等差数列的前n项和

1 等差数列的前n项和

一：知识点讲解

（一）：数列的前n项和

 对于数列na，一般地，我们称naaaa321为数列na的前n项和， 用

表示，即nnaaaaS321。

 由nnnaaaaaS1321，123211nnnaaaaaS（2n，且*Nn），可得1nnnSSa（2n，且*Nn），当n＝1时，11Sa。

 给出了na的前n项和nS组成的数列nS的递推公式或nS与na的关系式，求na的通项公式常用的思路有两种：

 先求出nS，再用1nnnSSa（2n，且*Nn），求出na；

 将1nnnSSa（2n，且*Nn）转化为na的递推关系式，再求na。

 na与nS的关系式1nnnSSa的使用条件是2n，且*Nn，求na时切勿漏掉1n的情况。

例1：已知数列na的前n项和为nS，且满足nnSn2，则8a

A. 72 B. 36 C. 18 D. 16

例2：已知数列na的前n项和nnS3，求na。

（二）：等差数列na的前n项和nS的公式

 已知首项、末项与项数，求和公式：nS 。 2  已知首项、公差与项数，求和公式：nS 。

 等差数列na的前n项和公式的推导方法“倒序相加法”是解决数列求和问题的一种重要方法。主要适用于具有23121nnnaaaaaa特征的数列求和。

 若已知等差数列na的首项1a、末项na及项数n，则用公式21nnaanS求和。这里21naa是1a与na的等差中项，应用时要注意结合等差数列的性质。

 公式21nnaanS中涉及四个量：nS、n、1a、na；公式dnnnaSn211中也涉及四个量：nS、n、1a、d。结合等差数列na的通项公式dnaan11，对于等差数列中的五个量：nS、n、1a、na、d，已知其中的三个量就可以求出另外的两个量。

例3：在等差数列na中。

1) 651a，23na，5nS，求n和d；

2) 41a，1728S，求na和d；

3) 已知2d，11na，35nS，求1a和n。

例4：若等差数列na的首项131a，4d，记nnaaaT21，求nT。

3 （三）：等差数列na的前n项和nS的最值

 若01a，0d，则数列na的前面若干项为 项（或0），所以将这些项相加即得nS的最 值。

 若01a，0d，则数列na的前面若干项为 项（或0），所以将这些项相加即得nS的最 值。

例5：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

1) ( )等差数列的前n项和nS是关于项数n的二次函数。

2) ( )若已知数列na的前n项和nS，则可求数列na的通项公式。

3) ( )等差数列的前n项和公式的推导方法是倒序相加法。

（四）：等差数列前n项和的性质

 性质1：等差数列中依次k项之和kS、kkSS2、kkSS23、……组成公差为dk2的等差数列。

 性质2：数列na是等差数列bnanSn2（a，b为常数）。

 性质3：

 若等差数列的项数为2n（*Nn），则12nnnaanS，ndSS奇偶，nnaaSS1奇偶。

 若等差数列的项数为2n－1（*Nn），则nnanS1212（na是数列的中间项），naSS奇偶，nnSS1奇偶。

 性质4：na为等差数列nSn为等差数列。

例6：一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和。

4 例7：在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，素有偶数项的和为150，求n的值。

（四）：等差数列na的前n项和公式与函数的关系

 将公式dnnnaSn211变形，得ndandSn2212。

若令Ad2，Bda21，则上式可以写成BnAnSn2，则前n项和nS是关于项数n的函数。

 当A＝0，B＝0时（此时01a，0d），0nS，此时nS是关于n的常数函数；

 当A＝0，B≠0时（此时21da，0d），BnSn，此时nS是关于n的一次函数（正比例函数）；

 当A≠0，B＝0时（此时21da，0d），2AnSn，此时nS是关于n的二次函数；

 当A≠0，B≠0时（此时21da，0d），BnAnSn2，此时nS是关于n的二次函数。

例8：在等差数列na中，若251a，且179SS，求nS的最大值。

5 二：方法探究

方法一：等差数列中的有关计算问题

 解决等差数列中的有关计算问题，需注意以下几个方面：

 在等差数列na的通项公式及前n项和公式中，1a、d、n、na、nS五个元素“知三求二”，通常以1a与d作为基本量，依题意，列方程（组）进行求解，即充分利用方程思想；

 利用前n项和公式的函数特征，直接设出nS，结合待定系数法或函数的性质求解；

 灵活运用等差数列及前n项和的性质解题。

例1：已知在等差数列na中：

1) 231a，21d，15nS，求n及na；

2) 201a，54na，666nS，求d及n；

3) 147S，求53aa。

 习题

1. 等差数列na的前n项和为nS，若21a，123S，则6a等于( )

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

2. 设nS为等差数列na的前n项和，384aS，27a，则9a( )

A. ﹣6 B. ﹣4 C. ﹣2 D. 2

3. 设等差数列na的前n项和为nS，若21mS，0mS，31mS，在m＝( )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

4. 记nS为等差数列na的前n项和，若2454aa，486S，则na的公差为( )

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6 5. 设nS是等差数列na的前n项和，若9535aa，则59SS等于( )

A. 1 B -1 C. 2 D. 21

6. 已知na是等差数列，nS是其前n项和，若3221aa，105S，则9a的值是 。

方法二：数列求和的方法

 倒序相加发：如果一个数列na中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法叫做倒序相加法。

 裂项相消法：形如dcbann1的式子，若可分解为dcBbaAnn的形式，则一般可用裂项相消法求和。

例2：已知数列na，且13231nnan，求其前n项和nS。

 习题

7. 设数列na满足11a，且11naann（*Nn），则数列na1前10项的和为 。

8. 数列na的通项公式11nnan，其前n项和9nS，则n＝ 。

9. 等差数列na的前n项和为nS，已知101a，2a为整数，且4SSn。

1) 求na的通项公式；

2) 设11nnnaab，求数列nb的前n项和nT。

方法三：等差数列的实际应用

 等差数列的求和公式在日常生活中有广泛的应用，利用它可以解决分期付款、行程、相遇等问题。解有关数列的应用问题时，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案。 7 例3：某人用分期付款的方式购买一台家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都要交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%，20个月还清。若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这台家电实际花费多少钱？

 习题

10. 《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈。”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为na，则17161514aaaa的值为( )

A. 55 B. 52 C. 39 D. 26

11. 南京东郊有一个宝塔，塔高60余米，九层八面，中间没有螺旋的扶梯。宝塔的楼梯有个奥妙，每上一层，就少了一定的级数。从第四层到第六层，共有28级。第一层楼梯数是最后一层楼梯数的的3倍，则此塔楼梯共有( )

A. 117级 B. 112级 C. 118级 D. 110级

三：题型分析

题型一：数列的前n项和

1. 已知数列na的前n项和2nSn，则na等于( )

A. n B. 2n C. 2n＋1 D. 2n－1

2. 已知数列na的前n项和nnSn92，第k项满足85ka，则k为( )

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 8 3. 已知数列na满足232132nnaaaan，则数列na的通项公式为 。

4. 已知数列na的前n项和1212nnSn，求数列na的通项公式。

题型二：等差数列na的前n项和

5. 在等差数列na中，1952aa，405S，则10a等于( )

A. 27 B. 24 C. 29 D. 48

6. 在等差数列na中，已知1254aa，则8S等于( )

A. 12 B. 24 C. 36 D. 48

7. 等差数列na的前n项和为nS，且63S，43a，则公差d为( )

A. 1 B. 35 C. 2 D. 3

8. 设nS是等差数列na的前n项和，已知32a，116a，则7S等于( )

A. 13 B. 35 C. 49 D. 63