同济大学2009-2010学年第二学期高等数学C(下)期终试卷
一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案）
1、下列微分方程为一阶线性方程的是： 【 D 】
:A '1yy =； :B 'e 1y y +=； :C 2
'y y y +=； :D 2
'y y x =+。
2、若向量()()()2,1,0,1,1,2,0,1,2a b c k =-=--=，且()
0a b c ⨯⋅=，则k = 【 B 】 :1A ； :2B ； :3C ； :4D 。
3、若向量()1,2,a k =-在向量()2,1,2b =-上的投影为2-，则k = 【 C 】 :1A ； :2B ； :3C ； :4D 。
4、设e cos x x z x y y =+
-，则z
y
∂=∂ 【 A 】 :A 2e sin x x y y -
+； :B 21e sin x x y y -+； :C 2
1e sin x
y y
-+； :D 2e sin x x y y -。 5、交换二次积分的次序：()2
220d ,d y
y y
f x y x =⎰⎰
【 A 】
()4
2
:
d ,d x A x f x y y ⎰
⎰； ()4
:d ,d x
B x f x y y ⎰；
()2220
:d ,d x x
C x f x y y ⎰⎰； ()2
:d ,d x
D x f x y y ⎰。
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格） 6、微分方程"2'20y y y -+=的通解为y =()
12e cos sin x c x c x +.
7、设向量()()2,3,2,2,3,0a b =-=-，若,x a x b ⊥⊥，且7x =。则向量x =()3,2,6±。
8、空间直线240
329x y z x y z -+=⎧⎨
--=⎩在xoy 面上的投影直线方程为：
7990x y z -=⎧⎨
=⎩
。
9、设函数()2z f x y =-，其中函数f 具有二阶导数，则
2z
x y
∂=∂∂()
2"2f x y --。
三、解答题（本题共有6小题，每小题7分，满分42分，需写出具体解题过程） 10、求微分方程：2d 1d y
x
y x
-= 的通解。 [2d d 1y x y x =+⎰⎰()tan ln y x c ⇒=+] 11、一平面过原点及点()6,3,2-，且与另一平面428x y z -+=垂直，求平面方程。
[()()()6,3,24,1,24,4,6n =-⨯-=--2230x y z ⇒+-=]
12、已知函数(),z z x y =由()()ln 1sin z z xy =++所确定，求d z 。
[()()
()1cos d d d z xy z y x x y z
+=+]
13、求函数()()2
2
,4f x y x y x y =---的极值点。
[420420x y
f x f y =-=⎧⎨
=--=⎩2
2x y =⎧⇒⎨
=-⎩,20,0,2;0A B C =-<==-∆<,(2,2)-为极大值点] 14、计算二重积分：sin d d D
y
I x x y x =
⎰⎰，其中D 由直线,0y x y ==和1x =所围。 [10
d sin d x
y I x x y x =
⎰⎰
12
00cos d x
y x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣
⎦⎰()1201cos1d x x =-⎰()11cos13=-]
15、计算二重积分：d d D
I x x y =
⎰⎰，其中(){}
()2
22,,00D x y x
y a y a =+≤≥>。
[π20
2
d cos d a
I θρθρρ=⋅⎰
⎰π
320
2cos d 3a θθ=⎰
32
3
a =] 四、综合题（本题共有3小题，每小题9分，满分27分，需写出具体解题过程） 16、求微分方程：()
()21d 2cos d 0x y xy x x -+-= 满足初始条件：01x y == 的特解。
[222cos '11x x y y x x +
=--()2
1'cos x y x ⎡⎤⇒-=⎣⎦,2sin 1x c y x +=-,1c =-,2sin 11
x y x -=-] 17、求函数：2z x y =+ 在椭圆 2
212
x y += 上的最值。 [2
22(1)2x L x y y λ=+++-,222012022x y x y λλ+=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
,41(,)33
,41(,)33--,max min 3;3z z ==-]
18、球面2222x y z a ++=含在柱面()222
0x y b b a +=<<内部分的面积恰为全球面积的
一半，求 b 。
[222
2
d x y b S x y +≤=⎰⎰
(4πa a =22πa
=2
b a ⇒=
]
