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级珠江学院期末考试复变函数试卷

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华南农业大学珠江学院期末考试试卷
2009--2010学年 上 学期 考试科目： 复变函数
考试年级：__2008__级 考试类型：（闭卷）A 卷 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业
一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．i
e。

2．设11i
z i
-=
+，则zz = 。

3．设2
1()(1)f z z z
=++，则()f z '= 。

4．0z =为函数3
1
()z e f z z -=的 级极点。

5．
1z dz
z ==⎰ 。

（1z =为正向圆周） 6．幂级数
n
n nz
∞
=∑的收敛半径为 。

7．Ln(1)。

8．当||1z 时，21
n
z
z z 。

9小题6分，其余每小题10分，共76分） 9．判断函数2()||f z z 在何处可导，在何处解析。

10．计算积分
(1)C
z dz ，其中积分路径C 为从点0到点2i 的直线段。

11．计算积分2
2
1
z
z e dz z。

（2z =为正向圆周）
12．计算积分
5
11
z z
e dz z 。

（1z =为正向圆周）
13．将12
()z
f z z e 在0
z
内展开成罗朗级数。

14．计算()
cot f z z 在每个有限奇点处的留数。

15．求函数 1 , ||1()
0 , ||1
t F t t 的傅里叶变换及其积分表达式。

16．求阶跃函数 1 , 0()
0 , 0
t u t t
的拉普拉斯变换。

参考答案
一．填空题
1．1 2．1 3．21
2(1)z z
+- 4．二 5．2i 6．1 7．(21) (0,1,2,)k
i k
8．
11z
二．计算题 9．解：因为2
2
2()
||f z z x y ，所以2
2(,)
u x y x y ，(,)
0v x y ．则．
．．．1分 2 ,
2 ,
0 ,
0 .u
u v v x y x
y
x
y
．．．．．．．．．．．．3分
上述四个偏导数处处连续，但仅当0x y 时C-R 方程成立。

因此函数仅在0z 可导，
从而在复平面内处处不解析。

．．．．．．．．．．．6分
10．解：曲线C 的方程为
(2) , (0
1)z i t t ．
．．．．．．．．．．2分 10(1)[(2)1][(2)]C
z dz i t d i t ．
．．．．．．．．．．．6分 120
[(2)2]i t i dt ．
．．．．．．．．．．7分 1
2
3
[(2)(2)]2i t
i t ．
．．．．．．．．．．9分 732
i ．．．．．．．．．．．10分
11．解：被积函数2()
1
z e f z z 在||2z 的内部有两个奇点1z
，在2z =的内部作
两个互不包含互不相交的正向圆周1C 和2C ，其中1C 的内部只包含奇点1z ，2C 的内部只包
含奇点1z
，则由复合闭路定理有 ．
．．．．．．．．．．2分 1
2
2222
11
1z
z
z
z C C e e e dz
dz dz z z z ．．．．．．．．．．．．5分 1
2
1
1
11
11
z
z
C C e e dz
dz z z z z ．．．．．．．．．．．．7分
1
1
2211z z z
z
e e i
i
z z ．．．．．．．．．．．．9分
11()ei
e i e e i ．．．．．．．．．．．．10分
12．解：令()
1z
f z e
，则
5
5
1
1
1
()
z
z z e f z dz
dz z
z 。

而()1z
f z e 在复平面内
解析，则由解析函数的高阶导数公式得 ．．．．．．．．．．．2分
(4)
5
511
1
()
2(0)4!
z z
z e f z i dz dz f z
z ．．．．．．．．．．．．6分 0
2 4!
12
i i
e ．
．．．．．．．．．．10分
13．解：由于
2
1
2!
!
n
e
n ．．．．．．．．．2分
在||
内成立，故在0
z
内，有
121
111
2!!z
n
e
z
z n z ．．．．．．．．．5分
于是，在0z
内，有
1
2
22111()(1
)2!!z
n
f z z e
z z z n z ．．．．．．．．．9分
2
2
1
112!3!!n
z z
z n z ．．．．．．．．10分
14．解：cos ()
cot sin z
f z z
z
的有限奇点为 , (0,1,2,)k
z k k
．．．．．．5分
由于cos cos (1)0k
k
z k
，(sin )
cos 0k
z z z k ， ．．．．．．．．6分
所以k z 是()
cot f z z 的一级极点；()
cot f z z 在k z 处的留数为
cos cos Res[cot ,]
1(sin )
cos z k
z k z k z k
．
．．．．．．．10分 15．解：
11
()()
iwt
iwt
F t e
dt
e
dt G w ．
．．．．．．．3分 11
1
1
2sin ()
.iwt
iw
iw w
e e e iw
iw w
．
．．．．．．．5分 11
sin (cos sin )
()()2
iwt w wt i wt F t G w e dw
dw w
．
．．．．．．．8分 1sin cos sin sin
w wt i
w wt
dw dw w w
1
sin cos w wt
dw w
．
．．．．．．．．．．．10分 16．解：
[()]
()st st u t u t e dt
e dt L ．
．．．．．．．．．．．7分 0
1
st
e
s
s
．．．．．．．．．．．．10分。

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复变期末考试试卷

复变期末考试试卷

复变期末考试试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数的模是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 复数z=a+bi（a,b∈R）是纯虚数的条件是（）。

A. a=0, b≠0B. a≠0, b=0C. a=0, b=0D. a≠0, b≠03. 复数z=a+bi（a,b∈R）的辐角的主值是（）。

A. arctan(b/a)B. arctan(a/b)C. arctan(-a/b)D. arctan(-a/b)4. 若复数z1和z2满足z1z2=1，则z1和z2互为（）。

A. 共轭复数B. 倒数C. 相反数D. 相等复数5. 复数z=a+bi（a,b∈R）的实部是（）。

A. aB. bC. a+biD. a-bi6. 复数z=a+bi（a,b∈R）的虚部是（）。

A. aB. bC. a+biD. a-bi7. 复数z=a+bi（a,b∈R）的模是（）。

A. √(a²+b²)B. √(a²-b²)C. √(a²+b²)iD. √(a²-b²)i8. 若复数z1=a+bi和z2=c+di，则z1+z2=（）。

A. (a+c)+(b+d)iB. (a-c)+(b+d)iC. (a+c)-(b+d)iD. (a-c)-(b+d)i9. 若复数z1=a+bi和z2=c+di，则z1-z2=（）。

A. (a+c)+(b-d)iB. (a-c)+(b+d)iC. (a-c)+(b-d)iD. (a+c)-(b+d)i10. 若复数z1=a+bi和z2=c+di，则z1z2=（）。

A. (ac-bd)+(ad+bc)iB. (ac+bd)+(ad-bc)iC. (ac-bd)-(ad+bc)iD. (ac+bd)-(ad-bc)i二、填空题（每题4分，共20分）11. 复数z=3+4i的共轭复数是______。

【复变函数期末考卷】复变函数试题

【复变函数期末考卷】复变函数试题

2.设 是单位脉冲函数，则 .
3.复变函数 的周期为.
4.曲线积分 .
5.已知复变函数 ，若 ，则 关于变量 的
表达式为.
6.复变函数 的周期为.
7. 若 可导，则 .
8.计算乘幂 .
9.曲线积分 .
10.已知 ，若 ，则复变函数 关于变
量 的表达式为.
三．计算题
1．若复数 满足 ，试求 的取值范围．
2．.对于映射 ，求出圆周 的像
3．设 ，求 .
4．已知 ，试确定解析函数 .
5、计算积分 ．
6.利用留数计算积分1.
2． 3．
7．设 ，在复数集 中解方程 。
8.解方程 .
四．解下列方程
1.利用Fourier变换，解积分方程
2.应用拉氏变换解满足初始条件 的微分方程
3.求如下微分方程组 满足初始条件： 的解。
14．设 为负向， 正向，则 ( )
（C） （B） （C） （D）
15.若 ，则双边幂级数 的收敛域为( )
（A） （B）
（C） （D）
16.积分 ( )
（A） （B） （C） （D）
17．积分 ( )
（A） （B） （C） （D）
18．函数 在 内的奇点个数为( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（B）若 是函数 的奇点，则 在点 不可导
（C）若 在区域 内满ຫໍສະໝຸດ 柯西-黎曼方程，则 在 内解析（D）若 在区域 内解析，则 在 内也解析
5．设 为负向， 正向，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
6．下列级数中，绝对收敛的级数为( )
（B） （B）
(C) （D）
7．若幂级数 在 处收敛，那么该级数在 处的敛散性为( )
复变期末考试试卷

复变期末考试试卷

复变期末考试试卷复变函数是数学中的一个重要分支，它在工程学、物理学以及许多其他科学领域中有着广泛的应用。

本期末考试试卷旨在测试学生对复变函数理论的理解和应用能力。

以下是复变期末考试的题目：一、选择题（每题2分，共20分）1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的模是：A. 5B. 7C. 8D. 102. 如果 \( f(z) = z^2 + 2z + 1 \)，那么 \( f(2 - i) \) 的值是：A. 3B. 4C. 5D. 63. 以下哪个是解析函数的必要条件？A. 可微B. 可积C. 连续D. 有界...二、填空题（每空2分，共20分）1. 如果 \( z = x + yi \)，那么 \( \overline{z} \) 是 ______ 。

2. 复数的乘法满足 \( (z_1 z_2) \overline{z_1} = \) ______ 。

3. Cauchy-Riemann 方程是 ______ 的必要条件。

...三、简答题（每题10分，共20分）1. 解释什么是解析函数，并给出一个解析函数的例子。

2. 描述复平面上的共轭曲线，并给出一个具体的例子。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 计算下列积分：\[\int_{|z|=2} \frac{1}{z-1} dz\]2. 给定 \( f(z) = \frac{z^2 - 1}{z^2 + 4z + 3} \)，求 \( f(z) \) 在 \( z = -1 \) 处的留数。

五、证明题（每题10分，共10分）证明：如果 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 的某个邻域内解析，并且\( |f(z)| \leq M \) 对所有 \( z \) 都成立，那么 \( f(z) \) 在\( z_0 \) 处的留数存在。

六、应用题（每题10分，共10分）考虑一个简单的 RLC 电路，其阻抗 \( Z(z) \) 可以表示为复数函数。

复变函数期末考试及答案(珍藏版)

复变函数期末考试及答案(珍藏版)

一、填空题1、设12z =，则||z = 1 ，Argz =2,0,1,3k k ππ-+=± . 2、曲线422=+y x 在映射z1=ω下的象为2214u v +=.（写出象曲线的方程） 3、设(1)(1,2,)4n n ni n n α-+==+ 则lim n n α→∞=i . 4、=Z k k i k ∈+),32sin()32cos(ππ.5、函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的 必要不充分 条件.(填充分必要性）6、若幂级数0n nn c z ∞=∑在12z i =+处收敛，则该级数在2z =处的敛散性为绝对收敛 .7、|2|12zz e dz z -==-⎰22ie π. 8、0=z 是函数5sin )(z z z z f -=的 2 阶极点。

9、若1()sin f z z =，则0Res ()z f z == 1 。

二、计算题1、设C 为连接0到2a π的摆线，(sin ),(1cos )x a y a θθθ=-=-，求积分2(281)C z z dz ++⎰.解：由于函数2281z z ++在整个z 平面上解析，故 2220(281)(281)a C z z dz z z dz π++=++⎰⎰3223320216(4)|16233a a z z z a a a ππππ=++=++2、判别级数∑∞=1n nn i 是否绝对收敛，是否收敛.解：因为：∑∑∞=∞==111||n n n n n i 发散，故级数 ∑∞=1n n n i 不绝对收敛.由于∑∑∑∞=∞=∞=+==11212sin 2cos )(n n n in n n n i n n e n i πππ ∑∑∞=∞=+=112s i n 2c o s n n n n i n n ππ 而∑∞=12cos n n n π，∑∞=12sin n n n π都为收敛级数，所以原级数收敛， 故原级数条件收敛。