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第二章离散化方法

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1

1计算传热学

第二章

离散化方法

任课教师：王增辉

中科院研究生院物理科学学院

2010年

2

中国科学院研究生院2010年春季方程求解的关键环节区域离散化的两种方法Taylor级数展开法

控制方程离散化的控制容积法

Taylor级数法和控制容积法比较

四个基本原则本章主要内容

3

中国科学院研究生院2010

年春季

2.1 方程求解的关键环节

󰂄

建立恰当的数学模型

Proper Mathematical Modelling

󰂄对求解区域进行离散化处理

Discretizationof Computational Domain

󰂄对数学模型进行离散化处理

Discretizationof Mathematical Model

󰂄离散化(discretization）：将连续的数据用离散

的数据来记录；在离散的点之间用光滑曲线通过

内插来连接

4

中国科学院研究生院2010年春季󰂄离散化计算区域离散化控制方程离散化

用时空点有限的计算域替代

时空点无限的计算域用离散的状态变量分布去近似连

续的状态变量分布所满足的基本

方程

确定拟求解那些时刻和

那些位置的状态变量的

数值大小，形成网格确定拟求解的那些有限时空点

上的离散状态变量所应满足的

方程，形成差分方程。

5

中国科学院研究生院2010

年春季

󰂄

计算区域(domain)

󰂄网格线(grid line)：沿坐标轴线方

向连接相邻节点所形成的曲线族

󰂄格子（cell）

󰂄节点(grid pointer，node, center

node)：待求状态变量的空间位置；

计算节点（computational node,

FDM）；节点（FVM）

󰂄控制容积(control volume，CV)

󰂄界面(face)：包围节点的最小几何

单元，或实施控制方程离散化的最

小几何单元

󰂄界面(控制容积面或控制体界面)：

控制体的边界面计算区域边界节点控制体

界面数值计算名词

6

中国科学院研究生院2010年春季区域离散化

󰂄区域离散化：将求解区域划分为若干个互不重合的子区域

（CV)；区域之间不重合

󰂄子区域（sub-region)也称为控制容积（control

volume)；并确定节点在每个子区域中的位置：需要给出

节点位置坐标，这一过程称之为计算区域的离散化，或网

格划分或网格生成技术

󰂄区域离散化是用一组正交的网格线（可以是曲线）将求解

区域进行分割

󰂄规则形状的计算域，容易实现区域离散化，一系列平行于

坐标轴的曲线族就可实现网格划分；复杂的区域内不存在

与坐标轴关联的简单又直观的网格划分方法

2

7

中国科学院研究生院2010

年春季

󰂄

有限区域(finite domain)：求解区域（Computational

domain）＝实际区域

󰂄无限区域(infinite domain)：求解区域不等于实际区

域；界定原则：计算结果不敏感原则，亦即求解区域的大

小对计算结果没有明显的影响

8

中国科学院研究生院2010年春季首先，用一系列与坐标轴相应的直线或曲线把计算域划分成互不重叠，且覆盖整个计算域的一些小区域，这些小区域也称之为子区域。

节点位于子区域的角顶上

节点位于子区域的中心外节点法内节点法

划分子区域的曲线族就是网

格线，但子区域不是控制容

积。需在相邻两节点的中间

位置上做界面线，并由这些

界面线构成控制容积子区域就是就是控制容积，

划分子区域的曲线族就是

控制体的界面线。2.2 区域离散化的两种方法

9

中国科学院研究生院2010

年春季xy外

节

点

法

举

例

——

直

角

坐

标外节点法举例——直角坐标

10

中国科学院研究生院2010年春季xr外

节

点

法

举

例

——

轴

对

称

柱

坐标外节点法举例——轴对称柱坐标

11

中国科学院研究生院2010

年春季外节点法举例——极坐标

12

中国科学院研究生院2010年春季xy内

节

点

法

举

例

——

直

角

坐

标内节点法举例——直角坐标

3

13

中国科学院研究生院2010

年春季xr内

节

点

法

举

例

——

轴

对

称

柱

坐标内节点法举例——轴对称柱坐标14

中国科学院研究生院2010年春季内节点法举例——极坐标

15

中国科学院研究生院2010年春季求解区域离散化方法比较

󰂄边界节点所代表的求解区域（控制容积）不同：

󰂅外节点法：半个控制容积

󰂅内节点法：容积为0的控制容积

方法B方法A

16

中国科学院研究生院2010年春季󰂄节点在控制容积中的位置不同

󰂅外节点法：

󰂄控制界面始终位于两节点中间位置上：导数计算准

确

󰂄不能保证节点始终位于CV的几何中心上

󰂅内节点法：

󰂄节点始终位于CV的几何中心上：非稳态项计算准确

󰂄不能保证控制界面始终位于两节点中间位置上

17

中国科学院研究生院2010年春季求解区域的离散化：方法比较

󰂄当网格划分足够细时，两者没有本质区别

󰂅内节点法：

󰂄边界节点处理较简单

󰂄边界相邻节点：要特别注意处理方法，与其它内

部节点有所不同

󰂅历史及习惯的原因：内节点应用较广泛

18

中国科学院研究生院2010年春季约定：实线代表网格线

虚线代表界面线

黑点代表节点

标识：

编号法：用离散点位置的坐标序号来标

识节点,即：(i,j,k)

字母法：用离散点的相对方位来标识节

点，即：P, N, S, E, W, T, B网格的标识

4

19

中国科学院研究生院2010

年春季

x

z(i,j,k)(i+1,j,k)(i-1,j,k)

(i,j-1,k)(i,j+1,k)

(i,j,k-1)

(i,j,k+1)y

(i,j-1/2,k)(i,j+1/2,k)

(i-1/2,j,k)(i+1/2,j,k)(i,j,k-1/2)

(i,j,k+1/2)

时间序列用自然数n来表示编号法

20

中国科学院研究生院2010年春季P

EWSNB

Te

wb

tn

s

编号法适合于程序化标记网格，在以编制程序为计算

手段的数值计算中得到了广泛的应用。

字母法直观和简明，在阐述数值计算原理方面中具有

不可替代的优势。字母法

21

中国科学院研究生院2010年春季求解区域的离散化：网格参数

󰂄一维为例

22

中国科学院研究生院2010年春季网格参数：名称与定义󰂄(δx)

w＝(δx)+

w＋(δx)-

w节点W－P之间的距离

󰂄(δx)

e＝(δx)+

e＋(δx)-

e 节点P－E之间的距离

󰂄(δx)+

w控制界面w－节点P之间的距离

󰂄(δx)-

e 节点P－控制界面e之间的距离

󰂄∆x ＝(δx)+

w＋(δx)-

e 控制容积

󰂄w ，e 左、右控制面

23

中国科学院研究生院2010年春季网格参数：各参数之间的关系

󰂄外节点法

󰂅(δx)+

w＝½(δx)

w；(δx)

-

e ＝½(δx)

e

󰂅∆x ＝½[(δx)

w＋(δx)

e ]

󰂄内节点法

󰂅(δx)+

w＝(δx)-

e ＝½∆x

24

中国科学院研究生院2010年春季网格尺寸和节点数目

¾对划分网格的尺寸没有绝对的要求

¾有小至毫米量级的，也有大至公里量级的，与求解问题及

其要求有关

¾相邻控制容积的网格尺寸变化不宜过大，同一控制容积各

个方向上的网格尺寸一般亦不宜相差太大

¾网格数目以得到与网格无关解为基本依据进行选定

5

25

中国科学院研究生院2010

年春季

2.3 Taylor级数展开法

󰂄

控制方程离散化的方法：Taylor级数法；多项式拟合法；

控制容积法。。。。

󰂄Taylor级数法和控制容积法最为重要

󰂄Taylor级数法的基本思路：借助Taylor级数展开给出各阶

导数的差商表达式；将方程中的各阶导数用相应的差商表

达式代替；整理化简方程26

中国科学院研究生院2010年春季󰂄等步长Taylor级数展开法

󰂄非均匀步长Taylor级数展开法

27

中国科学院研究生院2010

年春季

Taylor级数展开法－非均匀步长

󰂄

更高精度的格式可以用类似的方法得到

󰂅格式截断误差（truncation error) 阶数愈高，精度

愈高，精度愈高，表达式愈繁

󰂅工程上：二阶精度格式

󰂄几点说明

󰂅当L

x＝1时，非等步长格式一律退化为等步长格式

󰂅格式精度（截断误差）与计算精度

󰂄网格密度相同的情况下，高精度格式，计算精度

也高

󰂄高阶精度的计算工作量大大增加

󰂄加密网格，可以弥补低阶格式的不足，得到同样

精度的结果

28

中国科学院研究生院2010年春季例题：Taylor级数展开法󰂄方法：用“差商”代替“导数”

󰂄例题：一维稳态扩散问题

(20) 0

22

=+S

dxdφ

∆x(δx)(δx)(δx)(δx)(δx)

w(δx)

e

weW

PE

一维问题空间区域的离散化

29

中国科学院研究生院2010年春季󰂄参照前面的节点组，对于节点P，

(21) 0)(

22

22

=+=

⎟⎟

⎠⎞

⎜⎜

⎝⎛

+

P

PPS

dxd

S

dxdφφ

30

中国科学院研究生院2010年春季󰂄将二阶导数的差商表达式代入（21）

0)(

)()()1(

12

=+++−

+P

ewWxPxE

xS

xxLL

Lδδφφφ

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连续变量离散化方法

连续变量离散化方法

连续变量离散化方法

一、引言

离散化是指将连续变量分割为若干个离散的取值，这样可以将连续变量转化为离散特征，便于数据分析和建模。在实际问题中，离散化方法的选择对于模型的性能和解释性有着重要的影响。因此，本文将介绍一些常用的连续变量离散化方法，并比较它们的优缺点。

二、等宽离散化

等宽离散化是最简单直观的离散化方法，它将连续变量的值域分割为等宽的区间，然后将每个区间映射为一个离散取值。下面是等宽离散化的步骤：

1. 计算连续变量的最大值和最小值，确定值域范围；

2. 根据指定的区间宽度，计算需要的区间个数；

3. 将值域划分为等宽的区间；

4. 将每个区间映射为一个离散取值。

等宽离散化的优点是实现简单，易于理解。然而，它的缺点也很明显，即不能充分利用数据的分布信息，容易受到异常值的影响。

三、等频离散化

等频离散化是保证每个区间中样本数量相等的离散化方法。这种方法的思想是将连续变量的值域划分为几个区间，使得每个区间中的样本数量相同或接近。等频离散化的步骤如下：

1. 计算连续变量的总样本数量；

2. 根据指定的区间个数，计算每个区间中的样本数量；

3. 根据样本数量，确定每个区间的取值范围；

4. 将每个区间映射为一个离散取值。

等频离散化的优点是能够充分利用样本数量信息，减少异常值对离散化结果的影响。然而，它也有一些缺点，即可能导致部分区间样本数量太少，不利于模型的建立。 四、基于聚类的离散化方法

基于聚类的离散化方法是将连续变量的值域划分为若干个聚类集合，每个集合映射为一个离散取值。这种方法的思想是通过聚类算法将连续变量的值分为不同的簇，然后将每个簇映射为一个离散取值。下面是基于聚类的离散化方法的步骤：

1. 根据指定的聚类算法和聚类数目，将连续变量的值分为若干个簇；

2. 计算每个簇的中心点或者代表点；

3. 根据簇的中心点或者代表点，将每个簇映射为一个离散取值。

基于聚类的离散化方法的优点是能够根据数据的分布情况灵活地确定离散化的取值数量和范围。然而，它的缺点是需要选择合适的聚类算法和聚类数目，并且对参数的选择比较敏感。

微分方程离散化方法

微分方程离散化方法

微分方程离散化方法

微分方程的离散化方法是将连续的微分方程转化为离散的形式，通常用于数值求解。离散化方法可以分为两类，时间离散化和空间离散化。

时间离散化方法包括Euler方法、改进的Euler方法、Runge-Kutta方法等。Euler方法是最简单的一阶显式方法，通过将时间区间离散化为若干个小区间，用当前点的斜率来估计下一个点的函数值。改进的Euler方法通过对斜率的不同估计来提高精度。Runge-Kutta方法是一种更高阶的方法，通过多次斜率估计来提高数值解的精度。

空间离散化方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。有限差分法是将空间区域离散化为网格，通过近似微分算子来表示微分方程，然后将微分方程转化为代数方程组进行求解。有限元法是将空间区域离散化为有限个单元，通过单元之间的连接关系建立代数方程组。谱方法则是利用傅里叶级数展开来逼近微分方程的解。

在选择离散化方法时，需要考虑精度、稳定性、计算效率等因素。不同的方法适用于不同类型的微分方程和求解要求。因此，在实际应用中，需要根据具体问题的特点来选择合适的离散化方法。

离散化和归一化

离散化和归一化

离散化和归一化

离散化（Discretization）是将连续型数据转换为离散型数据的过程。在数据挖掘和机器学习中，有时需要将连续型特征转换为离散型特征，以便于建立分类模型或进行其他算法处理。离散化的目的是减少数据的复杂度、提高计算效率、增加模型的可解释性等。

常见的离散化方法有：

1. 分箱（Binning）：将连续数值划分为不同的区间或箱子，使得每个箱子内的数值相同或相近。可以根据等宽（Equal Width）、等深（Equal Depth）等划分原则进行分箱。

2. 无监督离散化：使用聚类算法，如K-means算法，将连续特征的数据分割成不同的簇。每个簇即为一个离散的取值。

3. 基于决策树的离散化：利用决策树算法将连续型特征划分为不同的区间或取值。

归一化（Normalization）是将数据按比例缩放到一个特定的范围内的过程。在数据分析和机器学习中，归一化可用于将不同量纲（单位）的特征值统一到相同的范围内，以便于模型更好地学习和拟合。

常见的归一化方法有：

1. 最小-最大规范化（Min-Max Normalization）：将特征值线性映射到[0, 1]范围内，公式为：

X_norm = (X - X_min) / (X_max - X_min) 其中，X为原始特征值，X_min为特征值的最小值，X_max为特征值的最大值。

2. Z-Score标准化：将特征值转化为标准正态分布，公式为：

X_norm = (X - X_mean) / X_std

其中，X为原始特征值，X_mean为特征值的平均值，X_std为特征值的标准差。

3. 小数定标规范化（Decimal Scaling）：通过移动小数点的位置来调整特征值的大小，使其落在[-1, 1]范围内。

归一化可以提高模型的收敛速度，同时避免由于特征值大小差异过大而导致的模型权重分配不均衡问题，使得模型在学习过程中更加稳定。

传递函数离散化公式

传递函数离散化公式

传递函数离散化公式

函数离散化是指将连续函数转化为离散函数，即在一定的区间内将连续函数的取值按照一定的间隔进行采样。离散化公式的设计需要考虑到采样间隔的选择、采样点的选取以及近似误差的控制等因素。下面介绍两种常见的离散化公式：等间隔离散化和最小二乘离散化。

1.等间隔离散化：

等间隔离散化是指将函数的定义域等距地划分成若干个小区间，并在每个区间内选择一个采样点。等间隔离散化的离散化公式如下：

x_i=a+i*h，i=0,1,2,...,N

其中，x_i是第i个采样点的坐标，a是定义域的起始点，h是采样的间隔，N是离散化的个数。

2.最小二乘离散化：

最小二乘离散化是一种基于最小二乘法的离散化方法，它通过最小化离散函数与原始连续函数之间的均方误差来选择合适的采样点。最小二乘离散化的离散化公式如下：

E=Σ[f(x)-f_i(x_i)]^2

其中，E是误差，f(x)是原始连续函数，f_i(x_i)是离散函数，x_i是采样点的坐标。

在最小二乘离散化中，我们需要根据给定的误差函数f(x)来选择合适的离散函数f_i(x_i)。具体的选择方式包括：

2.1多项式插值： 多项式插值是一种常用的最小二乘离散化方法，它通过在每个小区间内使用一个多项式来逼近原始函数。插值公式如下：

f_i(x)=a_0+a_1*(x-x_i)+a_2*(x-x_i)^2+...+a_n*(x-x_i)^n

其中，a_0,a_1,...,a_n是待定系数，n是多项式的次数。

2.2样条插值：

样条插值是一种更加平滑的最小二乘离散化方法，它通过在每个小区间内使用多个低次多项式来逼近原始函数。样条插值公式如下：

f_i(x)=a_0+a_1*(x-x_i)+a_2*(x-x_i)^2+...+a_n*(x-x_i)^n，x∈[x_i,x_{i+1}]

其中，a_0,a_1,...,a_n是待定系数，n是每个小区间内多项式的次数。

需要注意的是，离散化公式的选择应根据具体情况进行判断。在实际应用中，需要考虑到函数的性质、采样点的个数以及近似精度等因素，选择合适的离散化方法和公式。另外，在进行离散化时，还需要关注离散化间隔的选择，通过调整间隔大小可以在采样点的密度和计算复杂度之间进行权衡。