北师大版数学九年级上册 第四章 图形的相似 4.5 相似三角形判定定理的证明 同步练习题及答案
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第 1 页 2019-2019 北师大版数学九年级上册 第四章 图形的相似
4.5 相似三角形判定定理的证明 同步练习题
1. 如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是( )
A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B
C.ADAB＝DEBC D.ADAC＝AEAB
2. 下列命题中是真命题的是( )
A．有一个角相等的直角三角形都相似
B．有一个角相等的等腰三角形都相似
C．有一个角是120°的等腰三角形都相似
D．两边成比例且有一角相等的三角形都相似
3. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，CD＝3 cm，则AF的长为( )
A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm
4. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5. 在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
①若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
②若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
④若AC＝A1C1，CB＝C1B1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1. 第 2 页 其中真命题的个数为( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若∠BFA＝90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB.其中相似的为( )
A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③
7. 相似三角形的判定定理：_______________的两个三角形相似；两边_________且夹角_______的两个三角形相似；三边__________的两个三角形相似．
8. 证明相似三角形判定定理时，先作辅助线，再根据平行于三角形__________________与其他两边相交，截得的对应线段__________进行证明．
9. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD＝4，DB＝2，则DEBC的值为__________．
10. 如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，则AD＝____．
11. 如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，点E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF与△CDE相似，则BF的长是_______．
12. 如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M，N分别在CD，AD上滑动，当DM＝________时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似．
13. 在△ABC中，点P是AB上的动点(P异于点A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的第 3 页 相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有____条．
14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE.
15. 如图，在△ABC和△ADE中，ABAD＝BCDE＝ACAE，点B，D，E在一条直线上．能得到△ABD∽△ACE吗？
16. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，点E为AB的中点．
(1)求证：AC2＝AB·AD；
(2)求证：CE∥AD；
(3)若AD＝4，AB＝6，求ACAF的值．
17. 如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于点F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.
(1)求线段PQ的长；
(2)问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．
参考答案：
1---6 CCBBB D
7. 两角分别相等 成比例 相等 成比例
8. 一边的直线 成比例
9. 23 第 4 页 10. 103
11. 1.8
12. 55或255
13. 3
14. ∵在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.又∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE
15. 能．由ABAD＝BCDE＝ACAE，得△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.∵ABAD＝ACAE，∴ABAC＝ADAE，∴△ABD∽△ACE
16. (1)∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，又∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB＝ADAC，∴AC2＝AB·AD
(2)∵∠ACB＝90°，点E为AB的中点，∴CE＝AE，∴∠ACE＝∠EAC，又∵∠EAC＝∠DAC，∴∠ECA＝∠DAC，∴CE∥AD
(3)∵CE∥AD，∴△CEF∽△ADF，∴CFAF＝CEAD，∵AB＝6，∴CE＝3，∴CFAF＝CEAD＝34，∴ACAF＝74
17. (1)根据题意得：PD＝PE，∠DPE＝90°，∴∠APD＋∠QPE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，∴∠ADP＋∠APD＝90°，∴∠ADP＝∠QPE，第 5 页 ∵EQ⊥AB，∴∠A＝∠Q＝90°，在△ADP和△QPE中，∠A＝∠Q，∠ADP＝∠QPE，PD＝EP，∴△ADP≌△QPE(AAS)，∴PQ＝AD＝1
(2)∵△PFD∽△BFP，∴PBBF＝PDPF，∵∠ADP＝∠EPB，∠CBP＝∠A，∴△DAP∽△PBF，∴PDPF＝APBF，∴APBF＝PBBF，∴PA＝PB，∴PA＝12AB＝12，∴当PA＝12时，△PFD∽△BFP
