高三数学一轮复习讲义 平面向量的数量积及其应用教案 新人教A版
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平面向量的数量积及其应用
自主梳理
1．向量数量积的定义
(1)向量数量积的定义：
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量___.|a||b|cos θ_____叫做a和b的数量积(或内积)，记作__ a·b＝|a||b|cos θ_____，其中向量的投影：︱b︱cos=||aba∈R，称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值称为射影；
注意 在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0≤≤180。
规定：零向量与任一向量的数量积为___
0_____. 即00a
（2）平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影____|b|cos θ_____的乘积.
(3) 平面向量数量积的重要性质：
①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝__ |a|cos θ________；
②非零向量a，b，a⊥b⇔____a·b＝0____________；
③当a与b同向时，a·b＝__|a||b|___；（两个非零向量a与b垂直的充要条件是__ a·b＝0__）
当a与b反向时，a·b＝__－|a||b|______，a·a＝__ a2___＝_|a|2___，|a|＝___a·a____；
（两个非零向量a与b平行的充要条件是__ a·b＝±|a||b|___）
④cos θ＝__a·b|a||b|________；
⑤|a·b|_≤___|a||b|.
2．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝__ b·a ______；
(2)分配律：(a＋b)·c＝___________ a·c＋b·c _____；
(3)数乘向量结合律：(λa)·b＝__λ(a·b)______________.
3．向量数量积的坐标运算与度量公式
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a·b＝ x1x2＋y1y
(2) 设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
(3) 设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 C cos θ＝_____121222221122xxyyxyxy_____.
(4)若a＝(x，y)，则|a|2＝ 22xy 或|a|＝ x2＋y2 .
(5)若A（x1，y1），B（x2，y2），则 AB→＝______(x2－x1，y2－y1) ___，
所以|AB→|＝______222121x-x)+y-y)（（_____.
点评：
1.向量的数量积是一个实数
两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围.
2.a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.
3.一般地，(a·b)c≠(b·c)a即乘法的结合律不成立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c共线的向量，同理右边(b·c)a表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，故一般情况下(a·b)c≠(b·c)a.
4.a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立.
5.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，〈AB→，BC→〉应为120°，而不是60°.
自我检测
1.已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2， |b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝___－32 _____.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,则AB→·AC→等于 ( )
A．－16 B．－8
C．8 D．16
3．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝ ( )
A．0 B．22
C．4
D．8
B 2(22)abab＝2244aabb＝8＝22.
4.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为___32_____.
5.已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为___655___.
6.设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有____②④____
①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·c)a－(a·c)b不与c垂直；④(3a＋4b)·(3a－4b)＝9|a|2－16|b|2.
7.平面上有三个点A（-2，y），B（0，2y），C（x，y），若A B →⊥BC→，则动点C的轨迹方程为________________．
解析 由题意得AB→＝2，－y2， BC→＝x，y2，又AB→⊥BC→，∴AB→·BC→＝0，
即2，－y2·x，y2＝0，化简得y2＝8x(x≠0)．
8.若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM→＝16CB→＋23CA→，则MA→·MB→＝________.
解析 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C(0,0)，A(23，0)，B(3，3)，这样利用向量关系式，求得MA→＝32，－12，MB→＝32，－12，MB→＝－32，52，所以MA→·MB→＝－2.
题型一 平面向量的数量积的运算
例1 （1）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________.2
(2)如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC→＝3 BD→，
|AD→|＝1，则AC→·AD→等于 ( )
A.23 B.32 C.33 D.3
解法1基底法: ∵BC→＝3BD→，∴AC→＝BC→－BA→＝3BD→－BA→＝3(AD→－AB→)＋AB→
＝3AD→＋(1－3)AB→. 又AD⊥AB，|AD→|＝1.
∴AC→·AD→＝3AD2→＋(1－3)AB→·AD→＝3.
法2定义法设BD＝a，则BC＝3a，作CE⊥BA交的延长线于E，可知∠DAC＝∠ACE，
在Rt△ABD与Rt△BEC中， Rt△ABD∽Rt△BEC中，BDADBCEC,CE＝3，
∴cos∠DAC＝cos∠ACE＝3AC.
∴AD→·AC→＝|AD→|·|AC→|cos∠DAC
＝|AD→|·|AC→| cos∠ACE＝3.
法3坐标法
变式训练1 (1)若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正东方向，且|a|＝|b|＝1，则
(－3a)·(a＋b)＝___－3___.
(2)如下图，在ABC△中，3BCAB，30ABC，AD是边BC上的高，则ACAD的值等于 （ ）
A．0 B．49 C．4 D．49
【思路点拨】充分利用已知条件的3BCAB，30ABC，借助数量积的定义求出．
【答案】B【解析】因为3ACAB，30ABC，AD是边BC上的高,23AD29cos4ADACADACCADAD.
（3）设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于( )
A．2
B.3 C.2 D．1
【解析】 ∵a·b＝－12，且|a|＝|b|＝1， ∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－12.
∴〈a，b〉＝120°.
如图所示，将a，b，c的起点平移至同一点O，
则a－c＝CA→，b－c＝CB→，∠ACB＝60°，于是四 点A，O，B，C共圆，即点C在△AOB的外接圆上，故当OC为直径时，|c|取最大值．由余弦定理，得AB＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos〈a，b〉＝3，由正弦定理，得2R＝ABsin 120°＝2，即|c|的最大值为2.
题型二 向量的夹角与向量的模
例2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|； (3)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积.
例2 解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.
∴cos θ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.
(2)可先平方转化为向量的数量积.
|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，
∴|a＋b|＝13.
(3)∵AB→与BC→的夹角θ＝2π3，∴∠ABC＝π－2π3＝π3.
又|AB→|＝|a|＝4，|BC→|＝|b|＝3，
∴S△ABC＝12|AB→||BC→|sin∠ABC＝12×4×3×32＝33.
变式训练2 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；
(2)已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c与向量a的夹角.
解 (1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)， ∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0.∴α·β＝12.
∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10.
∴|2α＋β|＝10.
(2)由已知得(a＋b＋c)·a＝a2＋a·b＋a·c
＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－32，
|a＋b＋c|＝a＋b＋c2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c
＝1＋4＋9＋4cos 120°＋6cos 120°＋12cos 120°＝3.
设向量a＋b＋c与向量a的夹角为θ，
则cos θ＝a＋b＋ca|a＋b＋c||a|＝－323＝－32，即θ＝150°，
故向量a＋b＋c与向量a的夹角为150°.
(3)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．
解析 ∵〈a，b〉∈(0，π2)，∴a·b>0且a·b不同向．
即|i|2－2λ|j|2>0，∴λ<12.
当a·b同向时，由a＝kb(k>0)得λ＝－2.∴λ<12且λ≠－2.
（4）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________
解 以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝y.
∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，
PA→＝(2，－y)，PB→＝(1，a－y)，
∴PA→＋3PB→＝(5,3a－4y)，
|PA→＋3PB→|2＝25＋(3a－4y)2，
∵点P是腰DC上的动点，∴0≤y≤a，
因此当y＝34a时，|PA→＋3PB→|2的最小值为25，
∴|PA→＋3PB→|的最小值为5.
