初中数学几何阴影面积的三种解法

【史上最全】初中数学几何阴影面积的3种解法|知识点
初中备考指南1周前
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“几何”问题不仅是初中数学的重点，到了高中数学学习中也占很大比重，内容是循序渐进的，所以基础一定要打好。

这里，就来具体说说如何把这类题的分数拿到手，更准确地说就是初中生要掌握3个方法，才能够解决大部分求解几何图形阴影面积的题目。

公式法
这属于最简单的方法，阴影面积是一个常规的几何图形，例如三角形、正方形等等。

简单举出2个例子:
和差法
攻略一直接和差法
这类题目也比较简单，属于一目了然的题目。

只需学生用两个或多个常见的几何图形面积进行加减。

攻略二构造和差法
从这里开始，学生就要构建自己的数学图形转化思维了，学会通过添加辅助线进行求解。

割补法
割补法，是学生拥有比较强的转化能力后才能轻松运用的，否则学生看到这样的题目还是会无从下手。

尤其适用于直接求面积较复杂或无法计算时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件。

攻略一全等法
攻略二对称法
攻略三平移法
攻略四旋转法
距离中考越来越近，希望家长不要再给孩子压力，同时还要开导孩子，中考只是一场普通的考试。

希望同学们也能平时练习要严谨，中考考场放轻松，祝所有同学考个好成绩。

阴影部分面积的求法
在几何学中，阴影是指由一个形状挡住光线而产生的暗影部分。

求阴影部分的面积是一个常见的问题，下面介绍两种方法。

方法一：分割法
这种方法适用于阴影部分的形状较为复杂，无法直接计算的情况。

具体步骤如下：
1. 将阴影部分分割成几个简单的形状，如三角形、矩形等。

2. 计算每个简单形状的面积。

3. 将每个简单形状的面积相加，即可得到阴影部分的总面积。

方法二：几何变换法
这种方法适用于阴影部分是一个已知形状的缩放、平移、旋转等几何变换得到的情况。

具体步骤如下：
1. 对原来的形状进行几何变换，得到阴影部分的形状。

2. 计算阴影部分形状的面积。

注：在进行几何变换时，需要注意保持相似性或等比例关系，否则计算出的面积可能不准确。

综上所述，求阴影部分的面积需要根据具体的情况选择不同的方法进行计算。

- 1 -。

（阴影面积是一个常规的几何图形，例如三角形、正方形等）
二、和差法
（一）直接和差法
（用两个或多个常见的几何图形面积进行加减）
（一）直接和差法
（用两个或多个常见的几何图形面积进行加减）
（二）构造和差法
（通过添加辅助线进行求解）
（通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件）。

（一）全等法
（通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件）。

（二）对称法
（通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件）。

（三）平移法
（通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件）。

（四）旋转法。

初三数学圆阴影部分面积10种解题方法01和差法对于不规则图形实施分割、叠合后，把所求的图形面积用规则图形面积的和、差表示，再求面积．贵港中考如图1，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与弧AB交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作弧CE交OB于点E，若OA= 4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为( 结果保留π) ．图1解析: 图形中的阴影部分是不规则图形，较难直接计算．注意到阴影部分是环形BECA的一部分，因此阴影部分面积等于环形BECA的面积减去图形DCA的面积，又图形DCA的面积等于扇形DOA 的面积减去△ODC的面积．图2如图2，连接OD交弧CE于M．因为OA=4，C是OA的中点，CD⊥OA，所以OD=4，OC=2，DC=2√3，所以∠ODC=30°，∠DOC=60°02割补法对图形合理分割，把不规则图形补、拼成规则图形会，再求面积.吉林中考如图3，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积是( 结果保留π) ．图3解析: 观察图形可以发现: 下方树叶形阴影部分的面积分成左右两块后，可以补到上方两个空白的新月形的位置．是否能够完全重合，通过计算验证即可．图4如图4，过点O作OD⊥AB于D，连接OA、OC、OB．由折叠性质知OD=1/2r=1/2AO，03等积变形法运用平行线性质或其他几何图形性质把不规则图形面积转化为与它等面积的规则图形来进行计算.天水中考如图5，以AD为直径的半圆O经过Ｒt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E 是半圆弧的三等分点，弧BE的长为2π/3，则阴影部分的面积为图5解析: 阴影部分是Ｒt△ABC的一部分，运用平行线的性质可将图形ABE面积转化成扇形BOE面积．连接BD、BE、BO、OE，如图6．图6因为点E、B是半圆弧的三等分点，所以∠DOB=∠BOE=∠EOA=60°，所以∠BAD=∠EBA=∠BAE=30°，所以BE∥AD．04平移法一些图形看似不规则，将某一个图形进行平移变换后，利用平移的性质，把不规则的图形的面积转化为规则图形的面积来计算．2019年黄石中考模拟如图7，从大半圆中剪去一个小半圆( 小半圆的直径在大半圆的直径MN上)，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB∥MN，已知AB=12cm，则阴影部分的面积是．图7解析: 因为AB∥MN，由平行线间的距离处处相等，可以平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，这样不规则的阴影图形就变成一个环形.图8如图8．过点O作OC⊥AB，垂足为C，连接OB，设大半圆的半径为Ｒ，小半圆的半径为r.05旋转法一些图形看似不规则，把某个图形进行旋转变换后，利用旋转的性质，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积，再进行计算．安顺中考如图9，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB 为直径的⊙O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为图9解析: 若直接利用弓形面积公式求解相当繁琐，根据已知条件及圆的旋转不变性，利用图形的旋转可实现解题．图10如图10，连接OE 交BD于M．因为CD 是⊙O 的切线，所以OE⊥CD，又AB∥CD，则OE⊥AB，而OE=OB，易知△OBM ≌△EDM，把△OBM绕点M旋转180°就会转到△EDM，阴影部分就转化为扇形BOE，恰好是半径为2的圆的四分之一，06对称法一些图形看似不规则，利用轴对称和中心对称的性质，把不规则图形进行轴对称和中心对称变换，转化为规则图形的面积，再进行计算．赤峰中考如图11，反比例函数y=k/x( k＞0) 的图象与以原点(0,0)为圆心的圆交A、B两点，且A( 1,√3) ，图中阴影部分的面积等于 (结果保留π) ．图11解析: 根据反比例函数图象及圆的对称性———既是轴对称图形，又是中心对称图形，可知图中两个阴影面积的和等于扇形AOB的面积．过点A作AD⊥x轴于D，如图12．图12因为A( 1，√3) ，所以∠AOD=60°，OA=2，又因为点A、B关于直线y=x对称，所以∠AOB=2×( 60°－45°)=30°．07整体法当已知条件不能或不足以直接求解时，可整体思考，化单一、分散为整体，把所求的未知量整体转换为已知量，再将问题整体化求解．安徽中考如图13，半径均为1的⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E两两外离，A、B、C、D、E分别为五边形的五个顶点，则图中阴影部分的面积是图13解析: 由已知条件，分别求阴影部分的圆心角不易求得，但将五个扇形的圆心角合为一整体，它们的圆心角的和也是五边形的外角之和360°，所以阴影部分面积是一个整圆的面积，所以S阴影=π．08方程法有些图形的局部可以看成某个规则图形，或某些图形具有等面积的性质，这时可以把它们的关系用方程( 组) 来表示，再解方程( 组) ，求出图形的面积．2019年武汉模拟如图14，在边长为2的正方形ABCD 中，分别以2为半径，A、B、C、D 为圆心作弧，则阴影部分的面积是 ( 结果保留π) ．图14解析: 仔细观察图形，有两种相同特征的图形在正方形内部，一起围成所求的阴影部分．设弧AC与弧BD交于点G，连接BE、EC，如图15．图15设形如AED 图形的面积为x，形如DEG 图形的面积为y，那么S阴影= S正-4 ( x+y) ，只需求出(x+y)的结果即可．09推算法某些题目运用已知条件，和图形的性质或定理进行推理，可把阴影部分面积用某个式子表示，从而求得不规则图形的面积．南宁中考如图16，Ｒt△ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以AB、BC、AC 为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为平方单位．图16解析: 设左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，整个图形的面积可以表示成: 以AC 为直径的半圆+ 以BC为直径的半圆+△ABC．也可以表示成: S1+S2+以AB为直径的半圆。

初中数学专题复习——求阴影面积的常用方法计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。

不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。

介绍几种常用的方法。

1.转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。

例1. 如图1，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD 和围成的阴影部分图形的面积为_________。

2.和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。

例2. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，为圆，求阴影部分面积。

3.重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。

这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。

要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。

例3. 如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。

4.补形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。

例4. 如图5，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。

5.拼接法例5. 如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。

6.特殊位置法例6. 如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于__________。

7.代数法将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。

例7. 如图10，正方形的边长为a，分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧，求图中阴影部分的面积。

初中数学阴影面积求解小技巧
阴影部分面积计算是全国中考的高频考点，常在选择题和填空题中考查。

求阴影部分面积的常用方法有以下三种：
一、公式法（所求面积的图形是规则图形）
二、和差法（所求图形面积是不规则图形，可通过添加辅助线转化为规则图形的和或差）
（1）直接和差法
（2）构造和差法
三、等积变换法（直接求面积无法计算或者较复杂，通过对图形的平移、选择、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件）（1）全等法
（2）对称法
（3）平移法
（4）旋转法
练习题。

求阴影部分面积常用的方法
一、公式法（所求面积的图形是规则图形）
二、和差法（所求图形面积是不规则图形，可通过添加辅助线转化为规则图形的和或差）
（1）直接和差法
（2）构造和差法
三、等积变换法（直接求面积无法计算或者较复杂，通过对图形的平移、旋转、对称、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件）
（1）全等法
（2）对称法
（3）平移法
（4）旋转法
四、容斥原理法（有的阴影部分是由两个基本图形相互重叠得到的。

常用的方法是：“两个基本图形的面积之和”-“被重叠图形的面积”=“组合图形的面积”）。

千万别错过！9种几何图形“阴影”部分求面积的经典方法！
数学是所有学科中最让学生们头疼的一门课。

而其中的几何数学是学生们从小学就要开始学习的内容，也是初中、高中学习和考试的重点。

对于一些思维逻辑性较弱的孩子来说，几何图形求阴影面积这类型的题做起来有一定的困难。

高中的立体几何不管是面积还是体积的求解需要想象的部分就更难。

微信上一些家长向我询问做这类数学几何体有没有什么诀窍，可以帮助孩子提升成绩。

其实，数学这门课程的学习，在某种方面来说，比英语和语文提升成绩更快，牢记公式，能够举一反三，做题是很简单的。

下面是我为大家整理的关于几何图形“阴影”部分求面积的9种方法，希望可以帮助到大家！
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求阴影面积的巧妙解法有很多，以下是一些常见的方法：
1. 平移法：将不规则的阴影部分通过平移、旋转等方式转化为规则图形，然后计算其面积。

2. 割补法：将阴影部分分割成若干个规则图形，然后计算它们的面积之和。

3. 等积变形法：通过等积变形，将阴影部分转化为与之等积的规则图形，然后计算其面积。

4. 容斥原理法：利用容斥原理，将阴影部分的面积转化为若干个规则图形的面积之差或和。

5. 比例法：利用相似三角形的性质，通过比例关系求出阴影部分的面积。

这些方法都需要根据具体的图形特点进行选择和运用，需要灵活运用数学知识和思维能力。

总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，下图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为|：四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求下图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如下图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如下图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求下图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°，使A与C 重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求下图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。

中考求阴影部分面积【知识概述】计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。

不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。

现介绍几种常用的方法。

一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。

例1. 如图1，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD和C D⌒围成的阴影部分图形的面积为_________。

二、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。

三、重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。

这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。

要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。

例4. 如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。

四、补形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。

例5. 如图5，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠=︒∠=∠=A B D60，90︒，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。

例2.如图2，PA切圆O于A，OP交圆O于B，且PB=1，PA=3，则阴影部分的面积S=_______．五、拼接法例6. 如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽图2都是c 个单位），求阴影部分草地的面积。

六、特殊位置法例7. 如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_______。

七、代数法将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。

例谈阴影部分面积求解的方法
求解阴影部分面积的方法主要有以下几种：
（一）解析法
解析法是基于几何原理来求解阴影部分面积的方法，其具体求解步骤为：
1.将几何图形整体分解成多个元素，将它们分别标记以及求出坐标表达式；
2.确定阴影部分位于几何图形中的哪些元素，用坐标表达式将这些元素相互连接；
3.用积分法计算出阴影部分面积。

（二）圆积分法
圆积分法通常用于求解复杂几何图形中阴影部分面积问题，其具体求解步骤为：
1.确定几何图形中所有圆心，然后将复杂几何图形分解成由圆构成的几
个部分；
2.确定阴影部分位于几个部分中哪些圆，用半径和弧长表达式表示；
3.用积分法求解出各个圆上的阴影面积，然后将几个圆上的面积相加得到几何图形的阴影部分面积的最终值。

（三）蒙特卡罗法
蒙特卡罗法是基于概率统计的方法，可以使用计算机对阴影部分面积进行模拟，其具体求解步骤为：
1.在几何图形的每一个区域内随机生成一定数量的点；
2.根据阴影部分的位置，此处的点可能属于阴影部分或者其他部分；
3.将其中阴影部分的点计数，用计数结果除以随机生成点的总数，即可得到阴影部分面积的最终值。

中考求阴影部分面积【知识概述】计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。

不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。

现介绍几种常用的方法。

一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。

例1. 如图1，点C 、D 是以AB 为直径的半圆O 上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC 、AD 和C D ⌒围成的阴影部分图形的面积为_________。

二、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。

三、重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。

这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。

要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。

例4. 如图4，正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。

四、补形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。

例5. 如图5，在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠=︒∠=∠=A B D 60，90︒，求四边形ABCD 所在阴影部分的面积。

例2.如图2，PA 切圆O 于A ，OP 交圆O 于B ，且PB=1，PA=3，则阴影部分的面积S=_______． 五、拼接法例6. 如图6，在一块长为a 、宽为b 的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽图2都是c个单位），求阴影部分草地的面积。

六、特殊位置法例7. 如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_______。

七、代数法将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。

初中数学之求阴影面积方法总结一、公式法这属于最简单得方法,阴影面积就是一个常规得几何图形,例如三角形、正方形等等。

简单举出2个例子:二、与差法攻略一直接与差法这类题目也比较简单,属于一目了然得题目。

只需学生用两个或多个常见得几何图形面积进行加减。

攻略二构造与差法从这里开始,学生就要构建自己得数学图形转化思维了,学会通过添加辅助线进行求解、三、割补法割补法,就是学生拥有比较强得转化能力后才能轻松运用得,否则学生瞧到这样得题目还就是会无从下手。

尤其适用于直接求面积较复杂或无法计算时,通过对图形得平移、旋转、割补等,为利用公式法或与差法求解创造条件。

攻略一全等法攻略二对称法攻略三平移法攻略四旋转法小结:(一)解决面积问题常用得理论依据1、三角形得中线把三角形分成两个面积相等得部分。

2、同底同高或等底等高得两个三角形面积相等。

3、平行四边形得对角线把其分成两个面积相等得部分。

4、同底(等底)得两个三角形面积得比等于高得比。

同高(或等高)得两个三角形面积得比等于底得比。

5、基本几何图形面积公式:三角形、平行四边形、、菱形、矩形、梯形、圆、扇形。

6、相似三角形面积之比等于相似比得平方7、反比例函数中ｋ得几何含义8、在直角坐标系中函数图像构成得图形面积常常利用图形顶点得坐标构造高去求面积(二)证明面积问题常用得证题思路与方法１、分解法:通常把一个复杂得图形,分解成几个三角形。

2、补全法:通过平移、旋转、翻折变换把分散得图形拼成一个规则得几何基本图形3、作平行线法:通过平行线找出同高(或等高)得三角形。