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专题4.3 解三角形-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(原卷版)

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第四章 三角函数 专题3 解三角形（理科）【三年高考】1. 【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 2. 【2017浙江，14】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．3. 【2017课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.4. 【2017课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=， （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。

5. 【2017课标3，理17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin 3cos 0A A += ，a =27,b =2. （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.6. 【2016高考新课标2理数】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4c o s5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．7．【2016高考上海理数】已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________. 8．【2016年高考北京理数】在∆ABC 中，2222+=+a c b ac . （1）求B ∠ 的大小；（2）求2cos cos A C + 的最大值.9．【2016高考新课标1卷】 ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若7,c ABC =∆的面积为332,求ABC 的周长． 10.【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD = m.11.【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值. 12.【2015高考四川，理19】 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （1）证明：1cos tan;2sin A AA-= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====o求tantan tan tan 2222A B C D+++的值. A BCD【2017考试大纲】1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 解三角形问题，是每年高考必考的知识点之一，题型一般是选择和填空的形式，大题往往结合三角恒等变换，也有单独解三角形,主要考查正弦定理或余弦定理的运用，以及在三角形中运用三角公式进行三角变换的能力和利用三角形面积求边长等,考查利用三角公式进行恒等变形的技能，以及基本运算的能力，特别突出算理方法的考查． 【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主，从近几年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题.今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用.题型一般为选择题、填空题，也可能是解答题, 主要考查学生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问题的能力．故在2018年复习备考中，注意掌握利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为180°，诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值．预测2018年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．【2018年高考考点定位】高考对解三角形的考查有两种主要形式：一是直接考查正弦定理、余弦定理；二是以正弦定理、余弦定理为工具考查涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题.从涉及的知识上讲，常与诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式,向量等知识相联系，小题目综合化是这部分内容的一种趋势.【考点1】利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长 【备考知识梳理】1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在ABC V 中，90C =︒，,,AB c AC b BC a ===.（1）三边之间的关系：222a b c +=.（勾股定理）（2）锐角之间的关系：90A B +=︒；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin cos a A B c ==，sin cos b B A c ==，tan aA b=. 46810a b c CBA2．斜三角形中各元素间的关系：如图，在ABC V 中，,,A B C 为其内角，,,a b c 分别表示,,A B C 的对边. （1）三角形内角和：A B C π++=.（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等2sin sin sin a b cR A B C===.（R 为外接圆半径） 变形：2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =;sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===; ::sin :sin :sin a b c A B C =；2sin sin sin sin a b c a R A B C A++==++.（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-.推论：222cos 2b c a A bc +-=;222cos 2a c b B ac +-=;222cos 2a b c C ab+-=.变形：2222cos bc A b c a =+-;2222cos ac B a c b =+-;2222cos ab C a b c =+-.【规律方法技巧】解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如,,A B c ），由A B C π++=求C ，由正弦定理求,a b ；（2）已知两边和夹角（如,,a b C ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A B C π++=，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如,,a b A ），应用正弦定理求B ，由A B C π++=求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；A 为锐角A 为钝角或直角图形关系 式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a ＜b a ≥ba ＞ba ≤b解的 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解也可设出第三边,利用余弦定理,建立方程,解方程即可.（4）已知三边,,a b c ，应余弦定理求,A B ，再由A B C π++=，求角C .(5)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．(6)在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．(7)如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理已知量与未知量的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论，对于相关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边对应的角，求其他边角，由于此时的三角形不能确定，应对它进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点（1）如果所给的等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式，可以利用正弦定理进行边角互换，这是高考中常见的形式；（2）根据所给条件构造（1）的形式，便于利用正弦定理进行边角互换，体现的是转化思想的灵活应用.余弦定理与平面几何知识、向量、三角函数有着密切的联系，常解决一下两类问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求三角.由于这两种情形下三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一. 余弦定理的重要应用(8)三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见的几种变形形式，介绍如下.①联系完全平方式巧过渡:由222()2b c b c bc +=+-则22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+. ②联系重要不等式求范围：由222b c bc +≥，则2222cos 22cos 2(1cos )a b c bc A bc bc A bc A =+-≥-=-当且仅当b c =等号成立. ③联系数量积的定义式妙转化：在ABC ∆中，由222222cos cos 22a b c a b c CA CB CA CB C ab C ab ab +-+-⋅====uu r uu r uu r uu r . (9)在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正、余弦定理完成边与角的互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的．解题时要注意隐含条件． 【考点针对训练】1. 【辽宁省锦州市2017届高三质量检测（二）】ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，2a =， 2b =， 45A =︒，则B =（ ）A. 30︒B. 60︒C. 30︒或150︒D. 60︒或120︒2. 【2017届湖南省衡阳市高三第二次联考】已知ABC 的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是（ ）A.23 B. 34 C. 56 D. 710【考点2】利用正余弦定理求三角形面积 【备考知识梳理】 三角形的面积公式：（1）111222a b c S ah bh ch ===V （,,a b c h h h 分别表示,,a b c 上的高）； （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===V ；（3）()()()222sin sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin a B C b A C c A BS B C A C A B ===+++V ； （4）22sin sin sin S R A B C =V ；（R 为外接圆半径）（5）S =V Rabc4； （6）S =V △＝))()((c s b s a s s ---；⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)(21c b a s ； （7）S rS =V .（r 为内切圆半径, ⎪⎭⎫⎝⎛++=)(21c b a s ） 【规律方法技巧】 利用1sin 2S ab C =V 来求ABC V 的面积是在已知两边及夹角的前提下来求的，事实上，两边及夹角中的某个(或两个)量需要通过解三角形求出，这就需要先利用正、余弦定理解三角形．求解此类三角形的基本量的技巧：先将几何问题转化为代数问题，正确分析已知等式中的边角关系，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等工具进行三角形中边角的互化，若要把“边”化为“角”，常利用“2sin a R A =，，2sin b R B =，2sin c R C =;”，若要把“角”化为“边”，常利用sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===，222cos 2b c a A bc +-=;222cos 2a c b B ac +-=;222cos 2a b c C ab +-=等；然后利用三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出三角形的基本量．解三角形中，应特别注意问题中的隐含条件，正弦定理和余弦定理，三角形的面积公式，三角形中的边角关系，内角和定理等．例如利用边的值判断隐含条件b a ≤或b c ≤，极其隐蔽．另外常见的错误还有：(1)在化简三角函数式子时要注意恒等变形不要轻易约分(消去某一个式子)等， (2)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论． 【考点针对训练】1. 【湖南省2017届高三考前演练】在ABC ∆中，角A B C 、、的对边,,a b c 满足222b c a bc +=+，且8bc =，则ABC ∆的面积等于（ ）A. 23B. 4C. 43D. 82. 【北京市朝阳区2017届高三二模】在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =，2sin 3sin B A =．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积． 【考点3】利用正余弦定理判断三角形形状 【备考知识梳理】解斜三角形的主要依据是：设ABC V 的三边为,,a b c ，对应的三个角为,,A B C . （1）角与角关系：A B C π++=；（2）边与边关系：a b c +>，b c a +>，c a b +>，,,a b c b c a c a b -<-<-<； （3）边与角关系： 正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===.（R 为外接圆半径）； 余弦定理 2222c o s a b c b A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-. 它们的变形形式有：2sin a R A =，baB A =sin sin ，bc a c b A 2cos 222-+=. 5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点. （1）角的变换因为在ABC V 中，A B C π++=，所以sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan()tan A B C +=-.sin cos 22A B C+=2sin 2cos ,2cos 2sinC B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式面积公式r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半.（3）在ABC V 中，熟记并会证明：,,A B C 成等差数列的充分必要条件是60B =︒；ABC V 是正三角形的充分必要条件是,,A B C 成等差数列且,,a b c 成等比数列. 【规律方法技巧】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A B C π++=这个结论． 如何利用余弦定理判定三角形的形状由于cos A 与222b c a +-同号，故当2220b c a +->时，角A 为锐角； 当2220b c a +-=时，三角形为直角三角形； 当2220b c a +-<时，三角形为钝角三角形． 三角形中常见的结论 (1) A B C π++=.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)在ABC V 中，sin sin A B >是A B >的充要条件 【考点针对训练】1. 【宁夏育才中学2017届高三上学期第二次月考】在△ABC 中，若2222sin(),sin()a b A B A B a b --=++则△ABC 的形状一定是2. 【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】如图，已知平面上直线12//l l ，A ，B 分别是1l ，2l 上的动点，C 是1l ，2l 之间的一定点，C 到1l 的距离1CM =，C 到2l 的距离3CN =，ABC ∆三内角A ∠、B ∠、C ∠所对边分别为a ，b ，c ，a b >，且cos cos b B a A =. （Ⅰ）判断ABC ∆的形状； （Ⅱ）记ACM θ∠=，11()f AC BCθ=+，求()f θ的最大值.【考点4】正、余弦定理的实际应用 【备考知识梳理】 仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))．2．方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B 点的方位角为α(如图(b))． 3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．易混点：易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角． 【规律方法技巧】三角形应用题的解题要点：解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中寻找出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得出所要求的量，从而得到实际问题的解．有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等．正确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少的． 把握解三角形应用题的四步：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系； (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型； (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 求距离问题的注意事项：(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角； (2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用． 解决测量角度问题的注意事项： (1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用． 【考点针对训练】1. 【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB .位于该市的某大学M 与市中心O 的距离313OM km =，且AOM β∠=.现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M .其中tan 2α=，3cos 13β=，15AO km =. （Ⅰ）求大学M 与A 站的距离AM ；（Ⅱ）求铁路AB 段的长AB .2. 【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120,,AB AC 的长度均大于200米，现在边界,AP AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.（1）若围墙,AP AQ 总 长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？（2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元. 若围围墙用了20000元, 问如何围可使竹篱笆用料最省？【应试技巧点拨】1. 余弦定理的重要应用三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见的几种变形形式，介绍如下.①联系完全平方式巧过渡:由222()2b c b c bc +=+-则22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+.②联系重要不等式求范围：由222b c bc +≥，则2222cos 22cos 2(1cos )a b c bc A bc bc A bc A =+-≥-=-当且仅当b c =等号成立. ③联系数量积的定义式妙转化：在ABC ∆中，由222222cos cos 22a b c a b c CA CB CA CB C ab C ab ab +-+-⋅==== . 2.如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理已知量与未知量的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论，对于相关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边对应的角，求其他边角，由于此时的三角形不能确定，应对它进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点（1）如果所给的等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式，可以利用正弦定理进行边角互换，这是高考中常见的形式；（2）根据所给条件构造（1）的形式，便于利用正弦定理进行边角互换，体现的是转化思想的灵活应用.3. 三角函数的起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的.4. .解决三角实际问题的关键有三点：一是仔细审题，准确理解题意，分析条件和结论，明确问题的实际背景，理清问题中各个量之间的数量关系；二是合理选取参变量，设定变元，寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系；三是建立与求解相应的三角函数模型.将文字语言、图形语言、符号语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，求解数学模型，得出数学结论.1. 【黑龙江、吉林两省八校2017届高三上学期期中】在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为，若ca b a b c a +-=-，则角C 等于（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．8π 2. 【河北省保定市2017届高三二模】设错误！未找到引用源。

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2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解

2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解

2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形、选择题B • 305)的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数3 5A 在区间［-，—］上单调递增4 4 3B 在区间［―,］上单调递减45 3C 在区间［予‘专］上单调递增3D 在区间［厅,2 ］上单调递减7.【2018浙江卷5］函数y= 2|x|sin2x 的图象可能是1.【2018全国二卷 6】在厶ABC 中,C cos— 2，BC 1，AC 5，则 AB52.【2018全国二卷 10]若 f(x) cosxsinx 在［a, a ］是减函数，贝U a 的最大值是3.【2018全国三卷 4] 若sin1 … 3，则cos24. 5. 0, C . 【2018全国三卷9］ △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 2 2 2a ，b ，c ,若△ ABC 的面积为-— -，4【2018北京卷7］在平面直角坐标系中，记m 变化时，d 的最大值为d 为点P A. 1(COS 0 sin 0到直线x my 2 0的距离，当B. 2C. 3D.4C . . 296.【2018天津卷6］将函数y sin(2x1. 【2018全国一卷16】已知函数f x 2sinx sin2x ，则f x 的最小值是 _______________ .2.【2018 全国二卷 15】已知 sin a cos 3 1 , cos a sin 3 0，则 sin( a ® __________________ .3. 【2018全国三卷15】函数f x cos 3x n在0, n 的零点个数为6 ---------------------------------------------------4. 【2018北京卷11】设函数f (x ) =cos( x n ( 0),若f(x) f (n)对任意的实数x 都成立，则co的最小值为 _________ . 5.【2018江苏卷7】已知函数y sin(2x _______________________ )(--)的图象关于直线x -对称，则 的值是 ____________________ .2236. 【2018江苏卷13】在厶ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b,c , ABC 120 , ABC 的平分线 交AC 于点D ，且BD 1，则4a c 的最小值为 _________ .7. 【2018浙江卷13】在厶ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c •若a= 7，b=2, A=60°，贝U sin B= _________ , c= _________.、填空题B .三.解答题1. [2018 全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，ADC 90°, A 45°, AB 2 , BD 5.12. 【2018 北京卷15】在厶ABC 中，a=7, b=8, cosB=—.(△)求/ A ；(△)求AC边上的高.3. 【2018天津卷15】在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinAacos(B ). 6(I)求角B的大小；(II)设a=2, c=3,求b和sin(2A B)的值.4. 【2018江苏卷16】已知，为锐角‘tan 3 ,迹()舟.(1)求cos2的值；(2)求tan( )的值.5. 【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN (P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚U内的地块形状为△ CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为.(1)用分别表示矩形ABCD和厶CDP的面积，并确定sin的取值范围；(2)若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚U内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 ：3 .求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.6. 【2018浙江卷18】已知角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P345'(I)求sin (a + n 的值; (U)若角B满足sin (a+B=13，求cos B的值・7.【2018上海卷18】设常数a R，函数f(x) a sin 2x c 22cos x(1)若f(x)为偶函数，求a的值; (2) 若〔匸〕1，求方程f(x) 1 .2在区间［，的解.参考答案、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D、填空题 1. 3.3223. 34.235. 7.3 ；37三•解答题 1.解: (1)在厶ABD中，由正弦定理得一BLsin AABsin ADB由题设知,5sin 452 sinADB，所以sin ADB -5由题设知, ADB 90，所以cos ADB 1225 5(2)由题设及(1) 知, cos BDC sin ADB 辽在△ BCD 中,5 由余弦定理得2 2 2BC BD DC 2 BD DC cos BDC 25 8 25. 所以BC 5.32.解：(1)在厶ABC 中,1 n _________________________________ 2—T cosB= —7 ,二 B €( — , n ，二 sinB= 1 cos B<3 7由正弦定理得—sin A bsin B8 -二=<3，二 sinA= £ . T B €( f ,sin A227•- A €( 0,亍)，(n )在厶ABC 中,■/ sinC=sin (A+B ) =sinAcosB+sinBcosA=—3 21 (-)71 4.3_ 3.3 2714女口图所示，在△ ABC 中sinC=g ,二 h=BC sinC = 7 3 弓BC14••• AC 边上的高为子.3.解：在厶ABC 中，由正弦定理— sin A—，可得 bsinA asinB sin B又由 bsinA acos(B n ),6得 as in B acos(B n ),6即sinB cos(B ，可得tanB 3 .又因为 B (0 ,可得(n)解：在△ ABC 中,由余弦定理及a =2, c=3, B =^,有 b 2 a 2 c 2 2accosB 7，故 b= J7 .由 bsin A acos(B —), 6可得sin A因为 a<c , 故cosA因此 sin 2 A 2sin AcosA2,cos2 A 2cos A所以，si n(2A B)sin 2Acos Bcos2 A sinB ^^3 73 3 3 2144.解：(1)因为tan4, tan 3汇，所以sin4c o s cos因为sin 22cos1，所以 2cos25，因此,cos222cos7 25(2)因为，为锐角，所以(0, n .又因为cos()寻，所以sin()厂曲( )害，因此tan( ) 2.因为tan -，所以tan232ta n 242 , 1 tan 7因此，tan( ) tan[2 ( )]；+；爲；：；(—5 2115•解：(1)连结PO并延长交MN于H,贝U PH丄MN , 所以OH=10.过O作OE丄BC于E,贝U OE// MN，所以/ COE书故OE=4Ocos0, EC=40sin B,则矩形ABCD 的面积为2X40cos((40sin 0 +10=800(4sin 0 cos 0 +cOs B △ CDP的面积为 1 x 2X 40co(40 - 40sin) 0=1600 (cos 0 - sin 0)cos 0过N作GN丄MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10 .令/GOK=0,则sin0=4 2(0, n)・当濮[0, n)时，才能作出满足条件的矩形所以sin(的取值范围是[〔，1).4答：矩形ABCD的面积为800 (4sin 0 cos 0 +cQs平方米，△ CDP的面积为1600 (cos 0 - sin 0)cos0n 的取值范围是[1 , 1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3,设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k (k>0).则年总产值为4k X 800(4sin 0 cos 0 +cbs+Bk x 1600( cos 0 - sin 0 cos 0=8000k (sin 0 cos 0 +)s [ 0, n)2设 f ( 0) =sin 0 cos 0 +cos 0€ [ 0, n),2则f'( ) cos2sin2 sin (2sin2 sin 1) (2sin 1)(sin 1).令 f'( )=0，得 B =,6当9€( (0, n 时，f '( )>0，所以f (0)为增函数;6当0€(J ,匸)时，f '( )<0 ,所以f (0)为减函数,6 2因此，当0=时，f ((取到最大值.6答：当吧时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大•［来源:学§科§网］,］时，即2x(U)由角的终边过点 P( 3,得cos35 55由 sin() —得 cos( )121313由( )得coscos()cossin( )s in,5616所以cos或cos6565 .解：(1) f(x ； )asin 2x2 cos 2 x 1 1 =asi n2x cos2x 1 ,6. ( I)由角的终边过点P(4)得 sin 5所以sin( 冗)sin -5f ( x) a sin(当f (x)为偶函数时：f (x)f( x)，则 a a，解得a 0 o2(2) f ( ) a sin 2 cos —,424由题意f (一)a 13 1 ,4、.3sin 2x 2cos 2 xa .3 , f (x) 3sin2x cos2x1 2sin(2x6)1,令 f (x) 1血，则2sin 2x1151319解得：x ,2424，24或x248. 解: (1) f(x)asin 2x c 22cos x 1 1 = asin2x cos2x 1 , f( x) a sin( 2x)cos(2x)1asin2x cos2x 1当f(x)为偶函数时:f(x)f( x)，则a a，解得a 0。

高三数学复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第四章 三角函数解三角

高三数学复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第四章 三角函数解三角

2018版高三数学一轮复习（3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升）第四章三角函数解三角形试题理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高三数学一轮复习（3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升）第四章三角函数解三角形试题理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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专题四三角函数、解三角形考点1 三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式1。

（2016·全国Ⅲ，5）若tan α＝34，则cos2α＋2sin 2α＝（）A.错误!B.错误!C.1 D。

错误!1。

A tan α＝34，则cos2α＋2sin 2α＝cos2α＋2sin 2αcos2α＋sin2α＝错误!＝错误!。

2.(2015·重庆，9)若tan α＝2tan 错误!，则错误!＝( ）A.1 B。

2 C。

3 D.42。

C [错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝3.]3.(2014·大纲全国，3）设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°,则( ）A。

a〉b〉c B。

b>c〉a C.c>b>a D。

c>a〉b3。

C ［∵b＝cos 55°＝sin 35°〉sin 33°＝a，∴b〉a。

又c＝tan 35°＝错误!>sin 35°＝cos 55°＝b，∴c〉b.∴c〉b>a。

专题4.3 解三角形-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(解析版)

专题4.3 解三角形-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(解析版)


tan A 3 ，所以 A
2 .在 △ABC 中，由余弦定理得 3
2
28 4 c 2 4c cos
2 ，即 c 2 2c 24 0 .解得： c 6 (舍去)， c 4 . 3
(2)由题设可得 CAD
，所以 BAD BAC CAD .故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为 2 6
又 cos DBC 1 2sin 2 DBF
1 10 10 ， cos BDC sin DBF ， , sin DBF 4 4 4
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
综上可得，△BCD 面积为
15 10 ， cos BDC ． 2 4 a2 3sin A
3. 【2017 课标 1，理 17】△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为 （1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长.
a 1， 4， 5 ， cos C 5 13
则b 【答案】
．
21 13
7． 【2016 高考上海理数】已知 ABC 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________. 【答案】
7 3 3
a 2 b2 c2 1 3 c 7 3 ，∴ sin C ，∴ R 2ab 2 2 2sin C 3
大值 1 . 9． 【2016 高考新课标 1 卷】 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cos C (a cos B+b cos A) c. （I）求 C； （II）若 c
（2）由（1）知 A C
3 ， 4 3 2 2 A) 2 cos A cos A sin A 4 2 2
三年高考(2016-2018)高考数学试题分项版解析 专题11 解三角形 理(含解析)

三年高考(2016-2018)高考数学试题分项版解析 专题11 解三角形 理(含解析)

专题11解三角形考纲解读明方向1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.2018年高考全景展示1．【2018年理数全国卷II 】在中，，，，则A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.【2018年浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sin B=___________，2．c=___________．【答案】 3点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.3．【2018年全国卷Ⅲ理】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得。

详解：由题可知，所以，由余弦定理，所以，，，故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。

4．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.5．【2018年理数天津卷】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．6．【2018年理北京卷】在△ABC中，a=7，b=8，cos B= –．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【答案】(1) ∠A= (2) AC边上的高为【解析】分析：（1）先根据平方关系求sinB,再根据正弦定理求sinA，即得∠A；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得AC边上的高．详解：解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cos B=–，∴B∈（，π），∴sin B=．由正弦定理得=，∴sin A=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．（Ⅱ）在△ABC中，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+sin B cos A==．如图所示，在△ABC中，∵sin C=，∴h==，∴AC边上的高为．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.7．【2018年理新课标I卷】在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.【答案】 (1) .(2).【解析】分析：(1)根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果.详解：（1）在中，由正弦定理得.由题设知，，所以.由题设知，，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.2017年高考全景展示1.【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】试题分析：sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A. 【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.2.【2017浙江，14】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【解析】试题分析：取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos ,sin 4DBC DBC ∴∠=-∠==，BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△又21cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，cos sin BDC DBF ∴∠=∠=，综上可得，△BCD 面积为2，cos 4BDC ∠=．【考点】解三角形【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．3.【2017课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A =，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC △的周长为3.试题解析：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.【考点】三角函数及其变换.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.4.【2017课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=， （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。