小初衔接暑假专题-数的运算与运用

苏教版暑假小升初数学衔接之知识讲练专题11《有理数的除法》教学目标学习目标:(1) 会将有理数的除法转化成乘法 (2) 会进行有理数的乘除混合运算学习重点：有理数除法运算 学习难点：有理数的乘除混合运算新知引入某周每天上午8时的气温记录如下：星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 -3℃-2℃-3℃0℃-2℃-1℃-3℃这周每天上午8时的平均气温为多少？即 （-14）÷7新课教授你怎样计算上述结果？有几种方法？对于这一算式小丽和小明有两种算法： 因为 （-2）×7= -14 所以 （-14）÷7= -2除法是乘法的逆运算 除以一个数等于乘这个数的倒数新课导入：有理数的除[]7)3()1()2(0)3()2()3(÷-+-+-++-+-+-271)14(-=⨯-请你比较他们的算法是否都正确？你能根据他们的算法总结出有理数除法的规律吗？71)14(7)14(⨯-=÷-有理数除法法则：除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数. 注意：0不能作除数.有理数的除法有与乘法类似的法则：两数相除，同号得正，异号得负， 并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.典例分析【例题】计算（1） 36÷（-9） （2） （-48）÷（-6） （3） （-32）÷4×（-8）（4） 17×(-6)÷(-5) （5） （6）概念总结)()(3221-÷-)16(9449)81(-÷⨯÷-知识点1：有理数的除法1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．知识要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12-，-2和12-是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2. 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即1(0)a b ab b÷=≠. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 知识要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．知识点2：有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．知识点3：有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．:1．（2020•新会区一模）2020的相反数和倒数分别是( ) A ．2020-，12020-B ．2020-，12020C ．2020，12020- D ．2020，120202．（2020•东营区一模）|2020|-的倒数等于( ) A ．2020B ．2020-C ．12020D ．12020-3．如果1xy =，那么①1x y =；②1y x=；③x ，y 互为倒数；④x ，y 都不能为零．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2020•建邺区一模）3-的相反数是，13的倒数是．5．（2019秋•成都期末）2||5-的相反数是，2||5-的倒数是．6．（2019秋•郧西县期末）如果一个数的倒数是12-，那么这个数的相反数是．7．写出下列各数的倒数：（1）15-；（2）59 -；（3）0.25-；（4）0.17；（5）144；（6）255 -．8．求下列各数的倒数．32(1);(2)2;(3) 1.25;(4)543--．9．最小素数的倒数加上最小合数的倒数，所得的和的倒数是多少？10．（2019秋•海伦市期末）一种蜂蜜水中，蜂蜜占蜂蜜水的110，蜂蜜和水的比是()A．1:10B．1:9C．1:8D．1:1111．（2019秋•浦东新区期末）一零件长2.5毫米．如果画在图纸上为7.5厘米，那么图纸上的尺寸与实际尺寸的比是()A．1:3B．3:1C．1:30D．30:112．（2019秋•北京期末）小芸做50道口算题，错了2道，她口算的正确率是() A．48%B．50%C．96%D．98%13．（2019春•普陀区期中）计算：21(2)52÷-= ． 14．（2020春•甘南县期中）在比例里若两个外项互为倒数，则两个内项一定互为倒数． （判断对错） 15．（2019秋•栾城区期末）点A ，B 在数轴的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b ，对于以下结论：①0b a -<②||||a b <③0a b +>④0ba>，其中正确是 ．16．（2019春•浦东新区期中）计算：22( 1.5)3÷-= ．17．（2019秋•朝阳区期末）计算：1( 6.5)(2)()(5)3-⨯-÷-÷-．18．（2019秋•浦东新区期中）计算：122234213÷⨯提优巩固1．（2017秋•启东市校级月考）有以下两个结论： ①任何一个有理数和它的相反数之间至少有一个有理数；②如果一个有理数有倒数，则这个有理数与它的倒数之间至少有一个有理数．则( ) A ．①，②都不对； B ．①对，②不对；C ．①，②都对；D ．①不对，②对2．（2019秋•岱岳区期末）一个有理数的倒数与它的绝对值相等，则这个数是 ． 3．（2019•南京）2-的相反数是 ；12的倒数是 ． 4．（2016秋•渠县校级期中）写出符合下列条件的数： （1）最小的正整数： ； （2）绝对值最小的有理数： ；（3）绝对值大于3且小于6的所有负整数： ； （4）在数轴上，与表示1-的点距离为5的所有数： ； （5）倒数等于本身的数： ；（6）绝对值等于它的相反数的数： ．5．（2020•天津二模）计算(12)(3)-÷-的结果等于( ) A ．15-B ．4-C ．15D ．46．（2019秋•路南区期末）如图，在不完整的数轴上有A 、B 两点，当原点是线段AB 的中点时，下列说法错误的是( )A ．点A 、B 表示的两个数互为相反数 B ．点A 、B 表示的两个数绝对值相等C ．点A 、B 表示的两个数的商为1-D ．点A 、B 表示的两个数互为负倒数7．（2017秋•黄陂区期中）下列说法中：①若0a <时，33a a =-；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③若a 、b 互为相反数，则1ba=-；④当0a ≠时，||a 总是大于0；⑤如果a b =，那么a bc c=，其中正确的说法个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．（2013秋•安阳校级期中）若0ab ≠，则||||||a b aba b ab ++的取值共有( ) A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个9．（2006•临汾）学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元一律打八折．如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为( ) A ．180元B ．202.5元C ．180元或202.5元D ．180元或200元10．（2019秋•浦东新区期末）六年级（5）班共有50名学生，在数学学科的期中考试中，有48人在60~100分之间，有2人在60分以下，那么六年级（5）班在这次期中考试中，数学成绩的及格率为 ． 11．（2017秋•淅川县期末）如果0abc >，则||||||a b ca b c ++= ． 12．（2017秋•夏邑县期中）将12的倒数减去1-，再除以4-的绝对值，结果为 ． 49．（2019秋•昌平区期末）计算：512.5()84-÷⨯-．13．（2019春•黄浦区期中）计算：12(2)( 1.2)(1)75-÷-⨯-．。

数学小升初必须掌握整数的乘除运算及应用数学是小学生升初中的一大挑战。

在数学中，整数的乘除运算是基础且重要的一部分。

掌握整数的乘除运算不仅仅是为了解决乘除计算问题，更是培养学生逻辑思维和问题解决能力的关键。

在本文中，我们将深入探讨整数的乘除运算及其应用，帮助小朋友们更好地掌握这一知识点。

一、整数的乘法运算整数的乘法运算是指两个整数相乘的计算过程。

在进行整数的乘法运算时，我们需要注意以下几点：1. 同号相乘为正，异号相乘为负。

当两个整数的符号相同时，我们将它们的绝对值相乘，并保持相同的符号。

例如，2乘以3等于6，-2乘以-3等于6；而2乘以-3等于-6。

2. 乘法的结合律。

整数乘法满足结合律，即(a乘以b)乘以c等于a 乘以(b乘以c)。

这意味着我们可以按照任意顺序连续相乘，结果都是相同的。

3. 乘法的交换律。

整数乘法也满足交换律，即a乘以b等于b乘以a。

这表示我们可以交换乘法算式中的两个数字，结果不变。

二、整数的除法运算整数的除法运算是指将一个整数分成若干等份的计算过程。

在进行整数的除法运算时，我们需要注意以下几点：1. 同号相除为正，异号相除为负。

当两个整数的符号相同时，我们将它们的绝对值相除，结果保持正号。

例如，6除以2等于3，-6除以-2等于3；而6除以-2等于-3。

2. 除法的整除性质。

整数的除法可以分为整除和不整除两种情况。

若整数a可以被整数b整除，即a除以b的余数为0，我们称a是b的倍数，b是a的因数。

例如，12除以6等于2，12是6的倍数，6是12的因数。

三、整数乘除运算的应用整数的乘除运算在实际生活中有许多应用。

以下是一些例子：1. 温度变化计算。

气温的升降是一个常见的应用。

当我们将气温从零下五度变化到零上三度时，温度的变化是多少？这个问题可以通过整数的加减运算和乘除运算来解答。

2. 距离、速度和时间之间的关系。

在物理学中，速度等于位移除以时间。

若一辆汽车以每小时60公里的速度行驶了4小时，那么汽车行驶的距离是多少？这个问题可以通过整数的乘除运算来解答。

小升初数学衔接暑假讲义七年级数学上册第一章有理数1.1 正数和负数基础知识：1.正数是大于零的数，例如 3、2、0.8.有时在正数前面加正号“+”。

2.负数是在正数前面加负号“-”的数，例如 -1、-4、-0.6.3.零既不是正数也不是负数。

4.带有正号的数不一定是正数，带有负号的数不一定是负数。

例如在天气预报图中，零下5℃用“-5℃”来表示。

对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数来表示；把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数（零除外）前面放一个“-”（读作“负”）号来表示。

拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃则用“-5℃”来表示。

本节重点：能正确识别负数，用正负数表示具有相反意义的量是本节的难点。

教学中要特别强调零的特殊身份，明确零既不是正数，也不是负数。

知识题库：1.将下列各数按要求分类填写：5、0.56、-7、92、-、100、-0.、23.其中是正数的是（），是负数的是（）。

2.如果水位上升1.2米，记作“+1.2米”；那么水位下降0.8米，记作“-0.8米”。

3.甲、乙两人同时从A地出发，如果向南走48m，记作“+48m”；乙向北走32m，记为“-32m”。

这时甲乙两人相距80m。

4.某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在20℃~22℃范围内保存才合适。

5.下列说法不正确的是：A。

0小于所有正数；B。

0大于所有负数；C。

0既不是正数也不是负数；D。

0可以是正数也可以是负数。

6.“a”一定是负数吗？7.在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有的意义。

8.举出2对具有相反意义的量的例子。

9.某地一天中午12时的气温是7℃，过5小时气温下降了4℃，又过7小时气温又下降了4℃，第二天时的气温是多少？10.某老师把某一小组五名同学的成绩简记为“+10，-5，+7，+8，-3”，又知道记为的成绩表示90分，正数表示超过90分。

2020-2021学年人教版数学小升初数学衔接讲义（整合提升）专题02 数与代数—数的运算试卷满分：100分考试时间：100分钟一．选择题（共5小题，满分5分，每小题1分）1．（1分）小华在计算时，把一个数除以5看成了一个数乘5，结果算出来的答案是，那么正确的答案是（ ）A．B．C．D．【思路引导】根据题意，可以逆向思考，把一个数除以5看成了一个数乘5，结果算出来的答案是，根据一个因数＝积÷另一个因数，求出原来的被除数，然后用被除数除以5求出正确的结果．【完整解答】＝＝＝答：正确的结果是．故选：A．2．（1分）下列算式中，等号左右两边不相等的是（ ）A．B．C．D．＝﹣【思路引导】A.×99转化为：×（100﹣1），运用乘法分配律简算；B.（），运用乘法结合律简算；C.，运用乘法交换律简算；D.，根据减法的运算性质简算；【完整解答】A.×99＝×（100﹣1）＝＝＝59；B.（）＝（）×＝＝；C.＝＝；D.＝（）＝＝．故选：A．3．（1分）有三根绳子，如果第一根用去全长的，第二根用去全长的，第三根用去全长的，那么三根绳子剩下的长度相等，原来（ ）绳子最长．A．第一根B．第二根C．第三根D．无法确定﹣，，﹣，因为，．★÷．÷★．×★A.；B.；C.；A.；B.；C.；计算÷，可以这样想：把平均分成　个 平均分成　个 ，就是 。

计算÷，可以这样想：把平均分成个平均分成，就是。

，，，，。

，错误的商就是正确商的，少﹣）﹣）即可．﹣）÷0.4　＞　0.4＞分）水结冰后体积增加了，冰化成水后体积减少　水结成冰后，体积增加了”1+）1+＝（﹣÷＝÷＝答：冰化成水后体积减少．﹣+＝﹣+0.67.1+＝÷×＝（+）×24＝1÷×＝2÷2%＝0.1×1﹣0÷0.1＝【思路引导】根据分数加减乘除以及小数乘法的运算法则进行计算即可。

四、有理数的运算（一）有理数的加法1、两个正数相加5+8= +12+3.2= +3.5+(+7)=2、两个负数相加规定向东走为正。

第一次向西走15米，第二次向西走7米，两次共走多少米？－15+(－7)=足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量．若我们规定赢球为“正”，输球为“负”，打平为“0”。

学校足球队在一场比赛中：（1）上半场输了2球，下半场输了1球，那么全场共输了几球．(－2)+(－1)=★同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．(－6)+(－35)= －7.2+(－54)=3、异号两数相加（1）学校足球队在一场比赛中，上半场赢了3球，下半场输了4球，那么全场共赢了几球． (+3)+(－4)=（2）上半场输了3球，下半场赢了4球，那么全场共赢了几球(－3)+(+4)=（3）上半场输了3球，下半场赢了3球，那么全场共赢了几球．(－3)+(+3)=★异号两个数相加，如果两数的绝对值相等，则和为0或者说：互为相反数的两个数相加得0★绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值．－150＋250＝ (－1.15)+(+1.12)= －15＋（+23）＝3+(－6)= 742742+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4、0和一个数相加0+2= －8+0= 0+0=★一个数同0相加，仍得这个数（1）★有理数的加法法则●同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．●绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值．●互为相反数的两数相加和为0●一个数同0相加，仍得这个数。

（2）有理数加法的运算步骤①先判断属于法则中的哪种类型；②再依法则判断和的符号；③判断利用绝对值的和还是绝对值的差进行计算．上述步骤可以概括为：“一定二求三加减”（3）有理数加法的运算定律①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．a+b=b+a．②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．（a+b)+c=a+(b+c)（二）有理数的减法规定：向东走为正。

目录第一讲负数 (2)第二讲数轴 (5)第三讲绝对值 (9)第四讲有理数的加法 (13)第五讲有理数的减法及加减混合算 (17)第六讲有理数的乘法 (21)第七讲有理数的除法 (23)第八讲有理数的乘方 (25)第九讲有理数的混合运算 (28)第十讲代数式及代数式求值 (31)第十一讲合并同类项 (34)第十二讲一元一次方程 (39)第十三讲一元一次方程的应用 (43)第十四讲丰富的图形世界 (49)第十五讲平面图形及其位置关系 (59)专题一负数1、相关知识链接小学学过的数：（1）整数（自然数）：0，1，2，3…………（2）分数：1131,,,1,2342……………（3）小数：0.5，1.2，0.25…………提问：（1）温度：零上8度，零下8度，在数学中怎么表示？（2）海拔高度：+25，-25分别表示什么意思？（3）生活中常说负债800元，在数学中又是什么意思？2、 教材知识详解负数的产生：我们把其中一种意义的量规定为正，把另一种和它意义相反的量规定为负，这样就产生了负数。

【知识点1】正数与负数的概念（1） 正数：像5，1.2，13，125等比0大的数叫做正数。

（2） 负数：像-5，-1.2，-13，-125等在正数前面加上“-”号的数叫做负数，负数比0小，“-”不能省略。

注：（1）0既不是正数也不是负数，它是正数负数的分界点（2）并不是所有带有“-”号的数字都叫做负数，例如0 【例1】下列那些数为负数 5，2，-8.3，4.7，-13，0，-0 【知识点2】有理数及其分类（1） 有理数：整数和分数统称为有理数，整数包括正整数、0、负整数、分数（包括正分数和负分数）。

注：分数可以与有限小数和无限循环小数相互转化。

（2） 有理数分类：按性质分类：,5.20, 5.2⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎨-⎪⎪⎩⎩正整数：如1，2, 3，...正有理数11正分数：如，， (23)有理数负整数：如-1，-2,- 3，…负有理数11负分数：如-，-， (23)按定义分类：,5.2, 5.2⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪-⎪⎪⎩⎩正整数：如1，2, 3，…整数0负整数：如-1，-2,- 3，…有理数11正分数：如，，…23分数11负分数：如-，-，…23 【例2】把下列各数填在相应的集合内，－23，0.5，－32, 28, 0, 4, 513, －5.2. 整数集合{ } 负数集合{ } 负分数集合{ } 非负正数数集合{ }【基础练习】1、零下30C 记作（ ）0C ；（ ）既不是正数，也不是负数。

小升初数学暑假衔接知识点梳理（一）第一章 有理数的认识一、正数与负数像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．要点：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：要点： （1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．三、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km 、m 、dm 、cm 等．（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如π.要点：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 12+12-π四、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.要点：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）互为相反数的两数和为0.五、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .要点：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.六、绝对值1．定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.要点：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2．性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．（2）互为相反数的两个数的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．七、有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数 －数为0正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0要点：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．第一章 有理数的运算一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．要点：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．1a b >a b >1a b =a b =1a b<a b <3.运算律： 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b ＝b+a加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c ＝a+(b+c) 要点：交换加数的位置时，不要忘记符号．二、有理数的减法1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．要点：（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．要点： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.四、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．()a b a b -=+-(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3. 有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab ＝ba ．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc ＝(ab)c ＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac ． 要点：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd ＝d(ac)b ．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad ．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．五、有理数的除法1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a ÷b =a ×1b . 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．六、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．七、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．12-12-1(0)a b a b b÷=≠八、有理数的乘方定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：.在中，叫做底数， n 叫做指数. 要点：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．九、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．要点：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．十、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l ≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.要点：（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n 比这个数的整数位数少1.十一、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．十二、近似数及精确度1. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. n a a a a n ⋅⋅⋅=个na a 10n a ⨯a a n 4200000074.210⨯--30003310-⨯10n a ⨯要点：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.2. 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确0.10.05到米，说明结果与实际数相差不超过米.十三、拓展概念：有效数字通俗的解释：一个数值从出现第一个1-9的数字开始，从这个数字开始，后面的数字都是有效数字（这个数字左边的0都不是有效数字，右边的0都是有效数字）。

2021小升初暑期精品课程讲义第1讲——四则运算一、知识讲解四则运算的意义加法：把两个数合成一个数的运算。

减法：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。

乘法： 除法：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。

四则运算中各部分之间的关系加法： 和=加数+加数 一个加数=和-另一个加数减法： 差=被减数-减数 减数=被减数-差 被减数=减数+差乘法： 积=因数×因数 一个因数=积÷另一个因数除法： 商=被除数÷除数 除数=被除数÷商 被除数=除数×商四则运算的特殊情况0a a += 0a a += 0a a -= 0a a -=00a ⨯= 00a ⨯=000⨯= 00(0)a a ÷=≠ 1a a ⨯= 1a a ⨯= 11(0)a a a ÷=≠ 1a a ÷= 1(0)a a a ÷=≠四则混合运算的运算顺序①没有括号的算式：只含同一级运算，从左往右依次计算；含有两级运算，先做第二级运算，再做第一级运算。

（先乘除，后加减） ②有括号的算式：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

整数乘法、小数×整数、分数×整数：求几个相同加数的和的简便运算。

一个数×小数：求这个数的十分之几、百分之几……是多少。

一个数×分数：求这个数的几分之几是多少。

有余数的除法 （余数<除数）四则混合运算定律和运算性质 加法交换律：a b b a +=+ 加法结合律：()()a b c a b c ++=++ 乘法交换律：a b b a ⨯=⨯ 乘法结合律：()()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯ 乘法分配律：()a b c a c b c +⨯=⨯+⨯； ()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯减法的性质：()a b c a b c -+=--； ()a b c a b c --=-+ 除法的性质（除数不为0）：()a b c a b c ÷⨯=÷÷； ()a b c a b c ÷÷=÷⨯； ()a b c a c b c +÷=÷+÷； ()a b c a c b c -÷=÷-÷估算作用：计算前估算，可以对计算结果有一个大致的判断；计算后估算，可以对计算结果进行检验。