文科数学解三角形专题高考题 练习 附答案

2025 届高考数学复习：历年高考真题、模拟题专项（解三角形的实际应用）阶梯练习基础巩固练1.(2024ꞏ河北高三学业考试)如图,一艘船沿正北方向航行,航行速度为每小时30海里,在A处看灯塔S 在船的北偏东30°的方向上.1小时后,船航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东75°的方向上,则船航行到B处时与灯塔S的距离为()A.15√2海里B.15√6海里C.30√2海里D.10√6海里2.(2024ꞏ河南驻马店模拟)如图,某景区为方便游客,计划在两个山头M,N间架设一条索道.为测量M,N 间的距离,施工单位测得以下数据:两个山头的海拔高度MC=100√3 m,NB=50√2 m,在BC同一水平面上选一点A,测得M点的仰角为60°,N点的仰角为30°,以及∠MAN=45°,则M,N间的距离为()A.100√2 mB.120 mC.100√3 mD.200 m3.(2024ꞏ宁夏银川模拟)某社区为了美化社区环境,欲建一块休闲草坪,其形状如图所示为四边形ABCD,AB=2√3,BC=4(单位:百米),CD=AD,∠ADC=π,且拟在A,C两点间修建一条笔直的小路(路的宽3度忽略不计),则当草坪ABCD的面积最大时,AC=()A.2√7百米B.2√10百米C.2√13百米D.2√19百米4.(2024ꞏ安徽合肥模拟)如图,某地需要经过一座山两侧的D,E两点修建一条穿山隧道.工程人员先选取直线DE上的三点A,B,C,设在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为15°,B处的俯角为45°,C处的俯角为30°,且测得AB=1.4 km,BD=0.2 km,CE=0.5 km,则拟修建的隧道DE的长为km.5.(2024ꞏ河北沧州模拟)汾阳文峰塔建于明末清初,位于山西省汾阳市建昌村,该塔共十三层,雄伟挺拔,高度位于中国砖结构古塔之首.如图,某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB,选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C,D,E,现测得∠BCD=30°,∠BDC=70°,∠BED=120°,BE=17.2 m,DE=10.32 m,在点C测得塔顶A的仰角为62°.参考数据:tan 62°≈1.88,sin70°≈0.94,√144.9616=12.04.(1)求BD;(2)估算塔高AB(结果精确到1 m).综合提升练6.(2024ꞏ江西南昌模拟)八一广场是南昌市的心脏地带,八一南昌起义纪念塔是八一广场的标志性建筑,塔座正面镌刻“八一南昌起义简介”碑文,东、西、南三门各有一幅反映武装起义的人物浮雕,塔身正面为“八一起义纪念塔”铜胎鎏金大字,塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成.现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量,并绘制出测量方案示意图,A为纪念塔最顶端,B为纪念塔的基座(B在A的正下方),在广场内(与B在同一水平面内)选取C,D 两点,测得CD的长为m.已知兴趣小组利用测角仪可测得的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADC,∠BDC,则根据下列各组中的测量数据,不能计算出纪念塔高度AB的是()A.m,∠ACB,∠BCD,∠BDCB.m,∠ACB,∠BCD,∠ACDC.m,∠ACB,∠ACD,∠ADCD.m,∠ACB,∠BCD,∠ADC7.(2024ꞏ河北衡水中学校考)据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带,测定台风中心位于某市南偏东60°,距离该市400千米的位置,台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动,在距离台风中心350千米的范围内都会受到台风影响,则该市从受到台风影响到影响结束,持续的时间为小时.8.(2024ꞏ湖南邵阳模拟)人类从未停止对自然界探索的脚步,位于美洲大草原点C处正上空100√3 m 的点P处,一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍.已知位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥饿的猎豹,猎豹正盯着其东偏北15°方向上点B处的一只羚羊,且无人机拍摄猎豹的俯角为45°,拍摄羚羊的俯角为60°,假设A,B,C三点在同一水平面上.(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度;(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近,且开始以25 m/s的速度出击,与此同时机警的羚羊以20 m/s的速度沿北偏东15°方向逃跑,已知猎豹受耐力限制,最多能持续奔跑600 m,试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能?请说明原因.创新应用练9.某市民活动中心内有一块以O为圆心,半径为20米的半圆形区域,为丰富市民的业余文化生活,现提出如下设计方案:如图,在半圆形区域内搭建露天舞台,舞台为扇形OAB区域,其中两个端点A,B分,别在圆周上,观众席为等腰梯形ABQP内且在半圆O外的区域,其中AP=AB=BQ,∠PAB=∠QBA=2π3且AB,PQ在点O的同侧,为保证视听效果,要求观众席内每一个观众到舞台中心O处的距离都不超).过60米(即要求PO≤60),设∠OAB=α,α∈(0,π3(1)当α=π时,求舞台表演区域的面积及AB的长;6(2)对于任意α,上述设计方案是否均能符合要求?请说明理由.参考答案1.A 答案解析 由题意得,在△ABS 中,∠BAS=30°,AB=30,∠BSA=75°-30°=45°,由正弦定理得AB sin∠BSABS sin∠BAS ,即30sin45°BSsin30°,解得BS=15√2(海里).2.A 答案解析 由题意,可得∠MAC=60°,∠NAB=30°,MC=100√3 m,NB=50√2 m,∠MAN=45°,且∠MCA=∠NBA=90°,在Rt △ACM 中,可得AM=MCsin60°=200 m,在Rt △ABN 中,可得AN=NBsin30°=100√2 m,在△AMN 中,由余弦定理得MN 2=AM 2+AN 2-2AM ꞏAN cos ∠MAN=20 000,所以MN=100√2 m .3.C 答案解析 设∠ABC=θ,0<θ<π,在△ABC 中,AC 2=42+(2√3)2-2×4×2√3cos θ=28-16√3cos θ.由CD=AD ,∠ADC=π3,所以△ABC 为等边三角形.所以S 四边形ABCD =S 三角形ABC +S 三角形DAC =124×2√3sin θ+√34AC 2=4√3sin θ+√34(28-16√3cos θ)=7√3+8√3sin(θ-π3),当θ-π3 π2,即θ=5π6时,草坪ABCD 的面积最大,此时AC=√28 24=2√13.4.0.7 答案解析 由题意知,∠PAD=15°,∠PBD=45°,∠PCE=30°,∠APB=30°.在△PAB 中,由正弦定理得AB sin∠APBPB sin∠PAB ,即1.4sin30°PBsin15°,所以PB=2.8sin 15°.在△PBC 中,因为∠BPC=180°-∠PBD-∠PCE=180°-45°-30°=105°,由正弦定理得PB sinCBC sin∠BPC ,即PBsin30°BCsin105°,所以BC=PBsin30°sin 105°=2PB×sin 105°=5.6×sin 15°×sin 105°=5.6×sin 15°×cos 15°=2.8sin 30°=1.4(km),所以DE=BC-BD-EC=1.4-0.2-0.5=0.7(km),即拟修建的隧道DE 的长为0.7 km . 5.解 (1)在△BDE 中,由余弦定理得BD 2=BE 2+DE 2-2BE ꞏDE ꞏcos ∠BED , 则BD= 17.2 10.32 -2 17.2 10.32 cos120° √579.846 4=2√144.961 6=2×12.04=24.08 m .(2)在△BCD 中,由正弦定理得BD sin∠BCDBCsin∠BDC, 则BC=BD ꞏsin∠BDC sin∠BCD24.08 0.941245.27 m,在Rt △ABC 中,∠ACB=62°,所以AB=BC ꞏtan ∠ACB ≈45.27×1.88≈85.11≈85 m,故塔高AB 约为85 m .6.B 答案解析 对于A,由m ,∠BCD ,∠BDC 可以解△BCD ,又AB=BC ꞏtan ∠ACB ,可求塔高度AB ,故选项A 能计算出纪念塔高度AB ;对于B,在△BCD 中,由CD=m ,∠BCD 无法解三角形,在△ACD 中,由CD=m ,∠ACD 无法解三角形,在△BCA 中,已知两角∠ACB ,∠ABC 无法解三角形,所以无法解出任意三角形,故选项B 不能计算出纪念塔高度AB ;对于C,由CD=m ,∠ACD ,∠ADC 可以解△ACD ,可求AC ,又AB=AC ꞏsin ∠ACB ,即可求塔高度AB ,故选项C 能计算出纪念塔高度AB ;对于D,如图,过点B 作BE ⊥CD 于点E ,连接AE ,由题意知,AB ⊥平面BCD ,CD ⊂平面BCD ,所以AB ⊥CD ,因为BE ∩AB=B ,BE ,AB ⊂平面ABE ,所以CD ⊥平面ABE ,AE ⊂平面ABE ,所以CD ⊥AE ,则cos ∠ACE=EC AC,由cos ∠ACB=BC AC,cos ∠BCD=EC BC,cos ∠ACE=EC AC,知cos ∠ACE=cos ∠ACB ꞏcos ∠BCD ,故可知∠ACD 的大小,由∠ACD ,∠ADC ,m 可解△ACD ,故可求出AC ,又AB=AC ꞏsin ∠ACB ,即可求塔高度AB ,故选项D 能计算出纪念塔高度AB.7. 52答案解析 如图,假设A 点为某市的位置,B 点是台风中心在向正北方向移动前的位置.设台风移动t 小时后的位置为C ,则BC=40t.又∠ABC=60°,AB=400,在△ABC 中,由余弦定理,得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ꞏBC cos 60°=4002+(40t )2-2×400×40t 12=1 600t 2-16 000t+160 000,令AC ≤350,则1 600t 2-16 000t+160 000≤3502,整理可得16t 2-160t+375≤0,解得154t254,又254 15452,所以该市从受到台风影响到影响结束,持续的时间为52小时.8. 解 (1)由题意作图如右,则∠PAC=45°,∠CBP=60°,∠BAC=45°-15°=30°,AC=PCtan∠PAC=100√3m,BC=PCtan∠CBP=100 m .由正弦定理得AC sin∠ABCBCsin∠BAC, 即sin ∠ABC=AC ꞏsin∠BACBC√32.因此∠ABC=60°或120°,当∠ABC=60°时,∠ACB=90°,猎豹与羚羊之间的距离AB=√AC BC =200 m,当∠ABC=120°时,∠ACB=∠BAC=30°,猎豹与羚羊之间的距离AB=BC=100 m .(2)猎豹这次捕猎不成功.理由如下,由题意知AC<AB ,所以结合(1)知AB=200 m .由题意作图如右,设捕猎成功所需的最短时间为t ,在△ABQ 中,BQ=20t ,AQ=25t ,AB=200,∠ABQ=120°.由余弦定理得AQ 2=BQ 2+AB 2-2BQ ꞏAB cos ∠ABQ , 即625t 2=400t 2+2002-2×20t×200×(-12). 整理得9t 2-160t-1 600=0.设f (t )=9t 2-160t-1 600,显然f (0)<0,f (809)<0,因为猎豹能坚持奔跑最长时间为60025=24 s,且f (24)=-256<0,所以猎豹不能捕猎成功.9.解 (1)由题意知OA=OB=20,又α=π6,∴∠AOB=π-2 π62π3, ∴S 扇形AOB =122π3 202=400π3, AB= OA OB -2OA ꞏOBcos 2π3=20√3, 即舞台表演区域的面积为400π3平方米;AB 的长为20√3米.(2)均能符合要求.理由如下, ∵α∈(0,π3),∴cos α>0.在△AOB 中,由余弦定理得AB= OA OB -2OA ꞏOBcos (π-2α)=40cos α,即PA=40cos α, 又∠OAP=2π3+α,∴PO 2=OA 2+PA 2-2OA ꞏPa cos(2π3+α)=400+1 600cos 2α-1 600cosαcos(2π3+α)=400(6cos 2α+2√3sin αcos α+1)=400(3cos 2α+√3sin 2α+4)=800√3sin(2α+π3)+1 600. ∵0<α<π3,∴π3<2α+π3<π, ∴0<sin(2α+π3)≤1,∴P O=1 600+800√3, ∴PO max =20√3+20<60,即观众席内每一个观众到舞台中心O 处的距离都不超过60米, ∴对于任意α,上述设计方案均能符合要求。

2024届新高考数学复习：专项（正弦定理、余弦定理及解三角形）历年好题练习[基础巩固]一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3 ，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．25．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23 ，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．66．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7．钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( ) A ．5 B ．5 C ．2 D ．18．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522 m9．在△ABC 中，cos C 2 ＝5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A ．42 B ．30 C ．29 D ．25二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13 ，则cos (π＋B )＝________．12．[2023ꞏ全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．[提升练习]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ꞏcos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 14．[2023ꞏ全国甲卷(理)]已知四棱锥P -ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．6215．[2022ꞏ全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB 取得最小值时，BD ＝________．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于________．参考答案1．C 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×33＝2，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4 .2．C 由正弦定理bsin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin C c ＝40×320 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．C 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12 ，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 . 4．C 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12，∴sin A ＝1－cos 2A ＝3 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×3 ＝3 . 5．D ∵b sin A ＝3c sinB ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ꞏcos B ＝9＋1－2×3×23 ＝6，∴b ＝6 .6．B ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．B ∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22 ，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ꞏBC ꞏcos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ꞏBC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22 ＝5，∴AC ＝5 .8．A 由正弦定理得ACsin B ＝AB sin C ，∴AB ＝AC ꞏsin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°）＝502 . 9．A ∵cos C 2 ＝5 ，∴cos C ＝2cos 2C 2 －1＝2×⎝⎛⎭⎫55 2－1＝－35 .在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ꞏBC ꞏcos C ＝25＋1－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35 ＝32，所以AB ＝42 ，故选A.10.23 π答案解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23 π.11．①90° ②－13答案解析：①∵c ＝a ꞏcos B ，∴c ＝a ꞏa 2＋c 2－b 22ac ，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cosB ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．2答案解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC ＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×ADsin 30°，所以AD ＝23ACAC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6ACAC ＋2.由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC （AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.13．AB ∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×3 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7 <0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．C如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ꞏAC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ꞏBC＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ꞏBC sin ∠PCB ＝42 ，故选C.15.3 －1答案解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4 ，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2 ＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16.125答案解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125 .。

⾼考数学解三⾓形专题复习100题（含答案详解）2018年⾼考数学解三⾓形专题复习100题1.如图在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，，BC=2BD.（1）求的值；（2）求sinC的值.2.△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知 .求sinA和c的值.3.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上⼀点，且AD AC,求△ABD的⾯积．4.在中，内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，．（1）若，求c的值；（2）若，求的⾯积．5.的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．（1）求c；（2）设为边上⼀点，且，求的⾯积．6.在△ABC中， =60°，c= a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的⾯积.7.△ABC的三个内⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A= a.(1)求；2228.△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为、、，且.（1）若，求的值；（2）若，求的值.9.的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c，其中，且，延长线段到点，使得.（Ⅰ）求证：是直⾓；（Ⅱ）求的值.10.在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求⾓A的值；(2)若的⾯积为，△ABC的周长为，求边长a.11.为绘制海底地貌图，测量海底两点C,D间的距离，海底探测仪沿⽔平⽅向在A,B两点进⾏测量，A,B,C,D在同⼀个铅垂平⾯内. 海底探测仪测得同时测得海⾥。

（1）求AD的长度;（2）求C，D之间的距离.12.在中，⾓A,B,C对边分别为a,b,c，⾓，且.（1）证明：；（2）若⾯积为1，求边c的长.（Ⅰ）求B0的值；（Ⅱ）当B=B0,a=1,c=3,D为AC的中点时，求BD的长．14.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求⾓C；（Ⅱ）若c=，△ABC的⾯积为，求△ABC的周长．15.在中，⾓，，的对边分别是，，，已知，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ) 若⾓为锐⾓，求的值及的⾯积．16.在△ABC中，已知.（1）求的长；（2）求的值.17.△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量与平⾏.(I)求A；(II)若,求△ABC的⾯积.18.的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c,已知的⾯积为．（1）求；（2）若，，求的周长．20.在△ABC中，⾓的对边分别为a，b，c, ，c=，⼜△ABC的⾯积为，求：(1)⾓的⼤⼩；(2)的值．21.在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2﹣sinB?sinC=．（1）求A；（2）若a=4，求△ABC⾯积的最⼤值．22.在△ABC中，已知⾓A,B,C的对边分别是a,b,c,且.（I）求⾓C的⼤⼩；（II）如果，，求实数m的取值范围.23.已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=?﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐⾓△ABC中，内⾓A．B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满⾜条件的A，求fA．的取值范围．24.设△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为，且．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求C．25.在△ABC中，a、b、c分别为内⾓A．B、C的对边，且2sinAcosC=2sinB﹣sinC．（1）求∠A的⼤⼩；（2）在锐⾓△ABC中，a=，求c+b的取值范围．26.在ABC中，（I）求的⼤⼩（II）求的最⼤值27.设函数，其中向量，，.（Ⅰ）求的最⼩正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是⾓A．B、C的对边，已知fA．=2，b=1，△ABC的⾯积为，求的值.28.△ABC中，⾓A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．（Ⅰ）求C的⼤⼩；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最⼤值．29.已知A ．B 、C 是△ABC 的三内⾓，向量m=(－1，3)，n=(cosA ，sinA)，且m ·n=1.(1)求⾓A ；(2)若3)4tan(-=+B π，求tanC.30.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且C=（Ⅱ）若△ABC 的⾯积为3，求c 的值．31.在△ABC 中，a,b,c 分别为内⾓A,B,C 的对边，且（Ⅰ）求A 的⼤⼩；（Ⅱ）求的最⼤值.32.△ABC 的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC （acosB+bcosA ）=c ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c=，△ABC 的⾯积为，求△ABC 的周长．33.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且。

专题19 解三角形一、单选题（本大题共10小题，共50分）1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosC=b，则△ABC的形状是()A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形2.如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5√3，CD=5，BD=2AD，则AD的长为()A. 4B. 5C. 6D. 73.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是()A. 10√3海里B. 10√63海里 C. 5√2海里 D. 5√6海里4.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角A、C、B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，且CD=√3，a=3b，则c的值为()A. 3B. 72C. 4√73D. 2√35.如图，要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是π4，在D点测得塔顶A的仰角是π6，水平面上的，则电视塔AB的高度为（）mA. 20B. 30C. 40D. 506.为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为( )A.B. 3−√64km2C.D. 6−√34km27.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，AB=2√3，D是侧面BCC1B1的中心，球O与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD被球O截得的弦长为()A. √1010B. √105C. 3√1010D. 3√1058.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行，则△ABC一定是()A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰或者直角三角形9.海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，这里p=12(a+b+c)，a，b，c分别为▵ABC的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知▵ABC中，p=12，c=9，cosA=23，则该三角形内切圆半径()A. √2B. √3C. √10D. √510.在ΔABC中，若1sinA +1sinB=2(1tanA+1tanB)，则()A. C的最大值为π3B. C的最大值为2π3C. C的最小值为π3D. C的最小值为π6二、单空题（本大题共4小题，共20分）11.如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15∘、山脚A处的俯角为45∘，已知∠BAC=60∘，则山的高度BC为______m．12. 在四边形ABCD 中，AB =6，BC =CD =4，DA =2，则四边形ABCD 的面积的最大值是______．13. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D ，测得CD =45m ，∠ADB =135∘，∠BDC =∠DCA =15∘，∠ACB =120∘，则AB 两点的距离为______．14. 如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，若测得CD =4 km ，∠ADB =∠CDB =30°，∠ACD =60°，∠ACB =45°，则A ，B 两点间的距离是_______km ．三、解答题（本大题共4小题，共30分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且ccosB +bcosC =3acosB ．(1)求cos B 的值；(2)若|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，△ABC 的面积为2√2，求边b ．16. 在①2acosC +c =2b ，②cos 2B−C 2−cosBcosC =34，③(sinB +sinC)2=sin 2A +3sinBsinC 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 ． (1)求角A 的大小；(2)若a =2，求△ABC 面积的最大值．17. 设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，m⃗⃗⃗ =(cos C2,sin C2)，n ⃗ =(cos C2,−sin C2)，m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为π3． (1)求角C 的大小；(2)已知c =72，△ABC 的面积S =3√32，求a +b 的值．18. 某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，为迎接“五一”观光游，欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM 、PN ，其中M 、N 分别在边界AB 、AC 上，小径PM 、PN 与边界BC 的夹角都为60°，区域PMB 和区域PNC 内种植郁金香，区域AMPN 内种植月季花．(1)探究：观赏小径PM 与PN 的长度之和是否为定值？请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小？专题19 解三角形一、单选题（本大题共10小题，共50分）19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosC=b，则△ABC的形状是()A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】C解：∵b=2acosC，∴由正弦定理得sinB=2sinAcosC，∵B=π−(A+C)，∴sin(A+C)=2sinAcosC，则sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC，sinAcosC−cosAsinC=0，即sin(A−C)=0，∵A、C∈(0,π)，∴A−C∈(−π,π)，则A−C=0，∴A=C，∴△ABC是等腰三角形．故选：C．20.如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5√3，CD=5，BD=2AD，则AD的长为()A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】解：设AD=t，可得BD=2t，BC=√4t2−25，在直角三角形BCD中，可得cosB=√4t2−252t，在三角形ABC中，可得cosB=222⋅3t⋅√4t2−25，即为√4t2−252t =222⋅3t⋅√4t2−25，即2(4t2−25)=9t2−75，解得t=5，可得AD=5，故选：B．21.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是()A. 10√3海里B. 10√63海里 C. 5√2海里 D. 5√6海里【答案】D【解析】解：由题意可得，A=60°，B=75°，∠C=180°−60°−75°=45°根据正弦定理可得，BCsin60°=ABsin45°∴BC=10×√32√22=5√6故选D.22.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角A、C、B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，且CD=√3，a=3b，则c的值为()A. 3B. 72C. 4√73D. 2√3【答案】C【解析】解：由题意，得由S△ABC=S△ACD+S△BCD，得，所以ab=a+b，(b=0舍去)，所以3b2=4b，解得b=43故a=3b=4，故c=√a2+b2−2ab·cosC=4√73故选C．23.如图，要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是π，在D点测得塔顶A4的仰角是π，水平面上的，则电视塔AB的高度为6（）mA. 20B. 30C. 40D. 50【答案】A【解析】解：由题题意，设AB=x，则BD=√3x，BC=x在△DBC中，∠BCD=60°，CD=40，∴根据余弦定理，得BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cos∠DCB即：(√3x)2=(40)2+x2−2×40⋅x⋅cos60°整理得x2+20x−800=0，解之得x=−40(舍去)或x=20即所求电视塔的高度为20米．故选A．24.为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为( )A.B. 3−√6km24C.D. 6−√34km2【答案】D【解析】解：如图连接AC，根据余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB×BCcosB=3，即AC=√3，由于AC2+BC2=AB2，所以∠ACB=90°,∠BAC=30°，所以∠DAC=45°−30°=15°，∠DCA=105°−90°=15°，所以∠DAC=∠DCA所以△ADC为等腰三角形，设AD=DC=x，∠D=150°，由余弦定理x2+x2+√3x2=3⇒x2=3(2−√3)，故所求面积为12×1×√3+12×3(2−√3)×12=6−√34．故选D．25.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，AB=2√3，D是侧面BCC1B1的中心，球O与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD被球O截得的弦长为()A. √1010B. √105C. 3√1010D. 3√105【答案】D【解析】解：因为球O与直三棱柱ABC−A1B1C1的所有面均相切，且直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，所以球心O为该三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点，如图所示，设球O的球心为O，底面三角形ABC的重心为O′，连接OO′，则OO′⊥底面ABC．设BC的中点为E，连接AE，易知点O′在AE上，连接OD、DE，因为D是侧面BB1C1C的中心，所以四边形OO′ED为正方形，设球O的半径为r，则由AB=2√3，可得r=2√3×√32×13=1，易得AD=√3√32)=√10，连接OA，可得OA=√23)=√5，∴cos ∠ADO=DO2+AD2−AO22⋅DO⋅AD =3√1010，故所求弦长为2r⋅cos ∠ADO=3√105．故选D．26.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行，则△ABC一定是()A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰或者直角三角形【答案】C【解析】解：∵直线bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA=0平行，∴ba =cosAcosB，解得bcosB=acosA，∴利用余弦定理可得：b×a2+c2−b22ac =a×b2+c2−a22bc，整理可得：c2(b2−a2)=(b2+a2)(b2−a2)，∴解得：c2=a2+b2或b=a，而当a=b时，两直线重合，不满足题意；则△ABC是直角三角形．故选C．27.海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，这里p=12(a+b+c)，a，b，c分别为▵ABC的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知▵ABC中，p=12，c=9，cosA=23，则该三角形内切圆半径()A. √2B. √3C. √10D. √5【答案】D【解析】解：因为p=12(a+b+c)，所以a+b+c=2p，因为p=12，c=9，所以a+b=15，三角形的内切圆半径r=2Sa+b+c，由余弦定理得cos A=b2+c2−a2 2bc =23，所以(b−a)(b+a)+81=12b，即b−5a=−27，所以a=7，b=8，所以S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√12×(12−7)(12−8)(12−9)=12√5，所以r=√5，故选D28.在ΔABC中，若1sinA +1sinB=2(1tanA+1tanB)，则()A. C的最大值为π3B. C的最大值为2π3C. C的最小值为π3D. C的最小值为π6【答案】A【解析】解：因为1sin A +1sin B=2(1tan A+1tan B)，所以1sin A +1sin B=2(cosAsinA+cosBsin B)，所以sin A+sin Bsin Asin B =2·(sin BcosA+cosBsinA)sin Asin B=2·sin(A+B)sin Asin B =2·sinCsin Asin B，所以sinA+sinB=2sinC，由正弦定理得到：a+b=2c，所以cosC=a2+b2−c22ab =a2+b2−(a+b2)22ab=34a2+34b2−12ab2ab⩾34·2ab−12ab2ab=12，当且仅当a=b时“=”成立，所以，则C的最大值为π3．故选A．二、单空题（本大题共4小题，共20分）29.如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15∘、山脚A处的俯角为45∘，已知∠BAC=60∘，则山的高度BC为______m．【答案】300【解析】解：根据题意，可得Rt△AMD中，∠MAD=45°，MD=200，∴AM=MDsin45°=200√2．∵△MAC中，∠AMC=45°+15°=60°，∠MAC=180°−45°−60°=75°，∴∠MCA=180°−∠AMC−∠MAC=45°，由正弦定理，得AC=MAsin∠AMCsin∠MCA =200√2×√32√22=200√3，在Rt△ABC中，BC=ACsin∠BAC=200√3×√32=300m．故答案为300．30.在四边形ABCD中，AB=6，BC=CD=4，DA=2，则四边形ABCD的面积的最大值是______．【答案】8√3【解析】解：如图所示，AB=6，BC=CD=4，DA=2，设BD=x，在△ABD中，由余弦定理可得x2=22+62−2×2×6cosA=40−24cosA，在△BCD中，由余弦定理可得x2=32−32cosC，联立可得3cosA−4cosC=1，①又四边形ABCD面积S=12×4×4sinC+12×2×6sinA，即4sinC+3sinA=12S，②①2+②2可得9+16+24(sinAsinC−cosAcosC)=1+14S2，化简可得−24cos(A+C)=14S2−24，由于−1≤cos(A+C)≤1，∴−24≤14S2−24≤24，∴0≤S2≤192，解得S≤8√3，当cos(A+C)=−1即A+C=π时取等号，∴S的最大值为8√3．故答案为：8√3．31.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D，测得CD=45m，∠ADB=135∘，∠BDC=∠DCA=15∘，∠ACB=120∘，则AB两点的距离为______．【答案】45√5【解析】解：易知在△ACD中，∠DAC=180°−∠ADB−∠BDC−∠ACD=15°，∴△ACD为等腰三角形，则AD=CD=45，在△BCD中，∠CBD=180°−∠BDC−∠ACD−∠ACB=30°，∠BCD=120°+15°= 135°，所以由正弦定理得，即45sin30°=BDsin135°，得BD=45√2，在△ABD中，由余弦定理得=452+(45√2)2−2×45×45√2×(−√22)=452×5，所以AB=45√5，即A，B两点的距离为45√5，故答案为45√5．32.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD=4km，∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，则A，B两点间的距离是_______km．【答案】2√2【解析】由于CD=4km，∠ADB=∠CDB=30∘，∠ACD=60∘，∠ACB=45∘，所以∠DAC=180°−30°−30°−60°=60°，∠DBC=180°−30°−60°−45°=45°，在三角形ADC 中，由正弦定理得4sin∠DAC =ADsin∠ACD ，所以AD =4sin60°sin60°=4，在三角形BCD 中，由正弦定理得BDsin∠BCD =4sin∠DBC ， 所以BD =4×sin(60°+45°)sin45°=2√3+2，在三角形ABD 中由余弦定理得到AB 2=42+(2√3+2)2−2×4×(2√3+2)cos30°=8， 所以AB =2√2， 故答案为2√2．三、解答题（本大题共4小题，共30分）33. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且ccosB +bcosC =3acosB ．(1)求cos B 的值；(2)若|CA⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，△ABC 的面积为2√2，求边b ． 【答案】解：(1)由正弦定理asinA =bsinB =csinC ， 即ccosB +bcosC =3acosB ，得sinCcosB +sinBcosC =3sinAcosB ，则有3sinAcosB =sin(B +C)=sin(π−A)=sinA ． 又A ∈(0,π)，则sinA >0，则．(2)因为B ∈(0,π)，则sinB >0，．因为|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c =2，所以S =12acsinB =12a ×2×2√23=2√2，得a =3．由余弦定理，则b =3．34. 在①2acosC +c =2b ，②cos 2B−C 2−cosBcosC =34，③(sinB +sinC)2=sin 2A +3sinBsinC 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 ． (1)求角A 的大小；(2)若a =2，求△ABC 面积的最大值． 【答案】解：(1)选①，由正弦定理得2sin Acos C +sin C =2sin B ，所以2sin Acos C +sin C =2sin (A +C)=2(sin Acos C +cos Asin C)，即sin C(2cos A −1)=0，又C ∈(0,π)，所以sin C >0，所以cos A =12，又A ∈(0,π)，从而得A =π3． 选②，因为cos 2 B−C 2−cosBcosC =1+cos (B−C )2−cosBcosC=1−cosBcosC+sinBsinC2=1−cos(B+C)2=34，所以cos(B +C)=−12，cosA =−cos(B +C)=12，又因为A ∈(0,π)，所以A =π3． 选③因为(sinB +sinC)2=sin 2A +3sinBsinC ， 所以sin 2B +sin 2C +2sinBsinC =sin 2A +3sinBsinC ， 即sin 2B +sin 2C −sin 2A =sinBsinC ， 所以由正弦定理得b 2+c 2−a 2=bc ，由余弦定理知cosA =b 2+c 2−a 22bc =12，因为A ∈(0,π)，所以A =π3．(2)由(1)得A =π3，又a =2，由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccos A =b 2+c 2−bc ⩾2bc −bc =bc ， 所以bc ⩽4，当且仅当b =c =2时取得等号，，所以△ABC 面积的最大值为√3．35. 设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，m ⃗⃗⃗ =(cos C2,sin C2)，n ⃗ =(cos C2,−sin C2)，m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为π3． (1)求角C 的大小；(2)已知c =72，△ABC 的面积S =3√32，求a +b 的值．【答案】解：(1)由已知，得．又∵|m⃗⃗⃗ |=|n ⃗ |=1， ．又∵0<C <π，∴C =π3．(2)由面积公式，得由余弦定理，得c 2=a 2+b 2−2abcosC ， 即494=a 2+b 2−ab.② ①②联立，解得a +b =112．36. 某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，为迎接“五一”观光游，欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM 、PN ，其中M 、N 分别在边界AB、AC上，小径PM、PN与边界BC的夹角都为60°，区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花．(1)探究：观赏小径PM与PN的长度之和是否为定值？请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小？【答案】解：(1)在三角形BPM中由正弦定理可得：PM sin45∘=PBsin75∘，化简得PM=(√3−1)PB，同理可得PN=(√3−1)PC，∴PM+PN=(√3−1)(PB+PC)=(√3−1)BC=(√3−1)×400为定值．(2)在三角形PMN中，由余弦定理得MN2=PM2+PN2−2PM⋅PNcos60°=(PM+ PN)2−3PM⋅PN=160000(√3−1)2−3PM⋅PN≥160000(√3−1)2−3×(PM+PN2)2=160000(√3−1)2−3×[400(√3−1)2]2=40000(√3−1)2，∴MN≥200(√3−1)，当且仅当PM=PN，即P为BC的中点时，MN取得最小值200(√3−1)，∴P为BC的中点时，三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小，且最小值为600(√3−1).。