2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题-含答案

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2020年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合}13|{},1|{2xxBxxA，则)(BCAR

A．}0|{xx B．}10|{xx C．}01|{xx D．}1|{xx

2．若复数z与其共轭复数z满足izz312，则||z

A．2 B．3 C．2 D．5

3．已知双曲线222210,0xyabab的离心率为53，则其渐近线方程为

A．2x+y=0 B．20xy C．340xy D．430xy

4．在区间(0,4]内随机取两个数ab、，则使得“命题‘xR，不等式220xaxb成立’为真命题”的概率为

A．14 B．12 C．13 D．34

5．若向量)2,1(xa与)1,1(b平行，则|2+|=abrr

A．2 B．322 C．32 D．22

6．F是抛物线22yx的焦点，AB、是抛物线上的两点，8AFBF，则线段AB 的中点到y轴的距离为

A．4 B．92 C．72 D．3

7．已知nm,是两条不重合的直线，,是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是 2 A．若mnm,，则//n

B．若nmnm,//,//，则//n

C．若nmnm,,，则

D．若//,//m，则//m或m

8．已知函数y=f(x)的部分图像如图，则f(x)的解析式可能是

A．()tanfxxx B．()2sinfxxx

C．()sinfxxx D．1()cos2fxxx

9．已知函数41()2xxfx，0.30.30.3(2),(0.2),(log2)afbfcf，则,,abc的大小关系为

A．cba B．bac C．bca D．cab

10．天文学中，为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念。星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗。到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森（M.R.Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足12212.5(lglg)mmEE，其中星等为km的星的亮度为kE（k=1,2）,已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当||x较小时，21012.32.7xxx）

A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27

11．已知数列na的通项公式是6nnaf，其中sin()0||2fxx，的部分图

像如图所示，nS为数列na的前n项和，则2020S

的值为

A．1 B．32 C．12 D．0

12．已知函数2(1)1,2()1(2)22xxfxfxx，，若函数()()Fxfxmx有4个零点，则实数m的取值范围为 3 A．51(6,)26 B．11(,)206

C．1(,322)20 D．5(6,322)2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个样本容量为36的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为_____________ .

14．已知实数x,y满足24020xyyxy，则3zxy的最大值为_____________ .

15．等差数列{a}n的前n项和为nS，34310aS，,则11nkkS_____________.

16．在三棱锥PABC中，2,1,90 PAPCBABCABC，点P到底面ABC的距离是3；则三棱锥PABC的外接球的表面积是_________

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分)

17．(12分)

某年级教师年龄数据如下表：

年龄(岁) 人数(人)

22 1

28 2

29 3

30 5

31 4

32 3

40 2

合计 20

(1)求这20名教师年龄的众数与极差； 4 DCABEF(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；

(3)现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．

18．（12分）

在锐角△ABC中，23a,________，

（1）求角A;

（2）求△ABC的周长l的范围．

注：在①(cos,sin),(cos,sin)2222AAAAmnurr,且12mnurr，②cos(2)cosAbcaC，③11()coscos(),()344fxxxfA

这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．

19．(12分)

如图所示的多面体中，四边形ABCD是正方形，平面AED平面ABCD，//EFDC，011,302EDEFCDEAD.

（1）求证：AEFC；

（2）求点D到平面BCF的距离．

20．（12分）

已知椭圆22221(0)xyabab的长轴长是短轴长的2倍，且过点(01)B，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线:(2)lykx交椭圆于,PQ两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围． 5

21．（12分）

已知函数ln()fxxaxaR.

（1）若曲线yfx与直线1ln20xy相切，求实数a的值；

（2）若不等式(1)()lnxxfxxe 在定义域内恒成立，求实数a的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos42，曲线C的极坐标方程为0cos6.

（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点(1,0)A，若直线l与曲线C交于,PQ两点，,PQ中点为M，求||||||APAQAM的值.

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知函数()|2|fxx.

（1）求不等式()(2)4fxfxx的解集；

（2）若xR，使得)2()()(afxfaxf恒成立，求a的取值范围. 6 参考答案

一．选择题

题号 1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

答案 D A D A C C A C A C B

D

二、填空题：

13、700 14、22 15. 21nn 16.5

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17【解析】(Ⅰ)年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40－22＝18. 4分

(Ⅱ) 8分

(Ⅲ)设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A.年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有7×62＝21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21－9＝12种，所以P(A)＝1221＝47. 12分

18．（1）若选①，∵(cos,sin),(cos,sin)2222AAAAmnurr，且12mnurr 7 221cossin,........32221cos.........520,..........623AAAAAQ分分分

（2）24,4sin4sin23sin3ABCalBBAVQ .........8分

43sin236ABClBV.............10分

=362ABCABQV锐角且，............11分

2,623,63633ABCBlV.............12分

（1）②∵cos A(2b-c)＝acos

C

2coscoscos2cos...........31cos........52bAaCcAbAbA分分

0,23AAQ. .........6分

（2）24,4sin4sin23sin3ABCalBBAVQ .........8分

43sin236ABClBV ........10分

=362ABCABQV锐角且， .........11分

2,623,63633ABCBlV. .........12分

（1）③131()cos(cossin)224fxxxx

＝12cos2x＋32cos xsin x－14