勾股定理全章教案 人教版(优秀教案)

人教版初中数学八年级下册《勾股定理》教案一. 教材分析人教版初中数学八年级下册《勾股定理》是学生在学习了平面几何基本概念和性质、三角形的知识后，进一步研究直角三角形的一个重要性质。

本节课通过探究勾股定理，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，为后续学习勾股定理的运用和解决实际问题打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的观察、操作、推理能力。

但勾股定理的证明较为抽象，需要学生能够克服困难，积极思考，理解并掌握证明过程。

三. 教学目标1.了解勾股定理的定义和证明过程。

2.能够运用勾股定理解决直角三角形的相关问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

4.激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。

四. 教学重难点1.教学重点：勾股定理的定义和证明过程。

2.教学难点：勾股定理的证明过程和运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法、讲解法、实践操作法等，引导学生主动参与，积极思考，培养学生的创新精神和实践能力。

六. 教学准备1.教具：直角三角形、尺子、三角板、多媒体设备。

2.学具：学生用书、练习册、文具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示古代数学家赵爽的《勾股定理图》，引导学生观察、思考，提出问题：“为什么说这是一个直角三角形？它的两条直角边的边长是多少？”2.呈现（10分钟）教师引导学生观察、操作，发现直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

教师呈现勾股定理的表述：“在一个直角三角形中，斜边和直角边的平方和等于斜边的平方。

”3.操练（10分钟）教师学生进行小组合作，运用勾股定理计算直角三角形的边长。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）教师通过多媒体展示一系列直角三角形的问题，引导学生运用勾股定理解决问题。

学生独立思考，教师选取部分学生进行讲解。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：“勾股定理在其他领域的应用有哪些？”学生分组讨论，分享自己的看法。

勾股定理教学设计(优秀3篇)《勾股定理》教学设计篇一教学目标具体要求：1.知识与技能目标：会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。

2.过程与方法目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件。

3.情感态度与价值观目标：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育。

重点：勾股定理的应用难点：勾股定理的应用教案设计一、知识点讲解知识点1：（已知两边求第三边)1．在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_____________。

2．已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是______________。

3．三角形ABC中，AB=10,AC=一qi,BC边上的高线AD=8,求BC的长？知识点2：利用方程求线段长1、如图，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=壹五km，CB=10km，现在要在公路AB上建一车站E，（1）使得C，D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少km处？（2）DE与CE的位置关系（3）使得C，D两村到E站的距离最短，E站建在离A站多少km处？利用方程解决翻折问题2、如图，用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？3、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。

4.如图，将一个边长分别为4、8的矩形形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EF 的长是多少？5、折叠矩形ABCD的一边AD,折痕为AE,且使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm，以B点为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系。

求点F和点E坐标。

6、边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点D，求（1）三角形ADC的面积，（2）点B1的坐标，（3）AB1所在的直线解析式。

初中数学教学案例18.1勾股定理（第一课时）教学目标知识技能数学思考解决问题情感态度教学重点教学难点教具教学过程教学流程教师活动学生活动设计意图情景引人[活动1]讲述资料故事提出问题1：数学家大会为什么用该图做会徽呢?它有什么特殊的含义吗？教师作补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．问题2：你听说过“勾股定理”吗？教师关注：学生对“赵爽弦图”及勾股定理的历史是否感兴趣.引人课题18.1《勾股定理》（板书课题）[活动2]学生观察图片发表见解．生1.会徽是很具有代表性的东西，比如2008年体育奥运会的会徽是五环旗.生2.我在其他的资料里见过这个图案.生3.课本面上也有这样的图案.（同学们积极踊跃的发言,学习积极性很高）学生当听到是“赵爽弦图”时，好奇之心更加强烈，学习热情很高.对“勾股定理”表示不从现实生活中提出“赵爽弦图”，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情，同时为探索勾股定理提供背景材料．探究新知A BC你知道他是通过什么途径找到怎样的三边关系的吗？问题1.你能发现S A 、S B 、S C之间的关系吗？问题2.等腰直角三角形的三边a、b、c之间有什么关系？出示幻灯片3169254913否也有这样的性质呢？在本次活动中，教师重点关注：(1)教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形C的面积.理解观察图片后结合课本上的内容，学生很快就发现这一关系式SA+ SB=SCa2 + b2 = c2纷纷举手回答，并总结：等腰直角三角形的两条的平方问题是思维的起点，通过问题激发学生好奇心和主动学习的欲望．为学生提供参与数学活动的时间和组内交流(2)幻灯片展示答案(3)引导学生将三个正方形面积的关系转化为直角三角形三条边之间的关系，并用自己的语言叙述出来：[活动3] 实践验证早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用赵爽弦图验证了“勾股定理”幻灯片展示赵爽弦图教师详细介绍赵爽弦图的拼割过程.问题：.你能利用手中的材料通过其他的拼法验证勾股定理吗？试试看，你能拼几种在独立探究的基础上，学生分组（前后位四人一组）合作交流.用不同的方法得出大正方形C的面积生1：把C“补” 成边长为7的正方形面积的一半.生2：将正方形C分“割”成若干个直角边为整数的三角形当答案不同、意见有分歧时，所有同学都在积极思考，大胆发言，各抒己见，直到探求出正确结果.学生总结命题：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方空间，让学生积极动手，发挥学生的主体作用，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高．，得出猜想实践验证在本次活动中，教师重点关注：（1）学生能否进行合理的拼图．对不同层次的学生有针对性地给予分析、帮助；（2）学生能否用语言准确的表达自己的观点．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（板书）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

第十八章 勾股定理． 勾股定理（一）一、教学目标．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、重点、难点．重点：勾股定理的内容及证明。

．难点：勾股定理的证明。

三、例题的意图分析例（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

进一步让学生确信勾股定理的正确性。

四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为和的直角△，用刻度尺量出的长。

以上这个事实是我国古代多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是，长的直角边（股）的长是，那么斜边（弦）的长是。

再画一个两直角边为和的直角△，用刻度尺量的长。

你是否发现与的关系，和的关系，即，，那么就有勾股弦。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析例（补充）已知：在△中，∠°，∠、∠、∠的对边为、、。

求证：＋。

分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：△小正大正 ×21＋（－），化简可证。

一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解勾股定理的表述及证明；（2）学会运用勾股定理解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、思考、探索，培养学生的逻辑思维能力和创新能力；（2）学会运用几何图形辅助解题，提高空间想象力。

3. 情感态度与价值观：（1）感受数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣；（2）培养学生的团队协作精神和自主学习能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）勾股定理的表述及证明；（2）运用勾股定理解决实际问题。

2. 教学难点：（1）勾股定理的证明；（2）运用勾股定理解决复杂实际问题。

三、教学准备1. 教师准备：（1）熟练掌握勾股定理的相关知识；（2）准备相关教学案例和实际问题；（3）制作教学课件和教学道具。

2. 学生准备：（1）预习勾股定理的相关内容；（2）准备好笔记本和文具。

四、教学过程1. 导入新课（1）利用课件展示勾股定理的历史背景和应用场景；（2）引导学生思考：为什么会有勾股定理的发现？它有什么意义？2. 探究新知（1）引导学生通过观察、思考、讨论，得出勾股定理的表述；（2）讲解勾股定理的证明过程，让学生理解并掌握证明方法；（3）运用几何图形辅助讲解，提高学生的空间想象力。

3. 课堂练习（1）布置练习题，让学生运用勾股定理解决问题；（2）引导学生互相讨论、交流，共同解决问题。

4. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，让学生巩固知识点；（2）强调勾股定理在实际生活中的应用价值。

五、课后作业（1）一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边长；（2）一个直角三角形的一条直角边长为5cm，斜边长为10cm，求另一条直角边长。

2. 深入研究勾股定理的证明方法，尝试找出其他证明勾股定理的方法。

六、教学策略1. 案例分析：（1）通过分析生活中的实际案例，让学生了解勾股定理的应用；（2）引导学生运用勾股定理解决实际问题，培养学生的实践能力。

2. 分组讨论：（1）将学生分成若干小组，进行讨论和交流；（2）鼓励学生发表自己的观点和思路，培养学生的团队协作精神。

勾股定理的优秀教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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1第十七章 勾股定理教材简析本章的内容包括：勾股定理、勾股定理的逆定理．本章的内容包括：勾股定理、勾股定理的逆定理．本章主要研究并揭示直角三角形三边之间的关系的勾股定理与勾股定理的逆定理．勾股定理是一个著名的几何定理，在西方也被称为毕达哥斯拉定理．勾股定理有几百种证明方法，本章主要介绍的是我国古代数学家赵爽的证明方法，这种方法利用直角三角形的面积与正方形的面积关系，数形结合，直观、简洁．勾股定理在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本章是直角三角形相关知识的延续，同时也让学生进一步认识无理数，充分体现了数学知识的紧密相关性、连续性．在中考中，主要考查勾股定理及三角形判别条件的应用，常与三角形的其他知识结合考查．三角形的其他知识结合考查．教学指导【本章重点】勾股定理，勾股定理的逆定理．勾股定理，勾股定理的逆定理． 【本章难点】勾股定理的证明，勾股定理的应用．勾股定理的证明，勾股定理的应用． 【本章思想方法】1．体会转化思想，体会转化思想，如：如：如：应用勾股定理将实际问题转化成数学模型，应用勾股定理将实际问题转化成数学模型，应用勾股定理将实际问题转化成数学模型，从而构造直角三角形从而构造直角三角形求解．求解．2．体会和掌握方程思想，如：利用勾股定理求线段长时，往往需要列方程求解．．体会和掌握方程思想，如：利用勾股定理求线段长时，往往需要列方程求解．课时计划17.1 勾股定理3课时课时17.2 勾股定理的逆定理1课时课时17.1 勾股定理第1课时 勾股定理及其证明教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．了解勾股定理的发现过程．．了解勾股定理的发现过程． 2．掌握勾股定理的内容．．掌握勾股定理的内容． 3．会用面积法证明勾股定理．．会用面积法证明勾股定理． 【过程与方法】经历观察—猜想—归纳—验证等一系列过程，体会数学定理发现的过程；在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力．归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力．【情感态度与价值观】通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣；在探究活动中，体验解决问题的方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．问题的方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．二、重难点目标 【教学重点】勾股定理的探究及证明．勾股定理的探究及证明． 【教学难点】掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P22～P24的内容，完成下面练习．的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.2．(1)教材P23“探究”，如图，每个方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A 、B 、C 、A ′、B ′、C ′的面积．′的面积．解：A的面积＝4；B的面积＝9；C的面积＝52－4×12×(2×3)＝13；所以A＋B＝C.A′＝9；B′＝25；C′＝82－4×12×(5×3)＝34；所以A′＋B′＝C′所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．(2)阅读、理解教材P23～P24“赵爽弦图”证明勾股定理．“赵爽弦图”证明勾股定理．解：朱实＝12ab；黄实＝(a－b)2；正方形的面积＝4朱实＋黄实＝(a－b)2＋12ab×4＝a2＋b2－2ab＋2ab＝a2＋b2.又正方形的面积＝c2，所以a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再作三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．证明：a2＋b2＝c2.图1 图2【互动探索】(引发学生思考)从整体上看，这两个正方形的边长都是a＋b，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理． 【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a＋b，∴它们的面积相等．又∵左边的正方形面积可表示为a2＋b2＋12ab×4，右边的正方形面积可表示为c2＋12ab×4，∴a2＋b2＋12ab×4＝c2＋12ab×4，∴a2＋b2＝c2.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．【例2】 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b为两直角边，c为斜边．为斜边．(1)若a＝3，b＝4，则c2＝____，c＝____；(2)若a ＝6，b ＝8，则c2＝____，c ＝____；(3)若c ＝41，a ＝9，则b ＝____； (4)若c ＝17，b ＝8，则a ＝____.【互动探索】(引发学生思考)根据勾股定理求解．【分析】(1)c 2＝a 2＋b 2＝32＋42＝25，则c ＝5.(2) c 2＝a 2＋b 2＝62＋82＝100，则c ＝10.(3) 因为c 2＝a 2＋b 2，所以b ＝c 2－a 2＝412－92＝40.(4)因为c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝c 2－b 2＝172－82＝15.【答案】(1)25 5 (2)100 10 (3)40 (4)15【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.a 2＋b 2＝c 2的常用变形b ＝c 2－a 2，a ＝c 2－b 2.活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC 中，∠C ＝90°若 a ＝5，b ＝12，则，则c ＝13；若c ＝41，a ＝9，则b ＝40. 2．等腰△ABC 的腰长AB ＝10 cm ，底BC 为16 cm ，则底边上的高为6_cm ，面积为48_cm 2. 3．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c . (1)若a ＝1，b ＝2，求c ； (2)若a ＝15，c ＝17，求b .解：(1)根据勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2＝12＋22＝5.∵c >0，∴c ＝ 5. (2)根据勾股定理，得b 2＝c 2－a 2＝172－152＝64.∵b >0，∴b ＝8. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】在△ABC 中，AB ＝20，AC ＝15，AD 为BC 边上的高，且AD ＝12，求△ABC 的周长．的周长．【互动探索】应考虑高AD 在△ABC 内和△ABC 外的两种情形．【解答】当高AD 在△ABC 内部时，如图1.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD 2＝AB 2－AD 2＝202－122＝162，∴BD ＝16.在Rt △ACD 中，由勾股定理，得CD 2＝AC 2－AD 2＝152－122＝81，∴CD ＝9.∴BC ＝BD ＋CD ＝25，∴△ABC 的周长为25＋20＋15＝60.当高AD 在△ABC 外部时，如图2.同理可得，BD ＝16，CD ＝9.∴BC ＝BD －CD ＝7，∴△ABC 的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC 的周长为42或60.图1图2【互动总结】(学生总结，老师点评)题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD 在△ABC 内的情形，忽视高AD 在△ABC 外的情形．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.练习设计请完成本课时对应练习！请完成本课时对应练习！第2课时 勾股定理的应用教学目标一、基本目标 【知识与技能】能运用勾股定理解决有关直角三角形的简单实际问题．能运用勾股定理解决有关直角三角形的简单实际问题． 【过程与方法】经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件．经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件． 【情感态度与价值观】培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情．培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情． 二、重难点目标 【教学重点】 勾股定理的简单应用．勾股定理的简单应用．【教学难点】运用勾股定理建立直角三角形模型解决有关问题．运用勾股定理建立直角三角形模型解决有关问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P25的内容，完成下面练习．的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．在△ABC 中，∠C ＝90°90°..若BC ＝6，AB ＝10，则AC ＝8. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．的长．【互动探索】(引发学生思考)观察图形：“多直角三角形嵌套”图形→已知边长，求高CD →利用等面积法求解．【解答】∵△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ， ∴由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝4 cm. 又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝4×35＝125(cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．【例2】 如图，侦察员小王在距离东西向公路400 m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m,10 s 后，汽车与他相距500 m ，你能帮小王算出敌方汽车的速度吗？你能帮小王算出敌方汽车的速度吗？【互动探索】(引发学生思考)要求敌方汽车的速度，需要算出BC的长．在Rt△ABC中利用勾股定理即可求得BC.【解答】由勾股定理，得AB2＝BC2＋AC2，即5002＝BC2＋4002，所以BC＝300 m.故敌方汽车10 s行驶了300 m，所以它1 h行驶的距离为300×6×60＝108 000(m)，即敌方汽车的速度为108 km/h.【互动总结】(学生总结，老师点评)用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解．活动2 巩固练习(学生独学)1．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则它的面积为( D )A．30 cm2 B．130 cm2C．120 cm2 D．60 cm260cm.2．直角三角形两直角边长分别为5 cm、12 cm，则斜边上的高为133．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 200 m，结果他在水中实际游了520 m，求该河流的宽度为多少？，求该河流的宽度为多少？解：根据图中数据，运用勾股定理，得AB＝AC2－BC2＝5202－2002＝480(m)． 即该河流的宽度为480 m.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图1，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm，现有绳子从D出发，底面是正方形，边长为沿长方体表面到达B′点，问绳子最短是多少厘米？′点，问绳子最短是多少厘米？图1图2图3【互动探索】可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计算并比较，得到的最短距离即为所求．【解答】如图2，由题易知，DD ′＝3 cm ，B ′D ′＝2×2＝4(cm)．在Rt △DD ′B ′中，由勾股定理，得B ′D 2＝DD ′2＋B ′D ′ 2＝32＋42＝25； 如图3，由题易知，B ′C ′＝2 cm ，C ′D ＝2＋3＝5 (cm)．在Rt △DC ′B ′中，由勾股定理，得B ′D 2＝B ′C ′2＋C ′D 2＝22＋52＝29. 因为29>25，所以第一种情况绳子最短，最短为5 cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中，问题便迎刃而解．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理的简单运用：(1)由直角三角形的任意两边的长度，可以应用勾股定理求出第三边的长度．(2) 用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解．用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解．练习设计请完成本课时对应练习！请完成本课时对应练习！第3课时 利用勾股定理表示无理数教学目标一、基本目标 【知识与技能】进一步熟悉勾股定理的运用，掌握用勾股定理表示无理数的方法．进一步熟悉勾股定理的运用，掌握用勾股定理表示无理数的方法． 【过程与方法】通过探究用勾股定理表示无理数的过程，锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力．论交流能力和空间想象能力．【情感态度与价值观】让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，体会数形结合思想的运用． 二、重难点目标 【教学重点】探究用勾股定理表示无理数的方法．探究用勾股定理表示无理数的方法． 【教学难点】会用勾股定理表示无理数．会用勾股定理表示无理数．教学过程环节1 自学提纲，生成问题自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P26～P27的内容，完成下面练习．的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．教材P27，利用勾股定理在数轴上画出表示1，2，3，4，…的点．，…的点．3.13的线段是直角边为正整数3,2的直角三角形的斜边．的直角三角形的斜边．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )A．5＋1 B．－5＋1C．5－1 D． 5【互动探索】(引发学生思考)先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．【分析】图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A的距离是5，那么点A所表示的数为5－1.故选C．【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A 的位置，再根据A 的位置来确定a 的值．活动2 巩固练习(学生独学)1．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：又进一步进行练习：首先画出数轴，先画出数轴，设原点为点设原点为点O ，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，且AB ＝3.以点O 为圆心，OB 为半径作弧，设与数轴右侧交点为点P ，则点P 的位置在数轴上( C )A ．1和2之间之间B ．2和3之间之间C ．3和4之间之间D ．4和5之间之间2．如图，OP ＝1，过P 作PP 1⊥OP 且PP 1＝1，根据勾股定理，得OP 1＝ 2 ；再过P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2＝1，得OP 2＝ 3；又过P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3＝1，得OP 3＝2；….依此继续，得OP 2018＝2019，OP n ＝n ＋1(n 为自然数，且n ＞0)．3．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数8和－8.解：面积为8平方单位的正方形的边长为8，8是直角边长为2,2的两个直角三角形的斜边长，画图如下：活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，每个小格的顶点叫做格点，以以格点为顶点分别按下列要求画三角形．格点为顶点分别按下列要求画三角形．(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数； (3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.【互动探索】(1)利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可；(2)先找出几个能构成勾股数的无理数，再画出来即可，如画一个边长2，22， 10的三角形；(3)画一个边长为10的正方形即可．【解答】(1)直角三角形的三边分别为3,4,5 ，如图1. (2)直角三角形的三边分别为2，22， 10，如图2. (3)画一个边长为10的正方形，如图3.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了格点三角形的画法，需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和正方形的性质即可解决问题．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 利用勾股定理表示无理数．利用勾股定理表示无理数．练习设计请完成本课时对应练习！请完成本课时对应练习！17.2 勾股定理的逆定理教学目标一、基本目标【知识与技能】掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单运用；理解互逆命题的有关概念．掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单运用；理解互逆命题的有关概念． 【过程与方法】经历探索直角三角形的判定条件过程，理解勾股定理的逆定理．经历探索直角三角形的判定条件过程，理解勾股定理的逆定理． 【情感态度与价值观】激发学生解决问题的愿望，体会勾股定理逆向思维所获得的结论，明确其应用范围和实际价值．际价值．二、重难点目标 【教学重点】掌握勾股定理的逆定理，勾股数，理解互逆命题的有关概念．掌握勾股定理的逆定理，勾股数，理解互逆命题的有关概念． 【教学难点】利用勾股定理的逆定理解决问题．利用勾股定理的逆定理解决问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P31～P33的内容，完成下面练习．的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．(1)勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. (2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2；那么这个三角形是直角三角形．2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．3．两个命题的题设、两个命题的题设、结论整好相反，结论整好相反，结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．4．一般地，一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，那么它也是一个定理，那么它也是一个定理，称这两个称这两个定理互为逆定理．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形．判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形． (1)在△ABC 中，∠A ＝20°，∠B ＝70°； (2)在△ABC 中，AC ＝7，AB ＝24，BC ＝25；(3)△ABC 的三边长a 、b 、c 满足(a ＋b )(a －b )＝c 2.【互动探索】(引发学生思考)分别已知三角形的边和角，如何判定一个三角形是直角三角形呢？【解答】(1)在△ABC 中，∵∠A ＝20°，∠B ＝70°， ∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝90°， 即△ABC 是直角三角形．是直角三角形．(2)∵AC 2＋AB 2＝72＋242＝625，BC 2＝252＝625， ∴AC 2＋AB 2＝BC 2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形．是直角三角形． (3)∵(a ＋b )(a －b )＝c 2， ∴a 2－b 2＝c 2， 即a 2＝b 2＋c 2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形．是直角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断直角三角形的常用方法有两种：(1)两锐角互余的三角形是直角三角形(即有一个角等于90°的三角形是直角三角形)；(2)利用勾股定理的逆定理判断三角形的三边是否满足a 2＋b 2＝c 2(c 为最长边)．【例2】写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，判断这个命题的真假，判断这个命题的真假，并说明理由．并说明理由．【互动探索】(引发学生思考)原命题的题设为等腰三角形，结论为腰上的高相等，然后交换题设与结论得到其逆命题；可根据三角形面积公式判断此命题的真假．【解答】命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是两边上的高相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，且CD ＝BE .∵BC ＝BC ，∴△CBD ≌△BCE (HL)， ∴∠DBC ＝∠ECB ， ∴△ABC 为等腰三角形．为等腰三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．【例3】某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后相距30海里．海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，如果知道“远航”号沿东北方向航行，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？号沿哪个方向航行吗？【互动探索】(引发学生思考)根据“路程＝速度×时间”分别求得PQ 、PR 的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR 是直角三角形，从而求解．【解答】根据题意，得PQ ＝16×1.5＝24(海里)，PR ＝12×1.5＝18(海里)，QR ＝30海里． ∵242＋182＝302， ∴PQ 2＋PR 2＝QR 2，∴∠QPR ＝90°90°.. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS ＝45°， ∴∠SPR ＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．即“海天”号沿西北方向航行．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．活动2 巩固练习(学生独学)1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( C ) A ．5,6,7 B ．10,8,4C ．7,25,24D ．9,17,152．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？(1)同旁内角相等，两直线平行；同旁内角相等，两直线平行；(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等．如果两个角是直角，那么这两个角相等．解：(1)“同旁内角相等，两直线平行”的逆命题是两直线平行，同旁内角相等，逆命题不成立．(2)“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么两个角是直角，逆命题不成立．是直角，逆命题不成立．3．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于1的整数，a ＝2m ，b ＝m 2－1，c ＝m 2＋1，那么a 、b 、c 为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 解：对．因为a 2＋b 2＝(2m )2＋(m 2－1)2＝4m 2＋m 4－2m 2＋1＝m 4＋2m 2＋1＝(m 2＋1)2，且c 2＝(m 2＋1)2，所以a 2＋b 2＝c 2，即a 、b 、c 是勾股数．m ＝2时，勾股数为4、3、5；m ＝3时，勾股数为6、8、10；m ＝4时，勾股数为8、15、17.4．如图，已知在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝2 cm ，AD ＝ 5 cm ，CD ＝5 cm ，BC ＝4 cm ，求四边形ABCD 的面积．的面积．解：如图，连结BD ∵∠A ＝90°，AB ＝2 cm ，AD ＝ 5 cm ，∴根据勾股定理，得BD ＝3cm.又∵CD ＝5 cm ，BC ＝4 cm ，∴CD 2＝BC 2＋BD 2，∴△BCD 是直角三角形，∴∠CBD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝ 12AB ·AD ＋12BC ·BD ＝ 12×2×5＋12×4×3＝ ()5＋6cm 2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例4】在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 为BC 上一点，且CE ＝14CB ，试判断AF 与EF 的位置关系，并说明理由．的位置关系，并说明理由．【互动探索】观察图形，猜测AF ⊥EF .证明△AEF 为直角三角形可得AF ⊥EF .【解答】AF ⊥EF .理由如下：设正方形的边长为4a .∵F 是CD 的中点，CE ＝14CB ，∴EC ＝a ，BE ＝3a ，CF ＝DF ＝2a .在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE 2＝AB 2＋BE 2＝16a 2＋9a 2＝25a 2.在Rt △CEF 中，由勾股定理，得EF 2＝CE 2＋CF 2＝a 2＋4a 2＝5a 2.在Rt △ADF 中，由勾股定理，得AF 2＝AD 2＋DF 2＝16a 2＋4a 2＝20a 2.∴AE 2＝EF 2＋AF 2，∴△AEF 为直角三角形，且AE 为斜边．为斜边．∴∠AFE ＝90°，即AF ⊥EF .【互动总结】(学生总结，老师点评)利用三角形三边的数量关系来判定直角三角形，从而推出两线的垂直关系．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2－b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．是直角三角形．2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．3．两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题． 练习设计请完成本课时对应练习！请完成本课时对应练习！。