x 2,都有|sinx 1-sinx 2|≤|x 1-x 2|.3. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：〔1〕aa b a b n b a b -<<-1,其中0<a<b; 〔2〕21h h +<arctgh<h,其中h>0. 4. 设函数f 在[a,b]上可导.证明：存在ξ∈〔a,b 〕,使得2ξ[f<b>-f<a>]=<b 2-a 2>f '<ξ>.5. 设函数在点a 具有连续的二阶导数.证明：)('')(2)()(20lim a f ha f h a f h a f h --++→. 6. 试讨论函数f<x>=x 2,g<x>=x 3在闭区间[-1,1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论,为什么？7. 设0<α<β<2π,试证明存在θ∈<a,b>,使得 ctg aa =--cos cos sin sin ββθ. 8. 设h>0,函数f 在[a-h,a+h]上可导.证明：〔1〕)(f')(f'hh)f(a h)f(a h a h a θθ--+=--+,θ∈〔0,1〕； 〔2〕)('f )('f h h)f(a f(a)h)f(a h a h a θθ--+=-+-+,θ∈〔0,1〕. 9. 以S<x>记由〔a,f<a>〕,<b,f<b>>,<x,f<x>>三点组成的三角形面积,试对S<x>应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.10. 若函数f, g 和h 在[a,b]上连续,在〔a,b 〕内可导,证明存在实数ξ∈<a,b>,使得)(h' )(g' )(f'h(b) g(b) f(b)h(a)g(a) f(a)ξξ ξ=0.再从这个结果导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理.11. 设f 为[a,b]上二阶可导函数,且f<a>=f<b>=0,并存在一点c ∈〔a,b 〕使得f<c>>0.证明至少存在一点ξ∈<a,b>,使得f ''<ξ><0.12. 证明达布定理：若f 在[a,b]上可导,且f '<a>≠f '<b>,k 为介于f '<a>与f '<b>之间的任一实数,则至少存在一点ξ∈<a,b>,使得f '<ξ>=k.13. 设函数f 在〔a,b 〕内可导,且f ＇单调.证明f ＇在〔a,b 〕内连续.14. 证明：设f 为n 阶可导函数,若方程f 〔x 〕=0有n+1个相异实根,则方程f <n><x>=0至少有一个实根.15. 设p<x>为多项式,α为p<x>=0的r 重实根.证明：α必定是p ＇<x>=0的r-1重实根.16. 证明：〔1〕设f 在〔a,+∞〕上可导,若f(x)lim +∞→x 和(x)f'lim +∞→x 都存在,则(x)f'lim +∞→x =0;<2>设f 在<a,+∞>上n 阶可导.若f(x)lim +∞→x 和(x)f lim k+∞→x 都存在,则 (x)f lim k +∞→x =0,<k=1,2,…,n>.17. 设函数f 在点a 的某个邻域内具有连续的二阶导数,试应用罗比塔法则证明:18. 对函数f 在区间[0,x]上应用拉格朗日中值定理有f<x>-f<0>=f ＇<θx>x,θ∈<0,1>. 试证对下列函数都有21lim 0=→θx ; <1> f<x>=ln<1+x>; <2> f<x>=e x .19. 设f<0>=0,f ＇在原点的某邻域内连续,且f ＇<0>=0.证明:1lim f(x)0=+→x x .20. 证明定理6.5中0g(x)lim 0,f(x)lim x x ==+∞→+∞→情形时的罗比塔法则:若<i> 0)(lim ,0fx lim ==+∞→+∞→x x x <ii> 存在M 0>0,使得f 与g 在<M0,+∞>内可导,且g ＇<x>≠0; <iii> A (x )g'(x )f'lim (x )g'(x )f'lim x x ==+∞→+∞→<A 为实数,也可为±∞或∞>,则 21. 证明:2x 3e x f(x)-=为有界函数.22. 应用函数的单调性证明下列不等式. <1> tgx>x-)3π(0,x ,3x 3∈; <2> )2π(0,x x,sinx π2x ∈<<; <3> 0x ,x )2(1x x x )n(1|2πx 22>+-<+<- 23. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0x 0,0, x ,x 1sin x f(x )24. <1> 证明:x=0是函数f 的极小值点;<2>说明在f 的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.24. 证明:设f<x>在<a,b>内可导,f<x>在x=b 连续,则当f '<x>≥0<a<x<b>时,对一切x ∈<a,b>有f<x>≤f<b>,当f '<x>≤0<a<x<b>时,对一切x ∈<a,b>有f<x>≥f<b>.25. 证明:若函数f 在点x 0处有f '+<x 0><0<>0>,f '_<x 0>>0<<0>,则x 0为f 的极大<小>值点.26. 证明：若函数f,g 在区间[a,b]上可导,且f '<x>>g '<x>, f<a>=g<a>,则在(]b a ,内有f<x>>g<x>.27. 证明:,sinx x x tgx >⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π0,x . 28. 证明:<1> 若f 为凸函数,λ为非负实数,则λf 为凸函数;<2> 若f 、g 均为凸函数,则f+g 为凸函数；<3>若f 为区间I 上凸函数,g 为J ⊃f<I>上凸的递增函数,则gof 为I 上凸函数.29. 设f 为区间I 上严格凸函数.证明:若X 0∈I 为f 的极小值点,同x 0为f 在I 上唯一的极小值点.30. 应用凸函数概念证明如下不等式:<1>对任意实数a,b,有)e (e 21e b a 2ba +≤+; <2>对任何非负实数a,b, 有 2arctg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a ≥arctga+arctgb. 31. 证明:若f.g 均为区间I 上凸函数,则F<x>=max{f<x>,g<x>}也是I 上凸函数.32. 证明:<1>f 为区间I 上凸函数的充要条件是对I 上任意三点x 1<x 2<x 3,恒有)f(xx 1)f(xx 1)f(xx 1Δ332211=≥0. <2>f 为严格凸函数的充要条件是对任意x 1<x 2<x 3,△>0.33. 应用詹禁不等式证明:<1> 设a i >0<i=1,2,…n>,有n a a a a a a a 1a 1a 1nn 21n n 21n21+++≤≤+++ . <2>设a i ,b i >0<I=1,2,…,n>,有81)b (p 1)a (b a m 1i q i n1i p n 1i i i ∑∑∑===≤, 其中P>0,q>0,q1p 1+=1. 五、考研复习题1. 证明:若f<x>在有限开区间<a,b>内可导,且f(x)lim a x +→f(x)lim b x -→=,则至少存在一点ξ∈a,b>,使f '<ξ>=0.2. 证明:若x>0,则<1>)(211x x x x θ+=-+,其中21)(41≤≤x θ; <2>21)(lim ,41)(lim 0==+∞→→x x x x θθ. 3. 设函数f 在[a,b]上连续,在<a,b>内可导,且ab>0.证明存在ξ∈<a,b>,使得)(f )(f f(b)f(a)b a b a 1ξξξ'-=-. 4. 设f 在[a,b]上三阶可导,证明存在ξ∈<a,b>,使得)(f a)(b 121(b)]f (a)f a)[(b 21f(a)f(b)3ξ'''--'+'-+=. 5. 对f<x>=ln<1+x>应用拉格朗日中值定理,证明:对x>0有11)1ln(10<-+<xx . 6. 证明:若函数f 在区间[a,b]上恒有f ''<x>>0,则对<a,b>内任意两点x 1,x 2,都有⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+2x x f 2)f(x )f(x 2121, 其中等号仅在x 1=x 2时才成立.7. 证明:第6题中对<a,b>内任意n 个点x 1,x 2…,x n 也成立⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡≥∑∑--n x f )f(x n 1n 1k k n1k k , 其中等号也仅在x 1=x 2=…=x n 时才成立.8. 应用第7题的结果证明：对任意n 个正数x 1,x 2,…,x n 恒成立n n 21x x x nxn x2x1⋯≥+⋯++, 即算术平均值不小于几何平均值.9. 设a 1,a 2,…,a n 为n 个正实数,且证明：〔i 〕n n 21x a a a (x)limf =∞→〔ii 〕{}x n 21x a a ,a max f(x)lim =∞→ 10. 求下列极限：〔1〕x)ln(1121x )x (1lim -→--；〔2〕2x 0x x x )ln(1x e lim +-→；〔3〕sinx 1sinx lim 20x x →.11. 证明:若函数f 在点a 二阶可导,且f ''<a>≠0,则对拉格朗日公式f<a+h>-f<a>=f '<a+θh>h,0<θ<1 中的θ有21θlim 0h =→ 12. 设h>0,函数f 在U<a,h>内具有n+2阶连续导数,且f <n+2><a>≠0,f 在U<a,h>内的泰勒公式为f<a+h>=f<a>+f '<a>h+…++n (n)h n!(a)f 1)1()!1()(++++n n h n h a f θ,0<θ<1. 证明:2n 1θlim 0h +=→. 13. 设函数f 在[a,b]上二阶可导,0(b)f (a)f ='='.证明存在一点ξ∈<a,b>,使得14. 设a,b>0,证明方程x 3+ax+b=0不存在正根.15.设k>0,试问k 为何值时,方程arctgx-kx=0存在正根.16. 证明:对任一多项式p<x>来说,一定存在点x 1与x 2,使p<x>在<x 1,+∞>与<-∞,x 2>上分别为严格单调.17. 证明:当x ∈[0,1]时有不等式121-p ≤X p +<1+x>p ≤1<其中实数p>1>.18. 讨论函数 f<x>=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+0,x 0,0,x ,x 1sin x 2x 2 <1>在x=0点是否可导?<2>在x=0的任何邻域内函数是否单调?19. 设函数f 在[0,a]上具有二阶导数,且|f ''<x>|≤M,f 在<0,a>内取得最大值.证明:|f '<0>|+|f '<a>|≤Ma.20. 设f 在[)+∞,0上可微,且0≤f '<x>≤f<x>,f<0>=0.证明:在[)+∞,0上f<x>≡0.21. 设f<x>满足f ''<x>+f '<x>g<x>-f<x>=0,其中g<x>为任一函数.证明:若f<x 0>=f<x 1>=0<x 0<x 1>,则f 在[x 0,x 1]上恒等于0.22. 证明:f 为I 上凸函数的充要条件是对任何x 1,x 2∈I,函数ϕ<λ>=f<λx 1+<1-λ>x 2>为[0,1]上的凸函数.。

P.182 习题1．验证下列等式 （1）C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.（2）因为C u du +=⎰, 所以⎰+=C x f x df )()(.2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点)5,2(.解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C xxdx dx x f x f +=='=⎰⎰22)()(.于是知曲线为C x y +=2, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=225, 解得1=C , 从而所求曲线为12+=x y3．验证x x y sgn 22=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0<x 时, 22x y -=, x y -='; 当0=x 时, y 的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim020==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩⎪⎨⎧=<-=>='||0000x x xx x xy 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？解 由P.122推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。

因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。

5．求下列不定积分⑴Cx x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-31423233233421)11(⑵C x x x dx x x x dx xx ++-=+-=-⎰⎰||ln 343)12()1(2332122⑶C gxC x gdx x ggxdx +=+⋅==⎰⎰-22212122121 ⑷ ⎰⎰⎰+⋅+=+⋅+=+dx dx dx xx x x x x x x )9624()3)32(22()32(222C x x x ++⋅+=9ln 96ln 624ln 4 ⑸C x dx x dx x +=-=-⎰⎰arcsin 23112344322⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan 1(31)111(31)1(311)1(322222 ⑺C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22 ⑻ C x x dx x dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰)2sin 21(21)2cos 1(2122cos 1sin 2⑼ C x x dx x x dx xx xx dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=⋅-=⋅⎰⎰⎰tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222⑾ C C dt dt tt ttt+=+⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰90ln 90)910ln()910()910(3102⑿C x dx x dx x x x +==⎰⎰81587158⒀ Cx dx xdx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+⎰⎰⎰arcsin 212)1111()1111(222⒁C x x xdx dx dx x dx x x +-=+=+=+⎰⎰⎰⎰2cos 212sin 1)2sin 1()sin (cos 2⒂ C x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C ee e e dx e e e e dx e e x xx x x x x x x x ++--=-+-=------⎰⎰33333313331)33()( P.188 习题1．应用换元积分法求下列不定积分：⑴ C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C ex d e dx xe x x x +==⎰⎰222222241)2(41 ⑶ C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|12|ln 2112)12(2112 ⑷ C x n x d x dx x n nn +++=++=++⎰⎰1)1(11)1()1()1( ⑸Cx x xd xdx x dx xx++=-+-=-+-⎰⎰⎰3arcsin 313arcsin 3)3113131)31131(2222⑹ C C x d dx x x x x +=+=+=++++⎰⎰2ln 22ln 22)32(221222323232⑺C x C x x d x dx x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰232321)38(92)38(3231)38()38(3138 ⑻C x C x x d x x dx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 21sin 21sin ⑽ C x x x d x dx++-=++=+⎰⎰)42cot(21)42(sin )42(21)42(sin 22ππππ⑾ 解法一：C xx x dx dxx dx+===+⎰⎰⎰2tan 2cos 22cos 2cos 122解法二： ⎰⎰⎰⎰-=--=+xxdx x dx xdxx x dx 222sin cos sin cos 1)cos 1(cos 1 C xx xxd x ++-=--=⎰sin 1cotsin sin cot 2⑿解法一：利用上一题的结果，有C x C x x x d x dx +--=+--=-+--=+⎰⎰)24tan()2(21tan )2cos(1)2(sin 1πππ 解法二： C x x xx d x dx x dx x x dx +-=+=--=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos cos sin 1)sin 1(sin 1222 解法三：⎰⎰⎰+⋅=+=+222)12(tan 2cos )2cos 2(sin sin 1x x dx x x dx x dxC x x x d ++-=+=⎰12tan 2)12(tan 2tan 22⒀ 解法一：⎰⎰⎰---=-=)2()2sec()2sec(csc x d x dx x xdx πππC x x C x x ++-=+-+--=|cot csc |ln |)2tan()2sec(|ln ππ解法二：C x x x x d dx x x dx x xdx ++-=-===⎰⎰⎰⎰1cos 1cos ln 211cos cos sin sin sin 1csc 22C x x +-=|cot csc |ln解法三：⎰⎰++=dx x x x x x xdx cot csc )cot (csc csc cscC x x C xx x x d ++-=+++-=⎰|cot csc |ln cot csc )cot (csc解法四：⎰⎰⎰==dx x x xdx x x xdx 2cos2sin 22sin2cos 2sin 21csc 2C xC x x d x +=+-=-=⎰|2tan |ln |2cot |ln 2cot 2cot 1⒁C x x d x dx x x +--=---=-⎰⎰22221)1(11211 ⒂ C x dx x dx x x +=+=+⎰⎰2arctan 41)(4121422224⒃C x x x d x x dx +==⎰⎰|ln |ln ln ln ln⒄ C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰25535354)1(1101)1()1(151)1( ⒅ C x x C x x dx x dx x x ++-=++-⋅=-=-⎰⎰|22|ln 281|22|ln 221412)(1412444442483⒆C xx C x x dx x x x x dx ++=++-=+-=+⎰⎰|1|ln |1|ln ||ln )111()1( ⒇ C x dx x xxdx +==⎰⎰|sin |ln sin cos cot(21) ⎰⎰⎰-==x d x xdx x xdx sin )sin 1(cos cos cos 2245C x x x x d x x ++-=+-=⎰5342sin 51sin 32sin sin )sin sin 21((22) 解法一：C x x x x d x x dx +-==⎰⎰|2cot 2csc |ln 2sin )2(cos sin 解法二：C x x xd xx xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan cos sin cos cos sin 2 解法三：⎰⎰+=xx dx x x x x dx cos sin )cos (sin cos sin 22C x x dx xxx x +-=+=⎰|cos |ln |sin |ln )sin cos cos sin ((23) C e e de e dx e e e dx xx x x x x x+=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1122 (24) C x x x x x x d dx x x x ++-=+-+-=+--⎰⎰|83|ln 83)83(83322222(25) C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-+++=+++-+=+++-+=++⎰⎰⎰2323232)1(2312|1|ln ))1(3)1(211()1(3)1(2)1()1(2(26)⎰+22ax dx解 令t a x tan =, 则C a x x C t t t a tdt a a x dx+++=++==+⎰⎰||ln |tan sec |ln sec sec 221222(27)C a x x a a x x d a a x dx ++=+=+⎰⎰21222212222322)(1)(1)(解法2 令t a x tan =, 则C ax a x C t a tdt a t a tdt a a x dx ++=+===+⎰⎰⎰222223322322sin 1cos 1sec sec )( (28)⎰-dx xx 251解 令t x sin =, 则Cx x x C t t t td t tdt dt t t t dx x x +---+--=+-+-=--===-⎰⎰⎰⎰25223221253225525)1(51)1(32)1(cos 51cos 32cos cos )cos 1(sin cos cos sin 1(29)⎰-dx xx31解 令t x =61, 则6t x =, 56tdx =C t t t t t t dt tt t t dt tt t t t dt t t t dt t t dx x x++--+++-=-++++-=-++++-=-+-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 26)357(6)11)1((611)1)(1(6111)(61613572246224622422533其中61x t = (30)⎰++-+dx x x 1111解 令t x =+1, 则21t x =+, tdt dx 2=,Cx x x C x x x C t t t dt t t dt t t t tdt t tdt t t dx x x +++++-=+++++-+=+++-=++-=+-=+-=+-=++-+⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 414|11|ln 4141|1|ln 44)1442()142(2)121(21111111122．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴ C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰⎰221arcsin 1arcsin arcsin⑵ C x x x dx xx x x xdx +-=⋅-=⎰⎰ln 1ln ln ⑶Cx x x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x x d x xdx x +-+=-+=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin sin cos 222222 ⑷C x x x dx x x x x xd dx x x +--=+-=-=⎰⎰⎰223223412ln 121ln 211ln 21ln ⑸ C x x x x x xdx x x dx x ++-=-=⎰⎰2ln 2)(ln ln 2)(ln )(ln 222⑹ ⎰⎰⎰+-==dx x x x x xdx xdx x 2222121arctan 21arctan 21arctan C x x x x dx x x x +--=+--=⎰)arctan (21arctan 21)111(21arctan 21222 C x x x +-+=21arctan )1(212⑺ ⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x ln 1)ln(ln ]ln 1)[ln(ln C x x dx xdx x x x x x +=+⋅-=⎰⎰)ln(ln ln 1ln 1)ln(ln⑻ ⎰⎰--=dx xx x x x dx x 2221arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x⎰----+=dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsinC x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22⑼ ⎰⎰⎰-==xdx x x x x xd xdx 23tan sec tan sec tan sec sec⎰⎰⎰+-=--=xdx xdx x x dx x x x x sec sec tan sec )1(sec sec tan sec 32 |tan sec |ln sec tan sec 3x x xdx x x ++-=⎰所以 C x x x x xdx +++=⎰|)tan sec |ln tan sec 21sec 3⑽⎰⎰+⋅-+=+dx ax x x a x x dx a x 222222⎰+-+-+=dx ax a a x a x x )(2222222⎰⎰+++-+=dx ax a dx a x a x x 2222222)ln(2222222a x x a dx a x a x x ++++-+=⎰所以C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰))ln((212222222 类似地可得C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰))ln((212222222 3．求下列不定积分：⑴ C x f a x df x f dx x f x f a aa++=='+⎰⎰1)]([11)()]([)()]([ ⑵C x f x df x f dx x f x f +=+=+'⎰⎰)(arctan )()]([11)]([1)(22⑶C x f x f x df dx x f x f +=='⎰⎰|)(|ln )()()()( ⑷ C e x df e dx x f ex f x f x f +=='⎰⎰)()()()()( 4．证明：⑴ 若⎰=dx x I nn tan ， ,3,2=n ，则21tan 11----=n n n I x n I 证 ⎰⎰⎰----=-=dx x dx x x dx x x I n n n n 22222tan sec tan )1(sec tan22tan tan ---=⎰n n I x d x .因为⎰⎰-----=x d x n x x d x n n n tan tan )2(tan tan tan212， 所以x n x d x n n 12tan 11tan tan ---=⎰. 从而21tan 11----=n n n I x n I . ⑵ 若⎰=dx x x n m I nm sin cos ),(，则当0≠+n m 时，),2(1sin cos ),(11n m I nm m n m x x n m I n m -+-++=+-)2,(1sin cos 11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m ， ,3,2,=m n证 ⎰⎰+-+==x d x n dx x x n m I n m n m11sin cos 11sin cos),( ]sin cos )1(sin [cos 112211⎰+-+--++=dx x x m x x n n m n m ])cos 1(sin cos )1(sin [cos 112211⎰--++=-+-dx x x x m x x n n m n m ))],(),2()(1(sin [cos 1111n m I n m I m x x n n m ---++=+-所以),2(1sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++=+-， 同理可得)2,(1sin cos ),(11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m I n mP.199 习题1．求下列不定积分：⑴ ⎰⎰⎰-+++=-+-=-dx x x x dx x x dx x x )111(1111233 C x x x x +-+++=|1|ln 2323 ⑵ 解法一：C x x dx x x dx x x x +--=---=+--⎰⎰|3|)4(ln )3142(127222解法二：⎰⎰⎰+-++--=+--dx x x dx x x x dx x x x 12732112772211272222 ⎰⎰---++-+-=)27(41)27(123127)127(21222x d x x x x x dC x x x x +--++-=34ln 23|127|ln 212 ⑶ 解22311)1)(1(111xx CBx x A x x x x +-+++=+-+=+ 去分母得 )1)(()1(12x C Bx x x A ++++-=令1-=x ，得31=A . 再令0=x ，得1=+C A ，于是32=C . 比较上式两端二次幂的系数得 0=+B A ，从而31-=B ，因此⎰⎰⎰+---+=+dxx x x x dx x dx 2312311311⎰⎰+-++---+=dx x x dx x x x x 22112111261|1|ln 31⎰+-++--+=dx x x x x 43)21(121)1ln(61|1|ln 3122C x x x x +-++-+=312arctan 311)1(ln 6122 ⑷ 解 ⎰⎰⎰⎰+--++=+--+=+dx x x dx x x dx xx x x dx 42424224112111211)1()1(211 ⎰⎰⎰⎰++-+-=+--++=22222222221)1(211)1(211112111121x x x x d x x x x d dx x x x dx x x x ⎰⎰-++-+--=2)1()1(212)1()1(2122xx x x d x x x x d C xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221C x x x x x x ++++---=1212ln 8221arctan 42222 ⑸⎰+-22)1)(1(x x dx解 令22222)1(11)1)(1(1++++++-=+-x EDx x C Bx x A x x , 解得 41=A , 41-==CB , 21-==E D , 于是 ⎰⎰⎰⎰++-++--=+-dxx x dx x x x dx x x dx 22222)1(1211141141)1)(1(C x x x x x x x +++-++-+--=)1(arctan 411141arctan 41)1ln(81|1|ln 41222 C x x x x x ++-+-+-=)11arctan 21|1|(ln 4122 ⑹⎰⎰⎰++-+++=++-dx x x dx x x x dx x x x 222222)122(125)122(2441)122(2 其中1221)122()122()122(24222222++-=++++=+++⎰⎰x x x x x x d dx x x x ⎰⎰⎰+++=++=++)12(]1)12[(12]1)12[(4)122(1222222x d x dx x dx x x)12arctan(1)12(122+++++=x x x 参见教材P.186 例9或P.193关于k I 的递推公式⑺. 于是，有C x x x x x dx x x x ++-+++-++-=++-⎰)12arctan(251)12(1225122141)122(22222 C x x x x ++-+++=)12arctan(25)122(23522．求下列不定积分⑴⎰-x dxcos 35解 令2tan xt =，则C t t t d tdt t dt t t dx x dx+=+=+=++--=-⎰⎰⎰⎰2arctan 21)2(1)2(2141121135cos 3522222 C x+=)2tan 2arctan(21 ⑵⎰⎰⎰⎰+=+=+=+)tan 32(tan cos )tan 32(sin 3cos 2sin 2222222x xd x x dx x x dx x dxC x x x d +=+=⎰)tan 23arctan(61)tan 231()tan 23(612 ⑶ ⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx xx x x x x xdx x dx sin cos cos sin sin cos 21sin cos cos tan 1 )sin cos )cos (sin (21)sin cos cos sin 1(21⎰⎰⎰+++=++-+=x x x x d dx dx x x x x C x x x +++=|)sin cos |ln (21另解：设⎰+=x x xdx I sin cos cos 1，⎰+=x x xdxI sin cos sin 2，则C x dx x x xx I I +=++=+⎰sin cos sin cos 21，C x x x x x x d dx x x x x I I ++=++=+-=-⎰⎰|sin cos |ln sin cos )sin (cos sin cos sin cos 21所以C x x x I x dx +++==+⎰|)sin cos |ln (21tan 11⑷⎰⎰⎰-+++-+-=-+22221)1(11xx dx x dx x x dx xx x⎰⎰⎰-++-++---+-=2221231)12(211x x dxx x dx x dx x x 其中（利用教材P.185例7的结果）]1)21(512arcsin 45[21)21(451222x x x x dx x dx x x -+-+-=--=-+⎰⎰ 2222121)1(1)12(x x x x x x d x x dx x -+=-+-+=-++-⎰⎰512arcsin)21(45122-=--=-+⎰⎰x x dxxx dx所以有⎰-+dx xx x 221C x x x x x x x +-+-+--+-+--=512arcsin 231221]1)21(512arcsin 45[2122C x x x x +-++--=21432512arcsin 87 ⑸C x x x x x d xx dx ++++=-++=+⎰⎰|21|ln 41)21()21(222⑹⎰+-dx x xx 1112解 令 x x t +-=11，则2211t t x +-=，22)1(4t tdtdx +-=，代入原式得 ⎰⎰⎰⎰---=--=+-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-dt t t dt t t dt t t t t t dx x xx 222222222222)1(114)1(4)1(411111⎰⎰⎰⎰-+-++--=---=dt t t t dt t dt t dt t ]12)1(1)1(1[114)1(141142222222C t t t t dt t t dt t +++---+=-++--=⎰⎰1111|11|ln ])1(1)1(1[112222 C xx x x +---+=221|11|ln总 练 习 题求下列不定积分： ⑴Cx x x dx x xx dx xx x +--=--=--⎰⎰-4312134541121414334132454)2(12⑵]11arcsin [21arcsin 21arcsin 2222⎰⎰⎰--==dx xx x x dx x dx x x 其中)2sin 21(2122cos 1cos cos sin 1222t t dt t dt t t t dx x x -=-==-⎰⎰⎰)1(arcsin 212x x x --=所以]11arcsin [21arcsin 222⎰⎰--=dx xx x x dx x xC x x x x x +---=)]1(arcsin 21arcsin [2122 C x x x x x +-+-=22141arcsin 41arcsin 21 ⑶⎰+xdx 1解 令u x =，则udu dx 2=C u u du uu udu xdx ++-=+-=+=+⎰⎰⎰|)1|ln (2)111(2121 C x x ++-=|)1|ln (2⑷ ⎰⎰⎰⎰===x x x xde x x d x e dx x x e dx x esin sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 22sin C x e C e x e x d e x e x x x x x +-=+-=-=⎰)1(sin 2)sin (2)sin sin (2sin sin sin sin sin⑸ C x e C e u e du u e u x dx ex u u u x+-=+-==⎰⎰)1(2)(22)(令⑹C x x d xx x dx x xdx +-=--=-=-⎰⎰⎰1arcsin )1(1111112222 解法二：令t x sec =，CxC t dt t t t t x xdx +=+==-⎰⎰1arccos tan sec tan sec 12⑺⎰⎰⎰++=+-=+-x x x x d dx x x x x dx x x sin cos )sin (cos sin cos sin cos tan 1tan 1C x x ++=|sin cos |lnC x dx x dx x x +-=-=+-⎰⎰|)4cos(|ln )4tan(tan 1tan 1ππ ⑻ C x x x dx x x x dx x x x +-----=-+-+-=--⎰⎰23232)2(123|2|ln )2(2)2(3)2()2( ⑼C x x x d x xdx x x dx ++=+==⎰⎰⎰32224tan 31tan tan )tan 1(cos sec cos ⑽ ⎰⎰⎰-==dx x dx x dx x 2224)22cos 1()(sin sin ⎰⎰++-=+-=dx x x dx x x )24cos 12cos 21(41)2cos 2cos 21(412 C x x x C x x x x ++-=+++-=4sin 3212sin 4183)84sin 22sin (41 ⑾ ⎰+--dx x x x 43523解⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435令22)2(21)2)(1(5-+-++=-+-x Cx B x A x x x 去分母得：)1()2)(1()2(52++-++-=-x C x x B x A x 解得：32-=A ，32=B ，1-=C 所以⎰⎰⎰⎰---++-=+--dx x dx x dx x dx x x x 223)2(121321132435 C x x x +-++-=21|12|ln 32 ⑿ ⎰+dx x )1arctan(解 令u x =+1，duu dx )1(2-=⎰⎰⎰⎰-⋅=-⋅=+du u du u u du u u dx x arctan 2arctan 2)1(2arctan )1arctan(122)1ln(arctan 2]arctan )1[(C u u u u u u +++--+=C x x x x x ++++-+=)22ln()1arctan(⒀ ⎰⎰⎰+-=+-+=+dx x x x dx x x x x dx x x )22(2222433433747 C x x ++-=)2ln(214144 另解：C x x dx x dx x x x dx x x ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰)2ln(2141)221(4122444443447 ⒁⎰++dx x x x2tan tan 1tan 解 令u x =tan⎰⎰⎰⎰++-+=+++=++du u u du u du u u u u dx x x x 222221111111tan tan 1tanC x x C u u ++-=++-=31tan 2arctan 32312arctan 32arctan ⒂ ⎰⎰-+---=-dx x x x dx x x 10021002)1(1)1(2)1()1( C x x x +-+---=979899)1(971)1(491)1(991⒃⎰⎰⎰-+-=-=dx x x xx x d x dx x x 2211arcsin 1arcsin arcsin C xx x x +-+--=|11|ln arcsin 2⒄⎰⎰⎰--+=--+=-+2)]1ln()1[ln(21)]1ln()1[ln(11lndx x x dx x x x dx x x x C x xxx dx x x x x x x ++-+-=-++---+=⎰11ln 21)1111(21)]1ln()1[ln(21222⒅⎰⎰⎰+==x d xx dx xx dx xx tan tan tan 1cos tan 1cos sin 1247C x x ++=)tan 511(tan 22⒆ ⎰⎰⎰⎰+-++=+-+=+-dx x x e dx x e dx x x x e dx x x e xx x x22222222)1(21)1(21)11( C xe dx x e x e dx x e x d e dx x e x x x x x x ++=+-+++=+++=⎰⎰⎰⎰2222221111111 ⒇ ⎰=dx uv I n n ，x b a u 11+=，x b a v 22+=解 ][221211⎰⎰⎰--===dx v b u n u v b u d v b dx uv I n nn n n ])([2][21122111121⎰⎰---+-=-=dx u v b a b a v b n u v b dx u uv b n u v b n nn n ])([21122111----=n n nI b a b a n I nb u v b 所以])([)12(2112211---+=n n n I b a b a n u v b n I. ..。

《数学分析》（华师大版）课本上习题第二十二章曲线积分与曲面积分P.361 第一型曲线积分与第一型曲面积分1. 计算下列第一型曲线积分：（1）)1,0(),0,1(),0,0(,)(B A O L ds y x L是以其中?+为顶点的三角形；（2）+Lds y x2122)(，其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；（3）?L xyds ，其中L 为椭圆12222=+by a x 在第一象限中的部分；（4）Lds y ，其中L 为单位圆122=+y x ；（5）ds z y x L)(222++，其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段；（6）?Lxyzds ，其中L 为曲线)10(21,232,22≤≤===t t z t y t x 的一段；（7）+Lds z y 222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆周．2. 求曲线)0,10(21,,2>≤≤===a t at z at y a x 的质量．设其线密度为.2az =ρ 3. 求摆线??≤≤-=-=)0()cos 1()sin (πt t a y t t a x 的重心，设其质量分布是均匀的．4. 计算下列第一类型曲面积分：（１）++SdS z y x )(,其中S 是上半圆面0,2222≥=++z a z y x ；（２）+SdS y x )(22，其中S 为立体122≤≤+z y x 的边界曲面；（３），??+S yx dS 22其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分；（４）SxyzdS ，其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分；5. 若曲线以极坐标))((21θθθθρρ≤≤=表示，试给出计算Lds y x f ),(的公式，并用此公式计算下列曲线积分：（１）?+Ly x ds e22，其中L 为曲线)4(πθρ≤≤=a 的一段；（２）?Lxds ，其中L 为对数螺线)0(>=k ae k θρ在圆a r =内的部分．6. 设有一质量分布不均匀的半圆弧)0(sin ,cos πθθθ≤≤==r y r x ，其线密度θρa =（a 为常数），求它对原点)0,0(处质量为m 的质点的引力．7. 证明：若函数f 在光滑曲线],[),(),(:βα∈==t t y y t x x L 上连续，则存在点L y x ∈),(00，使得L y x f dS y x f L=?),(),(00，其中L ?为L 的长．8. 计算dS z S2，其中S 为圆锥表面的一部分：≤≤≤≤??===,20,0:;cos sin sin sin cos :π?θθ?θa r D r z r y r x S这里θ为常数).20(πθ≤≤P.371 第二型曲线积分1. 计算第二型曲线积分：（１）-L ydx xdy ，其中L 为本节例２中的三种情形．（２）?+-Ldy dx y a )2(，其中L 为摆线)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 沿t 增加方向的一段；（３）++-L y x ydy xdx 22，其中L 为圆周222a y x =+，依逆时针方向；（４）?+Lxdy ydx sin ，其中L 为)0(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；（５）++Lzdz ydy xdx ，其中L ：从（１，１，１）到（２，３，４）的直线段．2. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比．若质点由)0,(a 沿椭圆移动到),0(b ，求力所作的功。