ACBC'B'A'第6章第5节相似三角形的性质（2）
【教学目标】
1．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；了解性质定理的探索过程和证明方法.
2．会运用图形的相似性质解决一些简单的实际问题；
3．经历探索性质定理的形成过程，使学生体验从特殊到一般的认知规律，以及由观察—猜想—论证—归纳的数学思维过程.
[设计意图]重视数学对象的逻辑关系和内部联系，引导学生积极体验数学结论的理和美的要求.
【教学重难点】
重点：探索得出相似三角形对应线段的比等于相似比；并会运用性质解决实际问题.
难点：由特例归纳出一般结论.
[设计意图]教师通过对重难点的把握，提高学生合作探究、解决问题的能力，让学生体会到由特殊到一般的数学研究方法，并能够运用到数学学习过程中.
【教学过程】
本节课的内容结构是：对应高（已有经验）---对应中线（特例1）---对应角平分线（特例2）---其他对应线段（通例）---位置对应线段（一般结论）---现实问题（应用）
一、设置情境，引出问题
远古的时候，有一位国王非常聪明，他把国家治理得井井有条，一片繁荣景象.他还酷爱数学，每日早朝之时，必先考考各位大臣的聪明才智.有一天，国王说：我有两块形状相同的三角形土地，一块是4亩，一块是16亩，现在我想把每块土地都分割成两块三角形形状，我只有一个要求就是-----分割线之比是1:2,各位大臣有多少种方法？办法高明者奖励黄金10两,白银10两.
图1 [设计意图]调动学生学习兴趣,激发其探究欲望.情境的设置既引导学生回顾已学的相似三角形性质,又引发学生要继续探索其他性质的需要.
分析题意可以得到解决问题的办法就是:找到相似三角形中哪些线段的比等于相似比.
二、合作探究，形成新知
问题1:△ABC∽△'''ABC，相似比为k，AD和''AD分别是△ABC和△'''ABC的中线，那么?''ADAD
问题2: △ABC∽△'''ABC，相似比为k，AD和''AD分别是△ABC和△'''ABC的角平分线，那么?''ADAD
相似三角形的重心垂心和外心的性质
相似三角形的重心、垂心和外心是三角形内涵丰富的特殊点，它们具有独特的性质和重要的几何意义。在本文中，我们将探讨相似三角形的重心、垂心和外心的性质。
1. 重心：
相似三角形的重心是三条中线的交点，记为G。中线是连接三角形的顶点与对边中点的线段。重心具有以下性质：
(1) 重心G到三角形的顶点的距离与重心G到对边的距离成比例，比例为2:1。
(2) 重心G将三角形分成三个面积相等的小三角形。
2. 垂心：
相似三角形的垂心是三条高线的交点，记为H。高线是连接三角形顶点与对边垂直的线段。垂心具有以下性质：
(1) 垂心H到三角形三个顶点的距离相等，且垂心到对边的距离最短。
(2) 垂心H到相似三角形对边的距离成反比例，即垂心到对边的距离与对边的长度成反比。
3. 外心： 相似三角形的外心是三个外接圆的交点，记为O。外接圆是与三角形的三条边相切的圆。外心具有以下性质：
(1) 外心O到三角形的三个顶点的距离相等，且外心到三角形顶点的连线与三角形边相等。
(2) 外心是相似三角形三个顶点与对边中点的垂直平分线的交点。
通过对相似三角形的重心、垂心和外心的性质进行研究，我们可以发现它们在构造几何问题和解决几何难题中具有重要的应用价值。通过利用重心、垂心和外心的性质，我们可以推导出许多有关相似三角形的定理和公式，进而解决一些复杂的几何问题。
总之，相似三角形的重心、垂心和外心是三角形内涵丰富的特殊点，它们具有独特的性质和重要的几何意义。通过深入研究它们的性质，我们可以更加深入地理解相似三角形的性质，并在实际问题中应用它们。这些特殊点的性质不仅在解决几何难题时有用，而且在建筑、地理、物理等领域也有广泛的应用。相似三角形的重心、垂心和外心，将继续为几何学家和研究者提供新的思路和挑战！
相似三角形的性质与判定讲义)
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 相似三角形的性质与判定讲义
【知识点拨】
一、相似三角形性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等
二、 相似三角形的等价关系
(1)反身性：对于任一ABC有ABC∽ABC．
(2)对称性：若ABC∽'''CBA，则'''CBA∽ABC．
(3)传递性：若ABC∽CBA''，且CBA''∽CBA，则ABC∽CBA．
三、三角形相似的判定方法
1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
6、判定直角三角形相似的方法：
(1)以上各种判定均适用．
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．
直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
相似三角形的内心与外心性质
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。在数学中，相似三角形的性质受到广泛的研究和应用。其中，内心与外心是两个与相似三角形密切相关的重要点。本文将探讨相似三角形的内心和外心的性质，并探讨它们之间的关系。
一、内心的性质
内心是相似三角形的一个重要特征点。对于任意一个三角形ABC，我们可以找到一个点I，使得这个点到三角形的三条边的距离之和最小。这个点被称为三角形ABC的内心。
内心具有以下几个性质：
1. 内心到三角形的三条边的距离相等。
假设三角形ABC的内心为I，AI、BI、CI分别是内心到三角形的三条边的距离。根据三角形的性质，我们可以得出AI = BI = CI。这是因为如果某一条距离较短，那么可以通过微小的调整使得这个距离更短，从而不满足到三条边的距离之和最小的条件。
2. 内心是三角形的内角平分线的交点。
内心到三角形的三条边的距离相等，使得内心同时处于三角形的三个内角平分线上。由于内角平分线是三角形内部的角度分割线，因此内心必然是三条内角平分线的交点。
3. 内心与三角形的重心和垂心共线。 在三角形ABC中，内心I、重心G和垂心H位于同一条直线上。这是因为相似三角形的重心和垂心都可以通过相似变换对应到另一个三角形，而相似变换不改变点的共线性。
二、外心的性质
外心是相似三角形的另一个特征点。对于任意一个三角形ABC，我们可以找到一个点O，使得这个点与三角形的三个顶点的距离相等。这个点被称为三角形ABC的外心。
外心具有以下几个性质：
1. 外心到三角形的三个顶点的距离相等。
假设三角形ABC的外心为O，AO、BO、CO分别是外心到三角形的三个顶点的距离。根据外心的定义，我们可以得出AO = BO = CO。
2. 外心是三角形的外接圆的圆心。
三角形ABC的外心O同时位于三角形的三条外角平分线上，这意味着三条外角平分线的交点即为外心O。由于外接圆是以三个顶点为切点的圆，因此外心必然是外接圆的圆心。
