函数单调性、奇偶性检测(含答案解析)

高二数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知是定义在R上的奇函数，当时（m为常数）,则的值为（）. A．B．6C．4D．【答案】D【解析】因为是定义在R上的奇函数且当时，所以.则.【考点】函数奇偶性的应用.2.以下命题正确的是（1）若；（2）若，则必要非充分条件；（3）函数；（4）若奇函数满足，则函数图象关于直线对称．【答案】（1）（2）．【解析】（1）,,故正确；（2），，，所以必要非充分条件，故正确；（3）令，则在上为减函数，所以；（4）为奇函数，，又因为，则，即函数图像关于对称．【考点】函数的性质．3.设是定义在上的奇函数，当时，，则 .【答案】-3【解析】由奇函数的定义可知，【考点】奇函数的应用.4.若是定义在R上的奇函数，且满足，给出下列4个结论：（1）；（2）是以4为周期的函数；（3）；（4）的图像关于直线对称；其中所有正确结论的序号是 .【答案】①②③【解析】①因为是定义在R上的奇函数，所以，则；②，，即周期为4；③因为是定义在R上的奇函数，所以，又，；④因为是定义在R上的奇函数，所以的图像关于直线对称；故选①②③.【考点】函数的奇偶性、周期性.5.设函数．若，则．【答案】【解析】因为，所以，即有，而．【考点】初等函数的性质及函数部分奇、偶性．6.设函数，若是奇函数，则的值是 .【答案】.【解析】由题意可知，又∵是奇函数，∴.【考点】函数的奇偶性与分段函数.7.下列函数是奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据奇偶函数的定义易知，A、B都满足，均为偶函数，C中，函数的定义域为，且，故C中的函数为奇函数，而D 中，定义域为，但，且，该函数为非奇非偶函数，综上可知，选C.【考点】函数的奇偶性.8.已知函数是定义在区间-2，2上的偶函数，当时，是减函数，如果不等式成立，则实数的取值范围（）A．B．1，2C．D．【答案】【解析】根据题意知,函数在上单调递增,在上单调递减.首先满足,可得.根据函数是偶函数可知:,所以分两种情况:当时,根据不等式成立,有,解得;当时,根据不等式成立,有,解得;综上可得.【考点】偶函数性质.9.现有四个函数:①;②;③; ④的图象(部分)如下,但顺序被打乱,则按照从左到右的顺序对应的函数序号是（）A．④①②③B．①④②③C．①④③②D．③④②①【答案】【解析】首先判断函数的奇偶性,显然①是偶函数, ②③奇函数, ④非奇非偶函数．所以从左到右①④②③或①④③②．③中当时,显然,当时,．所以其对应第四个图．所以从左到右①④②③．【考点】函数图像的观察,函数奇偶性的判断．10.设函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，则实数的值为【答案】【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，所以又因为当时，，所以【考点】偶函数性质11.观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则＝（）A．B．－C．D．－【答案】D【解析】由中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；…，同此可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在上的函数满足，则函数为偶函数．又∵为的导函数，则奇函数，所以，即，故选D．【考点】1、归纳推理；2、函数的奇偶性．12.已知偶函数f（x）在[0，∞）上是增函数，则不等式的解集是【答案】【解析】根据偶函数的性质：,所以,函数在[0，∞）上是增函数，所以,,解得【考点】1.偶函数的性质；2.解不等式.13.已知函数f(x)＝x3.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求证：f(x)>0.【答案】（1）偶函数（2）见解析【解析】(1)解∵2x－1≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．∵f(－x)－f(x)＝ (－x)3－x3＝ (－x)3－x3＝·x3－x3－·x3－x3＝x3－x3＝0，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)证明由题意知x≠0，当x>0时，∵2x－1>0，x3>0，∴f(x)>0；当x<0时，∵－x>0，∴f(－x)＝f(x)>0，∴f(x)>0.综上所述，f(x)>0.14.已知函数，，则。

高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（）A.y＝x3B.y＝|x|＋1C.y＝－x2＋1D.y＝2－|x|2.f（x）＝x2＋|x|（）A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（）A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（）A.在[－1,0]上是增函数B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数C.在[1,0]上是减函数D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（）A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（）A.f（1）>f（2）B.f（1）>f（－2）C.f（－1）>f（－2）D.f（－1）<f（2）7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，则下列关系式中成立的是（）A.f<f（－1）<f（2）B.f（－1）<f<f（2）C.f（2）<f（－1）<fD.f（2）<f<f（－1）8.定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，＋∞）上的图象与f （x）的图象重合.设a>b>0，给出下列不等式①f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b）；②f（b）－f（－a）<g（a）－g（－b）；③f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a）；④f（a）－f（－b）<g（b）－g（－a）.其中成立的是（）A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④9.定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（－∞，0]（x1≠x2），有（x2－x1）·[f（x2）－f （x1）]＞0，则当n∈N*时，有（）A.f（－n）＜f（n－1）＜f（n＋1）B.f（n－1）＜f（－n）＜f（n＋1）C.f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）D.f（n＋1）＜f（n－1）＜f（－n）10.若函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，则x·f（x）＜0的解集是（）A.（－2,0）∪（0,2）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）D.（－2,0）∪（2，＋∞）11.已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，－2）上是减函数，若g（x）＝f（x－2）是奇函数，且g（2）＝0，则不等式xf（x）≤0的解集是（）A.（－∞，－2]∪[2，＋∞）B.[－4，－2]∪[0，＋∞）C.（－∞，－4]∪[－2，＋∞）D.（－∞，－4]∪[0，＋∞）12.设f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，则x·f（x）<0的解集为（）A.（－1,0）∪（2,＋∞）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2,＋∞）D.（－2,0）∪（0,2）13.若函数f（x）＝ax2＋（2＋a）x＋1是偶函数，则函数f（x）的单调增区间为（）A.（－∞，0]B.[0，＋∞）C.（－∞，＋∞）D.[1，＋∞）14.已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________.（填写序号）①f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）；②f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）；③f（x）是奇函数，递减区间是（－1,1）；④f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）.15.若f（x）是偶函数，其定义域为（－∞，＋∞），且在[0，＋∞）上是减函数，设f＝m，f＝n，则m，n的大小关系是________.16.已知函数f（x）＝（k－2）x2＋（k－1）x＋3是偶函数，则f（x）的单调递增区间是________.17.已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.（1）试求f（x）在R上的解析式；（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.18.设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋2x，求函数f（x），g（x）的解析式.19.已知函数f（x）＝－x3＋3x.求证：（1）函数f（x）是奇函数；（2）函数f（x）在区间（－1,1）上是增函数.20.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝. （1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.21.设定义域为R的函数f（x）＝（1）在平面直角坐标系内作出函数f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间（不需证明）；（2）若方程f（x）＋2a＝0有两个解，求出a的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）；（3）设定义为R的函数g（x）为奇函数，且当x>0时，g（x）＝f（x），求g（x）的解析式.22.已知函数f（x）＝ax＋（x≠0，常数a∈R）.（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[3，＋∞）上为增函数，求a的取值范围.答案1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（）A.y＝x3B.y＝|x|＋1C.y＝－x2＋1D.y＝2－|x|【答案】B【解析】∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对；y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数，故C不对；D中y＝2－|x|＝|x|虽是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数，只有B对.2.f（x）＝x2＋|x|（）A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数【答案】D3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（）A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数【答案】C【解析】因为f（－x）＝－3x＋＝－（3x－）＝－f（x），又因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数.4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（）A.在[－1,0]上是增函数B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数C.在[1,0]上是减函数D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数【答案】A【解析】因为f（1＋x）＝f（1－x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，又f（x）为偶函数，且在[1,2]上是增函数，所以f（x）在[－1,0]上是增函数.5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（）A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数【答案】C【解析】A错误.设f（x）＝x，是增函数，但f（x）＋f（－x）＝x－x＝0是常数函数；同理B错误；C正确.设g（x）＝f（x）－f（－x），则g（－x）＝f（－x）－f（x）＝－[f（x）－f（－x）]＝－g（x），函数g（x）是奇函数.任取x1，x2∈R，且x1<x2，则－x1>－x2,g（x1）＝f（x1）－f（－x1）,g（x2）＝f（x2）－f（－x2），因为f（x）是定义在R上的增函数，所以f（x1）<f（x2），f（－x1）>f（－x2），即－f（－x1）<－f（－x2）.所以f（x1）－f（－x1）<f（x2）－f（－x2），即g（x1）<g（x2）.所以函数g（x）＝f（x）－f（－x）是增函数；D错误.故选C.6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（）A.f（1）>f（2）B.f（1）>f（－2）C.f（－1）>f（－2）D.f（－1）<f（2）【答案】D【解析】∵当x≥0时，f（x）＝x＋1是增函数，∴f（1）<f（2），又∵f（x）为偶函数，∴f（1）＝f（－1），f（2）＝f（－2），7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，则下列关系式中成立的是（）A.f<f（－1）<f（2）B.f（－1）<f<f（2）C.f（2）<f（－1）<fD.f（2）<f<f（－1）【答案】B【解析】∵对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，∴函数f（x）在（－∞，－1]上单调递减，∴f（－2）>f>f（－1）.又∵f（x）是偶函数，∴f（－2）＝f（2）.∴f（－1）<f<f（2）.8.定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，＋∞）上的图象与f （x）的图象重合.设a>b>0，给出下列不等式（）①f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b）；②f（b）－f（－a）<g（a）－g（－b）；③f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a）；④f（a）－f（－b）<g（b）－g（－a）.其中成立的是（）A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④【答案】C【解析】因为函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间[0，＋∞）的图象与f（x）的图象重合，所以函数g（x）在[0，＋∞）上是增函数，在（－∞，0）上是减函数.a>b>0，f（a）>f（b），g（a）>g（b），所以f（a）＋g（a）>f（b）＋g（b）;对于①：f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b），即f（b）＋f（a）>g（a）－g（b）.正确；则②错误；对于③：f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a），即f（a）＋f（b）>g（b）－g（a）.正确；则④错误.9.定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（－∞，0]（x1≠x2），有（x2－x1）·[f（x2）－f （x1）]＞0，则当n∈N*时，有（）A.f（－n）＜f（n－1）＜f（n＋1）B.f（n－1）＜f（－n）＜f（n＋1）C.f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）D.f（n＋1）＜f（n－1）＜f（－n）【答案】C【解析】由（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]＞0，得f（x）在x∈（－∞，0]上为增函数.又f（x）为偶函数，∴f（x）在x∈[0，＋∞）上为减函数.又f（－n）＝f（n）且0≤n－1＜n＜n＋1，∴f（n＋1）＜f（n）＜f（n－1），即f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）.10.若函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，则x·f（x）＜0的解集是（）A.（－2,0）∪（0,2）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）D.（－2,0）∪（2，＋∞）【答案】A【解析】因为函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，所以可画出符合条件的奇函数f（x）的图象，如图所示.因为x·f（x）＜0，所以或结合图象，得到答案为A.11.已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，－2）上是减函数，若g（x）＝f（x－2）是奇函数，且g（2）＝0，则不等式xf（x）≤0的解集是（）A.（－∞，－2]∪[2，＋∞）B.[－4，－2]∪[0，＋∞）C.（－∞，－4]∪[－2，＋∞）D.（－∞，－4]∪[0，＋∞）【答案】C【解析】g（x）＝f（x－2）是把函数f（x）向右平移2个单位得到的，且g（2）＝f（0），f（－4）＝g （－2）＝－g（2）＝0，f（－2）＝g（0）＝0，所以函数f（x）的图象关于点（－2,0）对称，所以当x ≤－4或x≥－2时xf（x）≤0成立.12.设f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，则x·f（x）<0的解集为（）A.（－1,0）∪（2,＋∞）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2,＋∞）D.（－2,0）∪（0,2）【答案】C【解析】因为函数f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，所以函数f（x）在（0，＋∞）内也是减函数，且f（2）＝0.则不等式x·f（x）<0可化为或解得x<－2或x>2.13.若函数f（x）＝ax2＋（2＋a）x＋1是偶函数，则函数f（x）的单调增区间为（）A.（－∞，0]B.[0，＋∞）C.（－∞，＋∞）D.[1，＋∞）【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f（x）＝－2x2＋1，所以函数的单调增区间为（－∞，0].14.已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________.（填写序号）①f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）；②f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）；③f（x）是奇函数，递减区间是（－1,1）；④f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）.【答案】③【解析】将函数f（x）＝x|x|－2x去掉绝对值得f（x）＝画出函数f（x）的图象，如图，观察图象可知，函数f（x）的图象关于原点对称，故函数f（x）为奇函数，且在（－1,1）上单调递减.15.若f（x）是偶函数，其定义域为（－∞，＋∞），且在[0，＋∞）上是减函数，设f＝m，f＝n，则m，n的大小关系是________.【答案】m≥n【解析】因为a2＋2a＋＝（a＋1）2＋≥，又f（x）在[0，＋∞）上是减函数，所以f≤f＝f.16.已知函数f（x）＝（k－2）x2＋（k－1）x＋3是偶函数，则f（x）的单调递增区间是________.【答案】（－∞，0]【解析】∵f（x）为偶函数，∴图象关于y轴对称，即k＝1，此时f（x）＝－x2＋3，其单调递增区间为（－∞，0].17.已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.（1）试求f（x）在R上的解析式；（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.【答案】（1）因为函数f（x）的图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，则f（0）＝0.设x<0，则－x>0，因为x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.所以f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x＋3）＝－x2－2x－3.于是有f（x）＝（2）先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图.由图象可知函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－1]，[1，＋∞），单调递减区间是（－1,0），（0,1）.18.设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋2x，求函数f（x），g（x）的解析式. 【答案】∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），由f（x）＋g（x）＝2x＋x2.①用－x代替x得f（－x）＋g（－x）＝－2x＋（－x）2，∴f（x）－g（x）＝－2x＋x2，②（①＋②）÷2，得f（x）＝x2；（①－②）÷2，得g（x）＝2x.19.已知函数f（x）＝－x3＋3x.求证：（1）函数f（x）是奇函数；（2）函数f（x）在区间（－1,1）上是增函数.【答案】（1）显然f（x）的定义域是R.设任意x∈R，因为f（－x）＝－（－x）3＋3（－x）＝－（－x3＋3x）＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数.（2）在区间（－1,1）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）＝－（x2－x1）（＋x2x1＋）＋3（x2－x1）＝（x2－x1）（3－－x2x1－）.因为－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，（3－－x2x1－）＞0，所以f（x2）＞f（x1）.所以函数f（x）＝－x3＋3x在区间（－1,1）上是增函数.20.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝. （1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.【答案】（1）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴－ax－＋c＝－ax－－c，∴c＝0，∴f（x）＝ax＋.又∵f（1）＝，f（2）＝，∴∴a＝2，b＝.综上，a＝2，b＝，c＝0.（2）由（1）可知f（x）＝2x＋.函数f（x）在区间上为减函数.证明如下：任取0<x1<x2<，则f（x1）－f（x2）＝2x1＋－2x2－＝（x1－x2）＝（x1－x2）.∵0<x1<x2<，∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.∴f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2）.∴f（x）在上为减函数.21.设定义域为R的函数f（x）＝（1）在平面直角坐标系内作出函数f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间（不需证明）；（2）若方程f（x）＋2a＝0有两个解，求出a的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）；（3）设定义为R的函数g（x）为奇函数，且当x>0时，g（x）＝f（x），求g（x）的解析式.【答案】（1）如图.单调增区间：[－1,0]，[1，＋∞），单调减区间（－∞，－1]，[0,1].（2）在同一坐标系中同时作出y＝f（x），y＝－2a的图象，由图可知f（x）＋2a＝0有两个解，须－2a＝0或－2a>1，即a＝0或a<－.（3）当x<0时，－x>0，所以g（－x）＝（－x）2－（－2x）＋1＝x2＋2x＋1，因为g（x）为奇函数，所以g（x）＝－g（－x）＝－x2－2x－1，且g（0）＝0，所以g（x）＝22.已知函数f（x）＝ax＋（x≠0，常数a∈R）.（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[3，＋∞）上为增函数，求a的取值范围.【答案】（1）定义域（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.当a＝0时，f（x）＝，满足对定义域上任意x，f（－x）＝f（x），∴当a＝0时，f（x）是偶函数；当a≠0时，f（1）＝a＋1，f（－1）＝1－a，若f（x）为偶函数，则a＋1＝1－a，a＝0矛盾；若f（x）为奇函数，则1－a＝－（a＋1），1＝－1矛盾，∴当a≠0时，f（x）是非奇非偶函数.（2）任取x1＞x2≥3，f（x1）－f（x2）＝ax1＋－ax2－＝a（x1－x2）＋＝（x1－x2）（a－）. ∵x1－x2＞0，f（x）在[3，＋∞）上为增函数，∴a＞，即a＞＋在[3，＋∞）上恒成立.∵x1＞x2≥3，＋＜＋＝，∴a≥.。

函数的单调性+奇偶性（含解析）一、单选题1．函数1()lg(21)f x x =-的定义域为（ ） A ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B ．12x x ⎧≥⎨⎩且}1x ≠ C ．12x x ⎧⎨⎩且}1x ≠ D ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭2．函数()f x = ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．已知函数，若方程有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(−1,−12] B ．[−12,0) C ．[−1,+∞) D ．[−12,+∞) 4．设函数()1,02,0x x x f x b x +≥⎧=⎨+<⎩是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(]1,1- 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x -=C ．1y x x =-D ．()2ln 1y x =+ 6．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f =( ) A ．－2B ．2C ．5D ．267．集合{|,P x y =={|,Q y y ==U =R ，则()U P Q ⋂是（ ） A ．[)1,+∞B ．∅C ．[)0,1D ．[)1,1- 8．函数x x x f 431)(3-=的单调递减区间是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,2(-C ．),2(∞+D ．),2()2,(+∞⋃--∞9．已知集合214A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∣，集合{B y y ==∣，则A B =（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[1,1]- C ．[0,1] D ．1[0,]210．若函数()f x 满足()2f x x =+，则()32f x +的解析式是( )A ．()3298f x x +=+B ．()3232f x x +=+C ．()3234f x x +=--D ．()3234f x x +=+11．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f （x ）=x+1，则当x<0时，f （x ）的 表达式为（ ）A ．1)(+-=x x fB ．1)(--=x x fC ．1)(+=x x fD ．1)(-=x x f12．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩， 则[(2)]f f -的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5二、多选题13．已知函数()f x 是一次函数，满足()()98ff x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 14．已知函数2,[1,2)x y x ∈-=，下列说法正确的是（ ）A ．函数是偶函数B ．函数是非奇非偶函数C ．函数有最大值是4D ．函数的单调增区间是为(0，2)15．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（ ） A ．3log 3x y = B．3log 3x y = C．y = D ．2y = 16．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合-{}1,1,2,4M =-，{}1,2,4,16N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2x y =D ．2y x三、填空题17．函数()f x =_______．18．偶函数()f x 满足当0x >时，()34f x x =+，则()1f -=_____．19．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,0)-∞上的单调性是________.20．设,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()2g g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____________.四、解答题21．已知()222f x x x =-+.（1）画出()f x 的图象.（2）根据图象写出()f x 的单调区间和值域.22．用函数的单调性的定义证明函数()4f x x x=+在()2,+∞上是增函数. 23．求解下列函数的定义域（1）（2） 24．求函数1,01(),12x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩的最值25．已知函数1(),f x a x=-其中0a >。

函数的奇偶性和单调性1．对任意实数x，下列函数中的奇函数是()A．y＝2x－3 B．y＝－3x2C．y＝ln5x D．y＝－|x|cos x答案 C2．对于定义在R上的任意奇函数f(x)，均有()A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)>0 D．f(x)·f(－x)≤0答案 D解析∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－x)f(x)＝－f2(x)≤0.3．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是() A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数答案 A解析由f(x)是偶函数知b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx是奇函数．4．(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．2 B．1C．0 D．－2答案 D解析由f(x)为奇函数知f(－1)＝－f(1)＝－2.5．函数f(x)在定义域R上不是常数函数，且f(x)满足：对任意x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(1＋x)＝－f(x)，则f(x)是()A．奇函数但非偶函数B．偶函数但非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案 B解析依题意，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数，所以f(－x＋2)＝f(－x)．又f(2＋x)＝f(2－x)，因此有f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数；若f(x)是奇函数，则有f(－x)＝－f(x)＝f(x)，得f(x)＝0，这与“f(x)不是常数函数”相矛盾，因此f(x)是偶函数但不是奇函数，选B.6．(2011·湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝()A．e x－e－x B.12(ex＋e－x)C.12(e－x－e x) D.12(ex－e－x)答案 D解析由f(x)＋g(x)＝e x，可得f(－x)＋g(－x)＝e－x.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可得f(x)－g(x)＝e－x，则两式相减，可得g(x)＝e x－e－x2，选D.7．(2013·辽宁)已知函数f(x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1，则f(lg2)＋f(lg 12)＝()A．－1 B．0C．1 D．2答案 D解析由已知，得f(－x)＝ln(1＋9x2＋3x)＋1，所以f(x)＋f(－x)＝2.因为lg2，lg 12互为相反数，所以f(lg2)＋f(lg12)＝2.8．f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－2，则f(log126)的值等于()A．－43B．－72C.12D．－12答案 C解析f(log126)＝－f(－log126)＝－f(log26)9．(2014·湖北八校)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(2 013)＋f(－2 014)的值为()A．－2 B．－1C．1 D．2答案 C解析依题意得，x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．因此，f(2 013)＋f(－2 014)＝f(2 013)＋f(2 014)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝－f(0)＝－log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2 013)＋f(－2 014)＝1.10．下列判断中正确的是________．①f(x)＝(x)2是偶函数；②f(x)＝x3是奇函数；③y＝x0及y＝(x－1)0都是偶函数；④f(x)＝ln(1－x2－x)是非奇非偶函数；⑤f(x)＝3－x2＋91－|x|是偶函数．答案⑤11．函数f(x)＝x3＋sin x＋1的图像关于________点对称．答案(0,1)解析f(x)的图像是由y＝x3＋sin x的图像向上平移一个单位得到的．12．(2014·金华十校联考)定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)，且x∈[0,4]时，f(x)＝4－x，则f(2 015)的值为________．答案 3解析∵f(4)＝0，∴f(x＋8)＝f(x)，∴T＝8.∴f(2 015)＝f(7)＝f(－1)＝f(1)＝3.13．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋32)，且f(1)＝3，则f(2 014)＝________.答案 3解析∵f(x)＝－f(x＋3 2)，∴f(x＋3)＝f[(x＋32)＋32]＝－f(x＋32)＝f(x)．∴f(x)是以3为周期的周期函数．则f(2 014)＝f(671×3＋1)＝f(1)＝3.14．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为________．答案－415．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f(512)的大小关系是__________．答案f(512)<f(－1)<f(4)解析∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x)关于x＝2对称．又y＝f(x)在(－∞，2)上为增函数，∴y＝f(x)在(2，＋∞)上为减函数，而f(－1)＝f(5)，∴f(512)＜f(－1)＜f(4)．16．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确的序号是________．答案①②⑤解析由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)．∴f(x)是周期为2的函数，①正确．f (x )关于直线x ＝1对称，②正确．f (x )为偶函数，在[－1,0]上是增函数，∴f (x )在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f (2)＝f (0)．因此③、④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．17．设函数f (x )＝x 3＋x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，求实数m 的取值范围．答案 (－∞，1)解析 f (x )＝x 3是R 上的奇函数与增函数，因此，由f (m cos θ)＋f (1－m )>0，得f (m cos θ)>－f (1－m )＝f (m －1)，m cos θ>m －1，即m (1－cos θ)<1对任意θ∈[0，π2]恒成立．而当θ＝0时，不等式m (1－cos θ)<1成立，当θ∈(0，π2]时，cos θ∈[0,1)，1－cos θ∈(0,1]，11－cos θ∈[1，＋∞)．由m (1－cos θ)<1，得m <11－cos θ，即m <1.因此，m 的取值范围是(－∞，1)．18．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，求F (x )在(－∞，0)上的最小值．答案 －4解析 由题意知，当x >0时，F (x )≤8.∵f (x )，g (x )都是奇函数，且当x <0时，－x >0.∴F (－x )＝af (－x )＋bg (－x )＋2＝－af (x )－bg (x )＋2＝－[af (x )＋bg (x )＋2]＋4≤8.∴af (x )＋bg (x )＋2≥－4.∴F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(－∞，0)上有最小值－4.。

函数单调性、奇偶性练习一、选择题1．若函数f (x )＝x (x ∈R )，则函数y ＝－f (x )在其定义域内是( ) A ．单调递增的偶函数 B ．单调递增的奇函数 C ．单调递减的偶函数D ．单调递减的奇函数2．下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是( ) A ．f (x )＝x ＋1x B ．f (x )＝x 2－1xC ．f (x )＝1－x 2D ．f (x )＝x 33．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )上的表达式为( )A ．y ＝x (x －2)B ．y ＝x (|x |＋2)C ．y ＝|x |(x －2)D ．y ＝x (|x |－2)4．(2012·泉州高一检测)f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且f (3)>f (1)，则下列各式一定成立的是( )A ．f (0)<f (6)B ．f (3)>f (2)C ．f (－1)<f (3)D ．f (2)>f (0)5．已知奇函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( )A ．(－∞，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[23，＋∞)6．已知函数f (x )和g (x )均为奇函数，h (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h (x )在(－∞，0)上的最小值为( )A ．－5B ．－1C ．－3D ．57．(曲师大附中2011～2012高一上期末)若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(3)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是()A．(－∞，3)∪(3，＋∞)B．(－∞，3)C．(3，＋∞)D．(－3,3)8．(胶州三中2011～2012高一模块测试)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式f(x)－f(－x)x<0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)第8题第9题二、填空题9.函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．10．(2012·大连高一检测)函数f(x)＝2x2－mx＋3在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则m＝________.11．(上海大学附中2011～2012高一期末考试)设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)x为奇函数，则a＝________.12．偶函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，若x 1<0，x 2>0，且|x 1|>|x 2|，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是______．三、解答题13．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c 是奇函数(a 、b 、c ∈Z )，且f (1)＝2，f (2)<3，求a 、b 、c 的值．14．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围． [分析] (1)题需分情况讨论．(2)题用定义证明即可．详解答案 1[答案] D 2[答案] D[解析] ∵对于A ，f (－x )＝(－x )＋1(－x )＝－(x ＋1x )＝－f (x )；对于D ，f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，∴A 、D 选项都是奇函数．易知f (x )＝x 3在(0,1)上递增． 3[答案] D[解析] 当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝x 2＋2x .又f (x )是奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.∴f (x )＝x (|x |－2)．故选D. 4[答案] C 5[答案] A[解析] 由图象得2x －1<13，∴x <23，选A.6[答案] B[解析] 解法一：令F (x )＝h (x )－2＝af (x )＋bg (x )， 则F (x )为奇函数．∵x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤5， ∴x ∈(0，＋∞)时，F (x )＝h (x )－2≤3. 又x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∴F (－x )≤3⇔－F (x )≤3 ⇔F (x )≥－3.∴h (x )≥－3＋2＝－1，选B. 7[答案] D[解析] ∵f (x )为偶函数，f (3)＝0，∴f (－3)＝0，又f (x )在(－∞，0]上是减函数，故－3<x ≤0时，f (x )<0.x <－3时，f (x )>0，故0<x <3时，f (x )<0，x >3时，f (x )>0，故使f (x )<0成立的x ∈(－3,3)．[点评] 此类问题画示意图解答尤其简便，自己试画图解决． 8[答案] D[解析] 奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，f (x )－f (－x )x ＝2f (x )x <0.由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)． 9[答案] (－∞，1)、(1，＋∞) 10[答案] －8 11[答案] －1[解析] f (x )＝1x (x ＋1)(x ＋a )为奇函数⇔g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数， 故g (－1)＝g (1)，∴a ＝－1. 12[答案] f (x 1)>f (x 2) [解析] ∵x 1<0，∴－x 1>0， 又|x 1|>|x 2|，x 2>0，∴－x 1>x 2>0，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴f (－x 1)>f (x 2)， 又∵f (x )为偶函数，∴f (x 1)>f (x 2)．此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然． 13[解析] 由条件知f (－x )＋f (x )＝0， ∴ax 2＋1bx ＋c ＋ax 2＋1c －bx＝0， ∴c ＝0又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b ，∵f (2)<3，∴4a ＋12b <3，∴4a ＋1a ＋1<3，解得：－1<a <2，∴a ＝0或1，∴b ＝12或1，由于b ∈Z ，∴a ＝1、b ＝1、c ＝0.14[解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax(a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0， 即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (2)设2≤x 1<x 2，则有f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2·[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，要使函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，则需f (x 1)－f (x 2)<0恒成立．∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4，∴只需使a <x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立． 又∵x 1＋x 2>4， ∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16，故a 的取值范围是(－∞，16]．。

一、选择题1．下列命题中错误的是( )①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数②奇函数的图象一定过原点③偶函数的图象与y 轴一定相交④图象关于y 轴对称的函数一定为偶函数A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③[答案] D[解析] f (x )＝1x 为奇函数，其图象不过原点，故②错；y ＝⎩⎨⎧ x －1 x ≥1－x －1 x ≤－1为偶函数，其图象与y 轴不相交，故③错．2．如果奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f (x )在(－∞，0)上( )A ．减函数B ．增函数C ．既可能是减函数也可能是增函数D ．不一定具有单调性[答案] B3．已知f (x )＝x 7＋ax 5＋bx －5，且f (－3)＝5，则f (3)＝( )A ．－15B ．15C ．10D ．－10[答案] A[解析] 解法1：f (－3)＝(－3)7＋a (－3)5＋(－3)b －5＝－(37＋a ·35＋3b －5)－10＝－f (3)－10＝5，∴f (3)＝－15.解法2：设g (x )＝x 7＋ax 5＋bx ，则g (x )为奇函数，∵f (－3)＝g (－3)－5＝－g (3)－5＝5，∴g (3)＝－10，∴f (3)＝g (3)－5＝－15.4．若f (x )在[－5,5]上是奇函数，且f (3)<f (1)，则下列各式中一定成立的是( )A ．f (－1)<f (－3)B ．f (0)>f (1)C ．f (2)>f (3)D ．f (－3)<f (5)[答案] A[解析] ∵f (3)<f (1)，∴－f (1)<－f (3)，∵f (x )是奇函数，∴f (－1)<f (－3)．5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)的值等于( )A ．－1B ．1 C.114D ．－114[答案] A[解析] ∵x >0时，f (x )＝2x －3，∴f (2)＝22－3＝1，又f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1.6．设f (x )在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f (x )为偶函数，则f (x )在[1,2]上( )A ．为减函数，最大值为3B ．为减函数，最小值为－3C ．为增函数，最大值为－3D ．为增函数，最小值为3[答案] D[解析] ∵f (x )在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f (－1)＝3，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上为增函数，且最小值为f (1)＝f (－1)＝3.7．(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝|x |＋1D ．y ＝2－|x | [答案] C[解析] 由偶函数，排除A ；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B ，D ，故选C.8．(09·辽宁文)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 ` D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [答案] A[解析] 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23，∴选A.9．若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．不存在[答案] B[解析] 解法1：f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )恒成立，∴f (－1)＝f (1)，即0＝2(1＋a )，∴a ＝－1.10．奇函数f (x )当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2x ＋3，则f (1)与f (2)的大小关系为( )A ．f (1)<f (2)B ．f (1)＝f (2)C ．f (1)>f (2)D ．不能确定 [答案] C[解析] 由条件知，f (x )在(－∞，0)上为减函数，∴f (－1)<f (－2)，又f (x )为奇函数，∴f (1)>f (2)．[点评] 也可以先求出f (x )在(0，＋∞)上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特征画图比较．二、填空题11．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的奇偶性为________．[答案] 奇函数[解析] 由f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数得b ＝0，因此g (x )＝ax 3＋cx ，∴g (－x )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．12．偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________．[答案] 0[解析] 由于偶函数图象关于y 轴对称，且与x 轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0.三、解答题13．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x >0)x 2＋x (x ≤0)； (2)f (x )＝1x 2＋x. [解析] (1)f (－x )＝⎩⎨⎧ x 2－x (x ≥0)－x 2－x (x <0)，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)f (－x )＝1x 2－x≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数，又不是偶函数．14．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．[解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2－x －2又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得：f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .15．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，求函数f (x )的解析式．[解析] 因为f (x )是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f (0)＝0，即b ＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，所以12a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝25， 所以a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 2. 16．定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．[解析] 由f (1－a )＋f (1－a 2)<0及f (x )为奇函数得，f (1－a )<f (a 2－1)，∵f (x )在(－1,1)上单调减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a<1－1<1－a 2<11－a >a 2－1 解得0<a <1.故a 的取值范围是{a |0<a <1}．17．f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．[解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2＋2，∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2＋2＝－6，∴a ＝－2.即f (x )＝－2(x －1)2＋2.当x <0时，－x >0，f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎨⎧ －2(x －1)2＋2 (x ≥0)2(x ＋1)2－2 (x <0)，其图象如图所示．。

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，(x＋1)，则f(－2012)＋f(2013)＝________________．f(x)＝log2【答案】1【解析】试题分析:∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，又∵对于x≥0都有f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(－2012)＋f(2013)＝f(2012)＋f(2013)＝f(1006×2)＋f(1006×2＋1)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝1．故答案为：1．【考点】函数的周期性2.已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则．【答案】．【解析】∵，∴，又∵，分别是定义在上的偶函数和奇函数，∴，，∴，∴．【考点】函数的奇偶性．3.已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和），则( )．A．B．C．D．【答案】C【解析】由定义在上的函数是奇函数且满足知，= = =，所以= = = =，所以的周期为3，由得，，当n≥2时，=，所以=，所以=-3，=-7，=-15，=-31，=-63，所以 ====3，故选C.【考点】函数的奇偶性、周期性，数列的递推公式，转化与化归思想4.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【答案】C【解析】设，则，因为是奇函数，是偶函数，故，即是奇函数，选C．【考点】函数的奇偶性．5.已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】先画出当时，函数的图象，又为偶函数，故将轴右侧的函数图象关于轴对称，得轴左侧的图象，如下图所示，直线与函数的四个交点横坐标从左到右依次为，由图象可知，或，解得，选A．【考点】１、分段函数；2、函数的图象和性质；3、不等式的解集．6.若是偶函数，则____________.【答案】【解析】因为函数为偶函数,所以,故填.【考点】奇偶性对数运算7. [2013·重庆高考]已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log10))＝5，则f(lg(lg2))＝2()A．－5B．－1C．3D．4【答案】C【解析】∵f(x)＝ax3＋bsinx＋4，①∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4，即f(－x)＝－ax3－bsinx＋4，②①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③又∵lg(log10)＝lg()＝lg(lg2)－1＝－lg(lg2)，2∴f(lg(log10))＝f(－lg(lg2))＝5，2又由③式知f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝8，∴5＋f(lg(lg2))＝8，∴f(lg(lg2))＝3.故选C.8.已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝ln(x2－x＋1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为()A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】当x∈时，－x∈，f(x)＝－f(－x)＝－ln(x2＋x＋1)；则f(x)在区间上有3个零点(在区间上有2个零点)．根据函数周期性，可得f(x)在上也有3个零点，在上有2个零点．故函数f(x)在区间[0,6]上一共有7个零点．9.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数【答案】A【解析】由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数．A项，偶＋偶＝偶；B项，偶－偶＝偶，错；C项与D项分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇，均不恒成立．10.设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【答案】A【解析】因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选A．11.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足 (，且)，若，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】由条件，，即，由此解得，，所以选B．12.已知是奇函数，且，若，则= ．【答案】【解析】因为为奇函数，所以．∵，∴，∴．13.设是上的奇函数，且，下面关于的判定：其中正确命题的序号为_______．①;②是以4为周期的函数；③的图象关于对称；④的图象关于对称．【答案】①②③【解析】∵，∴，即的周期为4，②正确．∴(∵为奇函数)，即①正确．又∵，∴的图象关于对称，∴③正确，又∵，当时，显然的图象不关于对称，∴④错误．14.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，都有,当时，，设函数在区间上的反函数为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，所以函数周期为，所以时，，所以＝，又函数为偶函数，所以时，则＝．令＝＝19，解得＝，从而＝，故选D．【考点】1、反函数；2、函数奇偶性的性质；3、函数的周期性．15.设偶函数满足，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】的解集为,因为是偶函数，关于轴对称，所以的解集为或,那么的解集为或,故解集为或,故选B.【考点】1.函数的奇偶性；2.解不等式.16.已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．【答案】(－5，0)∪(5，＋∞)【解析】作出f(x)＝x2－4x(x>0)的图象，如图所示．由于f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出x<0的图象．不等式f(x)>x表示函数y＝f(x)的图象在y＝x的上方，观察图象易得，原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)17.若函数f(x)=(a+)cosx是奇函数,则常数a的值等于()A．-1B．1C．-D．【答案】D【解析】设g(x)=a+,t(x)=cosx,∵t(x)=cosx为偶函数,而f(x)=(a+)cosx为奇函数,∴g(x)=a+为奇函数,又∵g(-x)=a+=a+,∴a+=-(a+)对定义域内的一切实数都成立,解得:a=.18.设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导数是f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝3xC．y＝－3x D．y＝4x【答案】A【解析】由已知得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2为偶函数，∴a＝0，∴f(x)＝x3－2x，f′(x)＝3x2－2.又f′(0)＝－2，f(0)＝0，∴y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x.19.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．【答案】{x|－7<x<3}【解析】当x≥0时，f(x)＝x2－4x<5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5,5)．由于f(x)向左平移两个单位即得f(x＋2)，故f(x＋2)<5的解集为{x|－7<x<3}．20.已知是定义域为R的奇函数，当x≤0时，，则不等式的解集是（）A．(5，5)B．(1，1)C．(5，+)D．(l，+)【答案】C【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以对于任意实数x，都有且.又当时，则当时，，有，所以：，则，解不等式，即或或得，选C.【考点】函数的奇偶性，分段函数，一元二次不等式的解法.21.设函数（）（Ⅰ）若函数是定义在R上的偶函数，求a的值；（Ⅱ）若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）函数是定义在R上的偶函数，则恒成立，代入解析式得：，.即对任意都成立，由此得，．（Ⅱ）不等式对任意，恒成立，则小于等于的最大值，而．所以对任意恒成立，令，这是关于的一次函数，故只需取两个端点的值时不等式成立即可，即，解之即可得实数m的取值范围.试题解析：（Ⅰ）由函数是定义在R上的偶函数，则恒成立，即，所以，所以恒成立，则，故． 4分（Ⅱ）．所以对任意恒成立，令，由解得，故实数m的取值范围是． 12分【考点】1、函数的奇偶性；2、不等式恒成立问题.22.函数f(x)是偶函数，则下列各点中必在y=f(x)图象上的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由于函数上必过点.又因为函数是偶函数所以函数经过点 .又因为.所以函数一定经过和.故选A.本小题关键是考查函数的的奇偶性问题.【考点】1.函数的奇偶性.2.函数的对称性问题.23.已知函数是上的奇函数,且的图象关于直线对称,当时,，则 .【答案】-1【解析】∵的图象关于直线对称,∴，又是上的奇函数，∴，∴，即4为的周期，∴.由时，，得，由，得，∴，故答案为．【考点】函数的奇偶性、周期性24.已知函数.（1）当时，判断的奇偶性，并说明理由；（2）当时，若，求的值；（3）若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）既不是奇函数，也不是偶函数；（2）所以或；（3）当时，的取值范围是，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是．【解析】（1）时，为确定的函数，要证明它具有奇偶性，必须按照定义证明，若要说明它没有奇偶性，可举一特例，说明某一对值与不相等（不是偶函数）也不相反（不是奇函数）．（2）当时，为，这是含有绝对值符号的方程，要解这个方程一般是分类讨论绝对值符号里的式子的正负，以根据绝对值定义去掉绝对值符号，变成通常的方程来解．（3）不等式恒成立时要求参数的取值范围，一般要把问题进行转化，例如分离参数法，或者转化为函数的最值问题．即为，可以先把绝对值式子解出来，这时注意首先把分出来，然后讨论时，不等式化为，于是有，即，这个不等式恒成立，说明，这时我们的问题就转化为求函数的最大值，求函数的最小值．试题解析：（1）当时，既不是奇函数也不是偶函数（2分）所以既不是奇函数，也不是偶函数（4分）（2）当时，，由得（1分）即（3分）解得（5分）所以或（6分）（3）当时，取任意实数，不等式恒成立，故只需考虑，此时原不等式变为（1分）即故又函数在上单调递增，所以；（2分）对于函数①当时，在上单调递减，，又，所以，此时的取值范围是（3分）②当，在上，，当时，，此时要使存在，必须有，此时的取值范围是（4分）综上，当时，的取值范围是当时，的取值范围是；当时，的取值范围是（6分）【考点】（1）函数的奇偶性；（2）含绝对值的方程；（2）含参数的不等式恒成立问题．25.如图,直角坐标平面内的正六边形ABCDEF，中心在原点，边长为a，AB平行于x轴，直线（k为常数）与正六边形交于M、N两点，记的面积为S，则关于函数的奇偶性的判断正确的是（）A．一定是奇函数B．—定是偶函数C．既不是奇函数，也不是偶函数D．奇偶性与k有关【答案】B【解析】：∵当直线与边重合时，，当直线与重合时，，∴，∵正六边形即是中心对称图形又是轴对称图形，∴函数为偶函数.【考点】1.函数的奇偶性；2.数形结合思想.26.设函数是偶函数，则实数的值为___________.【答案】-1.【解析】因是偶函数，则，所以.【考点】函数的奇偶性.27.设是周期为2的奇函数，当时，=，则=．【答案】【解析】由是周期为2的奇函数可知，.【考点】函数的周期性与奇偶性.28.已定义在上的偶函数满足时，成立，若，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】构造函数，由函数是R上的偶函数，函数是R上的奇函数可得是R上的奇函数，又当时，所以函数在时的单调性为单调递减函数；所以在时的单调性为单调递减函数，因为，，，故，即：，故选Ｃ．【考点】函数奇偶性的性质，简单复合函数的导数，函数的单调性与导数的关系．29.已知m为常数，函数为奇函数.（1）求m的值；（2）若，试判断的单调性（不需证明）；（3）若，存在，使，求实数k的最大值．【答案】（1）；（2）在R上单调递增；（3）.【解析】（1）由奇函数的定义得：，将解析式代入化简便可得m的值；（2），结合指数函数与反比例函数的单调性，便可判定的单调性；（3）对不等式：，不宜代入解析式来化简，而应将进行如下变形：，然后利用单调性去掉，从而转化为：.进而变为：.由题设知：.这样只需求出的最大值即可.将配方得：.所以在时,取得最大值，最大值为10.∴，从而.试题解析：（1）由，得,∴，即,∴. 4分（2），在R上单调递增. 7分(3)由，得， 9分即.而在时,最大值为10.∴，从而 12分【考点】1、函数的奇偶性和单调性；2、二次函数的最值；3、不等关系.30.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则=____________.【答案】1【解析】由题意可知函数的周期，于是，又函数是上的偶函数，所以，则.【考点】周期函数、奇偶性.31.若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数为（）A．3B．4C．6D．8【答案】C【解析】由题意知，函数是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个周期上，图象是两条斜率分别为1和－1的线段，且，同理可得到在其他周期上的图象．函数也是个偶函数，先看在[0，+∞）上的交点个数，则它们总的交点个数是在[0，+∞）上的交点个数的2倍，在（0，+∞）上，，图象过（1，0），和（4，1），是单调增函数，与交与3个不同点，∴函数的图象与函数的图象的交点的个数为6个，故选.【考点】函数的奇偶性、周期性，对数函数的图象和性质.32.若函数f(x) (x∈R)是奇函数，函数g(x) (x∈R)是偶函数，则 ( )A．函数f(x)g(x)是偶函数B．函数f(x)g(x)是奇函数C．函数f(x)＋g(x)是偶函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数【答案】B【解析】令，由于函数为奇函数，，由于函数为偶函数，则，，故函数为奇函数，故选；对于函数，取，，则，此时函数为非奇非偶函数，故、选项均错误.【考点】函数的奇偶性33.已知是定义域为实数集的偶函数，，，若，则．如果，，那么的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，，则,∴定义在实数集上的偶函数在上是减函数.∵, ∴, 即.∴或解得或.∴.故选B．【考点】函数的奇偶性、单调性.34.函数（）【答案】A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.35.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为A．B．C．1D．2【答案】C【解析】根据题意，由于函数是上的偶函数，若对于，都有，可知函数的周期为2，且当时，，那么则有，故可知答案为C。

函数单调性和奇偶性专项练习一、函数单调性相关练习题1、（1）函数2)(－＝x x f ，∈x ｛0，1，2，4｝的最大值为_____.（2）函数123)(－＝x x f 在区间[1，5]上的最大值为_____，最小值为_____.2、利用单调性的定义证明函数21)(xx f ＝在（－∞，0）上是增函数.3、判断函数12)(＋＝x x f 在（－1，＋∞）上的单调性，并给予证明.4、画出函数322丨＋丨＋＝－x x y 的图像，并指出函数的单调区间.5、已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)f(15)与6、已知)(x f y ＝在定义域（－1，1）上是减函数，且)23()1(－＜－a f a f ，求实数a 的取值范围.7、求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|(2)y (3)y ＝＝x xx x x 2221123-----+||（4）2012－－＝x x y 8、函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．9、判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)axx 21-10、求函数xx x f 4)(＋＝在[1，3]上的最大值和最小值.二、函数奇偶性相关练习题11、判断下列函数是否具有奇偶性.（1）11)1()(－＋－＝x x x x f ；（2）a x f ＝)(（R x ∈）；（3）3232)52()52()(－－＋＝x x x f 12、若32)1(2＋＋－＝mx x m y 是偶函数，则m ＝_________．13、已知函数c bx ax x f ＋＋＝2)(（0≠a ）是偶函数，那么cx bx ax x g ＋＋＝23)(是（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数14、已知函数b a bx ax x f ＋＋＋＝3)(2是偶函数，且其定义域为[1－a ,a 2]，则（）A．31=a ，b ＝0B．a ＝－1，b ＝0C．a ＝1，b ＝0D．a ＝3，b ＝015、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2－＝，则)(x f 在R 上的表达式是（）A．y＝x（x－2）B．y ＝x（｜x｜－1）C．y ＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）16、函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数17、若)(x ϕ，)(x g 都是奇函数，2)()()(＋＋＝x bg x a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则)(x f 在（－∞，0）上有（）A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－318、函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）．19、判断函数＝)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧0130132323＜，－＋＞，＋－x x x x x x 的奇偶性.20、f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．21、已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则)(x f 的解析式为_______，)(x g 的解析式为_______.22、已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R，y ∈R），且f （0）≠0.试证f （x ）是偶函数．23、设函数y＝f（x）（x ∈R 且x≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f（x 1·x 2）＝f（x 1）＋f（x 2）.求证f（x）是偶函数．函数单调性和奇偶性专项练习答案1、【答案】（1）2（2）3，312、略3、【答案】减函数，证明略.4、【答案】分为0≥x 和0＜x 两种情况，分段画图.单调增区间是（－∞，－1）和[0，1]；单调减区间是[－1，0)和（1，＋∞）5、【答案】（1）f(6)＜f(4)；（2）∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)6、【答案】实数a 的取值范围是（31，43）7、【答案】（1）递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]（2）增区间是(－∞，0)和(0，1)；减区间是[1，2)和(2，＋∞)（3）∴函数的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．（4）函数的增区间是（－∞，－4）和（－4，21）；减区间是[21，5)和（5，＋∞）8、【答案】a 的取值范围是0≤a ≤1．9、【答案】当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数；当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．10、【答案】先判断函数在[1，2]上是减函数，在（2，3]上是增函数，可得)2(f ＝4是最小值，)1(f ＝5是最大值.二、函数奇偶性相关练习题11、【答案】（1）定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；（2）0＝a ，)(x f 既是奇函数又是偶函数；0≠a ，)(x f 是偶函数；（3）)(x f 是奇函数.12、【答案】013、【答案】选A 14、【答案】选B 15、【答案】选D 16、【答案】选B 17、【答案】选C 18【答案】奇函数19、【答案】奇函数【提示】分x ＞0和x ＜0两种情况，分别证明)()(x f x f ＝－－即可.20、【答案】解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．21、【答案】11)(2-=x x f ，1)(2－＝x xx g 22、证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．23、证明：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证，f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴f（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．。

函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。

②复合函数的单调性规则是“同增异减”。

2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。

(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。

(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。

3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。

二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所 以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区 间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。

高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案1.下列函数中，既是偶函数又在$(0,+\infty)$上单调递增的函数是（）A。

$y=x^3$B。

$y=|x|+1$C。

$y=-x^2+1$D。

$y=2-|x|$2.已知函数$f(x)=x^2+|x|$A。

是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是增函数B。

是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是减函数C。

不是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是增函数D。

是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数3.已知函数$f(x)=3x-(x\neq 0)$，则函数（）A。

是奇函数，且在$(0,+\infty)$上是减函数B。

是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是减函数C。

是奇函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数D。

是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数4.定义在$\mathbb{R}$上偶函数$f(x)$在$[1,2]$上是增函数，且具有性质$f(1+x)=f(1-x)$，则函数$f(x)$A。

在$[-1,0]$上是增函数B。

在$[-1,0]$上增函数，在$(-\infty,0]$上是减函数C。

在$[1,0]$上是减函数D。

在$[-1,0]$上是减函数，在$(-\infty,0]$上是增函数5.$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的增函数，则下列结论一定正确的是（）A。

$f(x)+f(-x)$是偶函数且是增函数B。

$f(x)+f(-x)$是偶函数且是减函数C。

$f(x)-f(-x)$是奇函数且是增函数D。

$f(x)-f(-x)$是奇函数且是减函数6.已知偶函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上的解析式为$f(x)=x+1$，下列大小关系正确的是（）A。

$f(1)>f(2)$B。

$f(1)>f(-2)$C。

$f(-1)>f(-2)$D。

$f(-1)<f(2)$7.已知$f(x)$是偶函数，对任意的$x_1,x_2\in(-\infty,-1]$，都有$(x_2-x_1)[f(x_2)-f(x_1)]<0$，则下列关系式中成立的是（）A。