2014高中数学教师《课程标准》考试试题与答案

高中数学《新课程标准》考试试题及答案（三）一、选择题(20个题，每题1.5分，共30分)1.高中数学课程的基础性是指（B）A. 只有必修课程是基础B.必修和选修课程是所有高中生的基础C.高中数学课程为全体高中学生提供必要的数学基础，高中数学课程为不同学生提供不同的基础D.必修课程是基础，选修课程不是基础2.培养学生的学习习惯对今后发展至关重要，下面说法中不正确的是( A )A.自学成才，无需培养B. 培养学生会提问题、勤于思考的习惯C.培养学生用图形描述、刻画和解决问题的习惯D.培养学生及时反思和总结的习惯3.对于函数的教学以下说法不正确的是( C )A.对函数的学习不能停留在抽象的讨论，要突出函数图形的地位B. 函数是最重要、最基本的数学模型，要加深对函数思想的理解与应用C.在学生头脑中留下几个具体的最基本的函数模型就可以了D. 结合具体的数学内容采用多种模式，让学生经历函数知识的形式与应用过程4.整体把握高中数学课程是理解高中数学课程的基点。

请根据培训内容说说看高中数学课程内容的主线可大致分为（A )A.函数思想、几何思想、算法思想、运算思想、随机思想与统计思想B. 数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、概率与统计思想C.函数与方程的思想、数形结合思想、向量和坐标思想D.函数思想、算法思想、数形结合思想、分类讨论思想5.高中课程改革追求基本的目标是由应试教育向素质教育的转轨，真正实施(C)A. 全民教育B.大众教育C. 素质教育D. 精英教育6.《普通高中数学课程标准》提出的新课程基本理念，下面各组选项中说法不正确的是（B）①构建共同基础，提供发展平台②提供针对课程，适应个性选择③倡导积极主动、勇于探索的学习方式④注重提高学生的数学思维能力⑤发展学生的数学思维能力⑥与时俱进地认识双基⑦强调本质，注意适度形式化⑧体现数学的文化价值；⑨注重信息技术与数学课程的整合；⑩建立合理、科学的评价体系；A.①③④⑦B.②④⑤⑧C.③⑤⑥⑨D.①⑤⑨⑩7.运算与推理的关系是( C )A.运算与推理无关B.运算与推理是不同的思维形式C.运算本身就是一种推理，推理是运算的一种D. 推理是运算8.任何新课程的研制，一般都要经过哪几个阶段进行( D )A.准备、研制、编写、推广B.研制、编写、实验、推广C.准备、研制、实验、推广D.准备、研制、编写、实验、推广9.从以下选项看，确定教学目标和教学要求的主要依据是( A )A. 课程标准B. 教科书C. 考试大纲D.教辅资料10.与社会、科技的进步紧密相连，体现时代精神的课程时代性的选择是指( B)A.课程安排B. 课程内容C.课程管理D. 课程评价二、填空题（15个题）1.算法是一个全新的课题，已经成为计算机科学的重要基础，它在科学技术和社会发展中起着越来起重要的作用。

2014年高考试题参考答案一、BCBDC AABDA BC 13. 2314.A 15. (],8-∞ 16.150（1）B 在数轴上表示出对应的集合，可得M N = (-1,1),选B（2）C 由tan α > 0可得:k π <α < k π +2π(k ∈Z )，故2k π <2α <2 k π +π (k ∈Z )， 正确的结论只有sin 2α > 0. 选C（3）B 11111222i z i i i i -=+=+=++，22112222z ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选B （4）D 由双曲线的离心率可得232a a+=，解得1a =，选D. （5）C 【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.（6）A 【解析】：()()EB FC EC BC FB BC EC FB +=-++=+ =()111222AB AC AB AC AD +=+=, 选A. （7）A 【解析】：由cos y x =是偶函数可知cos 2cos2y x x == ，最小正周期为π， 即①正确；y =| cos x |的最小正周期也是π ，即②也正确；cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最小正周期为π,即③正确；tan(2)4y x π=-的最小正周期为2T π=,即④不正确.即正确答案为①②③，选A8. B 【解析】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B9. D 【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M = . 选D.（10）A 【解析】：根据抛物线的定义可知001544AF x x =+=，解之得01x =. 选A.11. B 【解析】：画出不等式组对应的平面区域， 如图所示.在平面区域内，平移直线0x ay +=，可知在点 A 11,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭处，z 取得最值，故117,22a a a -++=解之得a = -5或a = 3.但a = -5时，z 取得最大值，故舍去，答案为a = 3. 选B.（12）C 【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。

2014年理科数学参考答案(新课标2卷)一、选择题1. D2. A3. A4. B5. A6. C7. D8. D 9. B 10. D 11. C 12. C 二、填空题 13. 12 14. 1 15. (1,3)- 16. [1,1]-17.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+ 又11322a +=，所以1{}2n a +是首项为32，公比为3的等比数列 1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -= （Ⅱ）由（Ⅰ）知1231n n a =- 因为当1n ≥时，13123n n --≥⨯，所以1113123n n -≤-⨯ 于是12-112311-1111111313311-13332321-3n n n n a a a a ++++<++++==<（） 所以123111132n a a a a ++++< 18.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以//EO PB ，EO ⊂平面,AEC PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC（Ⅱ）因为,PA ABCD ABCD ⊥平面为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直如图，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴的正方向，||AP 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，则11),)22D E AE =，设(,0,0)(0)B m m >，则((C m AC m =设1(,,)n x y z 为平面ACE 的法向量，则110,0,n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,102mx y z ⎧+=+=可取1n =- 又2(1,0,0)n =为平面D A E 的法向量，由题设121|cos ,|2n n <>=12=，解得32m = 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为12，三棱锥E ACD -的体积11313222V =⨯⨯= 19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由所给数据计算得1(1234567)47t =++++++= 1(2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9) 4.37y =++++++= 721()941014928i i t t =-=++++++=∑71()()i ii t t y y =--∑ (3)( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.93 1.6=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯14=()()()7121140.528i i i n i i t t y y b tt ∧==--===-∑∑， ˆˆ 4.30.54 2.3ay bt =-=-⨯= 所求回归方程为0.5 2.3y t =+（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0.50b ∧=>，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。

2014年全国新课标Ⅱ文一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合A=−2,0,2，B=x x2−x−2=0，则A∩B= A. ∅B. 2C. 0D. −22. 1+3i1−i= A. 1+2iB. −1+2iC. 1−2iD. −1−2i3. 函数f x在x=x0处导数存在，若p:fʹx0=0；q:x=x0是f x的极值点，则 A. p是q的充分必要条件B. p是q的充分条件，但不是q的必要条件C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4. 设向量a,b满足a+b=10，a−b=6，则a⋅b= A. 1B. 2C. 3D. 55. 等差数列a n的公差是2，若a2,a4,a8成等比数列，则a n的前n项和S n= A. n n+1B. n n−1C. n n+12D. n n−126. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1 cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉的部分的体积与原来毛坯体积的比值为 A. 1727B. 59C. 1027D. 137. 正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A−B1DC1的体积为 A. 3B. 32C. 1 D. 328. 执行如图所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S= A. 4B. 5C. 6D. 79. 设x,y满足约束条件x+y−1≥0,x−y−1≤0,x−3y+3≥0,则z=x+2y的最大值为 A. 8B. 7C. 2D. 110. 设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30∘的直线交C于A，B两点，则 AB = A. 303B. 6C. 12D. 711. 若函数f x=kx−ln x在区间1,+∞单调递增，则k的取值范围是 A. −∞,−2B. −∞,−1C. 2,+∞D. 1,+∞12. 设点M x0,1，若在圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45∘，则x0的取值范围是 A. −1,1B. −12,12C. −2,2D. −22,22二、填空题（共4小题；共20分）13. 甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．14. 函数f x=sin x+φ−2sinφcos x的最大值为．15. 偶函数y=f x的图象关于直线x=2对称，f3=3，则f−1=．16. 数列a n满足a n+1=11−a n，a8=2，则a1=．三、解答题（共8小题；共104分）17. 四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AP=1，AD=3，三棱锥P−ABD的体积V=34，求A到平面PBC的距离．19. 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．20. 设F1、F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN=5F1N，求a，b．21. 已知函数f x=x3−3x2+ax+2，曲线y=f x在点0,2处的切线与x轴交点的横坐标为−2．（1）求a；（2）证明：当k<1时，曲线y=f x与直线y=kx−2只有一个交点．22. 如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．证明：（1）BE=EC；（2）AD⋅DE=2PB2．23. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方．程为ρ=2cosθ，θ∈0,π2（1）求C的参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y=3x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标．+ x−a a>0．24. 设函数f x=x+1a（1）证明：f x≥2；（2）若f3<5，求a的取值范围．答案第一部分1. B2. B3. C4. A5. A6. C 【解析】由三视图可知，切得的几何体是两个圆柱的组合体，所以该组合体的体积为V1=π×22×4+π×32×2=34πcm3，原毛坯体积为V2=π×32×6=54πcm3，则切削掉的部分的体积为20πcm3．7. C 【解析】如图所示：AD为三棱锥A−B1DC1的高，V=13S△DB1C1×AD=13×3×3=1．8. D 9. B 10. C【解析】根据题意可求出直线方程为AB:y=33x−34，联立直线方程与抛物线方程得2x2−21x+98=0，故x1+x2=212，AB=x1+x2+p=12．11. D 【解析】若函数f x=kx−ln x在区间1,+∞上单调递增，则fʹx=k−1x≥0在1,+∞上恒成立，即k≥1x在1,+∞上恒成立，所以k≥1．12. A 【解析】点M在直线l:y=1上，过M作圆O的两条切线，记该点对圆O的张角为θ，则圆上存在点N使得∠OMN∈0,θ2．由此知只需在直线l上寻找对圆的张角等于90∘的两点M1，M2，则线段M1M2上的点的横坐标范围即为所求．事实上，张角等于90∘时，M点与圆心及切点构成的四边形为正方形，易知x0∈−1,1．第二部分13. 1314. 115. 3【解析】因为函数为偶函数，所以f−1=f1，又函数图象关于直线x=2对称，所以f1=f3，故f−1=f3=3．16. 12【解析】因为a n+1=11−a n =11−11−a n−1=1−1a n−1=1−111−a n−2=a n−2,所以数列a n是以3为周期的数列，于是2=a8=a2=11−a1，解得a1=12．第三部分17. （1）由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD cos C=13−12cos C, ⋯⋯①BD2=AB2+DA2−2AB⋅DA cos A=5+4cos C. ⋯⋯②由①②得cos C=12，故C=60∘，BD=．（2）四边形ABCD的面积为S=12AB⋅DA sin A+12BC⋅CD sin C=12×1×2+12×3×2sin60∘=2 3.18. （1）如图，设BD与AC的交点为O，连接EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以EO∥PB．因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．（2）因为V=16PA⋅AB⋅AD=36AB.由V=34，可得AB=32．如图，作AH⊥PB交PB于H．由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又AH=PA⋅ABPB=31313.所以A到平面PBC的距离为31313．19. （1）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为66+682=67．所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67．（2）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为5 50=0.1,850=0.16,故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16．（3）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．20. （1）设M为第一象限内的点．根据c=2−b2M c,b2,2b2=3ac,将b2=a2−c2代入2b2=3ac，解得c a =12,ca=−2舍去故C的离心率为12．（2）由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D0,2是线段MF1的中点，故b2a=4,即b2=4a, ⋯⋯①由 MN =5F1N 得DF1=2F1N .设N x1,y1，由题意知y1<0，则2−c−x1=c,−2y1=2,即x1=−3 c,y1=−1,代入C的方程，得9c2 4a2+1b2=1. ⋯⋯②将①及c= a2−b2代入②得9a2−4a4a2+14a=1,解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=27.21. （1）fʹx=3x2−6x+a，fʹ0=a．曲线y=f x在点0,2处的切线方程为y=ax+2．由题设得−2a=−2，所以a=1．（2）由（1）知f x=x3−3x2+x+2,设g x=f x−kx+2=x3−3x2+1−k x+4.由题设知1−k>0．当x≤0时，gʹx=3x2−6x+1−k>0，g x单调递增，且g−1=k−1<0,g0=4,所以g x=0在−∞,0有唯一实根．当x>0时，令 x=x3−3x2+4，则g x= x+1−k x> x.ʹx=3x2−6x=3x x−2,x在0,2单调递减，在2,+∞单调递增，所以g x> x≥ 2=0.所以g x=0在0,+∞没有实根．综上，g x=0在R有唯一实根，即曲线y=f x与直线y=kx−2只有一个交点．22. （1）如图，连接AB，AC．由题设知PA=PD，故∠PAD=∠PDA．因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,所以∠DAC=∠BAD，从而BE=EC．因此BE=EC.（2）由切割线定理得PA2=PB⋅PC.因为PA=PD=DC，所以DC=2PB,BD=PB.由相交弦定理得AD⋅DE=BD⋅DC,所以AD⋅DE=2PB2.23. （1）C的普通方程为x−12+y2=10≤y≤1.可得C的参数方程为x=1+cos ty=sin t t为参数,0≤t≤π .（2）设D1+cos t,sin t．由（1）知C是以G1,0为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD的斜率与l的斜率相同，所以tan t=3,t=π.故D的直角坐标为1+cosπ3,sinπ3，即D32,32．24. （1）由a>0，有f x=x+1+ x−a≥x+1−x−a=1a+a≥2.所以f x≥2.（2）f3=3+1+3−a .当a>3时，f3=a+1a，由f3<5得3<a<5+212;当0<a≤3时，f3=6−a+1a，由f3<5得1+52<a≤3.综上，a的取值范围是1+52,5+212．。

2014年下半年全国统考教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（高级中学）真题及详解考试时间：120分钟考试总分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）。

1．设函数20()ln(2)x f x t dt =+⎰，则'()f x 的零点个数是（）。

A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】'()f x =20(ln(2))'x t dt +⎰=22ln(2)0x x +=，只有0x =一个解。

2．设、是两个不共线的向量，则的充要条件是（）。

A．0(,)2a b π<∠<r r B．C．0(,)2a b π<∠<r r D．(,)2a b ππ≤∠<r r 【答案】B【解析】由向量的几何意义｜A+B｜＜｜A-B｜得｜A+B｜2=A 2+2AB+B 2＜｜A-B｜2=A 2-2AB+B 2，则AB＜0，所以两向量的夹角大于90°，小于180°。

3．设0A =，1α、2α是线性方程组0Ax =的一个基础解系，330A αα=≠，则下列向量中不是矩阵A 的特征向量的是（）。

A．123αα+B．123αα-C．13+3ααD．33α【答案】C【解析】13133(3)33A A A ααααα+=+=，不能写成13(3)m αα+的形式，所以C 项不是矩阵A 的特征向量。

A 项，因为1α、2α是线性方程组0Ax =的一个基础解系，所以12==0A A αα，121212(3)300(3)A A A αααααα+=+==+；同理可证B 项也是矩阵A 的特征向量；D 项，由于330A αα=≠，所以333(3)33A A ααα==，故D 项也是矩阵A 的特征向量。

4．在空间直角坐标中，由参数方程sin 1cos ()4sin 2x y z θπθθθπ⎧⎪=⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩确定的曲线的一般方程是（）。

（sin 2z θ=）A．2222020x y y y z ⎧+=⎨+-=⎩B．2222020x y y z z ⎧-=⎨-+=⎩C．2222020x y y z y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩D．2222020x x y y z ⎧-+=⎨-=⎩【答案】C【解析】联立sin x θ=和1cos y θ=--消去θ得2220x y y ++=，可知选C。

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014•新课标Ⅱ）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A ∩B=（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选：B．2．（5分）（2014•新课标Ⅱ）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．【解答】解：化简可得====﹣1+2i故选：B．3．（5分）（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C．4．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．5．（5分）（2014•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．【分析】由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴S n=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．6．（5分）（2014•新课标Ⅱ）如图，格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．7．（5分）（2014•新课标Ⅱ）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．【分析】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC 中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．8．（5分）（2014•新课标Ⅱ）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．9．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=x+2y 的最大值为（）A．8B．7C．2D．1【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．10．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6C．12D．7【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x ﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C．11．（5分）（2014•新课标Ⅱ）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f′（x）=k﹣，∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故选：D．12．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2014•新课标Ⅱ）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．【分析】所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．【解答】解：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为=，故答案为：．14．（5分）（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为1．【分析】直接利用两角和与差三角函数化简，然后求解函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+sinφcosx﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）≤1．所以函数的最大值为1．故答案为：1．15．（5分）（2014•新课标Ⅱ）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）=3．【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．【解答】解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（1）=f（3）=3，因为f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=3，故答案为：3．16．（5分）（2014•新课标Ⅱ）数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．【分析】根据a8=2，令n=7代入递推公式a n+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．=，a8=2，【解答】解：由题意得，a n+1令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2014•新课标Ⅱ）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC 的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．18．（12分）（2014•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB 角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．19．（12分）（2014•新课标Ⅱ）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．20．（12分）（2014•新课标Ⅱ）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．21．（12分）（2014•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）﹣kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2﹣6x+a；f′（0）=a；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2，∴f（﹣2）=﹣2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3﹣3x2+x+2，设g（x）=f（x）﹣kx+2=x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由题设知1﹣k＞0，当x≤0时，g′（x）=3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，当x＞0时，令h（x）=x3﹣3x2+4，则g（x）=h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．则h′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，则g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．∵g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•新课标Ⅱ）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．（2014•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，，即（，）．五、选修4-5：不等式选讲24．（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．。

2014年下半年中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）真题试卷(总分：34.00，做题时间：90分钟)一、单项选择题(总题数：8，分数：16.00)1.f′(x)的零点个数是( )。

A.0B.1 √C.2D.3x=0一个解。

2.设a、b是两个不共线的向量，则∣a+b∣＞∣a-b∣的充要条件是( )A. √B.C.D.解析：解析：不等式两边同时平方得(∣a+b∣)2＞(∣a-b∣)2，化简的ab=∣a∣∣b∣cosθ＞0，即cosθ＞0，所以(θ为ab的夹角)。

3.设∣A∣=a，a 1、a 2是线性方程组Ax=0的一个基础解系，Aa 3 =a 3≠0，则下列向量中不是矩阵A的特征向量的是( )。

A.3a 1 +a 2B.a 1 -3a 2C.a 1 +3a 3√D.3a 3解析：解析：因为a 1、a 1是线性方程组Ax=0的一个基础解系，所以Aa 1 =Aa 1 =0。

对于选项A有A(3a 1 +a 2 )=3Aa 1 +Aa 2 =0，所以是A的特征向量；同样选项B也是矩阵A的特征向量；对于选项D，由于Aa 3=a 3≠0，所以A(3a 3)=3Aa 3 =3a 3，故D也是矩阵A的特征向量；至于选项C，A(a 1 +3a 3)=Aa 1+3Aa 3 =3a 3不能写成m(a 1 +3a 3 )的形式，所以C不是矩阵A的特征向量。

4.在空间直角坐标系中。

由参数方程确定的曲线的一般方程是( )A.B.C. √D.解析：解析：联立x=sinθ和y=-1+cosθ消去θ得x 2 +y 2 +2y=0，可知选C。

y=-1+cosθ和立消去θ可得z 2 +2y=0。

5.函数列{f n (x)}与函数f(x)是在闭区间[a，b]上有定义，则在[a，b]上f n (x)}一致收敛于f(x)的充要条件是( )。

A.B.C.D. √解析：解析：根据函数的一致收敛定义可得。

6.设P为三阶方阵，将P的第一列与第二列交换得到T，再把T的第二列加到第三列得到足，则满足脚的矩阵Q是( )。

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•新课标Ⅰ文）已知集合{}{}|13,|21M x x N x x =-<<=-<<，则M N = （ ）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(- 【答案】B【解析】根据集合的运算法则可得：{}|11M N x x =-<< ，即选B ．2．（5分）（2014•新课标Ⅰ文）若0tan >α，则（ ）A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 【答案】C【解析】由sin tan 0cos ααα=>，可得：sin ,cos αα同正或同负，即可排除A 和B ，又由sin 22sin cos ααα=⋅，故sin 20α>.3．（5分）（2014•新课标Ⅰ文）设i iz ++=11，则=||z （ ） A.21 B. 22 C. 23 D. 2 【答案】B【解析】根据复数运算法则可得：111111(1)(1)222i i z i i i i i i i --=+=+=+=-++-，由模的运算可得：||z ==4．（5分）（2014•新课标Ⅰ文）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a （ ）A. 2B. 26C. 25D. 1 【答案】D【解析】由离心率c e a =可得:222232a e a+==，解得：1a =． 5．（5分）（2014•新课标Ⅰ文）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A.)()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数 【答案】C【解析】由函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，可得：|()|f x 和|()|g x 均为偶函数，根据一奇一偶函数相乘为奇函数和两偶函数相乘为偶函数的规律可知选C ．6．（5分）（2014•新课标Ⅰ文）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+（ ）A.ADB. 12ADC. 12BCD.【答案】A【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在BEF ∆中，12E B EF F B E F A B =+=+ ，同理12F C F E E C F E A C =+=+，则11111()()()()22222E BF C E F A B F E A C A B A C A B+=+++=+=+= ． 7．（5分）（2014•新课标Ⅰ文）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③【答案】A【解析】①中函数是一个偶函数，其周期与cos 2y x =相同，22T ππ==;②中函数|cos |x y =的周期是函数cos y x =周期的一半，即T π=; ③22T ππ==; ④2T π=，则选A ．8．（5分）（2014•新课标Ⅰ文）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱 【答案】B【解析】根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如下图所示．9．（5分）（2014•新课标Ⅰ文）执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( ) A.203B.72C.165D.158【答案】D【解析】根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =．10．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为：14x =-，则有：01||4AF x =+，即有001544x x +=，可解得01x =． 11．（5分）（2014•新课标Ⅰ文）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）A. ()2,+∞B. ()1,+∞C. (),2-∞-D. (),1-∞- 【答案】C【解析】根据题中函数特征，当0a =时，函数2()31f x x =-+显然有两个零点且一正一负; 当0a >时，求导可得：2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：(,0)x ∈-∞和2(,)x a ∈+∞时函数单调递增; 2(0)x a∈，时函数单调递减，显然存在负零点; 当0a <时，求导可得：2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：2(,)x a∈-∞和(0,)x ∈+∞时函数单调递减;2(0)x a ∈，时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足：2()0(0)0f a f ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即得：3222()3()10a a a⨯-+>，可解得：24a >，则2(,2a a ><-舍去）． 12．（5分）（2014•新课标Ⅰ文）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ）A.-5B.3C.-5或3D.5或-3 【答案】B【解析】根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：11(,)22a a A -+，又由题中z x ay =+可知，当0a >时，z 有最小值：21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得：3a =;当0a <时，z 无最小值．故选B二、填空题（共4小题，每小题5分） 13．（5分）（2014•新课标Ⅰ文）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 【答案】23【解析】根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语; 数1，语，数2;数2，数1，语; 数2，语，数1;语，数2，数1; 语，数1，数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：4263P ==． 14．（5分）（2014•新课标Ⅰ文）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________. 【答案】A【解析】15．（5分）（2014•新课标Ⅰ文）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________. 【答案】(,8]-∞【解析】由于题中所给是一个分段函数，则当1x <时，由12x e -≤，可解得：1ln 2x ≤+，则此时：1x <;当1x ≥时，由132x ≤，可解得：328x ≤=，则此时：18x ≤≤，综合上述两种情况可得：(,8]x ∈-∞16．（5分）（2014•新课标Ⅰ文）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .【答案】150【解析】根据题意，在ABC ∆中，已知045,90,100CAB ABCBC ∠=∠==，易得：AC =;在AMC ∆中，已知0075,60,MAC MCA AC ∠=∠==，易得：045AMC ∠=，由正弦定理可解得：sin sin AC AMAMC ACM=∠∠，即：3132AM ==在AMN ∆中，已知0060,90,MAN MNA AM ∠=∠==150MN m =. 三、解答题17．（12分）（2014•新课标Ⅰ文）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根．（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【解析】（1）方程2560x x -+=的两根为2,3，由题意得242,3a a ==. 设数列{}n a 的公差为d ，则422a a d -=，故12d =，从而132a =. 所以{}n a 的通项公式为112n a n =+. （2）设{}2nna 的前n 项和为nS ，由（1）知1222n n n a n ++=，则 23134122222n n n n n S +++=++++ ，34121341222222n n n n n S ++++=++++ . 两式相减得23412131112()222222n n n n S +++=++++-123112(1)4422n n n +++=+-- 所以1422n n n S ++=-.18．（12分）（2014•新课标Ⅰ文）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：（I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于0.8的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 【解析】 （1）（2）质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.质量指标值的样本方差为22222(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104s =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.所以这种产品质量指标值（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0.380.220.080.68++=， 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.19．（12分）（2014•新课标Ⅰ文）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高. 【解析】（1）连结1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点. 因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥. 又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥， 故1B C ⊥平面ABO .由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥.（2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连结AD ，作OH AD ⊥，垂足为H . 由于，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥， 又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC .因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得 由于1AC AB ⊥，所以由OH AD OD OA ⋅=⋅又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC 故三棱柱111ABC A B C -的高为20．（12分）（2014•新课标Ⅰ文）已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程；(2)当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积【解析】（1）先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以圆心为(0,4)C ，半径为4，根据求曲线方程的方法可设(,)M x y ，由向量的知识和几何关系：0CM MP ⋅=，运用向量数量积运算可得方程：22(1)(3)2x y -+-=;（2）由第（1）中所求可知M 的轨迹是以点(1,3)N 为半径的圆，加之题中条件||||OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥，不难得出l 的方程为1833y x =-+;结合面积公式可求又POM ∆的面积为165. 21．（12分）（2014•新课标Ⅰ文）设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0（1）求b ;（2）若存在01,x ≥使得()01af x a <-，求a 的取值范围． 【解析】试题解析：（1）'()(1)a f x a x b x=+--，由题设知(1)0f '=，解得1b =.（2）()f x 的定义域为(0,)+∞，由（1）知，21()ln 2a f x a x x x -=+-， 1()(1)1()(1)1a a af x a x x x x x a-'=+--=---（ⅰ）若12a ≤，则11aa≤-，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在(1,)+∞单调递增，所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为(1)1af a <-，即1121a aa --<-，所以11a <<. （ⅱ）若112a <<，则11a a >-，故当(1,)1ax a ∈-时，'()0f x <； 当(,)1a x a ∈+∞-时，'()0f x >，()f x 在(1,)1a a -单调递减，在(,)1a a+∞-单调递增.所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为()11a af a a <--，而2()ln 112(1)11a a a a af a a a a a a =++>-----，所以不合题意. （ⅲ）若1a >，则11(1)1221a a af a ---=-=<-.综上，a 的取值范围是(11)(1,)+∞ .四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分） 选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•新课标Ⅰ文）如图，四边形ABCD 是的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（I ）证明：D E ∠=∠； （II ）设AD 不是的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE ∆为等边三角形.【解析】（1）根据题意可知,,,A B C D 四点共圆，利用对角互补的四边形有外接圆这个结论可得：D CBE ∠=∠，由已知得CBE E ∠=∠，故D E ∠=∠;（2）不妨设出BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB MC =，由等腰三角形三线合一可得：MN BC ⊥，故O 在直线MN 上，又AD 不是圆O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥，所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠，又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠，由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形.选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）（2014•新课标Ⅰ文）已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t y t x l 222:（t 为参数）（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.【解析】（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的普通方程为26y x =-+.（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为试卷第11页，总11页|4cos 3sin 6|d θθ=+-.则0||5sin()6|sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角，且4tan 3α=， 当sin()1θα+=-时，||PA取得最大值，最大值为5. 当sin()1θα+=时，||PA取得最小值，最小值为5. 选修4-5：不等式选讲 24．（10分）（2014•新课标Ⅰ文）若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.【解析】（111a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==33a b +≥≥a b ==时等号成立.所以33a b +的最小值为（2）由（1）知，23a b +≥≥，而事实上6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=.。

2014年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）注意事项：1．考试时间为120分钟，满分为150分。

2．请按规定在答题卡上填涂、作答，在试卷上作答无效，不予给分。

一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1．设函数20()ln(2)x f x t dt =+⎰，则'()f x 的零点个数是（）。

A ．0B ．1C ．2D ．32．设a ，b 是两个不共线的向量，则||||a b a b +>- 的充要条件是（）。

A ．0(,)2a b π<∠< B ．(,)2a b ππ<∠< C ．0(,)2a b π<∠≤ D ．(,)2a b ππ≤∠< 3．设||0A =，1α 、2α 是线性方程组0x =A 的一个基础解系，330αα=≠ A ，则下列向量中不是矩阵A 的特征向量的是（）。

A ．31α +2α B ．1α -32α C ．1α +33α D ．33α 4．在空间直角坐标系中，由参数方程sin 1cos (0)4sin 2x y z θπθθθ⎧⎪=⎪=-+≤<⎨⎪⎪=⎩确定的曲线的一般方程是（）。

A ．2222020x y y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩B ．2222020x y y z z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩C ．2222020x y y z y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩D ．2222020x x y y z ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩5．函数列{()}n f x 与函数()f x 都是在闭区间[,]a b 有定义，则在[,]a b 上{()}n f x 一致收敛于()f x 的充要条件是（）。

A ．0ε∀>,[,]x a b ∀∈,∃正整数N ，使得当n N >时，有|()()|n f x f x ε-<B ．0ε∀>，0[,]x a b ∃∈，∃正整数N ，使得当n N >时，有|()()|n f x f x ε-<C ．∃正整数N ，0ε∀>，0[,]x a b ∃∈，使得当n N >时，有|()()|n f x f x ε-<D ．0ε∀>，∃正整数N ，使得当n N >时，[,]x a b ∀∈，有|()()|n f x f x ε-<6．设P 为三阶方阵，将P 的第一列与第二列交换得到T ，再把T 的第二列加到第三列得到R ，则满足PQ =R 的矩阵Q 是（）。

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标II ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•新课标II 理）设集合2{0,1,2},{|320}M N x x x ==-+≤，则M N ⋂【解析】2{0,1,2},{|320}{|12},{1,2}M N x x x x x M N ==-+≤=≤≤∴⋂= 2．（5分）（2014•新课标II 理）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ）A. 5-B. 5C. 4i -+ D ． 4i --【答案】A【解析】由题意知：22z i =-+，所以12z z =-5，故选A 。

3．（5分）（2014•新课标II 理）设向量,a b ，满足|||a b a b +-=，则ab = ( )A. 1B. 2C. 3D. 5 【答案】A【解析】因为22||()a b a b +=+=r ur r r 222a b a b ++⋅r r r r 10=，22||()a b a b -=-=r u r r r 2226a b a b +-⋅=r r r r ，两式相加得：228a b +=r r ，所以1a b ⋅=r r，故选A.4．（5分）（2014•新课标II 理）钝角三角形ABC 1,AB BC =AC =( )A. 5 2 D. 1 【答案】B【解析】所以45B =o 或135B =o ，当45B =o，所以1AC =，又因为AB=1，所以此时ABC ∆为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以135B =o，B.5．（5分）（2014•新课标II 理）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A.0.8B.0.75 C0.6 D.0.45【答案】A【解析】设A=“某一天的空气质量为优良”，B=“随后一天的空气质量为优良”，则A.6．（5分）（2014•新课标II理）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）【答案】C【解析】因为加工前的零件半径为3，高为6，所以体积154Vπ=，又因为加工后的零件，左半部为小圆柱，半径为2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，所以体积2161834Vπππ=+=，所以削掉部分的体积与原体积之比为C.7．（5分）（2014•新课标II理）执行右图程序框图，如果输入的,x t均为2，则输出的S = （）A.4B.5C.6D.7【解析】由题意知：当1k =时，2M =，5S =；当2k =时，2M =，7S =；当3k =时，输出7S =，故选D.8．（5分）（2014•新课标II 理）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a =（ ）A. 0B. 1C. 2D. 39．（5分）（2014•新课标II 理）设x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知区域为三角形，平移直线2z x y =-，可知当经过两条直线310x y -+=与70x y +-=的交点(5,2)A 时，取得最大值8，故选B.10．（5分）（2014•新课标II 理）设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ）【答案】D【解析】由题意可知：直线AB，设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则所求三角形的面积为D. 11．（5分）（2014•新课标II 理）直三棱柱111ABC A B C =中，90BCA ∠=，,M N 分别是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）【解析】以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线1CC 为z 轴，则设1CA CB ==，则(,1,0)B ，1,1)2-，1(,0,1)2AN =- ，所以C. 12．（5分）（2014•新课标II 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A.()(),66,-∞-⋃∞B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞ D.()(),11,-∞-⋃∞ 【答案】C【解析】由题意知：()f x 的极值为，所以()23f x =⎡⎤⎣⎦，因为，而已知()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，所，故，解得2m >或2m <-，故选C. 二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•新课标II 理）()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 【解析】因为10110r r r r T C x a -+=，所以令107r -=，解得3r =，所以373410T C x a ==157x ，解得 14．（5分）（2014•新课标II 理） 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 【答案】1【解析】由题意知：()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+=()()sin[]2sin cos x x ϕϕϕϕ++-+=()sin cos x ϕϕ++()cos sin x ϕϕ+-()2sin cos x ϕϕ+=()cos sin x ϕϕ+-()sin cos x ϕϕ+=()sin[]x ϕϕ+-=sin x ，即()s i n f x x =，因为x R ∈，所以()f x 的最大值为1.15．（5分）（2014•新课标II 理）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________. 【答案】(1,3)-【解析】因为()f x 是偶函数，所以不等式(1)0(|1|)(2)f x f x f ->⇔->，又因为()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以|1|2x -<，解得13x -<<.16．（5分）（2014•新课标II 理）设点0(,1)M x ，若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=，则0x 的取值范围是________.【答案】[1,1]-【解析】由题意知：直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，如图，过OA MN ⊥，垂足为A ，在R tO M A ∆中，因为45OMN ∠= ，所以||||s i nO A O M =o解因为点0(,1)M x ，所以，解得011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.三、解答题17．（12分）（2014•新课标II 理）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （1是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2【解析】（1）证明：由131n n a a +=+得3（2）由（1因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所，于18．（12分）（2014•新课标II 理）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB AEC 平面；（2）设二面角-D AE C -为60，1AP =，AD =E ACD -的体积.【解析】 （1）证明：设O 为AC 与BD 交点，连结OE ，则由矩形ABCD 知：O 为BD 的中点，因为E 是BD 的中点，所以//OE PB ，因为OE AEC ⊂平面，PB AEC ⊄平面，所以//PB AEC 平面。