2022届中考数学压轴难题及答案解析

2022年中考数学压轴题1．问题探究（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE+DF＝EF；（2）如图②，在△ADC中，AD＝2，CD＝4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；问题解决（3）如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4√2，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）如图①，延长CD至G，使得DG＝BE，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠AFG＝90°，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠GAF＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，故答案为：BE+DF＝EF；（2）存在．在等边三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，如图②，将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE．由旋转可得，CE＝AD＝2，BD＝BE，∠DBE＝60°，∴△DBE是等边三角形，∴DE＝BD，∴在△DCE中，DE＜DC+CE＝4+2＝6，∴当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6，∴BD的最大值为6；（3）存在．如图③，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∴△ABC≌△DBE，∴DE＝AC，∵在等边三角形BCE中，EF⊥BC，∴BF=12BC＝2√2，∴EF=√3BF=√3×2√2=2√6，以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF，∴DF=12BC=12×4√2=2√2，∴AC＝DE≤DF+EF＝2√2+2√6，即AC的最大值为2√2+2√6．2．【问题提出】：将一个边长为n（n≥2）的正三角形的三条边n等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少呢？【问题探究】：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．探究一：将一个边长为2的正三角形的三条边平分，连接各边中点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？如图1，连接边长为2的正三角形三条边的中点，从上往下：共有1+2+3＝6个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，共有1+2＝3个，线段数为3×3＝9条；边长为2的正三角形有1个，线段数为3条，总共有3×（1+2+1）＝2×（1+2+3）＝12条线段．探究二：将一个边长为3的正三角形的三条边三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？如图2，连接边长为3的正三角形三条边的对应三等分点，从上往下：共有1+2+3+4＝10个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，共有1+2+3＝6个，线段数为3×6＝18条；边长为2的正三角形有1+2＝3个，线段数为3×3＝9条，边长为3的正三角形有1个，线段数为3条，总共有3×（1+2+3+1+2+1）＝3×（1+2+3+4）＝30条线段．探究三：请你仿照上面的方法，探究将边长为4的正三角形的三条边四等分（图3），连接各边对应的等分点，该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？（画出示意图，并写出探究过程）【问题解决】：请你仿照上面的方法，探究将一个边长为n（n≥2）的正三角形的三条边n等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？（写出探究过程）【实际应用】：将一个边长为30的正三角形的三条边三十等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？解：探究三：如图3中，连接边长为4的正三角形三条边的对应四等分点，从上往下：共有1+2+3+4+5＝15个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，第四层有4个，共有1+2+3+4＝10个结点个数，线段数为3×10＝30条；边长为2的正三角形有1+2+3＝6个，线段数为3×6＝18条，边长为3的正三角形有3个，线段数为3×3＝9，边长为4的正三角形有1个，线段数为3条，总共有3×（1+2+3+4+1+2+3+3+1）＝4×（1+2+3+4+5）＝60条线段．问题解决：探究将一个边长为n（n≥2）的正三角形的三条边n等分，连接各边对应的等分点，从上往下：共有1+2+3+4+5＝15个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，第四层有4个，•第n层有n个，共有1+2+3+4+…+n个结点个数，线段数为3×（1+2+3＝4+…+n）条；边长为2的正三角形有1+2+3＝6个，线段数为3×6＝18条，边长为3的正三角形有3个，线段数为3×3＝9，边长为4的正三角形有1个，线段数为3条，…边长为n的三角形1个，线段数为3，线段的个数为n （1+2+3+…+n+1）．实际应用：将一个边长为30的正三角形的三条边三十等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数为1+2+…+30+31＝496个结点个数，线段数＝30（1+2+3+…+31）＝14880．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，sin B=35，求ED的长．【解答】（1）证明：连接OM，如图1，∵OC＝OM，∴∠OCM＝∠OMC，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴CD=12AB＝BD，∴∠DCB＝∠DBC，∴∠OMC＝∠DBC，∴OM∥BD，∵MN⊥BD，∴OM⊥MN，∵OM过O，∴MN是⊙O的切线；（2）解：连接DM，CE，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，即DM⊥BC，CE⊥AB，由（1）知：BD＝CD＝5，∴M为BC的中点，∵sin B=3 5，∴cos B=4 5，在Rt△BMD中，BM＝BD•cos B＝4，∴BC＝2BM＝8，在Rt△CEB中，BE＝BC•cos B=32 5，∴ED＝BE﹣BD=325−5=75．4．已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB，∵P A，PB为⊙O的切线，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵∠APB+∠P AO+∠PBO+∠AOB＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝60°＝∠APB，∵点C 运动到PC 距离最大， ∴PC 经过圆心，∵P A ，PB 为⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，∠APC ＝∠BPC ＝30°， 又∵PC ＝PC ，∴△APC ≌△BPC （SAS ），∴∠ACP ＝∠BCP ＝30°，AC ＝BC ， ∴∠APC ＝∠ACP ＝30°， ∴AP ＝AC ，∴AP ＝AC ＝PB ＝BC ，∴四边形APBC 是菱形；（3）∵⊙O 的半径为r ，∴OA ＝r ，OP ＝2r ，∴AP =√3r ，PD ＝r ，∵∠AOP ＝90°﹣∠APO ＝60°， ∴AD ̂的长度=60°π⋅r 180°=π3r ， ∴阴影部分的周长＝P A +PD +AD̂=√3r +r +π3r ＝（√3+1+π3）r ．。

一、解答题1．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝a 2x ＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝﹣32且经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．(1)求抛物线解析式；(2)在第四象限的抛物线上找一点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ．若△AMN 与△ABC 相似，求点M 的坐标；(3)如图2，P 为抛物线上一点，横坐标为p ，直线EF 交抛物线于E ，F 两点，其中∠EPF 为直角，当p 为定值时，直线EF 过定点D ，求随着p 的值发生变化时，D 点移动时形成的图象解析式．2．已知MON α∠=(0180)a <<︒，P 为射线OM 上的点，1OP =．（1）如图1，60α=︒，A ，B 均为射线ON 上的点，1OA =，OB OA >，PBC 为等边三角形，且O ，C 两点位于直线PB 的异侧，连接AC ．①依题意将图1补全；②判断直线AC 与OM 的位置关系并加以证明；（2）若45α=︒，Q 为射线ON 上一动点（Q 与O 不重合），以PQ 为斜边作等腰直角PQR ，使O ，R 两点位于直线PQ 的异侧，连接OR ．根据（1）的解答经验，直接写出POR 的面积．（3）若点E 为射线ON 上的点，3OE =，以PE 为边作等边PEF ，且O ，F 两点位于直线PE 的异侧，连接OF ．直接写出线段OF 的最大值．3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣417，0），点B在直线l：y＝14x上且位于第三象限，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于第二象限内的点C．（1）设BC与AO相交于点D，①若BA＝BO，求证：CD＝CO；②求：点A到直线l的距离；（2）是否存在点B，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．4．“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．（1）如图1，正方形ABCD中，45EAF∠=︒，且DE BF=，求证：EG AG=；（2）如图2，正方形ABCD中，45EAF∠=︒，延长EF交AB的延长线于点G，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图3在（2）的条件下，作GQ AE⊥，垂足为点Q，交AF于点N，连结DN，求证：45NDC∠=︒．5．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，连结BD交AC于点F．（1）求证：BD＝CD．（2）若∠BAC＝60°，BC＝3，当AF将△ABD的面积分为1：2两部分时，求△ADF与△BCF的面积比值．（3）将C点关于AD的对称点记为点C'，当BC'＝3BD时，写出AD与半径r的数量关系，并说明理由．6．已知抛物线y＝ax2+32x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于两点与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点D，与x轴交于点E．(1)求抛物线的对称轴及B点的坐标(2)如果，求抛物线的表达式；(3)在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段BC的下方，，求点F的坐标8．在△ABC中，D为AC上一点，且AC＝kAD，E是BC上一点，BD于AE相交于点O，若∠AOB+∠BAC＝180°．(1)如图1，若∠BAC＝120°，AB＝AC．①找出与∠ABD相等的角，并证明；②求的值．(2)如图2，若BE＝2CE，求的值．9．如图1，二次函数2=+的图像过点A（-1，3），顶点B的横坐标为1．y ax bx（1）求二次函数的解析式;（2）点P为二次函数第一象限图象上一点，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；（3）如图3，一次函数y kx=（k>0）的图象与该二次函数的图像交于O、C两点，点T为该二次函数图像上位于直线OC下方的动点，过点T作直线1:l y x bk=-+交线段OC于点M（不与O、C重合），过点T作直线TN//y轴交OC于点N，若在点T运动的过程中，2ONOM=常数m，求m、k的值．10．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且AB＝4，OB＝3．(1)试判断△AOB的形状，并说明理由．(2)点P是线段OA上一点，且PB－PA＝1，求点P的坐标；(3)如图2，点C、点D分别为线段OB、BA上的动点，且OC＝BD，求AC＋OD的最小值．11．如图，在矩形ABCD中，6cmAB=，12cmBC=，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．（1）几秒钟后DPQ的面积等于228cm；（2）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，PQ为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．（3）在点P、Q的运动过程中，几秒后DPQ是直角三角形？请直接写出答案．12．如图1，抛物线y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣4．(1)求证：点P在直线l上．(2)若m＜0，直线l与抛物线的另一个交点为Q，与y轴交点为H，Q恰好是线段PH的中点，求m的值．(3)如图2，当m＝0时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足MA⊥NA，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．13．设抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与y轴交于点C．且∠ACB=90度．(1)求m的值；(2)求抛物线的解析式，并验证点D（1，﹣3）是否在抛物线上；(3)已知过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E．问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：(1)类比探究：如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为；(2)推广验证：如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；(3)拓展应用：如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝23，DE＝2，点P在AE上，∠ABP＝30°，PE2=，求五边形ABCDE的面积．15．如图1，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上，点B（4，3），反比例函数kyx=（x＞0）的图象与AB、BC分别交于D、E两点，BD=1，点P是线段OA上一动点．(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；(2)如图2，连接DE、PE、PD，求△PDE周长的最小值及此时点P的坐标；(3)如图3，将直线OD沿y轴向下平移且过点A，交y轴于点M，交双曲线于点N，Q为线段MN上任意一点，过点Q作与y轴平行的直线交双曲线于点F，试探索三角形CQF的面积是否存在最大值？如果有，请求出最大值，如果无，请说明理由．16．某公司生产的一种产品在市场上很受欢迎，该公司每年的产量为6万件，可在国内和国外两个市场全部销售．若在国外销售，平均每件产品的利润1y（元）与国外销售量xy=元，设（万件）之间的函数关系如图所示．若在国内销售，平均每件产品的利润为284该公司每年在国内和国外销售的总利润为w万元．(1)求1y与x之间的函数关系式，并求x的取值范围．(2)该公司每年在国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？(3)该公司计划以国外销售的每件产品中捐出2m（14≤≤）元给希望工程，从国内销售的m每件产品中捐出m元给希望工程，且国内销售量不低于4万件，若这时国内外销售的总利润的最大值为520万元，求m的值．17．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB3=下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．(1)如图，平移线段AB 得到⊙O 3P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是 ；在点P 1，P 2，P 3，P 4中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；(2)若点A 在直线y ＝x ＋2上；①若点B 也在直线y ＝x ＋2上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1，求d 1的最小值； ②若点B 在抛物线y ＝x 2＋4上且AB ∥y 轴，是否存在这样的点B 满足题意，若存在，求出“平移距离”为d 2的最小值，若不存在，说明理由；(3)若点A 的坐标为（32），记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 3，则d 3的取值范围为 ，当d 3取最小值时点B 的坐标为 ．18．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线:4l y x =+交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，AB CD ，()2,3A ，点P 是直线l 上一动点，连接AP ，BP ．(1)求直线AB的表达式；(2)求22AP CP+的最小值；(3)如图2，将三角形ABP沿BP翻折得到A BP'，当点A'落在坐标轴上时，请直接写出直线BP的表达式．19．如图1，直线y＝﹣x+42与x，y轴的交点分别为点A，B，与反比例函数y6x=（x＞0）的图象的两交点分别为点C，D，点M是反比例函数上一动点．(1)求△OCD的面积；(2)是否存在点M，使得△ODM∽△OAD？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E，F，是否存在点M，使得矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于236？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．在ABC中，AB AC=，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且．(1)如图1，若90BAC ∠=︒，，，求点B 到AE 的距离；(2)如图2，若E 为BD 中点，连接FD ，FD 平分，G 为CF 上一点，且，求证：；(3)如图3，若，12BC =，将ABD △沿着AB 翻折得，点H 为的中点，连接HA 、HC ，当周长最小时，请直接写出的值．【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1．(1)213222y x x =--+(2)M （2，﹣3）或（5，﹣18） (3)【解析】 【分析】(1) 利用函数的对称轴确定点B 的坐标，再用待定系数法求解即可．(2) 利用勾股定理的逆定理判定三角形ABC 是直角三角形，根据三角形相似，对应边不确定时，分类求解即可． (3) 设E （，），F （，），P （p ，），过P 作y 轴平行线l ，分别过E ，F 作直线l 的垂线，垂足分别为M ，N ，构造一线三直角相似模型，证明相似，再构造方程组，转化为一元二次方程的根与系数关系定理，求解即可 ． (1) ∵直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，当x ＝0时，y ＝2，即C （0，2）， 当y ＝0时，12x ＋2=0，解得x ＝﹣4，即A （﹣4，0）． 由A 、B 关于对称轴x ＝﹣32对称，得 B （1，0）．将A 、B 、C 点坐标代入函数解析式，得，解得，∴抛物线的解析式为213222y x x =--+．(2) 连接BC ，设M （m ，），则N （m ，0）．AN ＝m +4，MN ＝．由勾股定理，得 AC ＝，BC ＝，AB =1-(-4)=5，∴，∴∠ACB ＝90°，①当△ANM ∽△ACB 时，∠CAB ＝∠MAN ， ∵tan ∠CAB ＝tan ∠MAN ，tan ∠CAB ＝，∴tan∠MAN＝，整理，得，解得：＝﹣4（舍去），＝2，∴M（2，﹣3），②当△ANM′∽△BCA时，∠CBA＝∠MAN，∵tan∠CBA＝tan∠MAN，tan∠CBA＝，∴tan∠MAN＝，整理，得，解得：＝﹣4（舍去），＝5，∴M（5，﹣18），综上，点M的坐标是M（2，﹣3）或（5，﹣18）．(3)设E（，），F（，），P（p，），过P作y轴平行线l，分别过E，F作直线l的垂线，垂足分别为M，N，∵∠EPF为直角，∴∠MPE+∠NPF＝90°，∵∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠MPE＝∠NPF，∵∠PME＝∠FPN＝90°，∴△PME∽△FNP，∴，∴ME•NF＝PM•PN，（，），F（，），P（p，），∴（﹣p）（﹣p）＝（﹣）（﹣）①，∵﹣＝＝﹣（﹣p）（+p+3），﹣＝＝（﹣p ）（+p +3），代入①式得•+（p +3）（+）++6p ＝﹣13②，设直线EF 的解析式为y ＝kx +m ，联立213222y x x =--+得，∴，∴、是该方程的两个根， ∴+＝﹣2k ﹣3，•＝2m ﹣4，代入②，整理，得 ∴m ＝（p +3）k ﹣，则直线EF 的解析式为y ＝kx +（p +3）k ﹣，∴当p 为定值时，直线EF 过定点D （﹣p ﹣3，﹣），∴x =﹣p ﹣3，y =﹣，∴，∴随着p 的值发生变化时，D 点移动时形成的图象解析式为．【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，勾股定理，三角函数，三角形相似的判定和性质，一元二次方程根与系数关系定理，定点的意义，熟练运用待定系数法，灵活用三角形的相似，一元二次方程根与系数关系定理是解题的关键．2．（1）①见解析；②//AC OM ，证明见解析；（2）14；（3）4 【解析】 【分析】（1）①根据题意，补全图形即可；②连接AP ，可证得POA 是等边三角形，之后只要证明(SAS)OBP ACP ≌△△，可求得OPA PAC =∠∠，即可解决问题；（2）作PH OQ ⊥于H ，取PQ 的中点K ，连接HK ，RK ．利用圆的定义可以证明P ，R ，Q ，H 在以K 为圆心，PK 长为半径的圆上，从而证得，45RHQ PQR OPH ∠=∠=∠=︒，即可证明//OP RH ；（3）构造EFG ，使其与PFO △全等，将OF ，转移到OEG 中，利用三边关系即可求出线段最值． 【详解】解：（1）①如图所示：②结论：//AC OM ． 理由：连接AP∵1OA OP ==，60POA ∠=︒， ∴OAP △是等边三角形． ∴OP PA =，60OPA OAP ∠=∠=︒， ∵PBC 是等边三角形， ∴PB PC =，60BPC ∠=︒， ∴OPA APB BPC APB +=+∠∠∠∠， 即OPB APC ∠=∠， ∴(SAS)OBP ACP ≌△△． ∴60PAC O ==︒∠∠， ∴OPA PAC =∠∠， ∴//AC OM ．（2）作PH OQ ⊥于H ，取PQ 的中点K ，连接HK ，RK ． ∵90PHQ PRQ ∠=∠=︒，PK KQ =， ∴HK PK KQ RK ===，∴P ，R ，Q ，H 在以K 为圆心，PK 长为半径的圆上， ∴RHQ PQR ∠=∠，在等腰直角三角形PQR 中，45PQR QPR ∠=∠=︒，∴45RHQ RQP ∠=∠=︒，∴45RHQ POQ ∠=∠=︒， ∴//RH OP ， ∴POR POH S S =△△， 在Rt POH 中，1OP =， ∴22PH OH ==， ∴2POR POH PH S OHS =⋅=△△， 12212224POR S =⨯⨯=△，即14POR S =△．（3）如图以EF 为边作EFG PFO ∠=∠，且FG FO =，连接EG ，OG ， 已知PFE △为等边三角形， ∴60PFE ∠=︒, PF EF =，∴60PFE OFE EFG OFE ∠+∠=∠+∠=︒， ∴OFG △为等边三角形， ∴OF OG =， 在OPF △与GEF △中，PF EF PFO EFG OF OG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (SAS)OPF GEF ≌△△，∴1OP GE ==， 在OEG 中OG OE GE +≤, ∵3OE =， ∴4OG ≤， ∴4OF OG =≤， ∴线段OF 的最大值为4．【点睛】本题考查作图-复杂作图、平行线的判定、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、四点共圆，等边三角形手拉手全等模型，利用三边关系求线段最值等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．（1）①见解析；②4；（2）8OB =或83OB =+843OB =-【解析】 【分析】（1）①根据BA =BO ，得到∠BAO =∠BOA ，再根据垂直的定义可得∠BAO +∠ADB =∠BOA +∠COD =90°，从而可以推出∠CDO =∠COD ，从而得证； ②分别过点A 作AE ⊥直线l 于E ，过点B 作BF ⊥x 轴于F ，可证△AOE ∽△BOF ，得到OE AE OF BF =，再由可设1,4B m m ⎛⎫⎪⎝⎭，得到OF m =-，14BF m =-，从而推出4OE AE =，再在直角三角形AEO 中利用勾股定理求解即可；（2）过点A 作AE ⊥直线l 于E ，由（1）②得AE =4，OE =4AE =16，设OB =x ，则BE =OE -OB =16-x ，则()2221616AB AE BE x =++-AEB ∽△BOC ，得到OC OBEB EA=即164OC x x =-，则()164x x OC -=，然后分当△ABC ∽△BOC 时和当△ABC ∽△COB 时两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）①∵BA =BO ， ∴∠BAO =∠BOA ， ∵AB ⊥BC ，CO ⊥BO ， ∴∠ABC =∠BOC =90°，∴∠BAO +∠ADB =∠BOA +∠COD =90°， ∴∠COD =∠ADB ，又∵∠ADB =∠CDO ， ∴∠CDO =∠COD ， ∴CD =CO ；②如图所示，分别过点A 作AE ⊥直线l 于E ，过点B 作BF ⊥x 轴于F ， ∴∠AEO =∠BFO =90°， 又∵∠AOE =∠BOF ， ∴△AOE ∽△BOF ， ∴OE AEOF BF=， ∵B 在直线14y x =上， ∴可设1,4B m m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴OF m =-，14BF m =-，∴14OE AEm m =--，∴4OE AE =， ∵()417,0A -， ∴417OA = ∵222AE OE OA +=， ∴22161617AE AE +=⨯， ∴4AE =，∴点A 到直线l 的距离为4；（2）如图所示，过点A作AE⊥直线l于E，由（1）②得AE=4，OE=4AE=16，设OB=x，则BE=OE-OB=16-x，∴()2221616AB AE BE x=+=+-∵AB⊥BC，CO⊥BO，AE⊥BO，∴∠ABC=∠BOC=∠AEB=90°，∴∠ABE+∠EAB=∠ABE+∠CBO=90°，∴△AEB∽△BOC，∴OC OBEB EA=即164OC xx=-，∴()164x x OC-=，∴()()222 222161616164x x xBC OB OC x x-=++=+-∵∠ABC=∠BOC=90°，∴以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似有两种情况：当△ABC∽△BOC时，∴AB BCBO OC=()()()22161616164164xxxx x+-+-=-，解得8x=，∴此时8OB=；当△ABC∽△COB时，∴AB BCCO OB=()()()221616161644xxxx+-+-=，解得83x=±∴此时843OB=-，OB=+或843综上所述，当8OB=或843OB=-，使得以A、B、C为顶点的三角形与OB=+或843以点B、C、O为顶点的三角形相似．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，一次函数上点的坐标特征，相似三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定．4．（1）见解析；（2）结论依然成立，理由见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据半角旋转模型，把△ABF逆时针旋转90°，则AB与AD重合，设F对应的点为M，即可证明AME AFE∠=∠，可得≅，得到AEM AEF∠=∠，再结合AEM EAG=；∠=∠，可得EG AGAEM AEF（2）结论依然成立，证明方法与（1）一样；（3）又等腰三角形三线合一的性质可得GQ垂直平分EA，可得△ANE是等腰直角三角形，可得A、D、E、N四点共圆，根据圆周角45NDC EAN∠=∠=︒【详解】（1）把△ABF逆时针旋转90°，则AB与AD重合，设F对应的点为M，∴AMD AFB ≅∴90,,MDA FBA AM AF MAD FAB ∠=∠=︒=∠=∠∴M 、D 、C 三点共线∵45EAF ∠=︒∴45EAD FAB EAD MAD MAE ∠+∠=∠+∠=∠=︒∴()AME AFE SAS ≅∴AEM AEG ∠=∠∵AB ∥CD∴AEM EAG ∠=∠∴AEG EAG ∠=∠∴EG AG =（2）结论依然成立，EG AG =把△ABF 逆时针旋转90°，则AB 与AD 重合，设F 对应的点为M ，∴AMD AFB ≅∴90,,MDA FBA AM AF MAD FAB ∠=∠=︒=∠=∠∴M 、D 、C 三点共线∵45EAF ∠=︒∴45EAD FAB EAD MAD MAE ∠+∠=∠+∠=∠=︒∴()AME AFE SAS ≅∴AEM AEG ∠=∠∵AB ∥CD∴AEM EAG ∠=∠∴AEG EAG ∠=∠∴EG AG =（3）连接EN由（2）得EG AG=∵GQ AE⊥∴GQ垂直平分AE∴EN=AN∵45EAF∠=︒∴90ANE ADE∠=︒=∠∴A、D、E、N四点在以AE为直径的同一个圆上，∴45NDC EAN∠=∠=︒．【点睛】本题考查半角旋转模型，熟练根据模型做出辅助线是解题的关键．第（3）问根据四点共圆证明是本题的难点．5．（1）见详解；（2）17或47；（3）AD=r，理由见详解【解析】【分析】（1）先推出∠EAD=∠CBD，再根据圆内接四边形的性质可得∠EAD=∠BCD，进而即可得到结论；（2）由题意可得BF=2，DF=1或BF=1，DF=2，分两种情况：①当BF=2，DF=1时，过点C作CM⊥BD，②当BF=1，DF=2时，过点C作CN⊥BD，结合相似三角形的性质，即可求解；（3）由题意可知点C'在AE的延长线上，连接C'D，过点D作DM⊥B C'，连接AO，DO，从而可得∠ABD=30°，进而即可求解．【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD，∵∠CAD=∠CBD，∴∠EAD=∠CBD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EAD=∠BCD，∴∠CBD=∠BCD，∴BD＝CD；（2）∵∠BAC＝60°，∴∠BDC=60°，∵BD＝CD，∴BCD△是等边三角形，∴BD=BC＝3，∵AF将△ABD的面积分为1：2两部分，∴BF=2，DF=1或BF=1，DF=2，当BF=2，DF=1时，过点C作CM⊥BD，则BM=1.5，MF=0.5，CM=332，∴CF=22331722⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∵∠ADF=∠BCF，∠AFD=∠BFC，∴AFD BFC∽，∴△ADF与△BCF的面积比值=221177DFCF⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当BF=1，DF=2时，如图，同理可得：CN=332，NF=0.5，CF=22331722⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴△ADF与△BCF的面积比值=222477DFCF⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎝⎭⎝⎭，综上所述：△ADF 与△BCF 的面积比值为17或47； （3）∵AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，C 点关于AD 的对称点记为点C'， ∴点C'在AE 的延长线上，连接C'D ，过点D 作DM ⊥B C'，连接AO ，DO ，如图所示，∴BD =CD =C'D ，BM =12BC'， ∵BC'3，∴BM 3，即：cos ∠ABD 3 ∴∠ABD =30°，∴∠AOD =60°，∴AOD △是等边三角形，∴AD =AO =r ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．6．（1）213442y x x =-++，点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）；（2）存在，点P （4，6）；（3）点M 的坐标为（4﹣771）或（77﹣1）．【解析】【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线x ＝3，解出a 的值，即可求得抛物线解析式，在令其y 值为零，解一元二次方程即可求出A 和B 的坐标；（2）易求点C 的坐标为（0，4），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将B （8，0），C （0，4）代入y ＝kx +b ，解出k 和b 的值，即得直线BC 的解析式；设点P 的坐标为（x ，213442x -++），过点P 作PD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x ，142x -+），利用关系式S 四边形PBOC ＝S △BOC +S △PBC 得出关于x 的二次函数，从而求得其最值；（3）设点M 的坐标为（m ，213442m m -++）则点N 的坐标为（m ，142m -+），MN ＝2213114(4)24224m m m m m -++--+=-+，分当0＜m ＜8时，或当m ＜0或m ＞8时来化简绝对值，从而求解．【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x ＝3，3232a∴-= 14a ∴=- ∴抛物线的解析式为：213442y x x =-++． 当y ＝0时，2130442x x =-++，解得x 1＝﹣2，x 2＝8， ∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）． 答：抛物线的解析式为：213442y x x =-++；点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）．（2）当x ＝0时，2134442y x x =-++=， ∴点C 的坐标为（0，4）．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将B （8，0），C （0，4）代入y ＝kx +b 得804k b b +=⎧⎨=⎩，解得124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为142y x =-+． 假设存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大，设点P 的坐标为（x ，213442x x -++），如图1所示，过点P 作PD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x ，142x -+），则PD ＝2211314222()444-++-++-=-x x x x x ， ∴S 四边形PBOC ＝S △BOC +S △PBC118422PD OB =⨯⨯+⋅ 211168(2)24x x =+⨯-+ 2816x x =-++2(4)32x =--+∴当x ＝4时，四边形PBOC 的面积最大，最大值是32∵0＜x ＜8，∴存在点P （4，6），使得四边形PBOC 的面积最大．答：存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大；点P 的坐标为（4，6），四边形PBOC 面积的最大值为32．（3）设点M 的坐标为（m ，213442m m -++）则点N 的坐标为（m ，142m -+）， ∴MN ＝2213114(4)24224m m m m m -++--+=-+ 又∵MN ＝3，21234m m ∴-+= 当0＜m ＜8时，212304m m -+-=，解得m 1＝2，m 2＝6， ∴点M 的坐标为（2，6）或（6，4）；当m ＜0或m ＞8时，212304m m -+-=，解得m 3＝427-m 4＝427+， ∴点M 的坐标为（47-71）或（427+，71-）．答：点M 的坐标为（2，6）、（6，4）、（47-71）或（427+，71-）．【点睛】本题属于二次函数压轴题，综合考查了待定系数法求解析式，解析法求面积及点的坐标的存在性，最大值等问题，难度较大．7．(1)对称轴是，B(4，0) (2)y=(3)F(32，-5)【解析】【分析】（1）根据二次函数抛物线的性质，可求出对称轴，即可得B点的坐标；（2）二次函数的y轴平行于对称轴，根据平行线分线段成比例用含a的代数式表示DE的长，MD=158，可表示M的纵坐标，然后把M的横坐标代入y=ax2−3ax−4a，可得到关于a的方程，求出a的值，即可得答案；（3）先证△AOC∽△COB，得∠BCO=∠CAO，再求出∠CAO=∠CFB，得△AGC∽△FGB，根据相似三角形对于高的比等于相似比，可得答案．(1)解：∵二次函数y=ax2−3ax−4a，∴对称轴是，∵A(−1，0)，∵1+1.5=2.5，∴1.5+2.5=4，∴B(4，0)；(2)∵二次函数y=ax2−3ax−4a，C在y轴上，∴C的横坐标是0，纵坐标是−4a，∵y轴平行于对称轴，∴，∴，∵，∵MD=158，∵M的纵坐标是+15 8∵M的横坐标是对称轴x，∴ ，∴+158=，解这个方程组得：12a =- ， ∴y =ax 2−3ax −4a =12- x 2-3×（12-）x -4×（12-）=；(3)假设F 点在如图所示的位置上，连接AC 、CF 、BF ，CF 与AB 相交于点G ，由（2）可知：AO =1，CO =2，BO =4，∴，∴， ∵∠AOC =∠COB =90°，∴△AOC ∽△COB ，∴∠BCO =∠CAO ，∵∠CFB =∠BCO ，∴∠CAO=∠CFB ，∵∠AGC =∠FGB ，∴△AGC ∽△FGB ，∴， 设EF =x ，∵BF 2=BE 2+EF 2=，AC 2=22+12=5，CO 2=22=4， ∴=， 解这个方程组得：x 1=5，x 2=-5，∵点F 在线段BC 的下方，∴x1=5（舍去），∴F（32，-5）．【点睛】本题考查了二次函数的性质、平行线分线段成比例、一元一次方程的解法、一元二次方程方程的解法、相似三角形的判定与性质，做题的关键是相似三角形的判定与性质的灵活运用．8．(1)①∠ABD＝∠CAE，证明见解析；②(2)【解析】【分析】（1）①由∠BAC＝120°，得∠ADO+∠ABD＝60°，由∠AOB+∠BAC＝180°，得∠AOB＝60°，进而命题得证；②作EF⊥BC交AC于F，设AD＝a，则AB＝AC＝ka，CD＝（k﹣1）•a，设EF＝x，证明△AEF∽△BAD，进一步求得结果；（2）作EF//BD交AC于F，设AD＝a，设OD＝x，则AC＝k•a，CD＝（k﹣1）•a，△EFC∽△BDC，△AOD∽△AEF，进一步求得结果．(1)①∠ABD＝∠CAE，理由如下：∵∠BAC＝120°，∴∠ADO+∠ABD＝60°，∵∠AOB+∠BAC＝180°，∴∠AOB＝60°，∴∠ADO+∠CAE＝60°，∴∠ABD＝∠CAE；②如图1，作EF⊥BC交AC于F，设AD＝a，则AB＝AC＝ka，CD＝（k﹣1）•a，设EF＝x，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝30°，∴CF＝2x，∠AFE＝∠C+∠CEF＝120°，∵∠BAC＝120°，∴∠AFE＝∠BAC，∵∠ABD＝∠CAE，∴△AEF∽△BAD，∴，，∴，∴x＝，即：EF＝∴＝；(2)如图2，作EF//BD交AC于F，设AD＝a，设OD＝x，则AC＝k•a，CD＝（k﹣1）•a，∴△EFC∽△BDC，△AOD∽△AEF∴，，∴BD＝3EF，CF＝＝13（k﹣1）•a，∴＝，∴EF＝，∴BD＝（2k+1）•x，∵∠CAE＝∠ACD，∠ADO＝∠ADB，∴△AOD∽△BAD，∴＝＝，∴＝，∴x ＝•a∴＝＝．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是设未知数，利用相似三角形关联量与量之间关系．9．（1）22y x x =-；（2）点P的坐标(14)+或(1+；（3）m =，12k =． 【解析】【分析】（1）根据条件图象过点A （﹣1，3），顶点B 的横坐标为1，代入点A ，并利用对称轴为直线x =1列式计算即可；（2）设点Q （m ，0），P （n ，n 2﹣2n ），其中n >2，如下图所示，分两种情况，①当AB 为对角线时，根据中点坐标公式，列出方程组解决问题；②当AB 为边时，根据中点坐标公式列出方程组解决问题；（3）设T （m ，m 2﹣2m ），因为直线TM 为y =﹣1kx +b ，则联立212y kx m y x m m k k =⎧⎪⎨=-+-+⎪⎩，可得出()222222,11k m k mk m m k mk m M k k ⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭，得到OM 22121m k mk k-+ON =m2ON OM，所以k =12时，2ON OM 【详解】（1）∵二次函数2y ax bx =+的图象过点A （﹣1，3），顶点B 的横坐标为1，则有312a b b a=-⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得12a b =⎧⎨=-⎩， ∴二次函数y =x 2﹣2x ；（2）由（1）得，B （1，﹣1），∵A （﹣1，3），∴直线AB 解析式为y =﹣2x +1，AB =25， 设点Q （m ，0），P （n ，n 2﹣2n ），点P 为二次函数第一象限图象上一点，二次函数过（0,0）和（2,0），∴n >2，∵以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，①如图，当AB 为对角线时，线段AB 中点为（0,1），和PQ 中点相同，根据中点坐标公式得：则有202212m n n n +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 解得1313m n ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩或1313m n ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩， ∴P （1+3，2）和（1﹣3，2）；②如图，当AB 为边时，线段AQ 和线段BP 的中线相同，根据中点坐标公式得：2112221322n m n n +-⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩， 解得3515m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩3515m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴P （54）或（154），由于n >2，所以点P的坐标(14)+或(1+；（3）设T （m ，m 2﹣2m ），∵直线TM 为y =﹣1k x +b ， 则代入T ，m 2﹣2m =﹣1k m +b ，b =m 2﹣2m +m k ， 由212y kx m y x m m k k =⎧⎪⎨=-+-+⎪⎩， 解得()22222121m k mk m x k k m k mk m y k ⎧-+=⎪+⎪⎨-+⎪=⎪+⎩， ()222222,11k m k mk m m k mk m M k k ⎛⎫-+-+ ⎪∴ ⎪++⎝⎭， ∴OM22121m k mk k -=+ ，∵过点T 作直线TN //y 轴交OC 于点N，(),N m km ∴，∴ON =m∴2ON OM∴k =12时，2ON OM = ∴当k =12时，点T 运动的过程中，2ON OM为常数． 【点睛】本题考查二次函数综合题，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式等知识，解题的关键是利用参数，方程组解决问题，学会转化的思想，属于中考压轴题．10．(1)△AOB 是直角三角形，证明见解析(2)P (，0) (3)【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可；（2）作BD ⊥OA 于D ，设PA =x ，则BP =x +1，利用面解法求出BE 的长，在Rt △BEP 中利用勾股定理求出x的值即可求解；（3）过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，利用SAS证明△HOC≌△OBD，得OD=HC，则当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长．(1)解：△AOB是以B为直角顶点的直角三角形，理由如下：∵A（5，0），∴OA=5，∴AB2+OB2=42+32=25=52=OA2，∴△AOB是以OA为斜边的直角三角形；(2)解：如图，作BE⊥OA于E，设PA=x，则BP=x+1，∵S△AOB＝12BO•AB＝12OA•BE，∴，∴OE=，∴PE=5-95-x=165-x，在Rt△BEP中，(x+1)2=(165-x)2+(125)2，解得x=∴OP=5-=，∴P(，0)；(3)解：如图，过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，∴HO=BO，∠HOC=∠OBD=90°，又∵OC=DB，在△HOC和△OBD中，∴△HOC≌△OBD（SAS），∴OD=HC，∴AC+OD=AC+HC，∴要使AC+OD最小，则AC+CH最小，∴当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长，分别过点B，H作BE⊥x轴于E，HF⊥x轴于F，则OB=OH=3，∵S△AOB＝12BO•AB＝12OA•BE，∴，∴，∵∠HFO=∠HDB=∠OEB=90°，∴∠HOF+∠OHF=90°，∠HOF+∠BOE=90°，∴∠OHF=∠BOE，在△OHF与△BOE中，，∴△OHF ≌△BOE （AAS ），∴OF =BE =125，HF =OE =95， ∵H 在第二象限，∴H （-125，95）； ∴，即AC +OD 有最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．11．（1）2秒或4秒；（2）存在，时间为()18秒；（3）0秒或32秒或6秒 【解析】【分析】（1）设a 秒后，DPQ 的面积等于228cm ，利用割补法表示DPQ ADP PBQ DQC ABCD S S SS S =---矩形，建立方程求解即可； （2）点D 恰好落在以点Q 为圆心，PQ 为半径的圆上，即为PQ =QD ，即PQ 2=QD 2，根据勾股定理将PQ 2、QD 2分别用x 表示出来，列方程求出x 的值即可；（3）分别表示出2DP ，2PQ ，2DQ ，然后结合勾股定理进行分类讨论即可．【详解】解：（1）设a 秒后，DPQ 的面积等于228cm ，则由题意，a 秒后，AP a =，2BQ a =，122CQ BC BQ a =-=-，∵DPQ ADP PBQ DQC ABCD S S S S S =---矩形，61272ABCD S AB BC ==⨯=矩形，1112622ADP SAP AD a a ==⨯⨯=， ()21162622PBQ SPB BQ a a a a ==-=-， ()11122636622DQC S QC CD a a ==-⨯=-， ∴()()2287266366a a a a =-----，整理得：2680a a -+=，解得：2a =或4a =，∴经过2秒或4秒后，DPQ 的面积等于228cm ；（2）假设运动开始后第x 秒时，满足条件，则：QP QD =，∵22222(6)(2)=+=-+QP PB BQ x x ，22222(122)6=+=-+QD QC CD x ，∴2222(122)6(6)(2)-+=-+x x x ，整理得：2361440+-=x x ，解得：18=-±x∵0186<<，∴运动开始后第()18秒时，点D 恰好落在以点Q 为圆心，PQ 为半径的圆上．（3）设t 秒后，满足条件，其中06t ≤≤，则22212DP t =+，()22264PQ t t =-+，()2212236DQ t =-+，①若∠PQD =90°，则222PQ DQ DP +=，即：()()22222641223612t t t t -++-+=+，整理得：2215180t t -+=， 解得：32t =或6t =；②若∠PDQ =90°，则222DQ DP PQ +=，即：()()22222122361264t t t t -+++=-+，解得：8t =，不合题意，舍去；③若∠DPQ =90°，则222DP PQ DQ +=，即：()()22222126412236t t t t ++-+=-+，整理得：2180t t +=，解得：0=t 或18t =-（不符合题意，舍去）；综上，当0=t 或32t =或6t =时满足DPQ 为直角三角形【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及割补法求三角形面积，本题关键在于设未知数，找出等量关系，列方程求解．12．(1)见解析；(2)1m =-；(3)存在；()21-，【解析】【分析】（1）求出P （2m ，2m −4），判断P 点在直线y ＝2x −4上即可；（2）联立2244424y x y x mx m m =-⎧⎨=-++-⎩， 则()2241420x m x m m -+++=，由韦达定理可得x 1＋x 2＝4m ＋1，可知Q 点横坐标为2m ＋1，再由中点坐标公式可得2m ＋1＝m ，即可求m ＝−1；（3）设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋b ，联立24y kx b y x =+⎧⎨=-⎩得到x 2−kx −4−b ＝0，由韦达定理可得m ＋n ＝k ，mn ＝−4−b ，过点M 作ME ⊥x 轴交于点E ，过点N 作NF ⊥x 轴交于点F ，可证明△MAE ∽△ANF ，则ME AE AF NF =，即224224m m n n --=--，可求k 与b 的关系为：2k −b ＋1＝0，则直线MN 的解析式为1111222b y x b x b x -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，当x ＝−2时，y ＝1，由此可知直线MN 经过定点（−2，1）．(1)∵y ＝x 2−4mx ＋4m 2＋2m −4＝()2224x m m =-+- ∴P （2m ，−2m −4），将x ＝2m 代入y ＝x −4，得y ＝2m −4，∴P 点在直线y ＝x −4上；(2)当x ＝0时，y ＝-4，∴H （0，-4），联立2244424y x y x mx m m =-⎧⎨=-++-⎩， ∴()2241420x m x m m -+++=，∴x 1＋x 2＝4m ＋1，∴Q 点横坐标为2m ＋1，∵Q 恰好是线段PH 的中点，∴2m ＋1＝m ，∴m ＝−1；(3)存在，理由如下：当m ＝0时，y ＝x 2−4， 令y ＝0，则x ＝±2，∴A （2，0），设M （m ，m 2－4），N （n ，n 2-4），设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋b ， 联立24y kx b y x =+⎧⎨=-⎩， ∴x 2−kx −4−b ＝0， ∴m ＋n ＝k ，mn ＝−4−b ，过点M 作ME ⊥x 轴交于点E ，过点N 作NF ⊥x 轴交于点F ，如图所示：∵MA⊥AN，∴∠MAE＋∠NAF＝90°，∠MAE＋∠AME＝90°，∴∠AME＝∠NAF，∴△MAE∽△AN F，∴ME AE AF NF=，∵AE＝2−m，ME＝m2−4，AF＝n−2，NF＝n2−4，∴224224m mn n--=--，∴2k−b＋1＝0，∴1111222by x b x b x -⎛⎫=+=+-⎪⎝⎭，∴当x＝−2时，y＝1，∴直线MN经过定点（−2，1）．【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质，会求函数交点坐标，灵活应用韦达定理是解题的关键．13．(1)m=4；(2)点D（1，-3）在抛物线上；(3)存在，点P的坐标为（137，0）或（-225，0）．【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式可知OC=2，由于∠ACB=90°，可根据射影定理求出OB的长，即可得出B点的坐标，也就得出了m的值．然后根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）将D 点的坐标代入（1）得出的抛物线的解析式中，即可判断出D 是否在抛物线上；（3）本题要分情况进行讨论，如果过E 作x 轴的垂线，不难得出∠DBx =135°，而∠ABE 是个钝角但小于135°，因此P 点只能在B 点左侧．可分两种情况进行讨论可求出符合条件的P 点的值．(1)解：令x =0，得y =-2，∴C （0，-2），∵∠ACB =90°，CO ⊥AB ，∴△AOC ∽△COB ，∴OA •OB =OC 2， ∴OB =24OC OA=， ∴m =4；(2)解：将A （-1，0），B （4，0）代入y =ax 2+bx -2， 2016420a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为y =12x 2-32x -2， 当x =1时，y =12x 2-32x -2=-3， ∴点D （1，-3）在抛物线上；(3) 解：解方程组2132221y x x y x ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩得：12121607x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，， ∴E （6，7），过E 作EH ⊥x 轴于H ，则H （6，0），∴AH =EH =7， ∴∠EAH =45°，作DF ⊥x 轴于F ，则F （1，0）， ∴BF =DF =3， ∴∠DBF =45°， ∴∠EAH =∠DBF =45°，∴∠DBH =135°，90°＜∠EBA ＜135°， 则点P 只能在点B 的左侧，有以下两种情况： 若△DBP 1∽△BAE ，则1BP BD AB AE=， ∴BP 1=53215772AB BD AE ⋅⨯=， ∴OP 1=4-157=137， ∴P 1（137，0）； ②若△DBP 2∽△BAE ，则2BP BDAE AB=， ∴BP 2=7232425AE BD AB ⋅⋅==， ∴OP 2=425-4=225， ∴P 2（-225，0）． 综合①、②，得点P 的坐标为：P 1（137，0）或P 2（-225，0）．【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质等知识点，综合。

2022年中考数学压轴题1．如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：y =13x 2+73x 的图象上，点A 的横坐标为﹣4，点B 的纵坐标为﹣2．（点A 在点B 的左侧）（1）求点A 、B 的坐标；（2）将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A 'OB '，抛物线F 2：y ＝ax 2+bx +4经过A '、B '两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积；（3）如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似．若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当x ＝﹣4时，y =13×（﹣4）2+73×（﹣4）＝﹣4∴点A 坐标为（﹣4，﹣4）当y ＝﹣2时，13x 2+73x ＝﹣2 解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣6∵点A 在点B 的左侧∴点B 坐标为（﹣1，﹣2）（2）如图1，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点B '作B 'G ⊥x 轴于点G∴∠BEO ＝∠OGB '＝90°，OE ＝1，BE ＝2∵将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A 'OB '∴OB ＝OB '，∠BOB '＝90°∴∠BOE +∠B 'OG ＝∠BOE +∠OBE ＝90°∴∠B 'OG ＝∠OBE在△B 'OG 与△OBE 中{∠OGB′=∠BEO ∠B′OG =∠OBE B′O =OB∴△B 'OG ≌△OBE （AAS ）∴OG ＝BE ＝2，B 'G ＝OE ＝1∵点B '在第四象限∴B '（2，﹣1）同理可求得：A '（4，﹣4）∴OA ＝OA '=√42+42=4√2∵抛物线F 2：y ＝ax 2+bx +4经过点A '、B '∴{16a +4b +4=−44a +2b +4=−1 解得：{a =14b =−3∴抛物线F 2解析式为：y =14x 2﹣3x +4∴对称轴为直线：x =−−32×14=6 ∵点M 在直线x ＝6上，设M （6，m ）∴OM 2＝62+m 2，A 'M 2＝（6﹣4）2+（m +4）2＝m 2+8m +20∵点A '在以OM 为直径的圆上∴∠OA 'M ＝90°∴OA '2+A 'M 2＝OM 2∴（4√2）2+m 2+8m +20＝36+m 2解得：m ＝﹣2∴A 'M =√m 2+8m +20=√4−16+20=2√2∴S △OA 'M =12OA '•A 'M =12×4√2×2√2=8（3）在坐标轴上存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似．∵B '（2，﹣1）∴直线OB '解析式为y =−12x{y =−12x y =14x 2−3x +4 解得：{x 1=2y 1=−1（即为点B '）{x 2=8y 2=−4 ∴C （8，﹣4）∵A '（4，﹣4）∴A 'C ∥x 轴，A 'C ＝4∴∠OA 'C ＝135°∴∠A 'OC ＜45°，∠A 'CO ＜45°∵A （﹣4，﹣4），即直线OA 与x 轴夹角为45°∴当点D 在x 轴负半轴或y 轴负半轴时，∠AOD ＝45°，此时△AOD 不可能与△OA 'C 相似∴点D 在x 轴正半轴或y 轴正半轴时，∠AOD ＝∠OA 'C ＝135°（如图2、图3） ①若△AOD ∽△OA 'C ，则OD A′C =OA OA′=1 ∴OD ＝A 'C ＝4∴D （4，0）或（0，4）②若△DOA ∽△OA 'C ，则DO OA′=OA A′C =4√24=√2∴OD =√2OA '＝8∴D （8，0）或（0，8）综上所述，点D 坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似．2．四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．（1）如图1，四边形ABCD中，∠DAB＝100°，∠DCB＝130°，对角线AC平分∠DAB，求证：AC是四边形ABCD的相似对角线；（2）如图2，直线y=−√33x+4√33分别与x，y轴相交于A，B两点，P为反比例函数y=kx（k＜0）上的点，若AO是四边形ABOP的相似对角线，求反比例函数的解析式；（3）如图3，AC是四边形ABCD的相似对角线，点C的坐标为（3，1），AC∥x轴，∠BCA＝∠DCA＝30°，连接BD，△BCD的面积为√3．过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c （a＜0）与x轴交于E，F两点，记|m|＝AC+1，若直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点，求实数a的值．解：（1）如图1，设∠ACD＝α，则∠ACB＝130°﹣α，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣（130°﹣α）＝α，在△ABC和△ACD中，∠B＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，∴△ABC∽△ACD，∴AC是四边形ABCD的相似对角线；（2）①当∠APO为直角时，当∠OAP＝30°时，过点P作PH⊥x轴于点H，设OH＝x，则HP=√3x，HA＝3x，则x+3x＝4，解得：x＝1，故点P（1，−√3），故k=−√3；当∠AOP＝30°时，同理可得：k＝﹣3√3；②当∠OAP为直角时，当∠OP A＝30°时，点P（4，﹣4√3），k＝﹣16√3；当∠AOP＝30°时，同理可得：k=−16√33（舍去）；综上，反比例函数的表达式为：y=−√3x或y=−3√3x或y=−−16√3x；（3）如图3，过点B作BH⊥CD于点H，则∠CBH＝90°﹣∠BCD＝30°，故CH=12BC，则BH=√32BC，△BCD的面积=12CD•BH=12×CD×√32CB=√3，故CD•BC＝4而△BAC∽△ACD，故CA2＝BC•CD＝4，故CA＝2，则点A（1，1），而点C（3，1），将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：抛物线的表达式为：y＝ax2﹣4ax+3a+1，AC＝2，则m＝±3，故直线的表达式为：y＝±3x，直线y＝﹣3x与抛物线有两个交点，而直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点，则直线y＝3x与抛物线有一个交点，联立直线y＝3x与抛物线的表达式并整理得：ax2﹣（4a+3）x+3a+1＝0，△＝（4a+3）2﹣4a（3a+1）＝0，解得：a=−12或−92；此外，当抛物线过原点时，直线和抛物线也有三个交点，即3a+1＝0，解得：a=−1 3；综上，a=−12或−92或−13．3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a的最高点的纵坐标是2．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x≤4之间的部分记为图象G1将图象G1沿直线x＝1翻折，翻折后图象记为G2，图象G1和G2组成G，直线l：y＝kx+k和图象G在x轴上方的部分有两个公共点，求k的取值范围；（3）直线θ：y＝kx+k与图象G在x轴上方的部分分别交于A、M、P、Q四点，若AM ＝2PQ，求k的值．解：（1）函数的对称轴为：x＝2，将顶点坐标（2，2）代入二次函数表达式得：2＝4a﹣8a+3a，解得：a＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+8x﹣6…①；（2）抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+8x﹣6…②；则翻折后图象表达式为：y＝﹣2x2+2，顶点C1的坐标为（0，2），如图1，作过点A、C1直线l1，过点A作右侧图形的切线l2，直线l1：k＝2，直线l2：y＝kx+k…③，将直线l2的表达式与右侧函数表达式联立并整理得：2x2+（k﹣4）x+k+6＝0，由题意得：△＝（k﹣8）2﹣8（k+6）＝0，解得：k＝12±8√2（舍去正值），唯一符合条件的点可能在l1、l2之间（含直线），由于点A在x轴上，不属于x轴上方，故符合条件的只有l2的位置，不存在范围，即k的范围为：12﹣8√2＜k＜4；（3）设直线l于图象G交点A、M、P、Q交点的横坐标为x、x1、x3、x4，将直线l的表达式图象G2的表达式联立并整理得：2x2+kx+（k﹣2）＝0，则x+x1=−k2，则x1＝1−12k，则x 1﹣x ＝2−12k ，同理可得：x 2+x 3=8−k 2，x 3x 2=k+62，则|x 3﹣x 2|=√(x 2+x 3)2−4x 2x 3=√k 2−24k+164， ∵AM ＝2PQ ，∴x 2﹣x ＝2（x 3﹣x 2），即4（√k 2−24k+164）2＝（2−12k ）2， 解得：k =44−16√73． 4．如图，半径为4的⊙O 中，弦AB 的长度为4√3，点C 是劣弧AB̂上的一个动点，点D 是弦AC 的中点，点E 是弦BC 的中点，连接DE 、OD 、OE ．（1）求∠AOB 的度数；（2）当点C 沿着劣弧AB̂从点A 开始，逆时针运动到点B 时，求△ODE 的外心P 所经过的路径的长度；（3）分别记△ODE ，△CDE 的面积为S 1，S 2，当S 12﹣S 22＝21时，求弦AC 的长度．解：（1）如图1中，过点O 作OH ⊥AB 于H ．∵OA ＝OB ＝4，OH ⊥AB ，∴AH ＝HB =12AB ＝2√3，∠AOH ＝∠BOH ，∴sin ∠AOH =AH AO =√32，∴∠AOH ＝60°，∴∠AOB＝2∠AOH＝120°．（2）如图2中，连接OC，取OC的中点P，连接DP，∵OA＝OC＝OB，AD＝DC，CE＝EB，∴OD⊥AC，OE⊥CB，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∴∠ODC+∠OEC＝180°，∴O，D，C，E四点共圆，∴OC是直径，∴OC的中点P是△OED的外接圆的圆心，∴OP=12OC＝2，∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上运动，∵∠AOB＝120°，∴点P的运动路径的长=120⋅π⋅2180=4π3．（3）当点C靠近A点时，如图3中，当AC＜BC时，连接OC交AB于J，过点O作OH⊥AB于H，过点C作CK ⊥AB于K．∵AD＝CD，CE＝EB，∴DE∥AB，AB＝2DE，∴△CDE ∽△CAB ，∴S △CDES △CAB =（DE AB ）2=14， ∴S △ABC ＝4S 2，∵S △ADO ＝S △ODC ，S △OBE ＝S △OEC ， ∴S 四边形ODCE =12S 四边形OACB ，∴S 1+S 2=12（4S 2+4√3）＝2S 2+2√3， ∴S 1＝S 2+2√3，∵S 12﹣S 22＝21，∴S 22+4√3S 2+12﹣S 22＝21，∴S 2=3√34， ∴S △ABC ＝3√3=12×AB ×CK ， ∴CK =32， ∵OH ⊥AB ，CK ⊥AB ，∴OH ∥CK ，∴△CKJ ∽△OHJ ，∴CK OH=CJ OJ ， ∴CJ OJ =322=34，∴CJ =37×4=127，OJ =47×4=167， ∴JK =√CJ 2−CK 2=√(127)2−(32)2=3√1514，JH =√OJ 2−OH 2=√(167)2−22=2√157， ∴KH =√152，∴AK ＝AH ﹣KH ＝2√3−√152，∴AC =√AK 2+CK 2=(2√3−√152)2+(32)2=√18−6√5=√15−√3． 当AC ＞BC 时，同法可得AC =√15+√3， 同理，当点C 靠近B 点时，可知AC =(2√3+√152)2+(32)2=√15+√3．综上所述，满足条件的AC 的值为√15±√3．5．已知⊙O 1的半径为r 1，⊙O 2的半径为r 2．以O 1为圆心，以r 1+r 2的长为半径画弧，再以线段O 1O 2的中点P 为圆心，以12O 1O 2的长为半径画弧，两弧交于点A ，连接O 1A ，O 2A ，O 1A 交⊙O 1于点B ，过点B 作O 2A 的平行线BC 交O 1O 2于点C ．（1）求证：BC 是⊙O 2的切线；（2）若r 1＝2，r 2＝1，O 1O 2＝6，求阴影部分的面积．（1）证明：连接AP ，∵以线段O 1O 2的中点P 为圆心，以12O 1O 2的长为半径画弧， ∴O 1P ＝AP ＝O 2P =12O 1O 2，∴∠O 1AO 2＝90°，∵BC ∥O 2A ，∴∠O 1BC ＝∠O 1AO 2＝90°，过点O 2作O 2D ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，∴四边形ABDO 2是矩形，∴AB ＝O 2D ，∵O 1A ＝r 1+r 2，∴O 2D ＝r 2，∴BC 是⊙O 2的切线；（2）解：∵r 1＝2，r 2＝1，O 1O 2＝6，∴O1A=12O1O2，∴∠AO2C＝30°，∵BC∥O2A，∴∠BCE＝AO2C＝30°，∴O1C＝2O1B＝4，∴BC=√O1C2−O1B2=√42−22=2√3，∴S阴影=S△O1BC −S扇形BO1E=12O1B⋅BC−60π×r12360=12×2×2√3−60×π×22360=2√3−23π．。

一、解答题1．已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．(1)求该抛物线解析式；(2)如图1，点M为抛物线上第二象限内一动点，BM交y轴于点N，当BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标；(3)如图2，点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y＝x第一象限上的动点，且DP ＝2OQ，求BP+2BQ的最小值并求此时点P的坐标．2．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a，c满足()2250a c++-=．（1）填空：=a______，b=______，c=______；（2）点A，B，C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度，1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．①当AC长为6时，求t的值；②当点A在点C左侧时（不考虑点A与B，C重合的情况），是否存在一个常数m使得2AC m AB+⋅的值在某段运动过程中不随t的改变而改变？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．3．如图（1），在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在边CD上（不与点C，D重合），连结AE，交BD于点F．（1）如图（2），若点M在BC边上，且DE＝CM，连结AM，EM．求证：三角形AEM 为等边三角形；（2）设DFxBF=，求tan∠AFB的值（用x的代数式表示）；（3）如图（3），若点G在线段BF上，且FG＝2BG，连结AG、CG，DFxBF=，四边形AGCE 的面积为S 1，ABG 的面积为S 2，求12S S 的最大值．4．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（185，﹣245），以OB 为直径的⊙A 经过C 点，直线l 垂直x 轴于B 点．（1）求直线BC 的解析式； （2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O ，B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想m •n 的值，并证明你的结论； （4）若点P 从O 出发，以每秒一个单位的速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t （0＜t ≤8）秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值．5．如图1抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A （-1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C 顶点为D ，对称轴交x 轴于点Q ，过C 、D 两点作直线CD ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，连接CQ、CB，点P是抛物线上一点，当∠DCP=∠BCQ时，求点P的坐标；(3)若点M是抛物线的对称轴上的一点，以点M为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD 相切，求点M的坐标．6．在ABC中，AB AC=，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且．(1)如图1，若90∠=︒，，，求点B到AE的距离；BAC(2)如图2，若E为BD中点，连接FD，FD平分，G为CF上一点，且，求证：；(3)如图3，若，12△沿着AB翻折得，点H为的BC=，将ABD中点，连接HA、HC，当周长最小时，请直接写出的值．7．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是y轴正半轴上的一点，OM，点Q在对称轴左侧的抛物线上运动，直线OQ 交抛物线的对称轴于点N，连接MN，当MN平分∠OND时，求点Q的坐标；(3)直线AC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，当△PCE与△BCD全等时，请直接写出点P的坐标．8．如图1，抛物线y14=-x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．(1)求抛物线的解析式；(2)P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y14=-x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．(3)△MPC在（2）的旋转变换下，若PC2=2）．①求证：EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．9．直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点．（1）求出点A、B的坐标；（2）已知点G的坐标为（2，7），过点G和B作直线BG，连接AG，求∠AGB的正切值；（3）在（2）的条件下，在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．（1）[感知]如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．求∠FEG的度数．（2）[探究]把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC，其余条件不变，如图2，类比探究，可得：①∠FEG＝°；②猜想线段BF、AF、FG之间的数量关系，并说明理由．（3）[拓展]如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH 内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F．G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为．11．已知：如图1，点A（a，b），AB x⊥轴于点B2a b a b++-+=．24(8)0（1）试判断△AOB的形状，并说明理由；（2）如图2，若点C为线段AB的中点，连OC并作OD OC⊥，且OD OC=，连AD交x轴于点E，试求点E的坐标；（3）如图3，若点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以AM为一边作45∠=︒交MANy轴负半轴于点N，连MN，在点M运动过程中，试猜想式子OM MN ON+-的值是否发生变化？若不变，求这个不变的值；若发生变化，试求它变化的范围．12．在平面直角坐标系中，抛物线：与x 轴交于点A ，B （点B在点A 的右侧）．抛物线顶点为C 点，△ABC 为等腰直角三角形．(1)求此抛物线解析式． (2)若直线与抛物线有两个交点，且这两个交点与抛物线的顶点所围成的三角形面积等于6，求k 的值． (3)若点，且点E ，D 关于点C 对称，过点D 作直线2l 交抛物线于点M ，N ，过点E 作直线轴，过点N 作于点F ，求证：点M ，C ，F 三点共线．13．直角三角板ABC 的斜边AB 的两个端点在⊙O 上，已知∠BAC =30°，直角边AC 与⊙O 相交于点D ，且点D 是劣弧AB 的中点．(1)如图1，判断直角边BC 所在直线与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)如图2，点P 是斜边AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），DP 的延长线交⊙O 于点Q ，连接QA 、QB ．①AD =6，PD =4，则AB = ；PQ = ； ②当点P 在斜边AB 上运动时，求证：QA +QB 3．14．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0A -，点()3,0B ，点()0,3C ，D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式；(2)连接AC ，M 是平面内一点，将OAC 绕点M 沿逆时针旋转90°后，得到，点O 、A ，C 对应的点分别是点1O ，1A 、1C ，若的两个顶点恰好落在抛物线上，求出点1C 的横坐标； (3)在坐标平面内找一点P ，使与相似，且，求出所有点P 的坐标．15．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点()11,A x y ，()22,B x y ，如果点(),M x y 满足122x x x -=，122y y y -=，那么称点M 是点A 、B 的“双减点”． 例如：()4,5A -，()6,1B -、当点(),T x y 满足4652x --==-，()5132y --==，则称点()5,3M -是点A 、B 的“双减点”．(1)写出点()1,3A -，()1,4B -的“双减点”C 的坐标；(2)点()6,4E -，点4,43F m m --⎛⎫⎪⎝⎭，点(),M x y 是点E 、F 的“双减点”．求y 与x 之间的函数关系式；(3)在（2）的条件下，y 与x 之间的函数图象与y 轴、x 轴分别交于点A 、C 两点，B 点坐标为3,0，若点E 在平面直角坐标系内，在直线AC 上是否存在点F ，使以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出F 点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图1已知点A ，B 分别在坐标轴上，点C （3，﹣3），CA ⊥BA 于点A ，且BA ＝CA ，CA ，CB 分别交坐标轴于D ，E ．(1)填空：点B 的坐标是 ；(2)如图2，连接DE ，过点C 作CH ⊥CA 于C ，交x 轴于点H ，求证：∠ADB ＝∠CDE ； (3)如图3，点F （6，0），点P 在第一象限，连PF ，过P 作PM ⊥PF 交y 轴于点M ，在PM 上截取PN ＝PF ，连PO ，过P 作∠OPG ＝45°交BN 于G ．求证：点G 是BN 中点．17．如图1， AB = AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，G ，F ，P 分别为DE ，BC ，BE 的中点．(1)求证：BD =EC ；(2)求证：∠GPF +∠BAC =180°；(3)如图2，连接AG ．若 AD 2AC 10 ，∠DAE =90°，且D ，E ，C 三点共线时，求GF 的值．18．已知△ABC、△ADE 都是等边三角形，将△ADE 绕点A 旋转．(1)如图1，当点B、D、E三点在同一直线上时，且∠ABD=15°，AB=6，求AE的长；(2)如图2，连接CE并延长交AB于点M，N为CB延长线上一点，连接AN、BD，AN与BD相交于点G，若G为AN的中点，求证：AM=BN；(3)如图3，在（2）的条件下，若AB=6，AE=5，在△ADE旋转的过程中，当CM+MN取得最小值时，把△ABD沿AB翻折，得△ABD'，直线BD'与CM交于点P，请直接写出线段D'P的长．19．如图1，直线y＝﹣x+42与x，y轴的交点分别为点A，B，与反比例函数y6x（x＞0）的图象的两交点分别为点C，D，点M是反比例函数上一动点．(1)求△OCD的面积；(2)是否存在点M，使得△ODM∽△OAD？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E，F，是否存在点M，使得矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于236？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以C为圆心，1为半径作⊙C，D为⊙O上一动点，求DA5的最小值．【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1．(1)y＝﹣x2﹣2x+3．(2)M（﹣2，3）或（，119）．(3)最小值为AC＝32P（﹣1，2）．【解析】【分析】（1）根据A、B点的坐标设出抛物线的交点式，再将C点的坐标带图求解，即可得出结论．（2）过A点作AG⊥x轴交BM的延长线于G，则，设ON＝t，则AG＝4t，CN＝3﹣t，进而得出或2，进而建立方程求解，即可得出结论．（3）先判断出△PCD∽△OBQ，进而得出PC OQ，在判断出A、P、C在同一条直线上时，BP的最小值，在求出直线AC的解析式，即可得出结论．(1)解：∵二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），∵点C（0，3）在抛物线上，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；(2)解：如图1，过点A作AG⊥x轴交BM的延长线于G，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，设点M（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），∴S△BCM＝12CN（1﹣m），S△ABM＝S△ABG﹣S△AMG＝12AG[（1+3）﹣（m+3）]＝12AG（1﹣m），∴，∵，∴＝14，设ON＝t，则AG＝4t，CN＝3﹣t，∵BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，∴＝12或2，∴，或2，∴或2，∴t＝1或13t ，∴N（0，1）或N（0，13），当N（0，1）时，∵B（1，0），∴直线BM的解析式为y＝﹣x+1①，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）②，联立①②解得，或，∴M（﹣2，3）；当N（0，13）时，∵B（1，0），∴直线BM的解析式为y＝﹣13x+13③，联立②③解得，或，∴M（，119）；即M（﹣2，3）或（，119）；(3)解：如图2，连接PC，CD，过点C作CH⊥DP于H，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2m+3＝﹣（m﹣1）2+4，∴D（﹣1，4），∵C（0，3），∴CD2，DH＝1，CH＝1，∴DH＝CH，∴∠CDP＝45°，∵点Q为直线y＝x第一象限上的动点，∴∠BOQ＝45°＝∠CDP，∵DP2OQ，∴2，∵2∴＝2∴△PCD ∽△OBQ ，∴，∴PC ＝2OQ ， ∴BP +2OQ ＝BP +PC ，连接AP ，∵点P 是抛物线的对称轴上的点，∴PB ＝PA ，∴BP +2OQ ＝BP +PC ＝PA +PC ，∴当点A ，P ，C 在同一条直线上时，BP +2OQ 最小，最小值为AC ＝＝32， ∵A （﹣3，0），C （0，3），∴直线AC 的解析式为y ＝x +3，当x ＝﹣1时，y ＝2，∴点P （﹣1，2）．【点睛】本题考察了二次函数解析式的求法，抛物线的性质，三角形面积公式，相识三角形等问题，需要数形结合解答问题．2．（1）2,1,5-；（2）①13或133；②存在，m 的值为2-或2． 【解析】【分析】（1）根据正整数的定义、绝对值的非负性、偶次方的非负性分别可求出,,b a c 的值；（2）①先求出运动t 秒后，点,A C 所表示的数，再分点A 在点C 左侧和点A 在点C 右侧两种情况，然后根据数轴的定义建立方程，解方程即可得；②先求出运动t 秒后，点,,A B C 所表示的数，从而可得AC 的长，再分点A 在点B 左侧和点A 在点B 右侧两种情况，分别求出AB 的值，代入化简，然后根据整式的无关型问题求解即可得．【详解】解：（1）b 是最小的正整数，1b ∴=，()2250a c ++-=，20,50a c ∴+=-=， 解得2,5a c =-=，故答案为：2,1,5-；（2）①由题意，运动t 后，点A 所表示的数是42t -，点C 所表示的数是5t +， 当点A 在点C 左侧时，5(42)6AC t t =+--=，解得13t =， 当点A 在点C 右侧时，42(5)6AC t t =--+=，解得133t =， 综上，t 的值为13或133； ②由题意，运动t 后，点A 所表示的数是42t -，点B 所表示的数是1t +，点C 所表示的数是5t +， 当421t t -=+时，13t =， 当425t t -=+时，73t =， 因为点A 在点C 左侧，所以5(42)73AC t t t =+--=-，当点A 在点B 左侧，即01t <<时，1(42)33AB t t t =+--=-，则22(73)(33)314(36)AC m AB t m t m m t +⋅=-+-=+-+，由360m +=得：2m =-，即在01t <<运动时间内，当2m =-时，2AC m AB +⋅的值不随t 的改变而改变； 当点A 在点B 右侧，即713t <<时，42(1)33AB t t t =--+=-， 则22(73)(33)143(36)AC m AB t m t m m t +⋅=-+-=-+-，由360m -=得：2m =，即在713t <<运动时间内，当2m =时，2AC m AB +⋅的值不随t 的改变而改变； 综上，存在一个常数m 使得2AC m AB +⋅的值在某段运动过程中不随t 的改变而改变，m 的值为2-或2．【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、绝对值和偶次方的非负性、整式等知识点，较难的是题（2）②，正确分两种情况讨论是解题关键．3．（1）证明见解析；（23333x x；（3）194 【解析】【分析】（1）如图，连接,AC 证明,ACB ACD 都为等边三角形，可得,AC AD = 再证明,ACM ADE ≌从而可得答案；（2）如图，记,AC BD 交于点,O 设,,DFa OFb 四边形ABCD 为菱形，60,ABC ∠=︒ 表示33,33OA OB a b 利用,2DF a x BF a b 则2,1a x b x 再利用三角函数的定义可得答案；（3）如图，设,DFE S n 证明,DFE BFA ∽ 2,BFA n S x 再表示2222,,33ABG AGF n n S S S x x 结合菱形的轴对称的性质可得：2=,3CBG n S x 表示,AFD n S x 可得2=,BCD ABD n n SS x x 可得2212243334,3n n n S x x x x nS x 再利用二次函数的性质可得答案. 【详解】证明：（1）如图，连接,AC菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，,60,120,60,AB BC CDAD ABC ADC BAD BCD BAC CAD ACB,ACB ACD 都为等边三角形，,AC AD ∴=,60,DE CM ACMADE ,ACM ADE ≌,,AM AE MACEAD 60,MACCAE CAE EAD AME ∴是等边三角形（2）如图，记,AC BD 交于点,O设,,DF a OF b 四边形ABCD 为菱形，60,ABC ∠=︒,,30,AC BD OB OD a b ABO 33,33OA OB a b ,2DF a x BFa b1221,a bbx a a 11,22b a x 则2,1axb x 333tan 13ab OA aAFB OF b b32331,3133xxx x（3）如图，设,DFE S n四边形ABCD 是平行四边形，,DFE BFA ∽22=,BFA n DF x S BF2,BFA nS xFG ＝2BG ，2222,,33ABG AGF n nS S S x x根据菱形的轴对称的性质可得：2=,3CBG n S x ,AFD ABF SDF x S BF 2,AFD n n Sx x x 2=,BCD ABD n n S S x x 1222224=333n n n n n n S n n x x x x x x ， 2212243334,3nn n S x x x x n S x 30,a所以12S S 有最大值， 当31232x 时，最大值为：1119334.424【点睛】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，列二次函数关系式，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，灵活运用以上知识解题是解本题的关键.4．（1）y 34=x 152-；（2）抛物线的解析式为：y 524=x 22512-x ，顶点坐标为（5，12524-）；（3）m •n ＝25；（4）5013或5或8013． 【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求得；（2）应用待定系数法以及顶点公式即可求得；（3）连接AE 、AM 、AF ，则AM ⊥EF ，证得Rt △AOE ≌RT △AME ，求得∠OAE ＝∠MAE ，同理证得∠BAF ＝∠MAF ，进而求得∠EAF ＝90°，然后证明△EMA ∽AMF ，得到EM AM AM FM=,即可求得．（4）分三种情况分别讨论，①当PQ ＝BQ 时，作QH ⊥PB ，得到△BHQ ∽△BOP ，求出直线BC 解析式，得到HB ：BQ ＝4：5；即可求得，②当PB ＝QB 时，则10﹣t ＝t 即可求得，③当PQ ＝PB 时，作QH ⊥OB ，根据勾股定理即可求得．【详解】解：（1）设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∵直线BC 经过B 、C ，∴010241855k b k b =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩， 解得：34152k b ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为：y 34=x 152-；． （2）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（185，245-）， ∴20010010241818()555c a b c a b c ⎧⎪=⎪=++⎨⎪⎪-=++⎩， 解得52425120a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：524y x =22512x -； ∴25125212b x a -=-=-=5，524y x =22551224x -=⨯522512-⨯512524=-， ∴顶点坐标为（5，12524-）；（3）m •n ＝25；如图2，连接AE 、AM 、AF ，则AM ⊥EF ，在Rt △AOE 与Rt △AME 中OA MA AE AE=⎧⎨=⎩ ∴Rt △AOE ≌Rt △AME （HL ），∴∠OAE ＝∠MAE ，同理可证∠BAF ＝∠MAF ，∴∠EAF ＝90°，∴∠EAM +∠FAM =90°，∵EF 为⊙A 切线，∴AM ⊥EF ，∴∠EMA =∠FMA =90°，∴∠AEM +∠EAM =90°，∴∠AEM =∠MAF ，∴△EMA ∽AMF ， ∴EM AM AM FM=, ∴AM 2＝EM •FM ，∵AM 12=OB ＝5，ME ＝m ，MF ＝n ， ∴m •n ＝25；（4）如图3．有三种情况；①当PQ ＝BQ 时，作QH ⊥PB ,垂足为H ，则△BHQ ∽△BOP ，设直线BC 解析式为y =px +q ，∵B 、C 坐标分别为（10，0）和（185，﹣245） ∴100182455p q p q +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，∴34152pq⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线BC 的解析式为31542y x=-，∴点P坐标为（0，-152），∵△BHQ∽△BOP，∴1532104 OB BHBP HQ===,∴HQ：BQ＝3：5，HB：BQ＝4：5；∵HB＝（10﹣t）12⨯，BQ＝t，∴()110425tt-⨯=，解得；5013t=，②当PB＝QB时，则10﹣t＝t，解得t＝5，③当PQ＝PB时，作QH⊥OB，则PQ＝PB＝10﹣t，BQ＝t，HP45t=﹣（10﹣t），QH35t =；∵PQ2＝PH2+QH2，∴（10﹣t）2＝[45t﹣（10﹣t）]2+（35t）2；解得8013t=．综上所述，求出满足条件的t值有三个：5013或5或8013．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，顶点坐标的求法，圆的切线的性质，数形结合分类讨论是本题的关键．5．(1)2y x2x3=-++(2)(3)、【解析】【分析】（1）将点A（-1，0）、B（3，0）代入二次函数解析式进行求解即可．（2）连接BD，利用两点间距离公式以及勾股定理证明为直角三角形，得到，通过∠DCP=∠BCQ得到，求出直线CQ解析式，利用斜率乘积为1-以及点C坐标，求出直线CP解析式，最后联立直线CP解析式与二次函数解析式求出点P坐标即可．（3）设直线CD切⊙M与点E，连接、MA，作于点F，利用圆与相切的性质得到，，利用边与角的关系，证明是等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，设，分别用M点坐标表示出和MA的长，最后即可得到关于m的方程，然后求解方程，得到答案．(1)解：由题意可知：点A（-1，0）、B（3，0）在抛物线y=-x2+bx+c上，，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的函数解析式为：2y x2x3=-++．(2)解：连接BD，如下图所示：由2y x2x3=-++可知：对称轴为：直线1x=，C（0,3），D（1,4），由两点间距离公式可得：，，在中，，为直角三角形，且，，且，，即，设直线CQ解析式为：，直线CP解析式为：，，解得：，∴直线CQ解析式为：23y x=-+，，，即21 2k=，∴直线CP解析式为：，将(0,3)代入得：，故直线CP解析式为：132y x=+，联立2y x2x3=-++与132y x=+有：解得：或，∴点P的坐标为．(3)解：设直线CD切⊙M与点E，连接、MA，作于点F，如下图所示：由题意可知：，，x=，C（0,3），D（1,4），由2=-++可知：对称轴为：直线1y x2x3，，即，是等腰直角三角形，，，，为等腰直角三角形，设，故，在中，，由勾股定理可知：，，解得：，∴、．【点睛】本题主要是考查了二次函数的几何综合问题，熟练掌握圆的性质以及垂直与直线斜率之间的关系，是求解该问题的关键．6．(2)证明见解析(3)【解析】【分析】（1）如图所示，过点B作BG⊥AE交AE延长线于G，先证明∠ACF=∠GAB，即可证明△ABG≌△CAE得到BG=AE，由勾股定理得，再由，得到，则点B到AE的距离为（2）如图所示，延长AE到H使得，AE=HE，连接DH，CH，先证明△AEB≌△HED得到AB=HD=AC，∠ABE=∠HDE，则∠HCD=∠HDC，AB∥DH，从而推出∠BAC=∠HDC=∠HCD，再证明CE是AH的垂直平分线，得到AC=HC，则∠ACE=∠HCE，即∠HCA=2∠ACE，然后推出∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD，GD=GC，即可证明△AFD≌△GFD（AAS），得到AF=GF，则CF=GF+CG=AF+DG；（3）如图所示，连接，延长交BC于F，作直线BE⊥BC，由翻折的性质可知，，，，然后证明，得到，则点D在线段BC的垂直平分线上，即AF⊥BC，求出，由H是的中点，得到直线A关于点H的对称点A'在直线BE上，则要使△AHC的周长最小，则要最小，即最小，即当A'、C、H、三点共线时有最小值，如图所示，连接交于，交AF于P，连接BP，先证明，得到，由平行线之间的间距相等，得到，然后求出，再证明，求出，由此求解即可．(1)解：如图所示，过点B作BG⊥AE交AE延长线于G，∵AE⊥CF，AG⊥BG，∴∠BAC=∠AGB=∠AEF=∠AEC=90°，∠AFC+∠ACF=90°，∴∠FAE+∠AFE=90°，∴∠ACF=∠GAB，又∵AB=CA，∴△ABG≌△CAE（AAS），∴BG=AE，在直角△AFC中，由勾股定理得，∵，∴，∴点B到AE的距离为32；(2)解：如图所示，延长AE到H使得，AE=HE，连接DH，CH，∵FD平分∠AFC，∴∠AFD=∠CFD，∵E是BD的中点，∴BE=DE，又∵AE=HE，∠AEB=∠HED，∴△AEB≌△HED（SAS），∴AB=HD=AC，∠ABE=∠HDE，∴∠HCD=∠HDC，∴∠BAC=∠HDC=∠HCD，∴∠ACE=∠HCE，即∠HCA=2∠ACE，∵∠GDC=∠GCD，∠FGD=∠GDC+∠GCD，∴∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD，GD=GC，又∵FD=FD，∠AFD=∠GFD，∴△AFD≌△GFD（AAS），∴AF=GF，∴CF=GF+CG=AF+DG；(3)解：如图所示，连接，延长交BC于F，作直线BE⊥BC，由翻折的性质可知，，，，∴，又∵AB=AC，，∴，∴，∴点D在线段BC的垂直平分线上，即AF⊥BC，∴，∵H是的中点，∴直线A关于点H的对称点A'在直线BE上，∴，∴要使△AHC的周长最小，则要最小，即最小，∴当A'、C、H、三点共线时有最小值，如图所示，连接交于，交AF于P，连接BP，∵BE⊥BC，AF⊥BC，∴，∴，，又∵，∴，∴，∵，BC⊥BE，∴,∵平行线之间的间距相等，∴∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∴AB=2AF，∴，∴，∴，∵P在线段BC的垂直平分线上，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．7．(1)y＝﹣x2﹣2x+3(2)点Q的坐标为（，）或（，）(3)点P坐标为（3，4）或（1，6）或（﹣4，1）或（﹣2，﹣1）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，代入A、B两点坐标，组成方程组，解方程组即可；（2）利用配方法求抛物线顶点式求出顶点D的坐标为（﹣1，4），根据MN平分∠OND，∠DNM＝∠ONM，根据ND∥OM，得出OM＝ON N（﹣1，n），利用勾股定理求出N1（﹣1，1）或N2（﹣1，﹣1），先求ON解析式，两例直线与抛物线解析式，解方程组即可；（3）先求出点A（﹣3，0），点B（1，0），点E（﹣1，2），点C（0，3），D（﹣1，4），利用勾股定理求出两点距离得出CD＝CE，设点P（x，y），根据三边对应相等判定△PCE≌△BCD（SSS），列方程组，根据三边对应相等判定△PCE≌△BDC（SSS），列方程组，解方程组即可．(1)解：由题意可得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；(2)解：如图1，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4；∴点D的坐标为（﹣1，4），∵MN平分∠OND，∴∠DNM＝∠ONM，∵ND∥OM，OM2∴∠DNM＝∠OMN，∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON2设点N（﹣1，n），∴（﹣1﹣0）2+（n﹣0）2＝2，∴n＝±1，∴N1（﹣1，1）或N2（﹣1，﹣1），当N1（﹣1，1）时，∴直线ON1的解析式为：y＝﹣x，联立方程组可得：，∴，，∵点Q在对称轴左侧的抛物线上运动，∴点Q（，）；当N2（﹣1，﹣1）时，∴直线ON2的解析式为：y＝x，联立方程组可得：，∴，，∵点Q在对称轴左侧的抛物线上运动，∴点Q（，）；综上所述：点Q的坐标为（，）或（，）；(3)解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交于点C，∴点C（0，3），∵点A（﹣3，0），点C（0，3），∴直线AC解析式为：y＝x+3，∴当x＝﹣1时，y＝2，∴点E（﹣1，2），∵点A（﹣3，0），点B（1，0），点E（﹣1，2），点C（0，3），D（﹣1，4），∴BC，BD＝，CD，AE＝，CE，∴CD＝CE，如图2，设点P（x，y），在△PCE和△BCD中，当PC＝BC，PE＝BD，CD＝CE时，则△PCE≌△BCD（SSS），∴，解得：，，∴点P1（3，4），点P2（1，6）；在△PCE和△BDC中当PC＝BD，PE＝BC，CD＝CE时，则△PCE≌△BDC（SSS），∴，解得：，，∴点P3（﹣4，1），点P4（﹣2，﹣1）；综上所述：点P坐标为（3，4）或（1，6）或（﹣4，1）或（﹣2，﹣1）．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，用配方法将抛物线解析式变为顶点式，角平分线定义，等腰三角形判定，勾股定理，三角形全等判定，一元二次方程．8．(1)(2)点M的坐标为（32，0）(3)①见解析；②CM或CM．【解析】【分析】（1）根据点C在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；（2）根据抛物线的解析式求出点B及已知点C的坐标，证明△ABC是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF与x轴的夹角为45°，因此设直线EF的解析式为y＝x+b，设点M的坐标为（m，0），推出点F（m，6﹣m），直线EF与抛物线只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m的方程，解方程得点M的坐标．注意有两种情况，均需讨论．（3）①过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，设点M的坐标为（m，0），由及旋转的性质，证明△EHM≌△MGP，得到点E的坐标为（m﹣1，5﹣m），再根据两点距离公式证明EA＝ED，注意分两种情况，均需讨论；②把E（m﹣1，5﹣m）代入抛物线解析式，解出m的值，进而求出CM的长．(1)（1）∵点C（6，0）在抛物线上，∴，得到6b+c＝9，又∵对称轴为x＝2，∴，解得b＝1，∴c＝3，∴二次函数的解析式为；(2)（2）当点M在点C的左侧时，如图2﹣1中：∵抛物线的解析式为，对称轴为x＝2，C（6，0）∴点A（2，0），顶点B（2，4），∴AB＝AC＝4，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠1＝45°；∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF，∴FM＝CM，∠2＝∠1＝45°，设点M的坐标为（m，0），∴点F（m，6﹣m），又∵∠2＝45°，∴直线EF与x轴的夹角为45°，∴设直线EF的解析式为y＝x+b，把点F（m，6﹣m）代入得：6﹣m＝m+b，解得：b＝6﹣2m，直线EF的解析式为y＝x+6﹣2m，∵直线EF与抛物线只有一个交点，∴，整理得：，∴△＝b2﹣4ac＝0，解得m32 ，点M的坐标为（32，0）．当点M在点C的右侧时，如下图：由图可知，直线EF与x轴的夹角仍是45°，因此直线EF与抛物线不可能只有一个交点．综上，点M的坐标为（32，0）．(3)（3）①当点M在点C的左侧时，如下图，过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，∵，由（2）知∠BCA＝45°，∴PG＝GC＝1，∴点G（5，0），设点M的坐标为（m，0），∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF，∴EM＝PM，∵∠HEM+∠EMH＝∠GMP+∠EMH＝90°，∴∠HEM＝∠GMP，在△EHM和△MGP中，，∴△EHM ≌△MGP （AAS ），∴EH ＝MG ＝5﹣m ，HM ＝PG ＝1，∴点H （m ﹣1，0），∴点E 的坐标为（m ﹣1，5﹣m ）；∴EA ，又∵D 为线段BC 的中点，B （2，4），C （6，0），∴点D （4，2），∴ED，∴EA ＝ED ．当点M 在点C 的右侧时，如下图：同理，点E 的坐标仍为（m ﹣1，5﹣m ），因此EA ＝ED ．②当点E 在（1）所求的抛物线上时， 把E （m ﹣1，5﹣m ）代入，整理得：m 2﹣10m +13＝0，解得：m或m ， ∴CM或CM ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、旋转的性质、一次函数的性质、全等三角形的判定与性质．综合性较强，难度较大．9．（1）()3,0A ，()0,1B ；（2）1tan 2AGB ∠=；（3）存在，11,23Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()33,10Q ，()43,8Q --【解析】【分析】（1）对于113y x =-+，令x ＝0，则y ＝1，令y ＝0，即113x -+＝0，解得x ＝3，即可求解；（2）证明AG 2＝AB 2＋BG 2，则△ABG 为直角三角形，即可求解；（3）分△ABQ ∽△AOB 、△ABQ ∽△BOA 两种情况，利用三角形相似边的比例关系，即可求解．【详解】 解：（1）对于113y x =-+，令x ＝0，则y ＝1，令y ＝0，即113x -+＝0，解得x ＝3， 故点A 、B 的坐标分别（3，0）、（0，1）；（2）由A 、B 、G 的坐标知，BG 2＝22＋（7−1）2＝40，同理AB 2＝10，AG 2＝50，故AG 2＝AB 2＋BG 2，故△ABG 为直角三角形，则tan ∠AGB ＝12ABBG ==；（3）设直线BG 的表达式为y ＝kx ＋b ，则721k bb =+⎧⎨=⎩，解得31k b =⎧⎨=⎩故直线BG 的表达式为y ＝3x ＋1，设点Q （m ，3m ＋1），①当△ABQ ∽△AOB 时，则AB BQ AO OB ==解得m ＝±13，∴11,23Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ②当△ABQ ∽△BOA 时，AB BQOB AO =解得：m ＝±3，∴()33,10Q ，()43,8Q --故点P 的坐标为（13，2）或（−13，0）或（3，10）或（−3，−8）．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．10．（1）30°；（2）①45；②，见解析；（3）BF＝α+2AF•sin12【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理解决问题即可．（2）①作出△ECB的外接圆⊙A，利用圆周角定理解决问题即可．②猜想：BF2AF2FG．连接CF，在FB上取一点T，使得FT=CF，连接CT．证明△BCT∽△ACF，推出2，推出BT2 AF可得结论．（3）连接CF，BC，在BF上取一点T，使得FT=CF．构造相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解（1）如图1，∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，∴AE＝AB，得∠3＝∠4．在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝60°．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝30°．（2）①如图2中，∵AB＝AC＝AE，∴点A是△ECB的外接圆的圆心，∠BAC，∴∠BEC＝12∵∠BAC＝90°，∴∠FEG＝45°．故答案为45．②猜想：．理由：如图2中，连接CF，BC，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．∵AM⊥EC，CG＝GE，∴FC＝EF，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，EF，∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝90°，∵CF＝FT，∴△CFT是等腰直角三角形，∴CT，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC AC，∴，∵∠BCA＝∠TCF＝45°，∴∠BCT＝∠ACF，∴△BCT∽△ACF，∴∴BT，∴BF＝BT+TF FG．（3）如图3，连接CF，BC，在BF上取一点T，使得FT＝CF．∵AB＝AC，∠BAC＝α，∴＝sin12α，∴＝2•sin12α，∵AB＝AC＝AE，∴∠BEC＝12∠BAC＝12α，EF＝，∵FC＝FE，∴∠FEC＝∠FCE＝12α，∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝α，同理可证，△BCT∽△ACF，∴＝2•sin12α，∴BT＝2AF•sin12α，∴BF＝BT+FT＝2AF•sin12α+EF．即BF＝2AF•sin12α+，故答案为：BF＝2AF•sin12α+．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识；会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形是解题的关键．11．（1）△AOB是等腰直角三角形，见解析；（2）E（-3，0）；（3）OM+MN-ON的值不变，见解析【解析】【分析】（1）由非负性可求a＝−4，b＝4，可求点A坐标，即可求解；（2）过点D作DH⊥OB于H，由“AAS”可证△BCO≌△HOD，可得DH＝BO，BC＝OH，由“AAS”可证△ABE≌△DHE，可得BE＝EH＝1，即可求解；（3）过点A作AP⊥MO于P，AQ⊥y轴于Q，AG⊥AM交y轴G，可得AP＝AQ＝4，∠PAQ＝90°＝∠MAG，由“ASA”可证△APM≌△AQG，可得AM＝AG，MP＝QG，由“SAS”可证△ANM≌△ANG，可得MN＝GN，即可求解．【详解】解：（1）△AOB是等腰直角三角形，理由如下：∵2+++-+=24(8)0a b a b∴2a+b+4=0，a-b+8=0，∴a=-4，b=4，∴点A（-4，4），∵AB⊥x轴，∴AB=BO=4，∠ABO=90°，∴△ABO是等腰直角三角形；（2）如图2，过点D作DH⊥OB于H，∴∠DHO=∠CBO=90°，∴∠BCO+∠BOC=∠DOH+∠COB，∴∠DOH=∠BCO，又∵CO=DO，∠DHO=∠CBO=90°，∴△BCO≌△HOD（AAS），∴DH=BO，BC=OH，∵点C是AB的中点，∴AC=BC=2，∴OH=2，BH=BO-OH=2，∵AB=DH，∠AEB=∠DEH，∠ABE=∠DHE=90°，∴△ABE≌△DHE（AAS），∴BE=EH=1，∴OE=OH+EH=3 ，∴点E（-3，0）；（3）OM+MN-ON的值不变，理由如下：如图3过点A作AP⊥MO于P，AQ⊥y轴于Q，AG⊥AM交y轴G，∴AP=AQ=4，∠PAQ=90°=∠MAG，∴∠PAM=∠GAQ，又∵∠APM=∠AQG=90°，∴△APM≌△AQG（ASA），∴AM=AG，MP=QG，∵∠MAN=45°，∴∠MAN=∠GAN=45°，又∵AN=AN，∴△ANM≌△ANG（SAS），∴MN=GN，∴OM+MN-ON=OP+MP+GN-ON=4+MP+ON+OG-ON=4+QG+OG=4+4=8【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．12．(1)(2)2k=-或5(3)证明见解析【解析】【分析】（1）令可得A(1，0)，B(3，0)，利用对称轴，代入抛物线解析式求出C(2，－a)，因为△ABC为等腰直角三角形，所以C到AB的距离等于AB的一半且a<0，所以1a=-，从而求出抛物线解析式为；（2）过点K作直线KP⊥x轴于点H，并与AC的延长线交于点P，过点C作于点Q，用待定系数法求出直线AC的解析式为1=-，设，则，y xQ(t，1)，H(t，0)，从而可得，，再由，列出方程进行分类讨论解得，求出相应的K点坐标，代入，求得2k=-或5；（3）连接MC，CF，过点M，作MS⊥DE于点S，于点N，由点E，D关于点C 对称可求得E(2，2)，设，联立抛物线和直线MN：整理得：，化简可得：，又因为，可得，所以，，从而可得，点M，C，F三点共线得证．(1)令0y=，可得解得∴A(1，0)，B(3，0)∵，将2x=代入得∴C(2，－a)∵△ABC为等腰直角三角形∴C(2，1)，1a=-∴抛物线解析式为：．(2)如图1，∵直线恒过定点A(1，0)∴设直线1l 与抛物线的另一个交点为过点K 作直线KP ⊥x 轴于点H ，并与AC 的延长线交于点P ，过点C 作于点Q ，不妨设直线AC 的解析式为：1y k x b =+ 将A (1，0)，C (2，1)两点代入得：，解得∴直线AC 的解析式为：1y x =- ∴，Q (t ，1)，H (t ，0)∴，∴∵∴当时即，无解 当时即 解得∴当2t =-时，∴K (－2，－15)∴当5t =时， ∴K (5，－8) ∴∴2k =-或5． (3)如图2，连接MC ，CF ，过点M ，作MS ⊥DE 于点S ，于点N∵点E ，D 关于点C 对称 ∴E (2，2) 设则MN 的解析式为：联立抛物线和直线MN 得整理得：消去并整理得；∵F (1x ，2)，T (2x ，1)，S∴∴，∴∵∴∴∴∴∴点M，C，F三点共线．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的解析式和性质的综合，解题关键是根据题意有效的添加辅助线并借助相关几何与代数知识进行转化处理，斜三角形的面积可以用割补法处理，证明三点共线可利用平角的定义来证明．13．(1)BC所在的直线与⊙O相切，见解析；(2)①63，5；②见解析【解析】【分析】(1)连接OA，OD，OB，BD，证明△BOD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠BDO=∠DBO=60°，证明△AOD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠ADO=60°，得出CB⊥OB，则可得出结论；(2)①由直角三角形的性质求出AB的长；证明△QDA∽△ADP，由相似三角形的性质得出，则可求出PQ的长；②过点D作DN⊥BQ于点N，DM⊥AQ交AQ的延长线于点M，证明Rt△DBN≌Rt△DAM(HL)，由全等三角形的性质得出BN=AM，由直角三角形的性质得出2QN=3QD，则可得出结论．(1)解：BC所在的直线与⊙O相切．理由如下：如图1，连接OA，OD，OB，BD，∵∠BAC=30°，∴∠BOD=60°，∵OB=OD，。

一、解答题1．如图，在ABCD中，90ABD∠=︒，45cmAD=，8cmBD=．点P从点A出发，沿折线AB BC-向终点C运动，点P在AB边、BC边上的运动速度分别为1cm/s、5cm/s．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且2QM PQ=，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒），矩形PQMN与ABCD重叠部分的面积为()2cmS．（1）求边AB的长．（2）当04t<<时，PQ=，当48t<<时，PQ=．（用含t的代数式表示）（3）当点M落在BD上时，求t的值．（4）当矩形PQMN与ABCD重叠部分图形为四边形时，求S与t的函数关系式．2．已知，ABC内接于⊙O，AD BC⊥于点G（1）如图1，求证：BAO CAD∠=∠；（2）如图2，过点O作ON BC⊥于N，过点作BH AC⊥于H，交⊙O于点F，求证：2AE ON=；（3）如图3，在（2）的条件下，直线OE交AB于点P，若:3:2HC EF=，7OE=，2CQ=，求线段AD的长．3．直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点．（1）求出点A、B的坐标；（2）已知点G的坐标为（2，7），过点G和B作直线BG，连接AG，求∠AGB的正切值；（3）在（2）的条件下，在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，OA =1，OB =OC =3．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点D 为第一象限抛物线上一动点，连接DC ，DB ，BC ，设点D 的横坐标为m ，△BCD 的面积为S ，求S 的最大值；（3）如图2，点P (0，n )是线段OC 上一点(不与点O 、C 重合)，连接PB ，将线段PB 以点P 为中心，旋转90°得到线段PQ ，是否存在n 的值，使点Q 落在抛物线上？若存在，请求出满足条件的n 的值，若不存在，请说明理由．5．已知抛物线经过()30A -,，()1,0B ，52,2C ⎛⎫⎪⎝⎭三点，其对称轴交x 轴于点H ，一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点C ，与抛物线交于另一点D （点D 在点C 的左边），与抛物线的对称轴交于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点F ，使得点A 、B 、E 、F 构成的四边形是平行四边形，如果存在，求出点F 的坐标，若不存在请说明理由（3）设∠CEH=α，∠EAH =β，当αβ>时，直接写出k 的取值范围6．如图，抛物线顶点(1,4)P ，与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于点A ，B ．（1）求抛物线的解析式；（2）Q 是抛物线上除点P 外一点，BCQ △与BCP 的面积相等，求点Q 的坐标： （3）M 是线段BC 上方抛物线上一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交线段BC 于点D ，再过点M 做MN //x 轴交抛物线于点N ，连结DN ，请问是否存在点M 使MDN △为等腰直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．7．如图1所示，在等边三角形ABC 中，线段AD 为其内角平分线，过点D 的直线B 1C 1⊥AC 于点C 1，交AB 的延长线于点B 1．（1）请你探究：1111,AC DC AC CD AB BD AB DB ==是否都成立？请说明理由． （2）请你继续探究：若ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角平分线，AC CDAB DB=一定成立吗？并证明你的判断．（3）如图2所示，在Rt ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝403，E 为AB 上一点且AE ＝5，CE 交内角平分线AD 于点F ，试求DFFA的值．8．“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．（1）如图1，正方形ABCD中，45=；∠=︒，且DE BFEAF=，求证：EG AG（2）如图2，正方形ABCD中，45∠=︒，延长EF交AB的延长线于点G，（1）中的EAF结论还成立吗？请说明理由；⊥，垂足为点Q，交AF于点N，连结DN，求（3）如图3在（2）的条件下，作GQ AE证：45∠=︒．NDC9．如图，在Rt△AOD中，∠AOD＝90°，以点O为圆心、OA为半径作⊙O．延长AD、OD，分别交⊙O于点C、E，点B是OD延长线上一点，且有BC＝BD．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠OAD＝30°，CD＝3，求弧CE长．（3）若OD＝3，DE＝1，求BE．10．已知在菱形ABCD中，8∠=︒，点P是直线AB上任意一点，联结BADAB=，120PC．在PCD∠内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且30PCQ∠=︒，联结PQ．（1）如图1，当点P在边AB上时，如果6BP=，求线段PC的长；（2）求证：△PCQ是等腰三角形（3）直线PQ与直线BC交于点E，如果QCE∆与BCP∆相似，求线段BP的长．11．如图，已知正方形ABCD，直线BC上任意一点E，连接AE，将△ABE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△AFG，直线BF、EG交于点M．（1）如图1，当点E在线段BC上，α＝90°时，求证：M为GE的中点；（2）如图2，当点E在射线BC上，（1）中的结论是否发生变化，说明理由．（3）当AB＝4，BE＝5，BM＝41时，求DM的长（直接写出结果）．12．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，∠OAC＝60°．（1）求二次函数的表达式．（2）如图2，线段BC上有M、N两动点（N在M上方），且MN 3P是直线BC下方抛物线上一动点，连接PC、PB，当△PBC面积最大时，连接PM、AN，当MN运动到某一位置时，PM+MN+NA的值最小，求出该最小值．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP，将AP绕着点A逆时针旋转60°至AQ．点E为二次函数对称轴上一动点，点F为平面内任意一点，是否存在这样的点E、F，使得四边形AEFQ 为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．13．将矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，其中点E 与点B ，点G 与点D 分别是对应点，连接BG ．(1)如图，若点A ，E ，D 第一次在同一直线上，BG 与CE 交于点H ，连接BE ． ①求证：BE 平分∠AEC ．②取BC 的中点P ，连接PH ，求证：PH ∥CG ． ③若BC ＝2AB ＝2，求BG 的长．(2)若点A ，E ，D 第二次在同一直线上，BC ＝2AB ＝4，直接写出点D 到BG 的距离． 14．预备知识：(1)在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t 的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为()0y kx b k =+≠，将点代入得：，整理得∵t 为任意实数，等式恒成立， ∴，∴，2b =∴这条直线的函数表达式为请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t 的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l ，求直线l 的函数表达式．问题探究：(2)如图1，在平面直角坐标系中，已知，，且，AB AC =，则点C 的坐标为_________．结论应用：(3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点()1,0P ，Q 是直线122y x =-+上的一个动点，连接PQ ，过点P 作，且，连接，求线段的最小值．15．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点()11,A x y ，()22,B x y ，如果点(),M x y 满足122x x x -=，122y y y -=，那么称点M 是点A 、B 的“双减点”． 例如：()4,5A -，()6,1B -、当点(),T x y 满足4652x --==-，()5132y --==，则称点()5,3M -是点A 、B 的“双减点”．(1)写出点()1,3A -，()1,4B -的“双减点”C 的坐标；(2)点()6,4E -，点4,43F m m --⎛⎫⎪⎝⎭，点(),M x y 是点E 、F 的“双减点”．求y 与x 之间的函数关系式；(3)在（2）的条件下，y 与x 之间的函数图象与y 轴、x 轴分别交于点A 、C 两点，B 点坐标为3,0，若点E 在平面直角坐标系内，在直线AC 上是否存在点F ，使以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出F 点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，抛物线2=y ax bx +的对称轴为y a 19），P 为抛物线上一点，A （0，32）．(1)求抛物线解析式；(2)Q 为直线AP 上一点，且满足AQ ＝2AP ．当P 运动时，Q 在某个函数图象上运动，试写出Q 点所在函数的解析式；(3)如图2，以PA 为半径作⊙P 与x 轴分别交于M （x 1，0），N （x 2，0）（x 1＜x 2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求点P 的横坐标．17．如图1，在直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，二次函数y =ax 2+16x +c 的图象F 交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于M 点，其中B （﹣3，0），M （0，﹣1）．已知AM =BC ．(1)求二次函数的解析式；(2)证明：在抛物线F 上存在点D ，使A 、B 、C 、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD 的解析式；(3)在（2）的条件下，设直线l 过D 且l ⊥BD ，分别交直线BA 、BC 于不同的P 、Q 两点，AC 、BD 相交于N ，求11BP BQ+的值； 18．如图，抛物线26y ax bx =++经过点()2,0A -、()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为()14m m <<．连接AC 、BC 、DB 、D C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)BCD△的面积等于AOC△的面积的34时，求m的值；(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，直线343y x=+与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上，且60ABC∠=︒．（1）点C的坐标为；（2）若动点P从点A出发，沿AC向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿C B A→→方向向点A运动，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度，设APQ∆的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当APQ∆的面积最大时，y轴上有一点M，则平面内是否存在一点N使得以A，Q，M，N为顶点的四边形构成以AQ为边的菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图1，抛物线y12=-x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B点，与y轴交于点C（0，2）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝∠ACO，求点P的坐标；（3）如图2，若点D是在直线BC上方的抛物线的一点，作DE⊥BC于点E，求线段DE的最大值．【参考答案】参考答案**科目模拟测试一、解答题1．（1）4；（2）2,162t t -；（3）0.8或7.2；（4）()()()222800.8814,4781285127.28t t S t t t t t t t ⎧<≤⎪=-+≤<<≤⎨⎪-+≤<⎩【解析】【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可；（2）先求解25tan 2,sin 45BD BD A A AB AD =====再用含t 的代数式表示,,,AP PB PC 再利用三角函数建立方程求解两种情况下的PQ 即可；（3）分两种情况讨论：如图，当P 在AB 上，M 落在BD 上，如图，当P 在BC 上，M 落在BD 上，则,M D 重合，再利用矩形的性质结合三角函数可得结论；（4）如图，当M 第一次落在BD 上，即00.8t时，此时重叠部分的面积为四边形， 当14t ≤<时，重叠部分为四边形，如图， 当47t <≤时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，当M 第2次落在BD 上时，7.2,t当7.28t 时，此时重叠部分的面积为四边形，再利用图形的性质列面积函数关系式即可.【详解】解：（1） 90ABD ∠=︒，5cm AD =，8cm BD =， ()2222458 4.AB AD BD ∴=-=-=（2）当04t <<时，P 在AB 上，,AP t =90,4,8,45,ABD AB BD AD ∠=︒===825tan 2,sin ,545BD BD A A AB AD ∴===== 而四边形PQMN 为矩形， 90,,,QPN QPA PQ MN PN MQ ∴∠=︒=∠==2,PQ AP∴= 2,PQ t ∴=当48t <<时，P 在BC 上，如图，此时()54,PB t =-，ABCD ，,,A C AD BC ∴∠=∠= 45545855,PC BC PB t t =-=-+=-25sin 5855PQ PQ C PC t∴∠===-， 162.PQ t ∴=-故答案为：2,162t t -（3）如图，当P 在AB 上，M 落在BD 上，此时4,,AP PN AP PB QM PB +=+==2,QM PQ24,PB PQ t54,t 解得：0.8,t如图，当P 在BC 上，M 落在BD 上，则,M D 重合，4,CQ DQ CQ MQ162,PQ t 同理可得：18,2CQ PQ t 2324,MQ PQ t32484,t t解得：7.2.t（4）当M 第一次落在BD 上，即00.8t时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，此时,2,24,AP t PQ t QM PQ t2248,S t t t当M 落在BC 上时，如图，同理可得：1,2,,4,24,2AP t PQ t MN BN MN t PB t QM PN PQ t AB ======-====44,t 解得：1,t =当14t ≤<时，重叠部分为四边形，如图，同理可得：,2,4,4,AP t PQ t PB t HQ ===-= ()2144?28,2S t t t t =-+=-+ 如图，当N 落在AD 上时，同理可得：162,8,2324,PQ t CQ t MQ PN PQ t 而4,PN CD3244,t 解得：7,t =当47t <≤时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，此时44,DQ CQ t()()2144?1628,2S t t t t =-+-=-+ 当M 第2次落在BD 上时，7.2,t当7.28t 时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，同理可得：162,22162,PQ t MQ PQ t2221628128512.S t t t综上：()()()222800.8814,4781285127.28t t S t t t t t t t ⎧<≤⎪=-+≤<<≤⎨⎪-+≤<⎩【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，列面积函数关系式，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解题的关键.2．（1）见解析；（2）见解析；（37137【解析】【分析】（1）连接,BO BD ，根据圆周角定理以及三角形的内角和，以及AD BD ⊥，即可证明BAO CAD ∠=∠；（2）延长CO 交O 于点M ，连接BM 、AM ，依垂径构造中位线，得2BM ON =，证明四边形AEBM 是平行四边形，得AE BM =结论可证；（3）连接OE 并延长交AC 于点Q ,连接,,AF OB OC ，CD ，,AD BC AH BF ⊥⊥，证EH HF =结合边比得60HFC ∠=︒，证AOP ≌AEQ △，得APQ 是等边等边三角形，PBO ≌QOC ，得等边边长13，得半径3BO =AEH △，求得1cos 7AEH ∠=继续解形计算，可得7137AD =【详解】（1）如图，连接,BO BD ，AD BC ⊥90DAC C ∴∠+∠=︒AO BO =AOB ABO ∠=∠2180AOB BAO ∴∠+∠=︒即2AOB BAO ∠+∠()2DAC C =∠+∠=AB AB2AOB C ∴∠=∠BAO DAC ∴∠=∠（2）如图，延长CO 交O 于点M ，连接BM 、AMON BC ⊥NB NC ∴=OM OC =2ON BM ∴= MC 为O 的直径，90MBC ∴∠=︒，90MAC ∠=︒MB BC ∴⊥,MA AC ⊥AD BC ⊥,BH AC ⊥∴//MB AE ，//MA BH∴四边形AMBE 是平行四边形AE MB ∴=∴2AE ON =（3）如图，连接OE 并延长交AC 于点Q ,连接,,AF OB OC ，CD ，,AD BC AH BF ⊥⊥,90,90GBH BEG HAE AEH ∴∠+∠=︒∠+=︒,BEG AEH ∠=∠,GBH HAE ∴∠=∠,即CAD CBF ∠=∠CF CF =CAF CBF ∴∠=CAD CAF ∴∠=∠AH BF ⊥AHE AHF ∴∠=∠又AH AH =AHE AHF ∴△≌△HE HF ∴=:32HC EF =3HC HF ∴=tan 3HC HFC HF∠==60HFC ∴∠=︒设ON k =，由（2）可得2AE ON =2k =,60,HFC CB CB ∠=︒=120BOC ∴∠=︒,60BAC BFC ∠=∠=︒ON BC ⊥1602BON BOC ∴∠=∠=︒ 22cos ON OB ON k BON∴===∠ 2OA OB OC k ∴===AO AE ∴=AOE AEO ∴∠=∠AOP AEQ ∴∠=∠由（1）可得BAO CAD ∠=∠，在AOP 和AEQ △中，BAO CAD AO AEAOP AEQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AOP ≌AEQ △∴=AP AQ ，OP EQ =60BAC ∠=︒APQ ∴△是等边三角形，60APQ AQP ∴∠=∠=︒120BPO OQC ∴∠=∠=︒120BOC ∠=︒18060BOP COQ BOC ∴∠+∠=︒-∠=︒180********BOP PBO OPB ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒COQ PBO ∴∠=∠在PBO 与QOC 中COQ OBP OQC BPO BO OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴PBO ≌QOCOQ BP ∴=，OP QC =OP EQ =2EQ QC ∴==7OE =27211PQ AP AQ PO OE EQ ∴===++=++=在Rt EHQ 中，60AQP ∠=︒,2EQ =sin 2EH EQ EQH ∴=⨯∠==1cos 12HQ EQ EQA EQ =⋅∠==EF EH ∴=在Rt HCF △中，cos 2HF CF HFC===∠在Rt AEH 中,12AH AQ HQ =-=AE ∴=AO AE ∴==在Rt AEH △中，1cos 7EH AEH AE ∠=== ,AH BF AD BC ⊥⊥∴AEH GAC GAC GCA ∠+∠=∠+∠AEH ACG ∴∠=∠在Rt AGC 中，13215AC AQ QC =+=+=115cos cos 77CG AC ACG AC AEH AC ∴=⋅∠=⋅∠==AG ∴=DAC CAF ∠=∠DC CF ∴=GD ∴=AD AG GD ∴=+=+∴AD = 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合，三角形全等的性质与证明，中位线定理，平行四边形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，添加辅助线是解题的关键．3．（1）()3,0A ，()0,1B ；（2）1tan 2AGB ∠=；（3）存在，11,23Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()33,10Q ，()43,8Q -- 【解析】【分析】（1）对于113y x =-+，令x ＝0，则y ＝1，令y ＝0，即113x -+＝0，解得x ＝3，即可求解；（2）证明AG 2＝AB 2＋BG 2，则△ABG 为直角三角形，即可求解；（3）分△ABQ ∽△AOB 、△ABQ ∽△BOA 两种情况，利用三角形相似边的比例关系，即可求解．【详解】解：（1）对于113y x =-+，令x ＝0，则y ＝1，令y ＝0，即113x -+＝0，解得x ＝3， 故点A 、B 的坐标分别（3，0）、（0，1）；（2）由A 、B 、G 的坐标知，BG 2＝22＋（7−1）2＝40， 同理AB 2＝10，AG 2＝50，故AG 2＝AB 2＋BG 2，故△ABG 为直角三角形，则tan ∠AGB ＝101240ABBG ==；（3）设直线BG 的表达式为y ＝kx ＋b ，则721k bb =+⎧⎨=⎩，解得31k b =⎧⎨=⎩故直线BG 的表达式为y ＝3x ＋1，设点Q （m ，3m ＋1），①当△ABQ ∽△AOB 时，则AB BQ AO OB =，即()223111031m m ++-=，解得m ＝±13，∴11,23Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭②当△ABQ ∽△BOA 时，ABBQ OB AO =，即()223111013m m ++-=解得：m ＝±3，∴()33,10Q ，()43,8Q --故点P 的坐标为（13，2）或（−13，0）或（3，10）或（−3，−8）．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．4．（1）2y x 2x 3=-++；（2）278；（3）存在，n =1或n =3+332- 【解析】【分析】（1）通过待定系数法求解函数解析式即可；（2）作DF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E ，根据12S DE OB =⋅求得S 关于m 的解析式，根据二次函数的性质求解即可；（3）过点P 作PB 的垂线，交抛物线于点1Q 和2Q ，作1Q M y ⊥轴于点M ，2Q N y ⊥轴于点N ，利用全等三角形的性质求解即可．【详解】解：(1)设函数关系式为2y ax bx c =++由题意，得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)∴(1)(3)y a x x =+-把C (0，3)代入得，1a =-∴2y x 2x 3=-++(2)作DF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E设直线BC 关系式为y =kx ＋b ，代入(3，0)，(0，3)得k =－1，b =3，∴y =－x ＋3∵点D 的横坐标为m ，则DF =223m m -++，EF =－m ＋3∴DE =23m m -+22133327(3)()22228S DE OB m m m =⋅=-+=--+∵302-<，∴S 的最大值是278(3)过点P 作PB 的垂线，交抛物线于点1Q 和2Q ，作1Q M y ⊥轴于点M ，2Q N y ⊥轴于点N∴1290Q MP Q NP BOP ∠=∠=∠=︒∵1190Q PM PQ M ∠+∠=︒，190Q PM BPO ∠+∠=︒，∴1PQ M BPO ∠=∠又∵1BP PQ =，∴1Q PM PBO △≌△∴1MQ OP n ==，3MP OB ==，∴1()3Q n n +，代入抛物线，得2323n n n +=-++解得11n =，20n =(舍去)同理，2PN Q PBO ≌，∴2Q (－n ，n －3)代入抛物线，得2323n n n =-+－－解得13+33n -=2333n --=舍去) 综上，存在n 的值，n =1或n 3+33-【点睛】 此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数以及全等三角形的判定与性质．5．（1）y ＝12x 2＋x −32；（2）（3，6）或（-5，6）或（−1，-2）；（3）−12＜k ＜56且k ≠0或56＜k ＜43【解析】【分析】（1）把A（−3，0），B（1，0），52,2C⎛⎫⎪⎝⎭代入y＝ax2＋bx＋c，解方程组即可；（2）把C点坐标代入直线CD，得2k＋b＝52，分两种情况：①若AB为平行四边形的边时，②若AB为平行四边形的对角线时，得关于k、b的方程组，解方程组即可求解；（3）分两种情况：①当E点在x轴上方时，②E点在x轴下方时，根据当α＝β时，列方程，可求出k的值，进而求出k的取值范围．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵抛物线经过A（−3，0），B（1，0），C（2，52）三点，∴9305 422a b ca b ca b c⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++=⎩，∴12132abc⎧⎪⎪⎨⎪⎪-⎩＝＝＝，∴抛物线的解析式为y＝12x2＋x−32；（2）如图1所示，将C点坐标代入直线CD，得2k＋b＝52，当x＝−1时，y＝−k＋b，即E（−1，−k＋b）．①若AB为平行四边形的边时，则F（-1+4，−k＋b）或F（-1-4，−k＋b），即：F（3，−k＋b）或F（-5，−k＋b），把F（3，−k＋b）代入y＝12x2＋x−32，得−k＋b=6，把F （-5，−k ＋b ），代入y ＝12x 2＋x −32，得−k ＋b =6， 又∵2k ＋b ＝52， ∴k =76-，b =296 ∴F （3，6）或（-5，6）；②若AB 为平行四边形的对角线时，则F 和E 关于x 轴对称，∴F （−1，k -b ），∴k -b =-2，又∵2k ＋b ＝52， ∴k =16，b =136，∴F （−1，-2），综上所述：F 的坐标为（3，6）或（-5，6）或（−1，-2）；（3）如图2所示，①当E 点在x 轴上方时，如图2所示，当α＝β时，∵∠EHA ＝90°，∴∠AEC ＝90°，∴∠AEH =∠EGH ，∵∠AHF =∠FHG =90°，∴AHF FHG ∽，∴AEAHEG EH =，∵A （−3，0），E （−1，−k ＋b ），G （bk -，0），()()2222221k b k b b k b k +-+=-+⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭，∴k 2−bk −2＝0，联立方程220522k bkk b⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，解得k＝−12（k＝43舍去），随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越大，∠EAH的度数越来越小，当E点和H点重合时（如图3所示），α和β均等于0，此时联立方程522k bk b⎧+⎪⎨⎪-+⎩＝＝，解得5656kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此当−12＜k＜56且k≠0时，α＞β；②E点在x轴下方时，如图4所示，当α＝β时，∵∠EHA＝90°，∴∠AEC＝90°，根据①可得此时k＝43（k＝−12舍去），随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越小，∠EAH的度数越来越大，因此当56＜k＜43时，α＞β．综上所述可得，当α＞β时，k取值范围为−12＜k＜56且k≠0或56＜k＜43．【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数和相似三角形的判定和性质的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式和数形结合思想方法是解题的关键．6．（1）2y x 2x 3=-++；（2）1(2,3)Q ，2317117(,)22Q +--，3317117(,)22Q --+；（3）存在，(2,3)M 或5175317(,)22--+ 【解析】【分析】（1）设2(1)4(0)y a x a =-+≠，把C(0,3)代入求出a ，即可得出答案；（2）①过P 作PQ //BC ，交抛物线于点Q ，如图1所示；②求出点G 坐标，可得2PG GH ==，过H 作直线23Q Q //BC ，交x 轴于点H ，分别求出Q 的坐标即可； （3）MDN △为等腰直角三角形，则MN MD =，求出MN 、MD 的长度即可列出等量关系式，从而得出答案．【详解】（1）设2(1)4(0)y a x a =-+≠，把C(0,3)代入抛物线解析式得：43a +=，即1a =-，则抛物线解析式为22(1)423 y x x x =--+=-++；（2）由(3,0)B ，C(0,3)，得到直线BC 解析式为3y x =-+，①过P 作1PQ //BC ，交抛物线于点1Q ，如图1所示，(1,4)P ，∴直线PQ 解析式为5y x =-+，联立得：2235y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩， 解得：14x y =⎧⎨=⎩或23x y =⎧⎨=⎩， 即1(2,3)Q ；②过P 作PH x ⊥轴，交BC 于点G ，交x 轴于点H ，令1x =，代入3y x =-+，得2y =，(1,2)G ∴，2PG GH ∴==，过H 作直线23Q Q //BC ，则直线23Q Q 解析式为1y x =-+，联立得：2231y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩，解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2Q ∴，3Q ， 综上所述：点Q 的坐标为1(2,3)Q，2Q，3Q ； （3）MDN △为等腰直角三角形，则MN MD =，点()2,23M m m m -++，令x m =，代入3y x =-+得：3y m =-+，(,3)D m m ∴-+，函数的对称轴为：1x =，则点N 的横坐标为：2m -，则|22|MN m =-，2223(3)3MD m m m m m =-++--+=-+，2223m m m ∴-=-+，2223m m m -=-+或2223m m m -+=-+，解得：12m =或21m =-（舍）或3m =4m = 当2m =时，2233m m -++=，当m =223m m -++= 故点M 的坐标为：(2,3)或． 【点睛】 本题考查了二次函数综合题，设计知识有：用待定系数法求函数解析式、同底等高的面积计算、等腰直角三角形的性质，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．7．（1）都成立，理由见解析；（2）结论依然成立，理由见解析；（3）58【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质和含30直角三角形的性质，求得对应边的比值，即可求解；（2）过点B 作BE AC ∥交AD 延长线于点E ，利用等腰三角形的性质可得AB BE =，再利用相似三角形的性质即可求解；（3）连接DE ，由（2）可得，35CD AC DB AB ==，58EF AE FC AC ==，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】 （1）两个等式都成立，理由如下：∵ABC 为等边三角形，AD 为角平分线∴AD 垂直平分BC ，30CAD BAD ∠=∠=︒，AB AC = ∴CD BD =∴AC CD AB DB= ∵60CAB ∠=︒，11B C AC ⊥∴130B ∠=︒∴112AB AC =，即1112AC AB = 又∵130DAB B ∠=︒=∠∴1AD DB =在1Rt ADC 中，130C AD ∠=︒，∴112DA DB DC ==，1112C D DB = ∴1111AC C D AB DB = （2）结论依然成立，理由如下：如下图：过点B 作BE AC ∥交AD 延长线于点E∴E CAD BAD ∠=∠=∠∴AB BE =∵BE AC ∥∴ACD EBD △△∽∴AC CD EB DB= 又∵AB BE =∴AC CD AB DB=（3）如图，连接DE∵AD平分CAB∠∴AD为ABC和ACE的内角角平分线由（2）的性质可得，834053CD ACDB AB===，58EF AEFC AC==又∵5340553AEEB==-∴CD AE DB EB=∴BD BE BC AB=又∵B B∠=∠∴BDE BCA∽∴BED BAC ∠=∠∴DE AC∥∴DEF ACF∽∴58 DF EFAF FC==【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，涉及了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及含30直角三角形的性质，解题的关键是灵活利用相关性质，构造出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解即可．8．（1）见解析；（2）结论依然成立，理由见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据半角旋转模型，把△ABF逆时针旋转90°，则AB与AD重合，设F对应的点为M，即可证明AME AFE≅，得到AEM AEF∠=∠，再结合AEM EAG∠=∠，可得AEM AEF∠=∠，可得EG AG=；（2）结论依然成立，证明方法与（1）一样；（3）又等腰三角形三线合一的性质可得GQ垂直平分EA，可得△ANE是等腰直角三角形，可得A、D、E、N四点共圆，根据圆周角45NDC EAN∠=∠=︒【详解】（1）把△ABF 逆时针旋转90°，则AB 与AD 重合，设F 对应的点为M ，∴AMD AFB ≅∴90,,MDA FBA AM AF MAD FAB ∠=∠=︒=∠=∠ ∴M 、D 、C 三点共线∵45EAF ∠=︒∴45EAD FAB EAD MAD MAE ∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴()AME AFE SAS ≅∴AEM AEG ∠=∠∵AB ∥CD∴AEM EAG ∠=∠∴AEG EAG ∠=∠∴EG AG =（2）结论依然成立，EG AG =把△ABF 逆时针旋转90°，则AB 与AD 重合，设F 对应的点为M ， ∴AMD AFB ≅∴90,,MDA FBA AM AF MAD FAB ∠=∠=︒=∠=∠ ∴M 、D 、C 三点共线∵45EAF ∠=︒∴45EAD FAB EAD MAD MAE ∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴()AME AFE SAS ≅∴AEM AEG ∠=∠∵AB∥CD∴AEM EAG∠=∠∴AEG EAG∠=∠∴EG AG=（3）连接EN由（2）得EG AG=∵GQ AE⊥∴GQ垂直平分AE∴EN=AN∵45EAF∠=︒∴90ANE ADE∠=︒=∠∴A、D、E、N四点在以AE为直径的同一个圆上，∴45NDC EAN∠=∠=︒．【点睛】本题考查半角旋转模型，熟练根据模型做出辅助线是解题的关键．第（3）问根据四点共圆证明是本题的难点．9．（1）见详解；（2）12π；（3）16【解析】【分析】（1）连接CO，先证∠BCD=∠ADO，由∠A+∠ADO=90°，可得∠OCA+∠BCD=90°，进而即可得到结论；（2）先证BCD△是等边三角形，∠BOC=30°，求出OC=3，利用弧长公式即可求解；（3）过点O作ON⊥AD，过点B作BM⊥CD，利用勾股定理和面积法求出ON=125，AN=165，结合垂径定理和等腰三角形的性质得DM=710，最后利用锐角三家函数即可求解．【详解】解：（1）连接CO，∵BC＝BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠BDC=∠ADO，∴∠BCD=∠ADO，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵∠AOD＝90°，∴∠A+∠ADO=90°，∴∠OCA+∠BCD=90°，即OC⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）∵∠OAD＝30°，∴∠OCA=∠OAD＝30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，∠ADO=∠BDC=90°-30°=60°，∴∠BOC=120°-90°=30°，又∵BC＝BD，∴BCD△是等边三角形，∴CB=CD＝3，∵OC⊥BC，∴OC=3×3=3，∴30311802CEππ⨯==；（3）过点O作ON⊥AD，过点B作BM⊥CD，∵OD＝3，DE＝1，∴AO=EO=3+1=4，∴AD5=，∴ON=125 OD OAAD⨯=，∴AN165 =，∴AC=2AN=325，∴CD=325-5=75，∵BD=BC，∴DM=75÷2=710，∵∠BDM=∠ADO，∴cos∠BDM=cos∠ADO，即：35 DM ODBD AB==，∴BD=53DM=710×53=76，∴BE=76-1=16．【点睛】本题主要考查圆和三角形的综合，掌握勾股定理，切线的判定定理，垂径定理，锐角三角函数的定义是解题的关键．10．（1）PC=2）见解析；（3）满足条件的PB的值为4+4．【解析】【分析】（1）如图1中，作PH⊥BC于H，．解直角三角形求出BH，PH，在Rt△PCH中，理由勾股定理即可解决问题；（2）根据菱形性质以及∠BAD=120°得∠PBQ=30°，再由∠PCQ=30°证明△POB∽△QOC 以及△POQ∽△BOC，即可得到∠PCQ=∠CPQ；（3）分两种情形：①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E，②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E，分别求解即可．【详解】解：（1）如图1中，作PH BC⊥于H．四边形ABCD 是菱形，8AB BC ∴==，//AD BC ，180A ABC ∴∠+∠=︒，120A ∠=︒，60PBH ∴∠=︒，6PB =，90PHB ∠=︒，cos603BH PB ∴=︒=，sin 6033PH PB =︒=，835CH BC BH ∴=-=-=，2222(33)5213PC PH CH ∴=+=+=．（2）设PC 交BD 于O ．四边形ABCD 是菱形，30ABD CBD ∴∠=∠=︒，30PCQ ∠=︒，PBO QCO ∴∠=∠，POB QOC ∠=∠，POB QOC ∴∆∆∽，∴PO BO QO CD =， ∴OP QO BO CD=， POQ BOC ∠=∠，POQ BOC ∴∆∆∽，30OPQ OBC PCQ ∴∠=∠=︒=∠，∴△PCQ 是等腰三角形；（3）①如图2中，若直线QP 交直线BC 于B 点左侧于E ．此时120CQE ∠=︒，60PBC ∠=︒，PBC ∴∆中，不存在角与CQE ∠相等，此时QCE ∆与BCP ∆不可能相似．②如图3中，若直线QP 交直线BC 于C 点右侧于E ．则60CQE B QBC QCP CBP ∠=∠=+∠=︒=∠，PCB E ∠>∠，∴只可能75BCP QCE ∠=∠=︒，作CF AB ⊥于F ，则4BF =，43CF =，45PCF ∠=︒，43PF CF ∴==，此时443PB =+，③如图4中，当点P 在AB 的延长线上时，QCE ∆与BCP ∆相似，120CQE CBP ∴∠=∠=︒，15QCE PCB ∴∠=∠=︒，作CF AB ⊥于F ．30FCB ∠=︒，45FCP ∴∠=︒，142BF BC ∴==，43CF PF ==， 434PB ∴=-．综上所述，满足条件的PB 的值为443+或434-．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．11．（1）见解析；（2）不发生变化，理由见解析；（3）1【解析】【分析】（1）将△ABE 绕点A 逆时针旋转α 得到△AFG ， 当点E 在线段BC 上，α＝90°时，过E 作EH BC ⊥，证明四边形HEDG 是平行四边形，即可得M 是GE 的中点；（2）过点E 作//EN GF ,交BM 的延长线于点N ，连接GN ,EF ，方法同（1）证明四边形FEGN 是平行四边形即可；（3）根据勾股定理求得AE ，①当E 在射线BC 上时，根据（2）的结论，取AE 的中点P ，连接,BP MP ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，可得AE BM =，进而证明ABEM 是矩形，进而求得DM ，②当E 在射线CB 上时，可得此情况不符合题意，综合①②可得结果．【详解】（1）过E 作EH BC ⊥,如图，四边形ABCD 是正方形，45DBC ∴∠=︒//AB CDHE BC ⊥45BHE ∴∠=︒将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△AFG，,∴=BE GD∴=HE GD⊥⊥,GF AD AD DC∴三点共线,,G D C∴⊥GC BC∴GD HE//∴四边形HEDG是平行四边形∴为GE的中点；M（2）（1）中的结论，M是GE的中点，仍然成立，理由如下：如图，过点E作//EN GF,交BM的延长线于点N，连接GN,EF将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△AFG，,=∴=,BE FGAB AF∠=设ABFβ∴∠=∠=ABF AFBβ四边形ABCD是正方形，90∴∠=∠=︒ABC AFG∴∠=︒-,18090∠=︒-∠-∠=︒-GFN AFB AFGβEBNβ90EN GF//BNE GFNβ∴∠=∠=︒-90∴∠=∠EBN ENB∴=EB EN=BE FG∴四边形FEGN 是平行四边形∴M 是GE 的中点（3）AB ＝4，BE ＝5，BM ＝41 四边形ABCD 是正方形，90ABC AFG ∴∠=∠=︒,4AD AB BC ===Rt ABE △中，22224541AE AB BE =+=+=AE BM ∴=将△ABE 绕点A 逆时针旋转α得到△AFG ,AB AF ∴=,BE FG =,AE AG =①当E 在射线BC 上时，如图，取AE 的中点P ，连接,BP MP则PA PE =∴114122BP AE ==由（2）可知M 为GE 的中点， ∴114122PM AG == BP PM ∴=PA PE =∴四边形ABEM 是平行四边形41BP PM AE BM ∴+===即AE BM =∴四边形ABEM 是矩形即,,B P M 三点共线，如图，541DM AM AD BE BC ∴=-=-=-=②当E 在射线CB 上时，，由已知，AE 41BM 41由题意，AE ≠BM 故此情况不存在综上所述，1DM =【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，等边对等角，三线合一，旋转的性质，综合运用以上知识，并能正确的添加辅助线是解题的关键．12．（1）23233y =221733）存在，111⎛ ⎝⎭或1111,⎛ ⎝⎭ 【解析】【分析】（1）由已知可设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-，由已知条件可求得点C 的坐标，把点C 的坐标代入解析式中即可求得a 的值，从而可得二次函数的表达式；（2）过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接PO ，设点P 的坐标为23233m ⎛ ⎝，则由题意可得OD 、PD 的长度，由PBC POC POB BOC S S S S =+-可得关于m 的二次函数，即可求得此时函数的最大值，从而可得点P 的坐标；过点A 作BC 的平行线，且在位于x 轴下方的直线上取AG =NM ，过G 作GH 垂直x 轴于点H ，连接GP ，则可求得点G 的坐标，当点M 在线段GP 上时，PM +NA 最小，从而PM +MN +NA 最小，可求得其最小值．（3）当四边形AEFQ 是菱形时，△AEQ 是等腰三角形，由点E 在抛物线的对称轴上，故设点E (1，n )，由旋转的性质则可得AE =AQ =AP ，可得关于n 的方程，解方程即可求得n ，从而求得点E 的坐标．【详解】（1）∵抛物线交x 轴于A （﹣1，0）、B （3，0）两点∴设抛物线的表达式为(1)(3)y a x x =+-，且OA =1∵∠OAC =60゜，OA ⊥OC∴∠OCA =30゜∴AC =2OA =2∴OC∴(0,C把点C 的坐标代入(1)(3)y a x x =+-中，得3a -=∴a =∴1)(3)y x x =+-展开得：2y =-即二次函数的表达式为2y x x =-（2）过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接PO ，如图2—1设点P 的坐标为2m ⎛ ⎝ ∵点P 位于第四象限内∴OD =m ，22PD =-=+⎝∵B (3，0)∴OB =3∵PBC POC POB BOC S S S S =+-111222OC OD PD OB OC OB =⨯+⨯-⨯232⎛=++ ⎝2= 232m ⎫=-⎪⎝⎭ ∴当32m =时，△PBC 的面积有最大值当当32m =2=此时点P 的坐标为3,2⎛ ⎝⎭∵MN =为定值 ∴PM +MN +NA 的最小值就是求PM +NA 的最小值过点A 作BC 的平行线，且在位于x 轴下方的直线上取AG =NM ，过G 作GH 垂直x 轴于点H ，连接GP ，如图2-2 ∵AG ∥NM ，AG =NM ∴四边形AGMN 是平行四边形 ∴GM =AN∴PM +NA =PM +GM ≥GP∴当点M 在线段GP 上时，PM +NA 最小，且最小值为线段GP 的长，从而PM +MN +NA 最小在Rt △COB 中，由勾股定理得BC ∴BC =2OC ∴∠CBO =30゜ ∵AG ∥BC∴∠HAG =∠CBO =30゜ ∵GH ⊥x 轴∴12HG AG ==由勾股定理得34AH == ∴37144OH OA AH =+=+=∴G 点坐标为7,4⎛- ⎝⎭由勾股定理得GP =即PM +NA 的最小值为2174∴PM +MN +NA 的最小值为217342+（3）存在；理由如下：由于四边形AEFQ 是菱形，则△AEQ 是等腰三角形，且AE =AQ ∵抛物线的对称轴为直线x =1，点E 在抛物线的对称轴上 ∴设点E (1，n )则2222(11)4AE n n =++=+ ∵AP 绕点A 旋转后得到AQ ∴AP =AQ ∴AE =AQ =AP∵2223531751216AP ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭⎝⎭∴由AE =AP 得：2175416n += 解得：111n =∴点E 的坐标为111⎛ ⎝⎭或1111,⎛ ⎝⎭【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，图形的面积，菱形的性质，直角三角形的性质等，综合性强，考查的知识点多，运算量大，是中考常考的压轴题．就数学思想方法而言有：割补思想，转化思想（三线段和的最小值转化为两线段和的最小值），方程思想，数形结合等．13．(1)757221【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质得到CB CE =，求得EBC BEC ∠=∠，根据平行线的性质得到EBC BEA ∠=∠，于是得到结论；②如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，根据角平分线的性质得到AB BQ =，求得=CG BQ ，根据全等三角形的性质得到BH GH =，根据三角形的中位线定理即可得到结论； ③如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，解直角三角形即可得到结论．（2）如图3，连接DB ，DG ，过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ，GN DC ⊥交DC 的延长线于N ，根据旋转的性质得到4==CE BC ，2CD AB ==，解直角三角形得到1NG =，3PG =(1)解：①证明：矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，CB CE ∴=，EBC BEC ∴∠=∠，又//AD BC ，EBC BEA ∴∠=∠， BEA BEC ∴∠=∠，BE ∴平分AEC ∠；。

2022年中考数学压轴题
1．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC，点D在函数图象上，CD∥x轴且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；
（2）如图1，连BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F’恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
解：
（1）∵CD∥x轴，CD＝2，
∴抛物线对称轴为x＝1．
∴−
b
2×(−1)
=1，b＝2．
∵OB＝OC，C（0，c），
∴B点的坐标为（c，0），
∴0＝﹣c2+2c+c，解得c＝3或c＝0（舍去），
∴c＝3；
（2）设点F的坐标为（0，m）．
∵对称轴为直线x＝1，
∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．
由（1）可知抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴E（1，4），
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2022年中考数学压轴题
1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）
（1）求该二次函数所对应的函数解析式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE∥x轴，PF∥y轴，求线段EF的最大值；
（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），
∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），
∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．
又∵点D（4，3）在二次函数上，
∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，
∴解得：a＝1．
∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），
即y＝x2﹣4x+3．
（2）如图1所示．
因点P在二次函数图象上，设P（p，p2﹣4p+3）．
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