2018届高中数学专题06探索离心率问题特色训练新人教A版选修2_1

综合检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为( ) A.(0，1) B.(1，0) C.(0，2) D.(2，0) 答案 B解析 由抛物线的定义知抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0). 2.命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是( ) A.“若a >b ，则a －1≤b －1” B.“若a >b ，则a －1<b －1” C.“若a ≤b ，则a －1≤b －1” D.“若a <b ，则a －1<b －1” 答案 C解析 否命题为“若a ≤b ，则a －1≤b －1”.3.若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A.4.已知a ，b ∈R ，则“ln a >ln b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵ln a >ln b ⇔a >b >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b⇔a >b .∴a >b >0是a >b 的充分不必要条件，∴“ln a >ln b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b”的充分不必要条件.5.以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 24＋y 216＝1 答案 D解析 由x 24－y 212＝－1，得y 212－x 24＝1.∴双曲线的焦点为(0，4)，(0，－4)，顶点坐标为(0，23)，(0，－23). ∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1.6.若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A.1≤a ≤3 B.－1≤a ≤3 C.－3≤a ≤3 D.－1≤a ≤1 答案 B解析 根据题意可得∀x ∈R ，都有x 2＋(a －1)x ＋1≥0， ∴Δ＝(a －1)2－4≤0，∴－1≤a ≤3.7.如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角，则α的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2B.⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫π6≤α≤π2 C.⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫π4≤α≤π2 D.⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫π3≤α≤π2答案 A解析 取C 1D 1的中点E ，PM 必在平面ADEM 上，易证D 1N ⊥平面ADEM .本题也可建立空间直角坐标系用向量求解.8.以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是( )A.y 2＝12x B.y 2＝－12x C.y 2＝6x D.y 2＝－6x 答案 A解析 由x 24－y 25＝1，得a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9. ∴右焦点的坐标为(3，0)，故抛物线的焦点坐标为(3，0)，顶点坐标为(0，0)， 故p2＝3，∴抛物线方程为y 2＝12x . 9.过点P (－4，0)的直线l 与曲线C ：x 2＋2y 2＝4交于A ，B 两点，则AB 中点Q 的轨迹方程为( ) A.(x ＋2)2＋2y 2＝4B.(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1<x ≤0) C.x 2＋2(y ＋2)2＝4D.x 2＋2(y ＋2)2＝4(－1<x ≤0) 答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，⇒x 22－x 21＝－2(y 22－y 21)⇒y 2－y 1x 2－x 1＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 1y 2＋y 1⇒k AB ＝－x2y⇒k PQ ＝y x ＋4＝－x2y⇒(x ＋2)2＋2y 2＝4， AB 中点Q 的轨迹方程为(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1<x ≤0).10.已知命题p ：“若a >b >0，则log 21a <log 21b ＋1”，则命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 答案 B解析 对于命题p ，当a >b >0时，有log 21a <log 21b ，则必有log 21a <log 21b ＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当log 21a <log 21b ＋1时，得log 21a <log 21b 2，得a >b2>0，不一定有a >b >0，因此逆命题不正确，故否命题也不正确.因此真命题的个数为1.11.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2 答案 D解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°， ∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝2，故选D. 12.已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形.若P为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6 答案 B解析 如图所示，S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.设O 点是△ABC 的中心，∴111ABC A B C V -＝S △ABC ·OP ＝334·OP ＝94，∴OP ＝ 3. 又OA ＝3×32×23＝1， ∴tan∠OAP ＝OP OA ＝31＝3， 又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若命题p ：一元一次不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p ∧q ”“p ∨q ”及“綈p ”形式的复合命题中真命题是________. 答案 綈p解析 p 为假命题，因为a 的符号不确定，q 为假命题，因为a ，b 的大小不确定. 所以p ∧q 假，p ∨q 假，綈p 真.14.在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示) 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB →＋12OC →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 15.椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为____.答案 120°解析 在椭圆x 29＋y 22＝1中，a 2＝9，a ＝3，b 2＝2，又c 2＝a 2－b 2＝7，所以c ＝7.因为|PF 1|＝4，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， 所以|PF 2|＝6－4＝2.所以cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.16.已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为________. 答案63解析 建立空间直角坐标系Dxyz 如图所示，则A (1，0，0)，B (1，2，0)，D 1(0，0，1).因为AB ⊥平面BCC 1B 1，所以AB →＝(0，2，0)为平面BCC 1B 1的法向量. 设直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角为θ，则有sin θ＝|cos 〈AB →，BD 1→〉|＝|AB →·BD 1→||AB →||BD 1→|＝|(0，2，0)·(－1，－2，1)|2×6＝63.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”.若p ∨q 为真， 綈p 为真，求m 的取值范围. 解 对p ：∵直线与圆相交， ∴d ＝|1－m |2<1.∴－2＋1<m <2＋1.对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根， ∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，f (0)<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f (0)>0，解得0<m <4.∵綈p 为真，∴p 假. 又∵p ∨q 为真，∴q 为真. 由数轴可得2＋1≤m <4.故m 的取值范围是[2＋1，4).18.(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点. (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠± 3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0. ∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a 3－a 2＋1＝0，∴a ＝±1，符合题意，故a ＝±1.19.(12分)已知曲线Γ上的点到点F (0，1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2. (1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.解 (1)方法一 设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到F (0，1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F (0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .方法二 设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点， 则|y －(－3)|－(x －0)2＋(y －1)2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y >－3，所以(x －0)2＋(y －1)2＝y ＋1， 化简，得曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变. 证明如下：由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2，设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|0x=x ＝12x 0所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0，0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋6x 0，3.又N (0，3)，所以圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 0，3， 半径r ＝12|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14x 0＋3x 0，|AB |＝|AC |2－r 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变.20.(12分)如图，平面PAC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，PA ＝PC ＝10.设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .证明 如图，连接OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则O (0，0，0)，B (8，0，0)，P (0，0，6)，E (0，－4，3)，F (4，0，3)，G (0，4，0).因为OB →＝(8，0，0)，OE →＝(0，－4，3)，设平面BOE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OB →＝8x ＝0，n ·OE →＝－4y ＋3z ＝0，解得x ＝0，4y ＝3z ，令z ＝4， 则n ＝(0，3，4)，所以平面BOE 的一个法向量为n ＝(0，3，4). 由FG →＝(－4，4，－3)，得n ·FG →＝0，所以FG →⊥n . 又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE .21.(12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0).联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3.22.(12分)如图所示，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AB ＝2AD ＝2，点E 为AB 的中点.(1)求证：BD 1∥平面A 1DE ； (2)求证：D 1E ⊥A 1D ；(3)在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D 1－MC －D 的大小为π6？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.(1)证明 由题意可得D 1D ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0，0，0)，C (0，2，0)，A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，B (1，2，0)，E (1，1，0).DA 1→＝(1，0，1)，DE →＝(1，1，0)，设平面A 1DE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA 1→＝0，n 1·DE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋z 1＝0，x 1＋y 1＝0，取x 1＝1，则n 1＝(1，－1，－1)是平面A 1DE 的一个法向量，又BD 1→＝(－1，－2，1)，且BD 1→·n 1＝(－1，－2，1)·(1，－1，－1)＝0， 故BD 1→⊥n 1，又BD 1不在平面A 1DE 内，故BD 1∥平面A 1DE . (2)证明 由题意得D 1E →＝(1，1，－1)，DA 1→＝(1，0，1)，D 1E →·DA 1→＝(1，1，－1)·(1，0，1)＝0， D 1E →⊥DA 1→，故D 1E ⊥A 1D .(3)解 设M (1，y 0，0)(0≤y 0≤2)，因为MC →＝(－1，2－y 0，0)，D 1C →＝(0，2，－1)， 设平面D 1MC 的一个法向量为v 1＝(x ，y ，z )，11 则⎩⎪⎨⎪⎧ v 1·MC →＝0，v 1·D 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y (2－y 0)＝0，2y －z ＝0， 取y ＝1，则v 1＝(2－y 0，1，2)是平面D 1MC 的一个法向量，而平面MCD 的一个法向量为 v 2＝(0，0，1)，要使二面角D 1MCD 的大小为π6，则cos π6＝|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|＝2(2－y 0)2＋12＋22＝32，解得y 0＝2－33(0≤y 0≤2). 所以当AM ＝2－33时，二面角D 1MCD 的大小为π6.。

专题05 探索离心率问题一、选择题1．【山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考】已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>离心率为，则其渐近线与圆()22214x a y a -+=的位置关系是（ ）A . 相交B . 相切C . 相离D . 不确定【答案】C【解析】因为一条渐近线方程为0ay bx -=，又离心率为ca=所以a b =，所以渐近线方程为0y x -=，由()22214x a y a -+=知圆心(),0a ，半径12a ，圆心到直线的距离122d ==>，所以直线与圆相离，故选C .2．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期中考】过双曲线22221x y a b-=右焦点F 作一条直线，当直线的斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线的斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的取值范围是A . (B .C .D . ()1【答案】B3．【天津市耀华中学2018届高三第一次月考】已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的离线率为 （ ）A .95 B C . 32D【答案】D【解析】由题意得222435a a e +=⇒=∴== ,选D . 4．【山西省山大附中等晋豫名校2018届高三第四次调研诊断考试】已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为12,F F ，且122F F c =，点A 在椭圆上， 1120AF F F ⋅=， 212AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率e =（ ）ABCD【答案】C5．设1F 、2F 分别为双曲线2221x y a b -=（0a >， 0b >）的左、右焦点， P 为双曲线右支上任一点．若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值范围是（ ）．A . ()0,2B . (]1,3C . [)2,3D . []3,+∞【答案】B【解析】由定义知： 12122,2PF PF a PF a PF -=∴=+()2222122222448a PF PF a a PF a PF PF PF +∴==++≥ 当且仅当2224a PF PF =，设22PF a =时取得等号，2 2PF c a c a a ≥-∴-≤ 即3c a ≤ 3e ≤又双曲线的离心率1e >,](1,3 e ∴∈ 故答案选B点睛：根据双曲线的定义给出12PF PF 、的数量关系，再依据条件结合基本不等式求得最小值时的取值，确定限制条件求得离心率，注意双曲线的离心率大于1.6．【北京市西城育才中学2016-2017学年高二上期中】椭圆22212x y a +=的一个焦点与抛物线28y x =焦点重合，则椭圆的离心率是（ ）．ABC D 【答案】C点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7．【河南省商丘市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A . 4BCD 【答案】B 【解析】2ABF 为等边三角形，不妨设22AB BF AF m ===A 为双曲线上一点， 12112F A F A F A AB F B a -=-==B 为双曲线上一点, 212122,4,2BF BF a BF a F F c -===由21260,120ABF F BF ∠=︒∴∠=︒ 在12F BF 中运用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a =+-⨯⨯⨯︒227c a =27e =,e ∴=故答案选B点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角120︒，再利用余弦定理计算出离心率。

章末分层突破①对称性②离心率③顶点④渐近线⑤离心率要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略.研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题.(1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对(2)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________.【精彩点拨】 (1)利用动点满足的几何条件符合抛物线定义.(2)利用椭圆定义来解. 【规范解答】 (1)把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等.∴点M 的轨迹是以原点为焦点，直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为AB 过F 1且A ，B 在椭圆上，如图所示，则△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，∴a ＝4.又离心率e ＝c a ＝22，∴c ＝22，∴b 2＝a 2－c 2＝8， ∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.【答案】 (1)C (2)x 216＋y 28＝11.点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点，F 是抛物线的焦点，点M 的坐标是(2,3)，求|PM |＋|PF |的最小值，并求出此时点P 的坐标.【导学号：37792093】【解】 抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离，过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2，垂足为D ，那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示，根据平面几何知识，当M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小，且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4，所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3，所以其横坐标为98，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3.坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a ，b ，c ，e 之间的关系等.如图2­1所示，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )图2­1A. 2B. 3C.32D.62【精彩点拨】 由椭圆可求出|AF 1|＋|AF 2|，由矩形求出|AF 1|2＋|AF 2|2，再求出|AF 2|－|AF 1|即可求出双曲线方程中的a ，进而求得双曲线的离心率.【规范解答】 由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4， |F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3， 所以C 2的离心率e ＝ca ＝62. 【答案】 D2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ，A ，B 分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO 的面积是3c 2，则这一椭圆的离心率是( )A.12B.32C.22D.33【解析】 12ab ＝3c 2，即a 2(a 2－c 2)＝12c 4，所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0，所以a 2＝4c 2，a ＝2c ，故e ＝c a ＝12.【答案】 A(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合； (2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；(3)有关垂直问题，应注意运用斜率关系及根与系数的关系，尽量设而不求，简化运算.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0).图2­2(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程.【导学号：37792094】【精彩点拨】 (1)利用定义解题.(2)利用勾股定理和弦长公式来解.【规范解答】 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5， 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－m 2－＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534，得4－m25－4m2＝1， 解得m ＝±33，满足(*). ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.3.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，直线l ：x ＋2y －2＝0与x 轴，y 轴分别交于点A ，B .(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，求a 的取值范围. 【解】 (1)由椭圆的离心率为22，得a ＝2c ， 由A (2,0)，得a ＝2，∴c ＝2，b ＝2， ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由e ＝22，设椭圆方程为x 2a 2＋2y2a2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0，若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈上有解.设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4， 故a 的取值范围是233≤a ≤2.(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x ，y )，根据几何条件直接寻求x ，y 之间的关系式.(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点.具体地说，就是用所求动点的坐标x ，y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x ，y 之间的关系式.(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程.已知椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1，0)，(1,0).(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.【精彩点拨】 设AF ，AE 的直线方程得交点EF ，再求k EF .【规范解答】 (1)由题意，c ＝1，设椭圆的方程为x 21＋b 2＋y 2b2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3或b 2＝－34(舍去).所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0， 设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k2，y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k2，y F ＝－kx F ＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k x F ＋x E ＋2k x F －x E ＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.4.已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点.【导学号：37792095】(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值.【解】 (1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3. 所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. 此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m ).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋k2⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m2＋4k22－k 2m 2－1＋4k2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞).因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2， 当且仅当m ＝±3时，|AB |＝2， 所以|AB |的最大值为2.1.设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12 B.1 C.32D.2 【解析】 由题意得点P 的坐标为(1,2).把点P 的坐标代入y ＝k x(k >0)得k ＝1×2＝2，故选D.【答案】 D2.过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B两点，则|AB |＝( )A.433B.2 3C.6D.4 3【解析】 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.【答案】 D3.若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A.11B.9C.5D.3【解析】 由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.【答案】 B4.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 【解析】 由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝b a×2.① 由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a 2＋b 2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.【答案】 D。

06 椭圆1．椭圆2212516x y +=的焦距是A ．3B ．6C ．8D ．10【答案】B【解析】依题意得，2225,16a b ==，又222a b c =+，从而22225169c a b =-=-=，解得3c =．则该椭圆的焦距为26c =，故选B ．2．椭圆2214x y k+=的离心率为12，则k 的值为A ．3B ．163 C ．3或163D ．1925或21【答案】C3．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A【解析】椭圆221x my +=的焦点在y 4．方程221410x y k k+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是A ．(4,)+∞B ．(4,7)C ．(4,10)D ．(7,10)【答案】D【解析】由题意可知40,100,410,k k k k ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩解得710k <<.5．椭圆2214x y +=的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，P 为一个交点，则2||PF 等于 ABC ．72D ．4【答案】C6．已知ABC △的周长为20，且顶点(0,4)B -，(0,4)C ，则顶点A 的轨迹方程是ABCD【答案】B【解析】由△ABC 的周长为20，且顶点(0,4)B -，(0,4)C ，可得||||12||AB AC BC +=>，所以顶点A 的轨迹为椭圆，其中212,28,6,4,a c a c ==∴==2361620,b ∴=-=方程为2212036x y +=.因为三点,,A B C 构成三角形，三点不能共线，所以0x ≠7．若直线30kx y -+=k 的取值范围是AB4k =- C4k <- D．4k <且4k ≠ 【答案】【解析】由2231164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(41)24200k x kx +++=,当216(165)0k ∆=->,4k <-时，直线与椭圆有两个公共点. 8．经过点M (1,2),ABCD【答案】A92214x y +=A B 、，则ABM △的周长为A ．8B ．10C ．12D ．16【答案】A10．已知直线1y x =-+,A B 两点，若椭圆的离心率为2，焦距为2，则线段AB 的长是A ．3B ．3CD ．2【答案】B【解析】由条件知1,2c c e a ===，所以1a b ==，椭圆方程为2212x y +=，联立直线方程与11．已知点P 是以21,F F 为焦点的椭圆120PF PF ⋅=则椭圆的离心率为A B CD 【答案】D【解析】由题得12PF F △为直角三角形，设1||PF m =，∴212,2m PF F F ==，12．椭圆223412x y +=的离心率为 .【答案】12【解析】因为223412x y +=，所以22143x y +=，所以2,1a b c ===，所以椭圆的离心率12e =.13．椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为___________.【答案】5214．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，1B ，2B 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若21B F AB ⊥，则椭圆C 的离心率是 ．【解析】由题意得222211,01b b b ac a c ac e e e e c a -⨯=-⇒=⇒-=⇒-=<<⇒.【方法点睛】解决椭圆的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.15．已知椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则m 等于A ．4B ．8C ．4或8D ．以上均不对【答案】C【解析】①焦点在x 轴上时：10(2)4m m ---=，解得m =4；②焦点在y 轴上时：2(10)4m m ---=，解得m =8.故选C.16．曲线221259x y +=A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】C8．故选C ．17．椭圆221259x y +=的焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，已知12PF PF ⊥，则△12F PF 的面积为A ．9B ．12C ．10D ．8【答案】A【解析】由椭圆定义知1210PF PF +=，又因12PF PF ⊥，所以2212||||4(259)64PF PF +=⨯-=，从而得1218PF PF ⋅=，所以12F PF △的面积为9，故选A. 18．设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF △为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是A ．2B ．12C ．2D 1【答案】D【解析】设点P 在x ，因为12F PF △为等腰直角三角形，所以212||||PF F F =，即22b c a=，即2222,2b ac a c ac =-=，等式两边同除以2a ，化简得212e e -=，解得1e =，故选D ．19．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是ABCD 【答案】B∴222a c <，∴2e >，∵01e <<，∴12e <<. 20．若椭圆221369x y +=的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为A ．2B ．−2C ．13D ．12-【答案】D【解析】设弦的端点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,4x x y y +=+=，将,A B 坐标代入椭圆的方程，得222211221,1369369x y x y +=+=12-，所以此弦所在直线的斜率为12-，故选D.21．如图，焦点在x 轴上的椭圆22213x ya +=(0a >)的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF △的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4FQ =，则该椭圆的离心率为 A ．14B ．12C ．D【答案】D椭圆的离心率c e a ==D ．【技巧点睛】求椭圆的离心率问题：（1）通过基本量运算求出,a c ，从而求出离心率；（2）只需给出一个条件列出关于,,a b c 三个量的一个等量关系，并将222c a b =-代入消去b ，从而得到关于,a c 的二次齐次方程，然后将方程两边同时除以2a 得到关于ac即e 的一元二次方程求解即可． 22．椭圆221123x y +=的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是___________．【答案】2±23．已知椭圆C ：2213x y +=，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于,A Bl 的方程为 . 【答案】1y x =±【解析】设直线方程为y x m =+，联立方程得，化简得2246330x mx m ++-=， ，||1AB =1m ∴=±，所以直线方程为 1.y x =±24．的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直线AB交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是_________． 【答案】12【解析】如图，由于BF x ⊥轴，故2,B B b x c y a =-=；设点(0,)Pt ，因为2A P P B =,所以)2a c =，所以12c e a ==.25．（2017年高考浙江卷）椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．26．（2017年高考新课标Ⅲ卷）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A BC D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A.【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝ca； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).27．（2015年高考广东卷）已知椭圆222125x y m +=(0m >)的左焦点为1(4,0)F -，则m = A ．9B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．28．（2016年高考新课标Ⅰ卷）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 A ．13B ．12 C ．23D ．34【答案】B【名师点睛】求椭圆的离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a ,c 的齐次方程,方程两边同时除以a 的最高次幂,转化为关于e 的方程,解方程求e .29．（2016年高考新课标Ⅲ卷）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A ．13 B ．12 C ．23D ．34【答案】A整理，得13c a =，所以椭圆C 的离心率13e =，故选A ． 【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法： （1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ca或转化为关于e 的等式求解； （3）通过特殊值或特殊位置，求出e ．30．（2015年高考福建卷）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若||||4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是A．(0,2B ．3(0,]4C．,1)2D ．3[,1)4【答案】A31．（2013年高考新课标Ⅰ卷）已知椭圆E ： 2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，−1)，则E 的方程为A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +【答案】D【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①−②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，−1)，∴y 1＋y 2=−2，x 1＋x 2=2，而1212y y x x --=k AB =011=312-(-)-，∴221=2b a .又∵a 2−b 2=9，∴a 2=18，b 2=9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D.32．（2014年高考辽宁卷）已知椭圆C : 22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|AN |+|BN |= . 【答案】1233．（2013年高考上海卷）设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA =4π.若AB =4，BC，则Γ的两个焦点之间的距离为______．【解析】如图，设D 在AB 上，且CD ⊥AB ，AB =4，BC，∠CBA =45°⇒CD =1，DB =1，AD =3⇒C (1,1)⇒2a =4，把C (1,1)代入椭圆标准方程得2211a b +=1，a 2=b 2＋c 2⇒b 2=43，c 2=83⇒2c34．（2015年高考浙江卷）椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的右焦点(,0)F c 关于直线b y x c =的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．【答案】2【解析】设(,0)F c 关于直线by x c =的对称点为(,)Q m n ，则有122n bm c c n b m c c⎧⋅=-⎪⎪-⎨+⎪=⨯⎪⎩，解得322222,c b c bc m n a a -==，所以322222(,)c b c bc Q a a -在椭圆上，即有32222642()(2)1c b c bc a a b-+=，解得664240c a a c -+=，即62410e e +-=，即64422422210e e e e e -+-+-=，即242(21)(21)0e e e -++=，所以2210e -=，所以离心率e =. 35．（2014年高考安徽卷）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若112||3||,AF BF AF x =⊥轴，则椭圆E 的方程为__________. 【答案】22312xy += 【解析】如下图，22312x y +=．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

精心校对浅析圆锥曲线中求离心率的策略慕芸蔚求圆锥曲线的离心率近几年来在高考中都有题目出现.为此，本文结合高考题，介绍求圆锥曲线的离心率的几种常用方法，以达到更好地理解和掌握解此类题的技巧和规律，提高分析问题和解决问题的能力.一、根据条件先求出a ，c ，利用e=ca求解例1 (2001年·全国·文、理)若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为( )A .34B .23C .12D .14 解析：由F 1、F 2的坐标知 2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a ﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1,所以离心率e=c a =12.故选C .例2 (1993年·全国·文、理)如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( ) A.32 B. 62C. 32 D2解析：由题设a =2，2c =6，则c =3，e =c a =32,因此选C二、根据圆锥曲线的统一定义求解例3 (1999年·全国·文、理)设椭圆x 2a 2+y 2b 2＝1 (a >b >0)的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是.解析：如图1所示，AB 是过F 1且垂直于x 轴的弦， ∵AD ⊥l 1于D ，∴|AD|为F 1到准线l 1的距离，根据椭圆的第二定义，e=|AF 1||AD|=12|AB||AD|=12， 即 e =12.故填12.三、构建关于a ，c 的齐次等式求解例4 (1996年·全国·文、理)设双曲线x 2a 2﹣y 2b 2＝1(0<a<b)的半焦距为c ，直线L 过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为34c ，则双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.233解析：由已知，直线L 的方程为bx+ay -ab=0. 由点到直线的距离公式，得ab a 2+b2＝34c ，又c 2=a 2+b 2, ∴4ab=3c 2, 图1精心校对两边平方，得16a 2(c 2﹣a 2)=3c 4.两边同除以a 4，并整理，得 3e 4-16e 2+16=0.解得 e 2＝4或e 2＝43.又0<a<b ，∴e 2＝c 2a 2＝a 2+b 2a 2=1+b 2a 2>2，∴e 2＝4，∴e ＝2.故选A.例5 (2003年·全国·文) 双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠F 1MF 2＝120︒，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3 （B ）62 （C ）63 （D ）33解析：如图2所示，不妨设M(0，b)，F 1(-c,0), F 2(c,0),则|MF 1|=|MF 2|=c 2+b 2.又|F 1F 2|＝2c ，在△F 1MF 2中， 由余弦定理，得cos ∠F 1MF 2＝|MF 1|2+|MF 2|2﹣|F 1F 2|22|MF 1|·|MF 2|,即(c 2+b 2)+(c 2+b 2)﹣4c 22c 2+b 2·c 2+b 2)＝cos 120︒＝﹣12，∴b 2﹣c 2b 2＋c 2＝﹣12，∵b 2＝c 2﹣a 2，∴﹣a 22c 2﹣a 2＝﹣12，∴3a 2＝2c 2，∴e 2＝32，∴e ＝62.故选B.例6 (2001年·北京·春招)双曲线x 2a 2﹣y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A.2B. 3C. 2D.32解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线，∴a=b ，∴c=2a ，∴e ＝ca ＝ 2.故选C.四、根据曲线方程列出含参数的关系式，求e 的取值范围例7 (2002年·全国·文)设θ∈(0，π4)，则二次曲线x 2cot θ﹣y 2tan θ=1的离心率的取值范围为( )A.(0，12)B.(12，22)C.(22，2) D.(2，+∞)解析：由x 2cot θ﹣y 2tan θ=1，θ∈(0，π4)，得a 2＝tan θ，b 2= cot θ,∴c 2＝a 2+b 2＝tanθ+ cot θ,∴e 2＝c 2a 2＝tan θ+ cot θtan θ＝1+ cot 2θ,∵θ∈(0，π4)，∴cot 2θ>1,∴e 2>2，∴e >2.故选D. 五、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围例8 (2000年·全国·理)如图，已知梯形ABCD 中，｜AB ｜＝2｜CD ｜，点E 分有向线段AC →所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当23≤λ≤34时，求双曲线离心率e 的取值范围．解析：以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立如图3所示的图2图3精心校对直角坐标系x Oy ，则CD ⊥y 轴.因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．依题意，记A(﹣c ，0)，C(c 2，h),E(x 0，y 0)，其中c =12｜AB ｜为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得 x 0＝-c+λ·c 21+λ＝(λ-2)c 2(1+λ)，y 0＝λh1+λ．设双曲线的方程为x 2a 2﹣y 2b 2＝1，则离心率e =ca.由点C 、E 在双曲线上，所以，将点C 的坐标代入双曲线方程得 c 24a 2﹣h 2b 2＝1 ①，将点E 的坐标代入双曲线方程得c 24a 2(λ﹣21+λ)2－(λ1+λ)2h 2b 2＝1 ②．再将e =c a ①、②得 e 24﹣h 2b 2＝1，∴h 2b 2＝e 24﹣1 ③，e 24(λ﹣21+λ)2－(11+λ)2h 2b 2＝1 ④．将③式代入④式，整理得 e 24（4－4λ）＝1＋2λ，∴λ＝1－3e 2+2．由题设23≤λ≤34得，23≤1－3e 2+2≤34．解得7≤e ≤10．所以双曲线的离心率的取值范围为［7，10］．。

专题突破三 离心率的求法一、选择题1．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为( ) A ．2B.52C ．3D ．4 考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率[答案] A[解析] 根据点(2,3)在双曲线上，得4a 2－9b 2＝1，① 考虑到焦距为4，则2c ＝4，即c ＝2.②联立①②及a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝3，所以离心率e ＝2.2．(2018·江西赣州高二检测)若双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝34x ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.169D.259考点题点[答案] B[解析] 双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝a bx ， 由题意知a b ＝34， ∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋169＝53. 3．若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( ) A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)考点题点[答案] C[解析] e ＝1＋1a 2，∵a >1，∴e ∈(1，2)． 4．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1⊥MF 2，则椭圆的离心率为( ) A.1＋34B.3－1 C ．23－3D ．2－ 3考点题点[答案] B[解析] 由题意知，在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1F 2M ＝60°，∴|MF 2|＝c ，|MF 1|＝2c ×32＝3c ，|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 5．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 引它的一条渐近线的垂线FM ，垂足为M ，并且交y 轴于点E ，若M 为EF 的中点，则该双曲线的离心率为( )A ．2B.3C ．3D. 2考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率[答案] D[解析] 取右焦点F (c,0)，渐近线方程为y ＝b ax ，∵FM ⊥OM ，∴可得直线FM 的方程为y ＝－a b(x －c )， 令x ＝0，解得y ＝ac b， ∴E ⎝⎛⎭⎫0，ac b ， ∴线段FE 的中点M ⎝⎛⎭⎫c 2，ac 2b ，又中点M 在渐近线y ＝b ax 上， ∴ac 2b ＝b a ×c 2， 解得a ＝b ，∴双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.6．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A ．4＋2 3B ．23－1 C.3＋12 D.3＋1考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率[答案] D[解析] 因为MF 1的中点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，因为△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1. 7．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎝⎛⎭⎫22，1考点 椭圆的离心率问题题点 由a 与c 的关系式得离心率[答案] C[解析] ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M 总在椭圆的内部，∴c <b ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，即2c 2<a 2，∴c 2a 2<12，即c a <22. 又0<e <1，∴0<e <22. 8．(2018·湖北黄冈高二检测)已知直线m ：y ＝kx ＋1过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(0<b <a )的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为l ，若l ≥255，则椭圆离心率e 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，255 B.⎝⎛⎦⎤0，53 C.⎝⎛⎦⎤0，235 D.⎝⎛⎦⎤0，223 考点题点[答案] A[解析] 圆x 2＋y 2＝1的圆心到直线m ：y ＝kx ＋1的距离为d ＝1k 2＋1， ∵直线m ：y ＝kx ＋1被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长l ≥255， ∴2r 2－d 2≥255，即21－d 2≥255， 解得d 2≤45，∴1k 2＋1≤45. ∴b ＝1且c ＝a 2－b 2＝1k ，即a 2＝1＋1k 2， 则e 2＝c 2a 2＝1k 21＋1k 2＝1k 2＋1≤45，得e ∈⎝⎛⎦⎤0，255. 二、填空题9．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点且与x 轴垂直的直线与渐近线交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为13bc 3，则双曲线的离心率为________． 考点题点[答案] 133 [解析] 设F 为右焦点，其坐标为(c,0)，令x ＝c ，代入y ＝±b a x ，可得y ＝±bc a， ∵S △OAB ＝133bc ， ∴12×2bc a ×c ＝13bc 3， ∴c a ＝133，则e ＝133. 10．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为________． 考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率[答案] 53[解析] 不妨设P 为双曲线右支上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ，又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a 2. 又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ， 解得b a ＝43(负值舍去)， 故e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫b a 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫432＋1＝53. 11．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为________．考点题点 [答案] 22[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b2＝1，① x 22a 2＋y 22b2＝1，② ∵M 是AB 中点，∴x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1， ∵直线AB 的方程是y ＝－12(x －1)＋1， ∴y 1－y 2＝－12(x 1－x 2)， ①－②可得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0， 即2a 2＋⎝⎛⎭⎫－122b2＝0， ∴a ＝2b ，则c ＝22a ，∴e ＝c a ＝22. 12．(2018·广东深圳高二期中)椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上任意一点，且PF 1→·PF 2→的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________．考点题点[答案] ⎣⎡⎦⎤12，22 [解析] 由题意可知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设P (x ，y )．由x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2＝a 2(b 2－y 2)b 2， ∵PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，∴PF 1→·PF 2→＝x 2－c 2＋y 2＝a 2(b 2－y 2)b 2－c 2＋y 2＝a 2－c 2－c 2y 2b2， 当y ＝0时，PF 1→·PF 2→取得最大值a 2－c 2，即c 2≤a 2－c 2≤3c 2，∴2c ≤a ≤2c ，则12≤e ≤22. 三、解答题13．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围． 考点 题点解 由题意，知直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 因为点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b 2， 点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b (a ＋1)a 2＋b 2， 所以s ＝d 1＋d 2＝2aba 2＋b 2＝2ab c. 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2. 于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5. 因为e >1，所以e 的取值范围是⎣⎡⎦⎤52，5.14．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为( ) A.33B.32C.22D.12考点题点[答案] A[解析] 设|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2，e 1＝c a 1，e 2＝1e 1＝c a 2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1||PF 2|，所以16c 2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2＋3(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 21＋12a 22，即4＝1e 21＋3e 21⇒e 21＝13或e 21＝1(舍去)⇒e 1＝33. 15．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点． (1)若椭圆的离心率为33，焦距为2，求线段AB 的长； (2)若向量OA →与向量OB →互相垂直(其中O 为坐标原点)，当椭圆的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，22时，求椭圆长轴长的最大值．考点题点解 (1)∵e ＝c a ＝33，2c ＝2，∴a ＝3， 则b ＝a 2－c 2＝2， ∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. 将y ＝－x ＋1代入椭圆的方程，消去y 得5x 2－6x －3＝0，其中Δ>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝65，x 1x 2＝－35， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋(－1)2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×⎝⎛⎭⎫652＋125＝835. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵OA →⊥OB →，∴OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋1，消去y 得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0. 由Δ＝(－2a 2)2－4a 2(a 2＋b 2)(1－b 2)>0，整理得a 2＋b 2>1.又x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b2， ∴y 1y 2＝(－x 1＋1)(－x 2＋1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.由x 1x 2＋y 1y 2＝0，得2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0. ∴2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b 2＋1＝0， 整理得a 2＋b 2－2a 2b 2＝0.∵b 2＝a 2－c 2＝a 2－a 2e 2，代入上式得2a 2＝1＋11－e 2， ∴a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11－e 2. ∵12≤e ≤22，∴14≤e 2≤12，∴12≤1－e 2≤34， ∴43≤11－e 2≤2，∴73≤1＋11－e 2≤3， ∴76≤a 2≤32，符合条件a 2＋b 2>1， 由此得426≤a ≤62，∴423≤2a ≤ 6. 故椭圆长轴长的最大值为 6.。