二维射影变换及其性质王 玮数学科学学院06050203摘 要二维射影变换是射影几何的一个重要分支,重点研究的是点和直线在射影变换下的不变性.本文着重研究了二维射影变换下二重元素的分布状况及其特征性质,从理论上解决了二维射影变换二重元素的结构问题.另外本文对二维射影变换的对合性和变换式的求法进行了探索.二维射影变换式的求法在现行的教科书中涉及较少,本文通过具体例子来说明二维射影变换式的几种求法. 关键词：二维射影变换,对合对应,特征方程,特征根,交比,矩阵引言射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。
在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。
欧式直线再加上一个无穷点就是射影几何中的直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。
通过同一无穷远点的所有直线平行。
在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。
由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。
平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。
这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。
一、二维射影变换定义1.1 设,'ππ为两个点场.若:'ϕππ→满足 （1）ϕ为双射；（2）ϕ使得共线点变为共线点； （3）ϕ保持四点的交比不变，则称ϕ为点场π到点场'π的一个二维射影对应。
定义 1.2 若两个平面间的一一对应满足下列条件：（1）保持点和线的结合性；（2）任何共线四点的交比等于对应四点的交比,则此一一对应叫做射影对应.定义 1.3 设在点场π和'π上咯取定了齐次射影坐标系，则下式所决定的对应()111112213322112222333311322333'',0,0.'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a xρρρρ=++⎧⎪=++=≠≠*⎨⎪=++⎩为点场π到'π的一个非奇异线性对应.其中()()123123,,,',','x x x x x x 为对应点的齐次坐标，A 称为这个非奇异线性对应的矩阵.如果'ππ=，且对应点的齐次坐标是关于平面上同一个取定的射影坐标系而论的，则()*为点场π上的一个非奇异线性变换.定义1.4 两个同底的点场或线场之间的射影对应称为二维射影变换. 显然二维射影变换是特殊的二维射影对应，变换式相对于射影平面上的一个取定的射影坐标系进行的，()*表示了一个点与其像点的坐标之间的关系，二维射影变换具有二维射影对应的全部性质.同时，如果我们将()(12312,,,',',x x x x x)3'x 看成同一个点在平面上不同的射影坐标系下的坐标，则()*式即为射影坐标变换式，于是，射影坐标变换也可以视为射影变换. 二、二维射影变换式的求法二维射影变换式的求法在现行的射影几何教科书中涉及较少.本节通过具体例子说明二维射影变换式的求法.定理 2.1在一平面内无三点共线的四点(1,2,3,4)i P i =与另一平面内无三点共线的四点'(1,2,3,4)i P i =唯一确定一个射影对应,使()'1,2,3,4i i P P i →= 定理 2.2设平面π上无三点共线()()()112321233123,,,,,,,,,P a a a P b b b P c c c()4123,,P d d d 和另外无三点共线的四点()()11232123'',',','',',',P a a a P b b b()()31234123'',',','',','P c c c P d d d 成射影对应,则存在而且只有一个射影对应ϕ,使得()()112233''1,2,3,4,','i i x x p p i x A x A x x ϕϕρδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中：112131122232132333''''''''''''''''''a b c a b c a b c λλλλλλλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1112131112223241122334132333112233,,'(1,2,3),''''''',i i a b c a b c BC i p p p p p a b c p p p λλλλλλδλλλλλλλλλλλδ--⎛⎫⎪===++= ⎪ ⎪⎝⎭++由确定，为一定常数.定理 2.3设共线四点的坐标为 ()()()112321233123,,,,,,,,,p a a a p b b b p c c c()4123,,,p d d d 则其交比为()412311112222,.11112222c ad b c a d b p p p p c b d a c b d a =定理2.4设射影标架{}123;A A A E =∑下（如图1）,任一点()123,,P x x x 在射影变换ϕ下的像点为()1123'',',',P x x x 则有()()131********:,'',''':x x A A E P A A E P x ===()()3232311231123',:,'',''':'x x x A A E P A A E P x x ===图 1A 1A A 3A'2A'3A'121. 举例（没有1哪来2 啊） 下面举例说明二维射影变换式的求法.例 2.1 求射影变换,使点()()()()12341,0,1,0,1,1,1,1,1,0,0,1P P P P 分别变换点()()()()1234'1,0,0,'0,1,0,'0,0,1,'1,1,1.P P P P解法1：把射影变换式设出,利用点之间的对应关系求出(),1,2,3ij a i j =之间的关系,进而求出射影变换式. 设所求的射影变换式为：111112213322112222333311322333'',0,0.'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a xρρρρ=++⎧⎪=++=≠≠⎨⎪=++⎩由()()()()()()()()1,0,11,0,0,0,1,10,1,0,1,1,10,0,1,0,0,11,1,1→→→→得()()()()111131************2123222232122234233133323333132334330010;2;30;400a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aρρρρρρ=+=+=++=⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪=+=+=++=⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪=+=+=++=⎩⎩⎩⎩ 由（1）、（2）、（3）、（4）解得112213233341232213140;;.a a a a a a a a a ρρ=========- 故所求射影变换式为：142431232414321334142433123''','''x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xρρρσρρρσρρρρσ=-+=-+⎧⎧⎪⎪=-+=-+⎨⎨⎪⎪=--+=--+⎩⎩即，01110110111--=≠--其中解法2：利用矩阵方法求射影变换式因为4123P P P P =+- ，即12311 1.λλλ===-，， 4123'''',P P P P =++ 即1'1λ=，23'1,' 1.λλ==从而100101010;011,001111B C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则1011101111C --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭所以1A BC δ-==011101111-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,其中1δ=.即所求的射影变换式为：1232133123'''x x x x x x x x x x ρρρ=-+⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩，其中01110110111--=≠--其中. 解法3：利用交比求变换式设射影变化将动点()123,,X x x x 变换为点()123'',','X x x x ,如图2所示图 2P 2P 3P 1直线13224,,PP P X P P 的线坐标分别为()()()3211,0,1,,,1,0,0x x x --.2P X与13P P 的交点E ,坐标为()11231,,x x x x x +-.2413P P PP 与的交点F ,坐标为（0,1,0）.根据定理 3有 ()2123131123101110,011110x x x x PP EF x x x x +-=+-.23123x x x x x -+=--+.直线23141,,P P PP P X 的线坐标分别为()()()21320,1,1,0,1,0,,,x x x x ---+-123P X P P 与的交点H ,坐标为()12322,,x x x x x --+--.()123132312312321010121,110011x x x x x x P P GH x x x x x x x ---+--+===---+--+- 由定理3.4得()()12132333'',;,''x x PP FE P P GH x x == 故所求射影变换式为1232133123'''x x x x x x x x x x ρρρ=-+⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩，其中01110110111--=≠--其中.三、二维射影变换的二重元素定义3.1：二维射影变换的二重元素,就是指经过二维射影变换后不变的元素. 二维射影变换()111112213322112222333311322333'',0,0.1'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a xρρρρ=++⎧⎪=++=≠≠⎨⎪=++⎩存在二重元素的条件是它的特征方程()11121321222331323302a a a a a a a a a μμμ--=-存在.将方程（2）的特征根代入二重点方程组()()()()1111221332112222333113223330030a x a x a x a x a x a x a x a x a x μμμ-++=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩可求的二重点的坐标或二重点列的方程. 将特征方程（2）的根代入二重直线方程组()()()()1112123131212223231312323330040a t u a u a u a u a t u a u a u a u a t u -++=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩可求的二重直线的坐标或二重线束的方程. 二维射影变换的二重元素与特征根的关系特征方程（2）是一个关于u 的三次方程,它的三个根的情况有三种可能：三个单根或一个单根与一个二重根或一个三重根,二重元素的个数与根的情况直接相关. 判断与某一特征根所对应的是二重根（二重直线）还是二重点列（二重线束）,只要将特征根代入特征方程（2）的系数矩阵D 来决定.111213212223313233(5)a a a D a a a a a a μμμ-=--（1） 当系数矩阵的秩等于2,则可得一个二重点(二重直线). （2） 当系数矩阵的秩等于1,则可得一个二重点列(二重直线束). 3.1特征根为三个根的情况当特征方程（2）有三个单根时,对于每个特征根,由方程组（3）可求出与之对应的一个二重点,则有三个不同的二重点,设为p 1, p 2, p 3;对偶地,由二重直线方程组（4）可求的三条二重直线,设为l 1, l 2, l 3.这三个二重点与三条二重直线之间有如下关系：由p 1, p 2为二重点,则直线p 1 p 2 必是一条二重直线（过两点的直线惟一确定）,故经过射影变换后直线p 1 p 2的对应仍是直线p 1 p 2 . 同理： p 3 p 2 、 p 3 p 1也是二重直线.因此,把特征根代入二重直线方程（4）中求出的三条直线l 1, l 2, l 3就是直线p 1 p 2、 p 3 p 2、 p 3 p 1.这样,当求出三个二重点p 1, p 2, p 3后,除了可以通过二重直线方程组（4）求二重直线,还可以用两点坐标之向量外积p 1× p 2、 p 3× p 2、 p 1× p 3求二重直线的坐标. 例3.1 求射影变换1122123123'4'63'x x x x x x x x x xρρρ=-⎧⎪=-⎨⎪=--⎩的二重元素. 解：由特征方程123410630,13 2.111μμμμμμ----=-==----=0得特征根:，，分别把特征根代入二重点方程()()()()()()121212340630001110165.10x x x x x x x μμμ--=⎧⎪-+=⎨⎪--+=⎩,得二重点坐标分别为，，，，，， 把特征根分别代入二重直线方程组()()()[][][]123123346030110555610.10u u u u u u u μμμ-++=⎧⎪--+-=---⎨⎪-+=⎩,得二重直线坐标分别为，，，，，， 这三条直线与三个二重点两两向量外积所得的直线相同()()[]()()[]()()[]001110110110165555165001610⨯=-⨯=-⨯=-，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 3.2特征根为一个单根及一个二重根的情况当特征方程（2）有一个单根及一个二重根时,对应于单根的必是一个二重点（二重直线）,但对于二重根却有两种情况：可能得到一个二重点（二重直线）或可能得到一个二重点列（二重线束）,这由系数矩阵（5）的秩来决定. 3.2.1系数矩阵的秩为2如果对应于单根的一二重点p 1,对应于二重根（系数矩阵（5）的秩为2）得另一二重点p 2,这时点p 1, p 2的连线必是两条二重直线l 1, l 2中的一条,而另一条二重直线也比过这两二重点中的某一点.对偶地,两条二重直线l 1, l 2的交点一定是p 1, p 2中的某一点,而且另一点也必定在此二直线中的一条上.因此只要把特征根代入求二重点和二重直线的方程组（3）,（4）中,就可以得到二重点和二重直线. 例 3.2.1 求射影变换11222323'26'2'3x x x x x x x xρρρ=+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩的二重元素. 解：由特征方程123260020,32013μμμμμμ--===--=0得特征根:，（二重根）对应于µ1=3的一个二重点p 1,把µ2=µ3=2代入系数矩阵（5）得秩等于2,也得一个二重点p 2.对偶地,对应于这两个根有两条二重直线. 把µ1=3和µ2=µ3=2代入二重点方程组()()()()()1221223260200,0,1,1,0,0.30x x x p p x x μμμ-+=⎧⎪-=⎨⎪-+-=⎩,得二重点分别为 把µ1=3,µ2=µ3=2代入二重直线方程组()()()[][]112312320620,0,1,1,0,1,0.30l l μμμμμμμμ-=⎧⎪+--=-⎨⎪-=⎩得二重直线 由此看到,p 1, p 2连线就是l 2,而直线l 2经过p 2,即l 1, l 2相交于p 2,而p 1在直线l 2上. 3.2.2系数矩阵的秩为1如果对应单根得一二重点p 1（二重直线l 1）,对应于二重根（系数矩阵的秩为1）得一二重点列l （二重线束o ）.这时二重直线l 1就是二重点列的底,而二重点就是二重线束束心o ,即l 1=l ,p 1=o ,因为二重点列上的点都是二重点,它们的底直线l 在射影变换中不会改变,从而成为二重直线.对偶地,二重线束束心o 在射影变换中不变,成为二重点.由此可知,在这种情况下,只要把特征方程（2）的根代入方程组（3）,就可以求出二重点与二重点列,则二重线束束心与二重直线也就得到了. 例3.2.2求射影变换11223223'''22x x x x x x x xρρρ=⎧⎪=⎨⎪=--+⎩的二重元素. 解：由特征方程123100010,2(1122μμμμμμ--===---=0得特征根单根），（二重根）对应于单根µ1=2得一二重点,对于二重根µ2=µ3=1,代入系数矩阵（5）, 其秩等于1,故得以二重点列. 把µ1=2,µ2=µ3=1代入二重点方程组()()()1211231231010(0,0,1)20.220x x p x x x x x x μμμ-=⎧⎪-=+-=⎨⎪--+-=⎩,得二重点列二重点列方程 这时,在已知射影变换下,二重直线方程坐标是[1,2,-1],而二重直线方程的束心方程是：µ3=03.3特征根为三重根的情况当特征方程（2）的根式三重根时,对应于这个三重根也有两种可能：可能得到一个二重点（二重直线）,也可能得到一个二重点列（二重线束）.此时仍可用系数矩阵（5）的秩来判定. 3.3.1系数矩阵的秩为1如果把特征根代入系数矩阵（5）,得秩等于1,则对应于特征根有一个二重点列（二重线束）.这时二重线束的束心就在二重点列上.因此可通过二重点（二重直线）方程组得到二重点列（二重线束）. 例 3.3.1求射影变换11232233'2''x x x x x x x xρρρ=++⎧⎪=⎨⎪=⎩的二重元素. 解：由特征方程1120010,1(001μμμμ--=-=0得特征根三重根）把µ1=1代入系数矩阵（5）得秩等1,把µ1=1代入二重点方程组()()()123223312010010x x x x x x x μμμ-++=⎧⎪-=+=⎨⎪-=⎩,得二重点列2 将µ1=1代入二重直线方程组()()()()11212313102100.1002010u u u u x x u u μμμ-=⎧⎪+-==+=⎨⎪+-=⎩,得二重线束的束心方程其中束心，，在点列上.3.3.2系数矩阵的秩为2如果把特征根代入系数矩阵（5）的秩等于2,这时二维射影变换（1）只有一个二重点及一条二重直线,二重点与二重直线之间具有结合关系.此时可通过求二重点（二重直线）方程组得到二重点（二重直线）的坐标. 例 3.3.2求射影变换11222333'''x x x x x x x xρρρ=+⎧⎪=+⎨⎪=⎩的二重元素。
高等几何课程论文二维射影变换的不变元姓名：学号：学院：专业：2016年5月27日二维射影变换的不变元摘 要本文主要是研究二维射影变换中的不变元的求法以及性质.基于平面射影几何中二维射影变换不变元素的存在性，利用线性代数的方法，讨论研究了射影平面中不变元素的求法.此外，根据系数矩阵特征值的不同情况，分类讨论特征值的重数与不变元的关系以及不变点和不变直线之间的关系.关键词 射影变换 不变元 不变点 不变直线 特征值一、不变元1.1定义经射影变换后认为它自身的元素，称为射影变换的不变元（亦称固定元素）.经射影变换后保持不变的点，称为不变点（或固定点）；经射影变换后保持不变的直线，称为不变直线.1.2分类⎩⎨⎧不变直线不变点，不变元二、不变元求法下面讨论不变点和不变直线的求法.2.1不变点设点）（321,,y y y Y 是射影变换,0|)(|),3,2,1('3133≠==∑=⨯j ij j ij i a i x a x ρ （1）的不变点，则）（321,,y y y Y 与其对应点）（',',''321y y y Y 重合，有α===332211'''y y y y y y （α为比例因子），即).3,2,1('==i y y i i α代入（1）式，并令,ραμ=得⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=++-.0)(,0)(,0)(333232131323222121313212111y a y a y a y a y a y a y a y a y a μμμ （2） 由于）（321,,y y y 是点的齐次坐标，不能同时为0，故齐次线性方程组 （2）关于321,,y y y 有非零解的充要条件是0332313322212312111=--μμμ-a a a a a a a a a （3）将方程组（3）的特征根带入方程组（2），解方程组，即可得到相应的不变点.2.2不变直线再求由射影变换（1）式的不变直线。
《高等几何》复习大纲仿射坐标与仿射变换一、要求1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。
熟练掌握单比的定义和坐标表示。
2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。
3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。
二、考试内容1.单比的定义和求法。
2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。
3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。
射影平面一、要求1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。
2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。
3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。
4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。
5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。
二、考核内容1.中心投影与无穷远元素中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。
2.笛萨格（Desargues）定理应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。
3.齐次点坐标齐次点坐标的计算及其应用。
4.线坐标线坐标的计算及其应用。
5.对偶原则作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。
射影变换与射影坐标一、要求1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。
2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。
3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。
4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。
5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。
二、考试内容1.交比与调和比交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。
2.完全四点形与完全四线形完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。
3.一维基本形的射影对应一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。
4.二维射影变换5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。
6.射影坐标一维射影坐标、二维射影坐标。
7.一维、二维射影变换的不变元素求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。
