讲++电容、电容器静电场的能量

∫ U A −U B =
RB
K E
⋅
K dr
RA
RB
ORA A B
q
ε -q
=
q
4πε
⎜⎜⎝⎛
1 RA
−
1 RB
⎟⎟⎠⎞ =
q
4πε
RB − RA RA RB
C = q = 4πεRA RB
U A −U B RB − RA
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9
例：已知平板电容器，两极板间距为d，面积
为S，电势差为ΔU，其中放有一层厚度为t的
2πε
B
Kr
K
λ
--
U AB
B
= A =
E ⋅ dl λ
ln
=
R2
=
R2 R1
q/L
λ 2πε r
R2
A-
C=
q
2πε = λL
R1 /(
λ
ln R2
U AB
2πε R1
dr
)
-+ + + -
= 2πε L /(ln R2 )
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R1
8
3.球形电容器
设A带电q ，则
E= q
4πεr 2
(RA < r < RB )
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12
E
=
σ ε 0ε r
=
q
Sε 0ε r
=
ε
r
ΔU
(d − t
)
+
t
空气中的D0、E0
D0 = σ
=
q S
=
ε 0ε r Δ U ε r (d − t) + t
E0
=
σ ε0
=
q
Sε0
=
ε rΔU
ε r (d − t ) + t
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13
总结电容的计算过程：
●设正极带电q ，写出两极间的电场强度
表达式（一般由高斯定理求出）。
∫ ●由公式
UA −UB =
BK G E ⋅ dl
A
求出 U A − U B
●由定义
C= q UA −UB
求出电容C。
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电容器的击穿问题：
1.U AB ≤ U *(电容器耐压值)
2.E ≤ E*(击穿场强)
(一般內极板表面场强大，容易击穿)
电容器的连接
1.串联
均匀电介质，其相对电容率为εr，求电容C、
每个极板所带电量q及介质中的E、D和空气中
的E0、D0。
+σ
−σ
解：极板中电场为零。
取高G 斯面GS1，有
∫ D ⋅dS = DΔS s1
= ∑ qi = σΔS
所以介质中 D = σ = q
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S
+ s1 - + - + -
+
-
S+ - + - + -
2)设两极板间的引力为F，则F=F外，即外
力反抗极板间的电场力做功
A = F外d = Fd
∴ F = A = q2d = q2
d 2ε 0ε r Sd 2ε 0ε r S
极板间的力
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下次课交练习二作业
检查是否已写清楚序号、姓名、专业
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A、B组合的容电性质。
定义：电容器的电容
C = qA UA −UB
C 取决于A、B 的大小、形状和 相对位置，并与
BN
qA
A
A、B之间的介
质有关。
M
−qA
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三、电容的计算
1.平行板电容器(忽略边缘效应 (d 2 << S ) )
设两极板电荷面密度 + q A
分别为±σ，则两板
间电场
ε = ε0ε r
如果ε1 = ε2，
则：W內 = 1 W外 5
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总结： 计算空间某体积内电场能量的方法
K ●用高斯定理求 E分布；
●写出
we
=
1 εE 2
2
∫ ●积分 We = V wedV
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例3：一平板电容器面积为S，间距d，用电源
充电后，两极板分别带电为+q和-q，断开电
源，再把两极板拉至2d ，
+
-
+ -+ -+ -
A
t
B
d
10
E= D =σ = q ε ε Sε 0ε r
同理取S2，得空气中
D0
=σ
=
q S
E0
=
D0
ε0
=
σ ε0
=
q
Sε 0
+σ
−σ
+ +
s1
-+
-+
-
S+ - + - + -
+ s2
+
-+
-+
-
A
t
B
d
两极板间的电势差 Δ U = E 0 ( d − t ) + E t
+-
能增加。充电完毕，两极板间
电势差为U，极板上电量为Q.
中间过程：极板间的电势为u，极板上的电量为
q，则将dq从B板移至A板，电源做功为
dA = udq = q dq
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C
18
电源所做总功
A
=
∫ dA
=
∫0Q
q C
dq
=
1 Q2 2C
电源做功A等于电容器贮存的电能W ：
W = 1 Q 2 = 1 CU 2 = 1 UQ
= t + ε r (d − t) q
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ε 0ε r
S 11
所以，电容器的电容为
C = q = εrε0S ΔU εr (d − t) + t
极板上所带的电量
q = CΔU
=
ε 0ε r S ΔU
ε r (d − t ) + t
介质中的D、E
D = σ = q = ε 0ε rΔU S ε r (d − t) + t
3
电容C 的物理意义：
使导体升高单位电压所需的电量。C = q U
●电容反映的是导体容纳电荷的能力，仅由 导体的几何形状、大小及周围介质决定，而 与导体带电的多少及是否带电无关。
(a)
(b)
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(c)
4
二、电容器及其电容
实际中不存在孤立导体。而导体之间、导体与
介质之间相互作用，将影响整个空间电位分布.
d
E=σ = σ ε ε 0ε r
−q B
UA
−UB
=
Ed
=
σ ε
d
=
qd
εS
介质中：C = ε S
d
C
= UA
q −UB
=
εS
d
= εrC0
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真空中：C0
=
ε0S
d
7
2.圆柱形电容器
同心圆柱及圆筒，半径分别为R1、R2
∫ ∫ L
--+
-+
-
-
-
+ ++ R1
++
-
-
长为ELK （=L>>λR2-rRˆ 1）
§10-9 电容、电容器（Capacitance 、Capacitor) 电容器是一种储能元件。
纸质电容器 陶瓷电容器
电解电容器
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钽电容器
可变电容器
1
一、孤立导体的电容
孤立导体---其周围不存在其它导体、电介质
或任意带电体。
例：孤立导体球的电势 U = q ∝ q
而比值
q U
=
4πε 0 R
w = dW = 1 εE 2 = 1 DE
dV 2
2
对于一般情况(如非均匀场、交变场)
dV 体积中的电场能量为：
dW = wdV = 1 εE 2dV
2
整个空间中的电场能量：
∫ ∫ W = wdV = 1 εE 2dV
V
V2
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对于各向异性场：
w
=
1
KK D ⋅E
2
KK 此时D与E一般不同方向。
∫ 总的电场能： W = V w w dV
=
∫V
(1 2
K D
K ⋅ E ) dV
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例1：计算球形电容器两极板分别充电至 ±Q时，其电场的能量。
解：
E
=
Q
4πε
r2
能量密度
w
=
1 εE 2
2
=
ε
2
⎜⎛ ⎝
Q
4πεr 2
⎟⎞2 ⎠
O RA RB
取半径为r，厚为dr的球壳，则
dW
=
wdV
=
ε1 ε2
d1 d2
C1 C2
S
1= 1+ 1 C C1 C2
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C = C1C2 C1 + C2
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2.并联
ε1 ε2
a
d
C1 C2 C3
U
S1
S2
b
a
U
C C = C1 + C2 + C3 + C4
b
U c = U c1 = U c2 = U c3 = U c4
qab = qc1 + qc2 + qc3 + qc4
ε ⎜⎛
2⎝
Q
4πεr 2
⎟⎞2 ⎠
⋅ 4πr 2dr
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∫ ∴W = RB Q2 dr =
Q2
= 1 Q2
RA 8πεr2
8πε RARB 2 C
RB − RA
例2：求均匀带电球体内外的电场能。已知
球体带电量为Q、半径为R，内外电容率分
别为ε1和ε2。
解： 由高斯定理求出
ε2 R
E內
=
此时某导体的电容C不能再以比值q /U来反映。
解决办法---利用静电屏
蔽原理可消除外界对所 研究导体的影响。
电容器
+ ++++++++
对于非孤立导体，定义带
等量异号电荷的两个导体
组合为电容器。
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5
♠A、B称为电容器的两极。
♠qA增大时，两极电势差ΔU成比例地增大。
所以比值qA/(UA-UB)与qA及ΔU无关，反映了
Qr
4πε1R3
E外
=
Q
4πε2r 2
ε1 Q
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∫ ∫ W內
=
V內
1ε
2
1
E內2 dV = R ε1
02
⎜⎜⎝⎛
Qr
4πε1R3
⎟⎟⎠⎞2 4πr 2dr
=
Q2
40πε1R
∫ ∫ W外
=
V外
1ε
2
2
E外2 =
dV
∞ε 2
R2
⎜⎜⎝⎛
Q
4πε2r 2
⎟⎟⎠⎞2 4πr 2dr
=
Q2
8πε 2 R
4πε 0 R
与q无关。
实验证明，对任意孤立导体有：
q =C U
C 是与q，U 无关的常数。
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2
定义：孤立导体的电容 C = q U
决定因素：孤立导体的几何尺寸和形状。
单位：
[C
]
=
[q] [U ]
=
法拉(F)
辅助单位： 微法 微微法
1μF = 10−6 F 1μμF = 10−12 F
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分析：一带电系统形成的过程，就是其电场
建立的过程。所以从场的观点来看，带电体
系的能量就是电场的能量。
●静电系统的能量定域在电场中。
以电容器为例：
V = Sd
W = 1 CU 2 = 1 εS E 2 d 2 = 1 εE 2V
2
2d
2
●电容器的能量贮存在电场中，即为电场能.
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21
定义： 电场能量密度 (单位体积中的电场能量)
若形成一电量Q的带电体，则需不断地从无穷
远处搬运dq到该带电体上，故外力所做总功为
Q
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A = ∫ dA = ∫0 udq
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静电场力是保守力，外力所做的功将全部转化
为带电体的静电能，即
AB
∫ ∫Q
W = A = dA = udq 0
+
+q +
- -q
例：求平板电容器的电能
+u -
过程：电源做功，电容器电势
2C 2
2
例：求带电Q半径为R的导体球的静电能。
解：
Q
W = A = ∫0 udq
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当球带电q 时，u
=
q
4πε R
∫ W
=
Qq dq
0 4πεR
= Q2
8πεR
= Q2 2C
推广：对任何结构的电容器，均有
W = 1 Q 2 = 1 CU 2 = 1 UQ
2C 2
2
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二、电场的能量 问题：带电系统的能量究竟贮存在何处？
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§10-13 静电场的能量(Energy of Electric Field)
一、带电体系的能量 在电场中，将电荷dq由a 点移至无穷远点时电 场力做功为
d A = (u a − u ∞ ) d q = u a d q (设 u∞ = 0)
反之，将dq由无穷远点移至a点时外界需克服
电场力做功 dA = uadq
试求：外力克服电力所做的功。 两极板间的相互作用力？
q
解：1)根据功能原理可知，外力
的功等于系统能量的增量。
−q
初态
d
故外力的功为
A = ΔW = q2 − q2 2C2 2C1
q −q
末态
2d
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A = q 2 C1 − C2 = q 2 d = q 2
2 C1C 2
2 ε 0ε r S 2C1