初三数学圆与相似的专项培优练习题及答案
一、相似
1．如图所示，△ ABC 中， AB=AC，∠ BAC=90°， AD⊥ BC， DE⊥ AC，△ CDE 沿直线 BC 翻折到△ CDF，连结 AF 交 BE、 DE、 DC分别于点 G、 H、I．
（1）求证： AF⊥ BE；
（2）求证： AD=3DI．
【答案】（1）证明：∵在△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=90°， D 是 BC 的中点，
∴AD=BD=CD，∠ ACB=45 ，°
∵在△ ADC中， AD=DC，DE⊥ AC，
∴A E=CE，
∵△ CDE沿直线 BC 翻折到△ CDF，
∴△ CDE≌ △CDF，
∴C F=CE，∠ DCF=∠ACB=45 ，°
∴C F=AE，∠ ACF=∠DCF+∠ACB=90 ，°
在△ ABE 与△ ACF中，
，
∴△ ABE≌ △ ACF（SAS），
∴∠ ABE=∠ FAC，
∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，°
∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，°
∴∠ AGB=90 ，°
∴AF⊥BE
（2）证明：作IC 的中点 M，连接 EM，由（ 1）∠ DEC=∠ECF=∠ CFD=90°
∴四边形 DECF是正方形，
∴EC∥ DF， EC=DF，
∴∠ EAH=∠ HFD， AE=DF，
在△ AEH 与△FDH 中
，
∴△ AEH≌ △FDH（ AAS），
∴EH=DH，
∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，°
∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，°
∴∠ AGB=90 ，°
∴AF⊥BE，
∵M 是 IC 的中点， E 是 AC 的中点，
∴EM∥AI，
∴，
∴DI=IM ，
∴CD=DI+IM+MC=3DI，
∴AD=3DI
【解析】【分析】（ 1）根据翻折的性质和SAS 证明△ ABE≌ △ ACF，利用全等三角形的性
质得出∠ ABE=∠ FAC，再证明∠ AGB=90°，可证得结论。
（2）作IC 的中点M ，结合正方形的性质，可证得∠ EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS 证明△AEH 与△ FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。
2．如图，抛物线 y=﹣ +bx+c 过点 A（ 3，0）， B（ 0， 2）． M（ m， 0）为线段 OA 上一个动点（点 M 与点 A 不重合），过点 M 作垂直于 x 轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于
点P、 N．
（1）求直线AB 的解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P 是 MN 的中点，那么求此时点N 的坐标；
（3）如果以 B， P，N 为顶点的三角形与△ APM 相似，求点 M 的坐
标．【答案】（1）解：设直线 AB 的解析式为 y=px+q，
把 A（ 3， 0）， B（ 0，2）代入得，解得，
∴直线 AB 的解析式为y=﹣x+2；
把A（ 3 ， 0 ）， B（ 0 ， 2 ）代入y=﹣+bx+c 得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2
（2）解：∵ M （ m， 0）， MN ⊥ x 轴，
∴N（m，﹣m2+m+2）， P（ m，﹣m+2 ），
∴N P=﹣ m2+4m， PM=﹣ m+2，而
NP=PM，
∴﹣m2+4m=﹣m+2，解得 m1=3（舍去）， m2=，
∴N 点坐标为（，）
（3）解：∵ A（ 3， 0）， B（ 0， 2）， P（ m，﹣m+2），
∴AB==，BP==m，
而NP=﹣ m2+4m，
∵MN ∥ OB，
∴∠ BPN=∠ ABO，
当=时，△BPN∽ △OBA，则△BPN∽ △MPA，即m ： 2= （﹣m 2+4m ）：，
整理得 8m 2﹣11m=0 ，解得 m1=0（舍去）， m2= ，
此时 M 点的坐标为（， 0）；
当= 时，△ BPN∽△ ABO，则△ BPN∽ △ APM，即m：=（﹣m2+4m）：2，
整理得 2m 2﹣5m=0 ，解得 m1=0（舍去）， m2=，
此时 M 点的坐标为（， 0）；
综上所述，点M 的坐标为（，0）或（，0）
【解析】【分析】（ 1）因为抛物线和直线AB 都过点A（ 3,0）、 B（ 0,2），所以用待定系
数法求两个解析式即可；
（2）由题意知点P 是 MN 的中点，所以PM=PN；而 MN OA 交抛物线与点N，交直线AB 于点 P，所以 M、 P、 N 的横坐标相同且都是m, 纵坐标分别可用（1）中相应的解析式表
示，即P（ m,）,N（m,）,PM与PN的长分别为相应两点的纵
坐标的绝对值，代入PM=PN 即可的关于m 的方程，解方程即可求解；
（3）因为以B， P， N 为顶点的三角形与△ APM相似，而△ APM是直角三角形，所以分两
种情况：当∠ PBN=时，则可得△PBN∽△PMA，即得相应的比例式，可求得m 的值；当∠ PNB= 时，则可得△ PNB∽ △ PMA，即得相应的比例式，可求得m 的值。
3．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，平行四边形 A BCD的边 BC 在 x 轴上， D 点在 y 轴上， C 点坐标为（2， 0）， BC=6，∠BCD=60°，点 E 是 AB 上一点， AE=3EB，⊙ P 过 D，O ， C 三点，抛物线y=ax2+bx+c 过点 D ， B ， C 三
