高考数学 双基限时练21 (2)

双基限时练(二十一) 指数函数的图象和性质基 础 强 化1．函数f (x )＝2x －1－x 2的零点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 在同一坐标系中作出y ＝2x －1和y ＝x 2的图象，可以观察得出它们有三个交点，故f (x )的零点个数为3.答案 C2．定义运算：a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，(a ≤b )，b ，(a >b )，则函数f (x )＝1·2x 的图象大致为( )解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(x ≥0)，2x，(x <0)，故选A.答案 A3．函数y ＝36－x －x 2的单调减区间为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－3，－12解析 ∵y ＝3t在R 上单调递增，t ＝6－x －x 2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递减，∴y ＝36－x －x 2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递减． 答案 C4．设a >0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数，则a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 f (x )＝1ae x＋a e －x ，f (－x )＝1ae －x＋a e x ，∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴1a＝a .∵a >0，∴a ＝1. 答案 C5．函数f (x )＝2x －12x ＋1的图象关于________对称．( )A ．x 轴B ．y 轴C ．原点D ．y ＝x解析 f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，故它的图象关于原点对称． 答案 C6．已知函数f (x )＝(x －a )·(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x＋b 的图象是( )解析 由f (x )＝(x －a )·(x －b )(a >b )的图象可知，a >1，－1<b <0，于是0<1a<1.故g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋b 的图象可以理解为由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图象向下平移|b |个单位长度所得，再结合0<1a<1及过定点(0,1＋b )，且1＋b >0，可知选A.答案 A7．(1)若0.2m >1>0.2n ，则________>0>________(填m 或n )．(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <23x ＋1，则x 的取值范围是________．解析 (1)由0.2m >1＝0.20>0.2n ，得n >0>m .(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝2－2x <23x ＋1，∴3x ＋1>－2x ，x >－15.答案 (1)n m (2)x >－158．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(4－3a )x，(x ≤1)，x 2＋2(1－a )x ＋2，(x >1)在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．解析⎩⎪⎨⎪⎧4－3a >1，a －1≤1，4－3a ≤1＋2(1－a )＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ≤2，a ≥－1，∴－1≤a <1. 答案 －1≤a <1能 力 提 升9．奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －2，且g (1)＝a2，则f (2a )等于________．解析 f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴f (－x )＋g (－x )＝a －x －2. ∴－f (x )＋g (x )＝a －x －2. 又∵f (x )＋g (x )＝a x －2， ∴f (x )＝a x －a －x2，g (x )＝a x ＋a －x －42.g (1)＝a ＋a －1－42＝a2，∴a ＝14.答案 －3410．画出函数y ＝2|x |的图象，其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间．解 当x ≥0时，y ＝2|x |＝2x ；当x <0时，y ＝2|x |＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.∴函数y ＝2|x |的图象如图所示．由图象可知，y ＝2|x |的图象关于y 轴对称，且值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)．11．已知a >0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时均有f (x )≤12，求实数a 的取值范围． 解 x 2－a x ≤12在(－1,1)上恒成立．即x 2－12≤a x 在(－1,1)上恒成立．作y ＝x 2－12，x ∈(－1,1)，y ＝a x ，x ∈(－1,1)的图象，如图所示．∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≥12，或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －1≥12，∴12≤a <1，或1<a ≤2. 12．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋2是奇函数，(1)求b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性；(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (0)＝0. ∴b －14＝0，∴b ＝1.经检验，b ＝1满足f (x )是奇函数，∴b ＝1. (2)f (x )＝1－2x 2x ＋1＋2＝12x ＋1－12.∵y ＝2x 在R 上单调递增， ∴f (x )在R 上单调递减．(3)∵f (x )是R 上的奇函数，且在R 上单调递减， ∴f (t 2－2t )<f (k －2t 2)． ∴t 2－2t >k －2t 2.∴k <3t 2－2t 对一切t ∈R 恒成立．∵3t 2－2t ＝3⎝⎛⎭⎪⎫t －132－13≥－13，∴k <－13.品 味 高 考13．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析 由于y ＝2x与y ＝11－x在(1，＋∞)上是增函数，且f (x 0)＝0，根据草图易得，f (x 1)<0，f (x 2)>0.答案 B。

双基限时练(二十一)1．设z ＝x －y ，式中变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －2y ≥0.则z 的最小值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2解析 作出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x ＝2y ，得交点A (2,1)．当直线x －y ＝0平移过点A (2,1)时，z 有最小值1. 答案 A2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23解析 不等式表示的平面区域如图所示．当z ＝2x ＋3y 过点A 时取得最小值，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3，取得A (2,1)．将点A 坐标代入z ＝2x ＋3y 中得z min ＝7.答案 B3．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值解析 如图，z ＝x ＋y 表示直线过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A 点时，z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2,0)．z 最小值＝2，z 无最大值．答案 B4．某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、 B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元解析 设该企业在一个生产周期内生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，获得利润z 万元，则依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝5x ＋3y ，画出不等式组表示的平面区域及直线l 0：5x ＋3y ＝0，易知当平移l 0经过点(3,4)时，z 取得最大值为5×3＋3×4＝27，故选D.答案 D5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费用为200元，设备乙每天的租赁费用为300元．现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析 设租赁甲、乙两种设备x ，y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .目标函数z ＝200x ＋300y ，画出可行域知目标函数在点(4,5)处取得最小值，故目标函数的最小值为2300.答案 23006．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .目标函数z ＝20x ＋10y ，画出可行域如图．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝13，5x ＋4y ＝24，得A (4,1)． 易知当直线2x ＋y ＝0平移经过点A 时，z 取得最大值． 答案 4,17．某工厂制造A 种仪器45台，B 种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m 2，每张可作A 种仪器外壳3个和B 种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m 2，每张可作A 种仪器外壳6个和B 种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)解 设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 张，依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ∈N *，3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，钢板总面积z ＝2x ＋3y .作出可行域，如图所示．由图可知当直线z ＝2x ＋3y 过点P 时，z 最小．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋6y ＝45，5x ＋6y ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝5.所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．8．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？解 设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆．列表分析数据．由表可知x ，y 满足的线性条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，x ，y ∈N ，且z ＝320x ＋504y .作出线性区域，如图所示．可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5,0)时，z 最小，但A (7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y ，可知点(5,2)是最优解．这时z min ＝320×5＋504×2＝2608(元)，即用5辆A 型车，2辆B 型车，成本费最低．若只用A 型车，成本费为8×320＝2560(元)， 只用B 型车，成本费为18030×504＝3024(元)．9．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的23，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，问该公司正式投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为多少？解 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，共可获利z 万元，则z ＝0.4x ＋0.6y .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，y ≥5，x ≥23y ，x ＋y ≤60.作出可行域如图，由图可以看出，当直线经过可行域上的点A (24,36)时，z 取得最大值．z ＝0.4x ＋0.6y ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2.即该公司正式投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为31.2万元．。

高中数学学习材料唐玲出品双基限时练(二)1．下列关于K2的说法正确的是()A．K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关B．K2的值越大，两个事件的相关性越大C．K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合D．K2的观测值的计算公式为K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)解析A中K2的使用范围是四个数据中每个数据都必须大于5，故A错；B中过于确定，不正确；C正确；D中公式有错．答案C2．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是()解析 在四幅图中，D 图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D .答案 D3．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：种子处理 种子未处理合计 生病 32 101 133 不生病 61 213 274 合计93314407根据以上数据，则( ) A ．种子经过处理跟是否生病有关 B ．种子经过处理跟是否生病无关 C ．种子是否经过处理决定是否生病 D ．以上都是错误的解析 方法1：计算K 2＝407×(32×213－61×101)293×314×133×274≈1.678.∴K 2<2.706，故可判断种子经过处理与是否生病无关，应选B .方法2：aa＋b＝32133≈0.2406，cc＋d＝61274≈0.2226.∵aa＋b与cc＋d相差较小，∴可以认为种子经过处理跟是否生病无关．答案B4．为了调查中学生近视情况，某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力()A．平均数B．方差C．回归分析D．独立性检验答案D5．分类变量x和y的列联表如下，则()y1y2总计x1 a b a＋bx2 c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋dA.ad－bc越小，说明x与y的关系越弱B．ad－bc越大，说明x与y的关系越弱C．(ad－bc)2越大，说明x与y的关系越强D．(ad－bc)2越小，说明x与y的关系越强解析由K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)知，(ad－bc)2越大，K2值越大，说明x与y的关系越强．答案C6．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏18 9 27不喜欢玩电脑游戏8 15 23总数26 24 50 则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关系的把握大约为()A．99% B．95%C．90% D．无充分依据解析由表中数据计算K2＝50×(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059，而K2＝5.059>3.841，所以约有95%的把握认为两变量之间有关．答案B7．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天内的结果如下表所示：死亡存活合计第一种剂量14 11 25第二种剂量 6 19 25合计20 30 50进行统计分析时的统计假设是________________________．解析根据独立性检验的基本思想，可知其类似反证法，即要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立．对本题，进行统计分析时的统计假设应是“小白鼠的死亡与剂量无关”．答案 小白鼠的死亡与剂量无关8．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：专业性别 非统计专业统计专业 男 13 10 女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中数据得到， k ＝50(13×20－10×7)220×30×23×27≈4.844，因为k>3.841，所以确定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为__________．解析 ∵k ＝4.844>3.841，∴有95%的把握可以确定主修统计专业与性别有关，那么这种判断出错的可能性为5%.答案 5%9．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度．如果k>5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为__________.P(K 2>k) 0.500.400.250.150.10k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(K 2>k) 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k3.841 5.024 6.635 7.879 10.83解析 由表中数据可知，当k ＞5.024时，出错的可能性占0.025，故有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为97.5%.答案 97.5%10．调查某班学生，按性别和籍贯分类得调查表如下：天津 非天津 合计 男 12 28 40 女 6 19 25 合计184765性别对籍贯的影响中，可信度小于__________． 解析 k ＝65(12×19－28×6)240×25×18×47≈0.277∵0.277<0.455，∴查表可知小于0.50. 答案 50%11．在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动，你能否判断性别与休闲方式是否有关系？解 首先建立列联表如下休闲方式为看电视 休闲方式为运动合计 女性 43 27 70 男性 21 33 54 合计6460124∵a ＝43，b ＝27，a ＋b ＝70，c ＝21，d ＝33，c ＋d ＝54， a ＋b ＋c ＋d ＝124，a ＋c ＝64，b ＋d ＝60， ∴k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝124×852214515200≈6.201>5.024，即有97.5%的把握认为休闲方式与性别有关．12．为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男 女 需要 40 30 不需要160270(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由？附：P(K 2≥k)0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解 (1)调查的500位老年人中，有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%.(2)K 2＝500×(40×270－30×160)2200×300×70×430≈9.967.由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据可以看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异．因此，在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．。

2023数学新高考2卷21题另解21. 已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为()- （1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上. 【答案】（1）221416x y -= （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意求得,a b 的值即可确定双曲线方程；（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线1MA 与2NA 的方程，联立直线方程，消去y ，结合韦达定理计算可得2123x x +=--，即交点的横坐标为定值，据此可证得点P 在定直线=1x -上.【小问1详解】设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由焦点坐标可知c =则由c e a==可得2a =，4b ==， 双曲线方程221416x y -=. 【小问2详解】由(1)可得()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN 的方程为4x my =-，且1122m -<<， 与221416x y -=联立可得()224132480m y my --+=，且264(43)0m ∆=+>， 则1212223248,4141m y y y y m m +==--，直线1MA 的方程为()1122y y x x =++，直线2NA 的方程为()2222y y x x =--， 联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：()()()()()2121121211212121222222266y x y my my y y y y x x y x y my my y y +--+++==--=-- 112221122483216222141414148483664141m m m y y m m m m m y y m m -⋅-⋅++---===-⨯----， 由2123x x +=--可得=1x -，即1P x =-， 据此可得点P 在定直线=1x -上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.。