初二数学动点问题总结

初二数学动点问题总结 1 / 17

初 二 动 点 问 题

1. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，∠ B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ， BC=26cm ，动点 P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1cm/s 的速度运动；动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向 B 以 3cm/s 的速度运动． P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当此中一点到达端点时， 别的一点也随之停止运动， 设运动时间为

ts ．

2.

3.

4.

解析：

（1）当 t 为什么值时，四边形 PQCD 为平行四边形？

（2）当 t 为什么值时，四边形 PQCD 为等腰梯形？

（3）当 t 为什么值时，四边形 PQCD 为直角梯形？

（ 1）四边形 PQCD 为平行四边形时 PD=CQ ．

（ 2）四边形 PQCD 为等腰梯形时 QC-PD=2CE ．

（ 3）四边形 PQCD 为直角梯形时 QC-PD=EC ． 全部的关系式都可用含有 t 的方程来表示，即此题只需解三个方程即可．

解答：

解：（ 1）∵四边形 PQCD 平行为四边形

∴ PD=CQ

∴ 24-t=3t 解得： t=6 即当 t=6 时，四边形 PQCD 平行为四边形． 初二数学动点问题总结 2 / 17

（ 2）过 D 作 DE⊥BC 于 E

则四边形 ABED 为矩形

∴ BE=AD=24cm

∴ EC=BC-BE=2cm

∵四边形 PQCD 为等腰梯形

∴ QC-PD=2CE

即 3t- （24-t ）=4 解得： t=7 （ s） 即当 t=7 （ s）时，四边形 PQCD 为等腰梯形．

（ 3）由题意知： QC-PD=EC 时，

四边形 PQCD 为直角梯形即 3t- （24-t ）=2

解得： t=6.5 （ s） 即当 t=6.5 （ s）时，四边形 PQCD 为直角梯形．

评论：

此题主要观察了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判断，难易程度适中．

5.

如图，△ ABC 中，点 O 为 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MN∥ BC ，设 MN

交∠ BCA 的外角均分线 CF 于点 F，交∠ ACB 内角均分线 CE 于 E．

（ 1）试说明 EO=FO ；

（ 2）当点 O 运动到哪处时，四边形 AECF 是矩形并证明你的结论；

（ 3）若 AC 边上存在点 O，使四边形 AECF 是正方形，猜想△ ABC 的形状并证明你的结论．

解析：

（ 1）依据 CE 均分∠ ACB ，MN ∥BC ，找到相等的角，即∠ OEC= ∠ ECB ，再依据等边同等角得 OE=OC ，同理 OC=OF ，可得 EO=FO ．

（ 2）利用矩形的判断解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．

（ 3）利用已知条件及正方形的性质解答． 初二数学动点问题总结

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解答：

解：（ 1）∵ CE 均分∠ ACB ， 初二数学动点问题总结 4 / 17

∴∠ ACE= ∠ BCE ，

∵ MN∥BC ，

∴∠ OEC= ∠ECB ，

∴∠ OEC= ∠OCE ，

∴ OE=OC ， 同理， OC=OF ，

∴ OE=OF ．

（ 2）当点 O 运动到 AC 中点处时，四边形 AECF 是矩形．

如图 AO=CO ，EO=FO ，

∴四边形 AECF 为平行四边形，

∵ CE 均分∠ ACB ，

∴∠ ACE= ∠ ACB ，

同理，∠ ACF= ∠ ACG ，

∴∠ ECF= ∠ ACE+ ∠ACF= （∠ ACB+ ∠ ACG ）= ×180°=90°，

∴四边形 AECF 是矩形．

（ 3）△ ABC 是直角三角形∵四边形 AECF 是正方形， ∴

AC⊥ EN ，故∠ AOM=90° ，

∵MN∥BC ，

∴∠ BCA=

∠AOM ， ∴∠

BCA=90° ， ∴△ ABC 是直角三角形．

评论：

此题主要观察利用平行线的性质 “等角同等边 ”证明出结论 （1），再利用结论（ 1）和矩形的判断证明结论（ 2），再对（ 3）进行判断．解答时不但要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题供给思路，有相似的思虑方法．是矩形的判断和正方形的性质等的综合运用．

6.

如图，直角梯形 ABCD 中， AD∥ BC ，∠ ABC=90° ，已知 AD=AB=3 ， BC=4 ，动点 P 从 B 点出发，沿线段 BC 向点 C 作匀速运动；动点 Q 从点 D 出发，沿线段 初二数学动点问题总结

5 / 17 DA 向点 A 作匀速运动．过 Q 点垂直于 AD 的射线交 AC 于点 M，交 BC 于点

N． P、Q 两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度．当 Q 点运动到 A 点， P、Q

两点同时停止运动．设点 Q 运动的时间为 t 秒．

（ 1）求 NC ， MC 的长（用 t 的代数式表示）；

（ 2）当 t 为什么值时，四边形 PCDQ 构成平行四边形； 初二数学动点问题总结 6 / 17

（ 3）能否存在某一时辰， 使射线 QN 恰好将△ ABC 的面积和周长同时均分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明原由；

（ 4）研究： t 为什么值时，△ PMC 为等腰三角形．

解析：

（ 1）依照题意易知四边形 ABNQ 是矩形∴ NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ ，

BC 、 AD 已知， DQ 就是 t ，即解；∵ AB ∥QN ，∴△ CMN ∽△ CAB ，∴

CM ： CA=CN ：CB ，（2） CB 、CN 已知，依据勾股定理可求 CA=5 ，即可表示

CM ；四边形 PCDQ 构成平行四边形就是 PC=DQ ，列方程 4-t=t 即解；

（ 3）可先依据 QN 均分△ ABC 的周长，得出 MN+NC=AM+BN+AB ，据此来求出 t

的值．而后依据得出的 t 的值，求出△ MNC 的面积，即可判断出△ MNC 的

面积能否为△ ABC 面积的一半，由此可得出能否存在吻合条件的 t 值．

（ 4）因为等腰三角形的两腰不确立，所以分三种状况进行谈论：①当 MP=MC 时，那么 PC=2NC ，据此可求出 t 的值．

②当 CM=CP 时，可依据 CM 和 CP 的表达式以及题设的等量关系来求出 t 的值．③当 MP=PC 时，在直角三角形 MNP 中，先用 t 表示出三边的长，而后依据勾股定理即可得出 t 的值．

综上所述可得出吻合条件的 t 的值．

解答 :

解：（ 1）∵ AQ=3-t

∴ CN=4- （ 3-t ） =1+t 在 Rt △ ABC 中， AC2=AB2+BC2=32+42

∴ AC=5

在 Rt △ MNC 中， cos ∠NCM= = ， CM= ．

（ 2）因为四边形 PCDQ 构成平行四边形

∴ PC=QD ，即 4-t=t 初二数学动点问题总结

7 / 17 解得 t=2 ．

（ 3）假如射线 QN 将△ ABC 的周长均分，则有：

MN+NC=AM+BN+AB

即： （ 1+t） +1+t= （3+4+5 ） 初二数学动点问题总结 8 / 17

解得： t= （5 分）

而 MN= NC= （1+t ）

∴ S△MNC= （1+t ）2= （ 1+t） 2

当 t= 时， S△MNC= （ 1+t ） 2= ≠ ×4×3

∴不存在某一时辰 t ，使射线 QN 恰好将△ ABC 的面积和周长同时均分．

（ 4）①当 MP=MC 时（如图 1） 则有： NP=NC 即 PC=2NC ∴4-t=2 （ 1+t ）

解得： t=

②当 CM=CP 时（如图 2）

则有：

（ 1+t ）=4-t

解得： t=

③当 PM=PC 时（如图 3）

则有： 在 Rt △ MNP 中， PM2=MN2+PN2

而 MN= NC= （1+t ）

PN=NC-PC= （1+t ）-（4-t ） =2t-3

∴ [ （ 1+t ）]2+ （2t-3 ）2=（ 4-t ） 2

解得： t1= ， t2=-1 （舍去） 初二数学动点问题总结 9 / 17

∴当 t= ，t= ， t= 时，△ PMC 为等腰三角形

评论：

此题繁琐，难度中等，观察平行四边形性质及等腰三角形性质．观察学生分类谈论和数形联合的数学思想方法．

7.

如图，在矩形 ABCD 中， BC=20cm ， P， Q，M，N 分别从 A，B ，C， D 出发沿 AD ，BC ，CB ， DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运

动边的另一个端点时，运动即停止．已知在同样时间内，若 BQ=xcm （ x≠0），

则 AP=2xcm ，CM=3xcm ， DN=x2cm ．

（ 1）当 x 为什么值时，以 PQ， MN 为两边，以矩形的边（ AD 或 BC ）的一部分为第三边构成一个三角形；

（ 2）当 x 为什么值时，以 P， Q，M， N 为极点的四边形是平行四边形；

（ 3）以 P， Q，M，N 为极点的四边形能否为等腰梯形？假如能，求 x 的值；假如不可以，请说明原由．

解析：

以 PQ ，MN 为两边，以矩形的边（ AD 或 BC ）的一部分为第三边构成一个三角形的一定条件是点 P 、 N 重合且点 Q 、 M 不重合，此时 AP+ND=AD 即

2x+x2=20cm ，BQ+MC≠B C 即 x+3x≠ 20cm；也许点 Q 、M 重合且点 P、N 不重合，此时 AP+ND≠AD 即 2x+x2≠20cm ，BQ+MC=BC 即 x+3x=20cm ．所以可以依据这两种状况来求解 x 的值．

以 P，Q，M，N 为极点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点 Q 只

能在点 M 的左边．当点 P 在点 N 的左边时， AP=MC ，BQ=ND ；当点 P 在点 N

的右边时， AN=MC ， BQ=PD ．所以可以依据这些条件列出方程关系式．

假如以 P， Q，M， N 为极点的四边形为等腰梯形，则一定使得 AP+ND≠AD 即

2x+x2≠ 20cm，BQ+MC≠ BC 即 x+3x≠ 20cm，AP=ND 即 2x=x2 ，BQ=MC 即 x=3x ， x≠0．这些条件不可以同时满足，所以不可以成为等腰梯形．