高二级数学下册调考前综合检测

一、单选题1．已知函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率为（ ）()23f x x =+A ．1 B ．1.1 C ．2 D ．2.1【答案】D【分析】根据平均变化率的概念直接求解即可.【详解】解：． ()()()()221.13131.112.11.110.1f f y x +-+-∆===∆-故选：D 2．若，则（ ）(2)(2)lim 2x f x f x x∆→-+∆---∆=-∆()2f '-=A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2【答案】B【分析】根据导数的定义以及给出的极限值可得答案. 【详解】 00(2)(2)(2)(2)[(2)(2)]lim lim x x f x f x f x f f f x x x∆→∆→-+∆---∆-+∆--+----∆=∆∆， 00(2)(2)(2)(2)limlim 2(2)2x x f x f f f x f x x'∆→∆→-+∆------∆=+=-=-∆∆所以. ()21f '-=-故选：B.3．已知函数的导函数为，，，的图象如图所示，则（ ）()f x ()f x '()1f x ()2f x ()3f xA ．B ． ()()()123f a f a f a >>'''()()()132f a f a f a >>'''C ．D ．()()()213f a f a f a '''>>()()()312f a f a f a >>'''【答案】A【分析】根据已知条件作出切线，利用导数的几何意义及斜率的定义即可求解. 【详解】依次作出，，在处的切线，如图所示()1f x ()2f x ()3f x x a =根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知，． ()()()123f a f a f a >>'''故选：A.4．九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且n a ()9,n n n +≤∈N {}n a 11a =则（ ）121,,22,,n n n a n a a n +-⎧=⎨+⎩为奇数为偶数4a =A ．1 B ．4 C ．7 D ．16【答案】C【分析】直接利用数列通项的递推公式求出结果. 【详解】. 213243211,224,217a a a a a a =-==+==-=故选：C.5．当时，函数取得最小值1，则（ ）0x =()e xf x a bx =+()1f '=A ． B ． C ． D ．e 1-e 1+e 1--e 1-+【答案】A【分析】由题意可得，，，即可求出a ，b 的值，进而得到. ()01f a ==()00f '=()1f '【详解】由题意可得，，，()01f a ==()00f '=因为，所以，解得，()e xf x a b =+'()00f a b '=+=1b =-则，所以，()e 1xf x '=-()1e 1f '=-故选：A.6．以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.该定理如下：若函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，则在区间内至少()f x [],a b (),a b (),a b 存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值(),a b ξ∈()()()(),f b f a f b a ξξ'-=-()y f x =[],a b 点.那么函数在区间上的中值点的个数为（ ）()312f x x =-[]1,1-A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】计算，得到，解得答案.()()()2114,6f f f ξξ--=--'=2412ξ-=-【详解】因为，所以，()[]312,1,1f x x x =-∈-()()()213,11,6f f f x x -='=-=-所以.()()()2114,6f f f ξξ--=--'=由拉格朗日中值定理得，解得2412ξ-=-ξ=因为，所以函数在区间上的中值点有2个. []1,1-()312f x x =-[]1,1-故选：C7．已知函数，若对任意两个不等的实数，都有，则()()()2e 1xf x x a x =-+-12,x x ()()12121f x f x x x ->-a 的最大值为（ ） A ． B ． C ．1 D ．22-1-【答案】B【分析】根据函数的单调性的定义及函数单调性与导数正负的关系，将所求问题转化为恒成立，再将恒成立问题转化为求函数的最值，利用导数法求函数的最值即可. 【详解】不妨设，因为，12x x >()()12121f x f x x x ->-所以．()()1122f x x f x x ->-构造函数，()()()2e xg x f x x x ax =-=--所以，所以在单调递增，()()12g x g x >()g x R 故在恒成立，即在恒成立．()()1e 0x g x x a '=--≥R ()1e xa x ≤-R 令，则．()()1e xh x x =-()e xh x x '=令，则，解得，()0h x '=e 0x x =0x =当时，， 0x >()0h x '>当时，，0x <()0h x '<所以在上单调递减，在上单调递增．()h x (),0∞-[)0,∞+，即．()()01h x h ≥=-1a ≤-所以a 的最大值为. 1-故选：B.. 8．设，则（ ） 1.10.1,0.1,ln1.1e a b c ===A ． B ． a b c <<c b a <<C ． D ．c a b <<a c b <<【答案】D【分析】构造函数并利用其单调性得出，构造函数并利用()()ln 1f x x x =+-c b <()1ln e xx g x x -=-其单调性得出，从而得到结果.a c <【详解】先比较与：设函数，，则.bc ()()ln 1f x x x =+-()0,x ∈+∞()1111x f x x x'=-=-++当时，在上单调递减. ()0,x ∈+∞()()0,f x f x '<()0,∞+所以，即. ()()0.1ln1.10.100,ln1.10.1f f =-<=<c b <再比较与：设函数，，则. a c ()1ln e x x g x x -=-1x >()22e e xxx x g x x --='令函数，则.()22e x h x x x =--()()21e xh x x =--'当时，单调递减.1x >()()0,h x h x '<因为，所以当时，，则，所以在上单调递减. ()11e 0h =-<1x >()0h x <()0g x '<()g x ()1,+∞，即. ()()1.1 1.10.10.11.1ln1.110,ln1.1e eg g =-<=<a c <综上所述，. a c b <<故选：D【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是构造函数，根据数式特点构造合适的函数，利用导数研究单调性，结合单调性比较大小.二、多选题9．下列求导正确的是（ ） A ．若，则 ()ln 21y x =+121y x '=+B ．若，则11y x =+21(1)y x '=-+C ．若，则 3(1)1y x =--21)3(y x '=-D ．若，则 1e x y +=1e x y +'=【答案】BCD【分析】利用求导公式和导数运算，及复合函数求导方法进行求解. 【详解】若，则 A 错误； ()ln 21y x =+2,21y x =+'若，则，B 正确；11y x =+21(1)y x '=-+若，则，C 正确； 3(1)1y x =--21)3(y x '=-若，则，D 正确. 1e x y +=1e x y +'=故选：BCD.10．“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法依次为○､丨､刂､川､ㄨ､､〦､〧､〨､攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站δ的里程，如某处里程碑上刻着的“○”代表距离始发车站的里程为0公里，刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“川攵”，在B 点处里程碑上刻着“〨ㄨ”，则（ ）A ．从始发车站到A 点的所有里程碑个数为14B ．从A 点到B 点的所有里程碑个数为16C ．从A 点到B 点的所有里程碑上所刻数之和为987D ．从A 点到B 点的所有里程碑上所刻数之和为984 【答案】ABD【分析】由题意可知A 点处里程碑刻着数字，B 点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等39差数列，公差为3，根据等差数列的通项和求和公式，即可判断正误.【详解】由题意知，A 点处里程碑刻着数字，B 点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等39差数列，公差为3，则从始发车站到A 点的所有里程碑个数为，A 选项正确； 391143+=从A 点到点的所有里程碑个数为，B 选项正确； B 84391163-+=从A 点到点的所有里程碑上的数字之和为，D 选项正确，则C 选项错B 1615163939842⨯⨯+⨯=误； 故选：ABD.11．已知函数若函数有4个零点，则()()32ln ,0,231,0,x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩()()()()2[]1g x f x m f x m =---m 的取值可能是（ ） A ．B ．-1C ．0D ．232-【答案】AC【分析】利用导数研究函数的图像，寻找与有两个交点的的取值范围，即可()f x ()y f x =y m =m 解答.【详解】令，即，解得或()()()()2[]10g x f x m f x m =---=()()10f x f x m ⎡⎤⎡⎤+-=⎣⎦⎣⎦()1f x =-.当时，.由，得，由，得()f x m =0x ≥()()26661f x x x x x '=-=-()0f x ¢>1x >()0f x '<01x ≤<，则在上单调递减，在上单调递增，且.画出的图象，如()f x [0,1)()1,+∞()()01,12f f =-=-()f x 图所示.由图可知有2个不同的实根，则有4个零点等价于有2个不同的()1f x =-()g x ()f x m =实根，且，故.1m ≠-(){}2,10m ∈--⋃故选：AC12．已知定义在上的函数，其导函数分别为，若，R ()(),f x g x ()(),f x g x ''()()=f x f x -，则（ ）()()()()()20,2cos ,22g f x g x x f x g x x -=+-=+'='--A ．的图象关于直线对称 ()g x '2x =-B ．的图象关于点对称()g x ()2,0-C ．是周期函数 ()g x 'D ． ()40f '=【答案】ABC【分析】对于选项A ，通过赋值，利用已知条件，即得结果. ()()=f x f x -对于选项B ，通过构造函数，再求导，利用A 中的结论，即得结果.对于选项C ，首先利用可导的偶函数的导函数是奇函数的特性构造函数，再通过对称性结合B 中结论，即得结果.对于选项D ，通过赋值，利用C 中推导的结论和已知条件，即得结果. ()()8g x g x =+(2)0g -=【详解】因为，所以.()()2cos f x g x x ='+-()()()2cos cos f x g x x x ---='-+=因为，所以，所以的图象关于直线对称，A 正确. ()()=f x f x -()()22g x g x '-=--'()g x '2x =-设，则， ()()()22G x g x g x =-+--()()()220G x g x g x =---'-'='所以为常数）.()(G x c c =又，所以，即①， ()()()()022220G g g g =-+-=-=()0G x =()()220g x g x -+--=则的图象关于点对称，B 正确.()g x (2,0)-因为，所以，则为奇函数. ()()=f x f x -()()f x f x ''=--()f x '则函数仍然是奇函数，其图象关于原点对称. ()y x f x =-'又因为，()()()22g x x f x =---'所以的图象关于点对称，有，即②. ()g x ()2,0()()220g x g x -++=()()206g g x x +-+=-由①②可得，即，故为周期函数，为的一个周-()()26x x g g =-+()()8g x g x =+()g x 8T =()g x 期，又，所以也是的一个周期，C 正确.()()8x g x g ''+=8T =()g x '令，可得，即，D 错误. 6x =()()62662f g -+=-'()()()446424f g g =-=--='故选：ABC. 【点睛】结论点睛：（1）可导的奇函数的导函数是偶函数；（2）可导的偶函数的导函数是奇函数； （3）可导的周期性函数的导函数是周期函数等.三、填空题13．已知函数，则___________． ()()sin 2πx f x f x '=-()πf '=【答案】1【分析】直接求导计算即可得答案. 【详解】解：因为， ()()2cos 2πf f x x '=-'所以，解得． ()()π2cos 2ππf f ''=-()π1f '=故答案为：1四、双空题14．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后秒内列车前进的距离t 米，则列车刹车后__________秒车停下来，期间列车前进了__________米.2280.5S t t =-【答案】 28 392【分析】先求导数可得瞬时速度，利用速度为零可得停止时间和列车前进距离. 【详解】，由瞬时速度，解得.()28S t t '=-()()0v t S t ='=28t =期间列车前进了米.()22828280.528392S =⨯-⨯=故答案为：28 ，392五、填空题15．已知球的半径为9，球心为，球被某平面所截得的截面为圆，则以圆为底面，O O O M M O 为顶点的圆锥的体积的最大值为__________.【答案】【分析】利用勾股定理找出与的关系式，根据圆锥的体积公式，构造函数，利用导数判断r h ()f h 函数的单调性，从而求出圆锥的体积的最大值.【详解】设圆的半径为，圆锥的高为，则.M r h 2281r h +=圆锥的体积，()2211ππ8133V r h h h ==-令函数（），()()21π813f h h h =-09h <<则.()()2211π[(2)(81)]π81333f h h h h h =-+-=-'当时，， 时， (h ∈()0f h '>h ∈()0,f h '<所以在单调递增，在单调递减.()f h (，所以圆锥的体积的最大值为.max ()f h f ==故答案为：.16．已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是__________.()e ln axf x a x =-1x >()0f x ≥a 【答案】1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】分类讨论a ，当时，则，即，设，求导得到在0a >e ln ax a x ≥e ln ax ax x x ≥()ln g x x x =()g x 上单调递增，进而得到，设，求出，则可得到的取值范围. ()1,+∞ln xa x ≥()ln x h x x=max ()h x a 【详解】当时，不符合题意.0a ≤()0f x <当时，则，即，0a >e ln ax a x ≥e ln e ln ax ax ax ax x x lne x x ≥⇔≥设，则恒成立，故在上单调递增. ()ln g x x x =()ln 10g x x =+>'()g x ()1,+∞因为，，所以.因为，即，所以，所以，所1x >0a >e 1ax >e ln ax ax x x ≥()()e axg g x ≥eaxx ≥ln ax x ≥以. ln xa x≥设，则. ()ln x h x x=()21ln xh x x -'=由，得，由，得，则在上单调递增，在上单调递()0h x '>0e x <<()0h x '<e x >()h x ()0,e ()e,+∞减，故，即的取值范围是. ()max 1()e e h x h ==a 1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭故答案为：1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭六、解答题17．已知数列的前项和.{}n a n 21n S n n =-+(1)求的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和.11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1) 1,1,22, 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩(2) 314n n T n-=【分析】（1）利用与的关系求得：，然后验证，解得n a n S 122n n n a S S n -=-=-1a 1,1,22, 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；（2）裂项相消求和，注意当时，验证； 1n =【详解】（1）当时，.1n =111a S ==当时，.2n ≥()2211(1)1122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦所以 1,1,22, 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩（2）当时，.1n =12112a a =当时，. 2n ≥()11111122241n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-⋅-⎝⎭， 11111111113111242231244n n T n n n n-⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 当时也成立. 1n =故. 314n n T n-=18．已知函数在上单调递增，在上单调递减．()32231f x x bx cx =-++(],0-∞()0,1(1)求c 的值；(2)若恰有两个零点，求b 的值． ()f x 【答案】(1)0 (2) 1【分析】（1）由题知在处取极大值，进而根据求解即可；()f x 0x =()00f '=（2）由，得或，进而将问题转化为在上有一个零点，再结合函数()0f x '=0x =x b =()f x ()0,∞+在上的单调性得，进而解方程即可得答案.()f x ()0,∞+()332310f b b b =-+=【详解】（1）由，得．()32231f x x bx cx =-++()266f x x bx c '=-+因为在上单调递增，在上单调递减．()f x (],0-∞()0,1所以在处取极大值，，()f x 0x =()00f c '==经检验时，符合题意，0c =故c 的值为0．（2）结合（1）可得．()()2666f x x bx x x b =-=-'令，解得或．()0f x '=0x =x b =因为在上单调递增，在上单调递减，所以．()f x (],0-∞()0,11b ≥因为，，()010f =>()3510f b b -=-+<所以在上有一个零点．()f x (],0-∞因为恰有两个零点，所以在上有一个零点．()f x ()f x ()0,∞+因为当时，，当时，．()0,x b ∈()0f x '<()x b ∈+∞,()0f x ¢>所以在上单调递减，在上单调递增．()f x ()0,b (),b ∞+所以，解得．()332310f b b b =-+=1b =故b 的值为1．19．已知数列为等差数列，为等比数列，且.{}n a {}n b 22331122222b a a b a b -=-===(1)求的通项公式；{}{},n n a b (2)求数列的前项和.{}n n a b n n S 【答案】(1)21,2n n n a n b =-=(2)()12326n n S n +=-+【分析】（1）设数列的公差为的公比为，由题可得关于d 与q 的方程，解之可得答{}n a {},n d b q案；（2）由（1）结合错位相减法可得答案.【详解】（1）设数列的公差为的公比为，由已知得,{}n a {},n d b q 111,2a b ==， ()()()()221122233112222421244022221222b a b q a d q d q q a b a d b q d q ⎧-=-+=-+=⎪⇒-+=⎨-=+-=+-=⎪⎩解得.则.2,2q d ==21,2n n n a n b =-=（2）由（1）可得，()212n n n a b n =-则，()()()23222122312212n n S n =+⨯-⨯+⨯-⨯++- .()()()23412222122312212n n S n +=+⨯-⨯+⨯-⨯++- 两式相减得()2341222222222212n n n S n +-=+⨯+⨯+⨯++⨯-- ， ()()()211122122212232612n n n n n -++⨯-=+--⨯=----所以.()12326n n S n +=-+20．已知函数.()()2323ln ,(0)f x ax a x x a =+-->(1)若在时取得极值，求的值；()f x 2x =a (2)若存在，使得，求的取值范围.[)1,x ∞∈+()2f x ≤a 【答案】(1) 12a =(2)(]0,1【分析】（1）由极值的性质，可求的值；()20f '=a （2）分类讨论和时在的最小值，使最小值满足小于或等于2即可.1a ≥01a <<()f x [)1,x ∞∈+【详解】（1）. ()()()123ax x f x x-+='因为在时取得极值，()f x 2x =所以，解得. ()()()21223202a f '-⨯+==12a =经检验，满足题意. 12a =（2）令，解得（舍去）. ()0f x '=1x a =32x =-当时，，当时，，所以在上单调递增. 1a ≥11a≤[)1,x ∞∈+()0f x ¢>()f x [)1,+∞故.()min ()142f x f a ==-因为存在，使得，所以，即，[)1,x ∞∈+()2f x ≤min ()422f x a =-≤1a ≤结合，解得.1a ≥1a =当时，.当时，；当时，. 01a <<11a >11,x a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()0f x '<1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>所以在上单调递减，在上单调递增. ()f x 11,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故. min 11()33ln f x f a a a ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭因为存在，使得，所以. [)1,x ∞∈+()2f x ≤min 1()33ln 2f x a a =-+≤函数在定义域内单调递增，， ()()133ln 01g a a a a=-+<<()12g =结合，可得的解集为 01a <<133ln 2a a -+≤()0,1综上，的取值范围为.a (]0,121．已知函数.()()ln 2,e 1x f x x x x g x x =+=+(1)求的单调区间；()f x (2)证明：.()()f x g x <【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为()3e ,∞-+()30,e -(2)证明见解析【分析】（1）利用导数研究函数单调性；（2）要证，即证，将指数函数与对数函数分离，即证()()f x g x <ln 2e 1x x x x x +<+1ln 2e x x x-+<；构造函数，借助导数及中间函数得证.【详解】（1）.令，解得.()ln 3f x x ='+ln 30x +=3x e -=当时，；当时，.3e x ->()0f x ¢>30e x -<<()0f x '<故的单调递增区间为，单调递减区间为. ()f x ()3e ,∞-+()30,e -（2）要证，即证，即证. ()()f x g x <ln 2e 1x x x x x +<+1ln 2e x x x -+<令函数，则. ()1ln 22h x x x x =-+-()22211212x x h x x x x '-++=+-=令，解得或. 22210x x x-++=12x =-1x =当时，；当时，.1x >()0h x '<01x <<()0h x '>所以的单调递增区间为，单调递减区间为.()h x ()0,1()1,+∞，所以. ()()110h x h ≤=-<1ln 22x x x-+<令函数，则.()e 2x u x x =-()e 2x u x '=-当时，；当时，.ln2x >()0u x '>0ln2x <<()0u x '<所以的单调递增区间为，单调递减区间为.()u x ()ln2,+∞()0,ln2，所以.()()ln222ln20u x u ≥=->e 2x x >故，即得证. 1ln 2e x x x-+<()()f x g x <【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相当大，主要考向有以下几点：1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；3、求函数的极值（最值）；4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；5、证明不等式；解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.22．已知函数，且曲线在处的切线方程为()12e x f x ax bx b -=++-()y f x =1x =()3e e 3y x =-+-(1)求的值；,a b (2)证明：对任意的恒成立.（参考数据：）()1,0x f x ≥≥ln20.69≈【答案】(1)1,4e a b =-=-(2)证明见解析【分析】（1）由导数几何意义可以求解；（2）利用导数求出函数在上的最小值，即可得证.[)1,+∞【详解】（1）因为，所以，()12e x f x ax bx b -=++-()1e 2x f x ax b -=++'则 (1)10,(1)123e f a b b f a b =++-=⎧⎨=++=-'⎩解得.1,4e a b =-=-（2）证明：由（1）可得，则.()()12e 4e e 4x f x x x -=-+-+-()1e 24e x f x x -=-+-'设，则.()()1e 24e x g x f x x -=-+'=-()1e 2x g x -=-'当时，，当时，，[)1,ln21x ∈+()0g x '<()ln21,x ∞∈++()0g x '>则在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在()g x [)1,ln21+()ln21,∞++()f x '[)1,ln21+上单调递增.()ln21,∞++因为，()()()13e 0,ln2142ln2e 0,20f f f =->+=-<'-'='所以存在唯一的，使得.[)01,ln21x ∈+()00f x '=当时，，当时，，[)()01,2,x x ∞∈⋃+()0f x ¢>()0,2x x ∈()0f x '<故在和上单调递增，在上单调递减.()f x [)01,x ()2,+∞()02x ,因为，所以，()()120f f ==min ()0f x =则对任意恒成立. ()0f x ≥[)1,x ∞∈+。

2023-2024学年陕西省高二下册综合评价数学模拟试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若69a =，945S =，则数列{}n a 的公差为（）．A ．2B ．－2C ．6D ．4【正确答案】D【分析】由题可得95945S a ==，即得.【详解】∵95945S a ==，∴55a =，∴数列{}n a 的公差为654a a -=．故选：D ．2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60A =︒，b =三角形有两个，则a 满足的条件是（）A3a <B a <<C ．3a <<D a <【正确答案】C【分析】为使此三角形有两个，只需满足b sin A ＜a ＜b ，即可求a 范围．【详解】为使此三角形有两个，即b sin A ＜a ＜b ，∴2＜a ＜3＜a ＜故选：C ．本题考查三角形解的情况，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．3．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第19项是（）A ．200B ．182C ．180D ．181【正确答案】C【分析】由已知数列可得n 为偶数时，22n n a =，n 为奇数时，212n n a -=，然后逐个分析判断即可.【详解】观察此数列可知，当n 为偶数时，22n n a =，当n 为奇数时，212n n a -=.所以，2191911802a -==，所以C 正确，故选：C.4．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且满足22383829,0n a a a a a ++=<，则10S 等于（）A ．9-B ．11-C ．13-D ．15-【正确答案】D【分析】根据等差数列的性质利用11038+=+a a a a ，代入等差数列的求和公式即可.【详解】2223838382()9a a a a a a ++=+= ，0n a <，383a a ∴+=-，110103810()10()1522a a a S a +∴==-+=，故选：D5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A =45°，a =6，bB 的大小为（）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°【正确答案】A【分析】先由正弦定理求出sin B =12，可得B =30°或B =150°，再由a >b ，得A >B ，从而可求出B =30°.【详解】由正弦定理得sin sin b aB A=，即6sin sin 45B =︒，解得sin B =12，又B 为三角形内角，所以B =30°或B =150°，又因为a >b ，所以A >B ，即B =30°.故选：A.6．在等比数列{}n a 中，5sin15a ︒=，则28a a =（）ABCD【正确答案】A【分析】根据等比中项性质和二倍角的余弦公式即可求解.【详解】由等比数列的性质可得2228511cos3022sin 15224a a a ︒︒--=====.故选：A.7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中错误的是（）A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >【正确答案】D【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项．【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确；对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确，故选：D8．若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC 是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】B【分析】化简()()3a b c b c a bc +++-=，结合余弦定理可得3A π=，再利用正余弦定理对sin 2sin cos A B C =化简可得b c =，从而可判断出ABC 的形状【详解】由()()3a b c b c a bc +++-=，得22()3b c a bc +-=，化简得222b c a bc +-=，所以由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为()0,A π∈，所以3A π=，因为sin 2sin cos A B C =，所以由正余弦定理角化边得22222a b c a b ab+-=⋅，化简得22b c =，所以b c =，所以ABC 为等边三角形，故选：B9．已知数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n =--，则122019a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．3028-B ．3027-C ．3027D ．3028【正确答案】A【分析】根据数列{}n a 的通项公式，()()()1220191234201720182019a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++++++ ，利用并项求和法即可得出答案.【详解】解：由()()132nn a n =--，得()()122019147106055a a a ++⋅⋅⋅+=-++-+++- ()()()147106055=-++-+++- 3100960553028=⨯-=-.故选：A.10．锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，如果B ＝2A ，则ba的取值范围是()A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．D ．2)【正确答案】C【详解】解：因为B ＝2A ，故sinB=sin2A,sin sin 22cos ,02,03sin sin 22cos 2cos 64B b A A A A A a A A A A ππθππ===<<<-<∴<<∴<< 故所求的范围是选C11．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n b 是正项等比数列，若11a b =，77a b =，则（）A ．44a b =B ．55a b <C ．88a b >D ．99a b <【正确答案】D由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.【详解】等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，*n ∈N ，图象中的孤立的点在一条直线上，而等比数列{}n b 的通项公式是关于n 的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，如图所示当0d >时，如下图所示，当公差0d <时，如下图所示，如图可知当1177,==a b a b 时，44a b >，55a b >，88a b <，99a b <.故选：D关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项.12．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S ，其中a 、b 、c 分别为ABC 内角A 、B 、C 的对边.若2b =，tanC =，则ABC 面积S 的最大值为A ．3B CD【正确答案】C【分析】将已知等式进行化简并利用正弦定理可得c，代入“三斜求积”公式即可计算得解．【详解】∵sin tancos CC C==，则sin C sin B cos C +cos B sin C （B +C ）A ，由正弦定理得c ，∵b ＝2，△ABC 的面积S =，∴当24a =即a ＝2时，△ABC 的面积S 故选C ．本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查二次函数求最值问题，考查转化思想，属于中档题．二、填空题13．在ABC 中，60A =︒，2AB =，且ABC 的面积2ABCS =，则边BC 的长为________.【分析】利用面积公式1sin 2ABCSAB AC A =⋅⋅，可求解AC ，再由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，可得解.【详解】由面积公式：1sin 2ABCS AB AC A =⋅⋅=1AC ∴=由余弦定理：22212cos 4122132BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=BC ∴=本题考查了面积公式，余弦定理综合应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.14．已知等比数列{} n a 的前n 和为 n S ，若435,,a a a 成等差数列，且 22k S =，163k S +=-，则2 k S +的值为_______________．【正确答案】107【分析】根据等比数列和等差数列的通项公式，根据题意列方程可得2341112a q a q a q =+，从而求出2q =-或1q =，再根据163k S +=-，确定2q =-，进而求出212(85)170k k a qa ++==-⨯-=，代入记得.212 =63170107k k k S S a ++++=-+=【详解】由题意可设等比数列{} n a 的公比为q ，首项为1a ，由435,,a a a 成等差数列可得：3452a a a =+，代入可得：2341112a q a q a q =+，解得：2q =-或1q =，又因为163k S +=-，易知2q =-，又因为22k S =，1185k k k a S S ++=-=-，所以212(85)170k k a qa ++==-⨯-=，212 =63170107k k k S S a ++++=-+=，故107.本题考查了等差中项和等比数列的通项公式，考查了n a和n S的关系，同时考查了计算能力，属于中档题.15．如图，在离地面高200m的热气球M上，观察到山顶C处的仰角为15 ，山脚A处的俯角为45 ，已知60BAC∠= ，则山的高度BC为__________m.【正确答案】300m【分析】首先在AMD中，求得AM=MAC△，利用正弦定理求得AC=ABC中，利用直角三角形的性质，即可求解.【详解】在直角AMD中，可得的45,200MAD MD∠==，所以sin45MDAM==因为MAC△中，451560,180456075AMC MAC∠=+=∠=--=，所以18045MCA AMC MAC∠=-∠-∠=，由正弦定理，可得sinsinMA AMCACMCA∠==∠，在直角ABC中，因为60BAC∠=，可得sin300mBC AC BAC=∠=.故300m16．已知如图的一个数阵，该阵第n行所有数的和记作n a，12311111,11,11,2242a a a==++=++++ ，数列{}n a的前n项和记作n S，则下列说法正确的是__________.①1342n n a -=-②132n n na a +-=③522716S =④3462n nS n =-+【正确答案】①②③【分析】根据等比数列的前n 项和公式可求得1342n n a -=-，判断①；利用1342nn a -=-可求出1n n a a +-，判断②；由1342n n a -=-可得01111143()222n n S n -=-+++ ，继而化简求得n S ，继而求得5S ，判断③④.【详解】由题意得1121111()11()11111221111242221122n n n n n a ---⎡⎤⎡⎤⨯-⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=++++++++=+-- 1342n -=-，①正确；113334(4)222n n n n na a +--=---=，②正确；由1342n n a -=-可得01111143()222nn S n -=-+++ ，即1111()3243461212[]n n n S n n -⨯-=-⨯=-+-，则543227206216S =-+=，③正确，④错误，故①②③三、解答题17．已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()2cos 3πsin 02b c AB a+⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，ABC外接圆的半径为.(1)求A 的值；(2)若ABCS=ABC 的周长.【正确答案】(1)2π3A =(2)+【分析】（1）根据诱导公式和正弦定理边化角结合两角和的正弦公式即可求得1cos 2A =-，即得答案；（2）根据三角形外接圆半径和角A 可求得a ，再利用余弦定理求得b c +=答案.【详解】（1）依题意由()2cos 3πsin 02b c AB a+⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，可得()2cos cos 0b c A a B ++=，由正弦定理得()sin 2sin cos sin cos 0B C A A B ++=，则()2sin cos sin 0C A A B ++=，故2sin cos sin 0C A C +=，而(0,π),sin 0C C ∈∴≠，故2cos 10A +=，则1cos 2A =-，而()0,πA ∈，故2π3A =.（2）因为ABC 外接圆的半径为R =2π3A =，故由正弦定理，得2sin a R A ==，又12πsin 234S bc bc ===96bc =，由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，得222()336b c bc b c bc ++=+-=，又96bc =，故2()432b c +=，则b c +=，则ABC 的周长为18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =，数列{}n b 是等比数列，13b =，7427b b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】（1）21n a n =-，3n n b =；（2）()23312n n T n =+-．【分析】（1）由题意，利用1n n n a S S -=-，求得数列{}n a 的通项公式21n a n =-，设等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意列出方程求得3q =，进而求得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）知21n a n =-，3n n b =，根据n n n c a b =+，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，适合上式，所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-，又由数列{}n b 是等比数列，设等比数列{}n b 的公比为q ，因为13b =，7427b b =，可得633273q q =⨯，即327q =，解得3q =，所以数列{}n b 的通项公式为111333n n n n b b q --==⨯=.（2）由（1）知21n a n =-，3n n b =，又由n n n c a b =+，数列{}n c 的前n 项和1212()()n n n T a a a b b b =+++++++ ()2(121)3(13)2133312n n n n n +--=+=-+-.19．ABC ∆的内角,,A B C的对边分别为,,,a b c 已知sin 0,22A A a +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.【正确答案】（1）23π，4；（2【详解】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan A =从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2）先根据余弦定理求出cos C ，求出CD 的长，可得12CD BC =，从而得到12ABD ABC S S ∆∆=，进而可得结果.试题解析：（1）sin 0,tan A A A =∴= 20,3A A ππ<<∴=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.(2)2222cos c b a ab C =+-Q，1628422cos C ∴=+-⨯⨯，2cos 2cos AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=，1142222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=12ABD ABC S S ∆∆∴==.20．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足14a =，12b =，2221a b =-，332a b =+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前60项和60S .【正确答案】（1）31n a n =+，2n n b =；（2）5014.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由2242214542221d q d q d q d q +=⋅-=-⎧⎧⇒⎨⎨+=⋅+=-⎩⎩，∴2q =，3d =，∴31n a n =+，2n n b =.（2）当{}n c 的前60项中含有{}n b 的前6项时，令71273121283n n +<=⇒<，此时至多有41748+=项（不符）.当{}n c 的前60项中含有{}n b 的前7项时，令831225685n n +<=⇒<，且22，42，62是{}n a 和{}n b 的公共项，则{}n c 的前60项中含有{}n b 的前7项且含有{}n a 的前56项，再减去公共的三项.∴35760565556432222484417050142S ⨯⎛⎫=⨯+⨯++++=+= ⎪⎝⎭.关键点点睛：本题解题的关键点是分析新数列{}n c 是由{}n a 和{}n b 中的哪些选项构成的，还要注意去掉公共项.21．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？【正确答案】（1）=1040AB m （2）3537（3）1250625[,4314（单位：m/min ）【详解】（1）在ABC ∆中，因为12cos 13A =，3cos 5C =，所以5sin 13A =，4sin 5C =，从而[]sin sin ()B AC π=-+sin()A C =+5312463sin cos sin cos 13513565A C C A =+=⨯+⨯=．由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604sin 104063sin 565AC AB C B =⨯=⨯=（m ）．（2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(10050)m t +，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得22212(10050)(130)2130(10050)13d t t t t =++-⨯⨯+⨯2200(377050)t t =-+，由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理sin sin BC AC A B =，得12605sin 50063sin 1365AC BC A B =⨯=⨯=（m ）．乙从B 出发时，甲已走了50(281)550⨯++=（m ），还需走710m 才能到达C ．设乙步行的速度为/min vm ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：/min m ）范围内．正弦、余弦定理在实际问题中的应用.【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.。

1 / 182023-2024学年上海市静安区高二下学期6月期末数学教学质量调研试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分．1．抛物线的准线方程为.24x y =-2．某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是．3．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .4．已知点，平面经过原点，且垂直于向量，则点到平面的()1,2,1A --αO ()1,1,3n =-A α距离为5．某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：，得到的频率分布直方图如图所示，[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为．6．了解某中学学生的身高情况，采用分层随机抽样的方法抽取了30名男生，20名女生．已知男生身高的平均数为170cm ，方差为16，女生身高的平均数为165cm ，方差为25，则可估计该校学生的方差为．7．设，P 为双曲线右支上一动点.若点P 到直线的距离大于c 恒成R c ∈221x y -=10x y -+=立，则c 的最大值为 .8．三位好友进行乒乓球循环赛，先进行一局决胜负，负者下，由挑战､的A B C ､､A B ､C A B 胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者下一局再接受第三人的挑战，依此进行.假设三人水平接近，任意两人的对决获胜的概率都是且不受体力影响，已知三人共比赛了3局，0.5那么这3局中三人各胜一局的概率为.9．给定数列，则对所有最大值为{}2,918n n a a n n =-+-(),,,0,n m m n m n m n S S <∈>-N ．10．设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，0a b >>22221x y a b +=1e 2222212x y b a b -=-2e 若，则的取值范围是 ．121e e <21e e 11．在棱长为1的正方体中，点F 是棱的中点，P 是正方体表面上的一1111ABCD A B C D -1CC 点，若，则线段长度的最大值为．1D P AF ⊥1D P 12．空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，a b 2a b ×= 1=b t 使得成立，则由构成的空间几何体的体积是 .20a a tb -+≥ a 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分．13．下列统计量中，不能度量某样本离散程度的是（ ）A．方差B ．极差C ．中位数D ．标准差14．已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等,则点的轨迹是P P A ．椭圆B ．圆C ．双曲线D ．抛物线15．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，过1111ABCD A B C D -E F AB 1DD 点，，的平面交于点，则（ ）1B E F αAD G AG =3/ 18A ．B ．C ．D ．1323344316．小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成111111ABCDEF A B C D E F -了斜六棱柱，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为和，斜111111ABCDEF A B C D E F -1V 1S棱柱的体积和侧面积分别为和，则（ ）.2V 2S A ．B ．C ．D ．与的大小关系1212V V S S >1212V V S S <1212V V S S =11V S 22V S 无法确定三、解各题（本大题满分78分）本大愿共有5题．17．从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个.构成数对，x 为第一(),x y 次取到的数字，y 为第二次取到的数字．设事件“第一次取出的数字是1”，“第二次取A =B =出的数字是2”．(1)写出此试验的样本空间及的值；()(),P A P B (2)判断A 与B 是否为互斥事件，并求．()P A B 18．已知，设直线：，直线.m ∈R 1l10x my -+=2l 440mx y m --+=(1)若，求m 的值；12l l ∥(2)当与相交时，求交点I 的坐标（用m 表示），并证明点I 恒在一条定直线上.1l 2l 19．如图所示，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴AO 的截面是等边三角形SAB ，点2m r =Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．(1)求此圆锥的体积和表面积；(2)求异面直线PQ 与SO 所成角的大小；(3)若一只蚂蚁从Q 点沿着圆锥的侧表面爬至P 点，请你能否作出合情的假设，来估算该蚂蚁行程的最小值（精确到0.01m ）．20．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，Γ22221x y a b +=0a b >>1F ()2F )点P 是上一点，直线l （）．Γ0y -=m ∈R(1)当时，已知直线l 恰经过的右顶点A ，求m 的值；b Γ(2)当P 同时是l 上一点且，求a 的值；m =12π6F PF ∠=(3)设直线交l 于点Q ，对每一个给定的，任意满足的实数a ，都有2PF m ∈R 223(1)4a m ≤+成立．则当m 变化时，求的最小值．21||2QF a≥2||QF 21．有限数列，若满足，是项数，则称满足性质.{}n a 12131||||||m a a a a a a -≤-≤≤- m {}n a p （1）判断数列和是否具有性质，请说明理由.3,2,5,14,3,2,5,1p （2）若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围.11a =q p q（3）若是的一个排列都具有性质，求所n a 1,2,...,m 1(4),(1,2...1),{},{}k k n n m b a k m a b +≥==-p 有满足条件的.{}n a5 / 181．1y =根据抛物线的性质得结论．【详解】由抛物线方程得，焦点为，准线方程为．2p =(0,1)-1y =故．1y =2．##32.5652【分析】根据茎叶图中数据，利用百分位数的定义计算即可.【详解】因为，所以该小组成员年龄的第25百分位数是，1225%3⨯=1(3233)32.52⨯+=故答案为.32.53．【详解】由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1..4【分析】求出，再利用点到平面的距离公式，求出答案.AO【详解】由题知，设点到平面的距离为，()1,2,1AO =-A αd则AO n d n ⋅===所以点到平面Aα故答案为5．220【分析】由频率分布直方图的面积和为求出，再计算出结果即可.1a【详解】由频率分布直方图可知，解得()0.0100.0100.0250.0150.005101a +++++⨯=，0.035a =这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为，()4000.0350.0150.00510220´++´=故2206．25.6【分析】利用分层抽样的平均数公式、方差公式计算即得.【详解】由分层随机抽样抽取的样本中男生有30人，女生有20人，得男生所占的权重为，女生所占的权重为，13030.630205w ===+210.60.4w =-=而男生身高的平均数，方差，女生身高的平均数，方差，1170cm x =2116s =2165cm x =2225s =估计该校学生身高的平均数，11220.61700.4165168x w x w x =+=⨯+⨯=方差22222111222[()][()]s w s x x w s x x =+-++-.220.6[16(170168)]0.4[25(165168)]25.6=⨯+-+⨯+-=故25.67【分析】依据题意将题目转化为平行线间距离的最值问题，利用平行线间距离公式建立方程，求解参数值即可.【详解】由双曲线方程可得，则双曲线的一条渐近线方程为，221,x y -=1,1a b ==y x =因为双曲线无限接近于渐近线，且显然直线与直线平行，y x =10x y -+=7 / 18则两直线之间的距离即为的最大值，此时d cc d ===8．##140.25【分析】根据相互独立事件和概率的加法公式进行计算可得答案.【详解】设比赛A 获胜为事件M ，比赛C 获胜为事件N ，比赛B 获胜为事件A B ､,A C C B ､Q ，且相互独立，则，,,M N Q ()()()12P M P N P Q ===设三人共比赛了3局，三人各胜一局的概率为D ，则()()()()()()()P D P M P N P Q P M P Q P N =+.11111112222224=⨯⨯+⨯⨯=故答案为.149．4【分析】根据题意，由数列的通项公式可得，即可得到的最大值是，360a a ==n m S S -53S S -然后代入计算，即可得到结果.【详解】由可得或，即，29180n a n n =-+-=3n =6n =360a a ==又函数的图像开口向下，()2918f x x x =-+-所以数列的前3项为负数，当时，数列中的项均为负数，{}n a 6n >在的前提下，的最大值是，m n <n m S S -5345S S a a -=+其中，24449182a =-+⨯-=25559182a =-+⨯-=所以5345224S Sa a -=+=+=故410．【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心率，根据及即可求得的范围．121e e <2220a b ->21e e 【详解】解：由题意知椭圆的，双曲线的，2221c a b =-22222222c b a b a b =+-=-则椭圆与双曲线共焦点，设，则，，12c c c ==1c e a =2ce b =，，212c e e ab ∴=21e a e b =，121e e < ，2221c a b a bab ab b a -∴==-<设，则，at b=>11t t -<解得，即0t <<0a b <<又，且，2220a b -> 0a b >>，ab ∴>故的取值范围是．21e e故11．##32 1.5【分析】建立空间直角坐标系，作出辅助线，证明出⊥平面，故点在平面AF 11D EHB P 上，故当点重合时，线段长度取得最大值，求出最大值.11D EHB ,P H 1D P 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标D 1,,DA DC DD ,,x y z 系，取的中点，的中点，连接，CD E BC H EH 则，()()()()()()110,0,1,0,0.5,0,0.5,1,0,1,1,1,0,1,0.5,1,0,0D E H B F A 则，()()()()1111,1,0.5,0,0.5,1,1,1,0,0.5,0.5,0AF D E D B EH =-=-==9 / 18，故平行，112D B EH = 11,D B EH故，()()11,1,0.50,0.5,100.50.50AF D E ⋅=-⋅-=+-=，()()111,1,0.51,1,0110AF D B ⋅=-⋅=-+=故⊥，⊥，AF 1D EAF 11D B 又，平面，1111D E D B D = 111,D E D B ⊂11D EHB 故⊥平面，AF 11D EHB 故点在平面上，P 11DEHB 故当点重合时，线段长度取得最大值，，,P H 1D P ()()()10.5,1,00,0,10.5,1,1D H =-=-故.1D P 32=故3212．##89π89π【分析】由不等式有解，结合数量积运算，求得且，可得围成的a ≤2a b ×= 1= b a 空间几何体是以原点为顶点，高为2.【详解】由已知得，所以，224a a tb ≥+ 2223840a tab t b +⋅+≤ 所以存在实数，使得不等式有解，t 2241630t t a ++≤则有，解得()22Δ164430a =-⨯⨯≥a ≤又因为且，所以在方向上的数量投影是，2a b ×=1=b a b 2所以围成的空间几何体是以原点为顶点，高为a2故由构成的空间几何体的体积为.a 218ππ239⋅⋅=故答案为.8π913．C【分析】利用中位数、极差、方差、标准差的意义判断即可.【详解】在统计量中，极差、方差、标准差都是刻画某样本离散程度的量，中位数是刻画某样本集中趋势的量，所以不能度量某样本离散程度的是中位数.故选：C 14．B【详解】如图，建立直角坐标系依题意可得，10,15,20,OA BC OB APO BPC===∠=∠则(0,0),(0,10),(20,0),(20,15)O A B C 设，因为，所以(,)P x y APO BPC ∠=∠tan tan APOBPC ∠=∠则，即OABC OPBP==化简可得，即22323200x x y ++-=22(16)576x y ++=11 / 18所以点轨迹为圆，故选B P 15．D【分析】通过平行得到平面与的交点，从而得到与面的交线，再由平行得到11C D H 1111D C B A 与平面的交线，从而确定点的位置，根据为的四等分点得到G 为AD 的三等ABCD G H 11C D 分点，从而得到的长.AG【详解】如图，平面与平面的交线与平行，即过点作的平行线，交于点1B EF 11CC D D 1B E F 1B E 11C D ，连接，H 1B H 因为，分别为棱和的中点，所以为的四等分点,E F AB 1DD H 11C D 过点作，交于点.从而G 为AD 的三等分点，故.E 1EG B H AD G 24233AG =⨯=故选：D.16．A【分析】根据柱体体积、表面积的求法，分别表示出和，分析即可得答案.11V S 22V S 【详解】设底面面积为S ，底面周长为C ，则，，所以，11V S AA =⋅11S C AA =⋅11V S S C =设斜棱柱的高为，则，h 2V S h =⋅2AB BC CD DE EF FAS AB h BC h CD h DE h EF h FA h =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯,()AB BC CD DE EF FA h Ch >+++++⨯=所以.2121V V Sh S S Ch C S <==故选：A17．(1)14(2)512【分析】（1）根据题意直接写出样本空间的所有基本事件，再分析满足的基本事件求解即可；（2）判断是否能同时发生即可判断与是否为互斥事件，再结合（1）可得；()P A B 【详解】（1）样本空间：，()()()()()()()()()()()(){}0,1,0,2,0,3,1,0,1,2,1,3,2,0,2,1,2,3,3,0,3,1,3,2Ω=所以.因为，，()12n Ω={(1,0),(1,2),(1,3)}A ={(0,2),(1,2),(3,2)}B =所以，.从而，.()3n A =()3n B =31()124P A ==31()124P B ==（2）因为，故与不是互斥事件.{(1,2)}A B = A B 又.所以.{(1,0),(1,2),(1,3),(0,2)(3,2)}A B = ()5n A B = 从而.5()12P A B =18．(1)2m =-(2)，点I 恒在定直线上22,22m I m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭210x y +-=【分析】（1）根据直线平行的条件列方程可得，然后验证是否重合可得；m （2）联立直线方程求解可得点I 的坐标，然后消参可知点I 在定直线上.【详解】（1）因为，所以，解得，12l l ∥1(4)()m m ⨯-=-⨯2m =±当时，直线：，直线：即，显然此时两直线2m =1l210x y -+=2l 2420x y -+=210x y -+=重合，当时，直线：，直线：即，符合题意，2m =-1l210x y ++=2l 2460x y --+=230x y +-=故.2m =-（2）由（1）知，当，相交时，1l 2l 2m ≠±13 / 18联立，解得，∴，10440x my mx y m -+=⎧⎨--+=⎩2222m x m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩22,22m I m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭因为，即，222221222m m x y m m m -⨯++=+==+++210x y +-=所以点I 恒在定直线上.210x y +-=19．(1)；表面积3212πm (2)(3)能；2.95m【分析】(1)利用圆锥体积公式和表面积公式求解；(2)根据空间向量的坐标运算求异面直线所成的角；(3)利用侧面展开图，根据两点之间直线最短求解.【详解】（1）因为，所以，2m r=24mSB AB r ===，=所以圆锥的体积为，31π3V =表面积为.221π2π12πm 2S r r SB =+⨯⨯=（2）建立如图所示空间直角坐标系，则,(0,0,(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),S O A Q P 所以,(0,0,(2,1,SO PQ =-=-设异面直线PQ 与SO 所成角为，α则cos cos ,SO PQ α=< 所以异面直线PO 与SO 所成角为（3）将该圆锥的侧面夹在母线的部分展开，如图，,SQ SA 连接，PQ 因为，，12ππ4AQ r =⨯= π4AQ ASQ SA ∠==所以中，由余弦定理可得，SPQ2222cos 20PQ SP SQ SP SQ ASQ =+-⋅∠=-.2.95m≈20．(1)3m =(2)3a =【分析】（1）利用椭圆参数的几何意义，再由直线过右顶点，即可求出；,,a b c m （2）由椭圆焦半径三角形，结合已知两角和焦距，即可解得；a （3）用几何意义得到的最小值，从而得到的关系，再结合已知条件去解出的范2QF ,a mm 围，即可求解问题.【详解】（1）由得：，所以右顶点，b c 222639a b c =+=+=()30A ，得.y -=03m =⇒=（2）15/ 18当时, 直线l经过焦点，m =30y --=2F 点P 是上一点且P 同时是l 上一点，则如图可知：，Γ12π6F PF ∠=又因为直线l ，2π3PF A ∠=用三角形的外角等于不相邻的两内角和可知：，12πππ366PFF =-=∠即，再由余弦定理得：，212==2PF F F 222121221212=+2cos 36PF PF F F PF FF F F P-∠=即，1=6PF 由椭圆的定义得.12263a PF PF a =+=+⇒=（3）由几何性质可知的最小值是点到直线l 的距离，2QF 2F 0y -=即d 由，即21||2QF a ≥2a 3a ≤-因为任意满足的实数a ，都有成立，223(1)4a m ≤+21||2QF a ≥即任意满足的实数a ，都有223(1)4a m ≤+3a ≤-则，即：，()223(1)34m +≤23110m -+≥解得：或，m ≤m ≥所以当m 变化时， 或31≥31≤-即或31-3-而的最小值为2QF所以.2||QF 关键点点睛：对任意满足的实数a ，都有成立的充要条件是223(1)4a m ≤+21||2QF a ≥，从而问题得以求解.()223(1)34m +≤21．（1）第一个数列具有性质，第二个数列不具有性质；理由见解析；（2）p p ；（3）答案见解析.(](),20,q ∈-∞-+∞ 【分析】（1）结合题设中的定义可判断给定的两个数列是否具有性质；p （2）等比数列具有性质等价于对任意的恒成立，p ()11(1)120n n q qq q --⎡⎤-+-≥⎣⎦,2n N n ∈≥就分类讨论后可得的取值范围.1,01,10,1q q q q ≥<<-≤<<-q（3）设，先考虑均不存在具有性质的数列，再分别考虑1=a p{}3,4,3,2p m m ∈--…,p 时具有性质的数列，从而得到所求的数列.1,2,,1p m m =-p 【详解】（1）对于第一个数列有，满足题意，该数列满足性质|23|1,|53|2,|13|2-=-=-=p 对于第二个数列有不满足题意，该数列不满足性质.|34|1,|24|2,|54|1-=-=-=p （2）由题意可得，{}111,2,3,...,9n n q q n --≥-∈两边平方得： 2221212+1n n n n q q qq ---+≥-整理得：()11(1)120n n q q q q --⎡⎤-+-≥⎣⎦当时，得， 此时关于恒成立，1q ≥1(1)20n q q -+-≥2n ≥所以等价于时，所以，2n =(1)20q q +-≥(2)(1)0q q +-≥所以或者，所以取.2q ≤-1q ≥1q ≥17 / 18当时，得， 此时关于恒成立，01q <<1(1)20n q q -+-≤n 所以等价于时，所以，2n =(1)20q q +-≤(2)(1)0q q +-≤所以，所以取.21q -≤≤01q <≤当时，得.10q -≤<11(1)20n n q q q --⎡⎤+-≤⎣⎦当为奇数的时候，得， 很明显成立，n 1(1)20n q q -+-≤当为偶数的时候，得， 很明显不成立，n 1(1)20n qq -+-≥故当时，矛盾，舍去.10q -≤<当时，得.1q <-11(1)20n n qq q --⎡⎤+-≤⎣⎦当为奇数的时候，得， 很明显成立，n 1(1)20n qq -+-≤当为偶数的时候，要使恒成立，n 1(1)20n q q -+-≥所以等价于时，所以，2n =(1)20q q +-≥()()021q q +-≥所以或者，所以取.2q ≤-1q ≥2q ≤-综上可得，.(](),20,q ∈-∞-+∞ （3）设，，1=a p{}3,4,3,2p m m ∈--…,因为， 故，12131||||||m a a a a a a -≤-≤≤- 12||1a a -=所以可以取或者，2a 1p -1p +若，，则，1a p =21a p =-31a p =+故或（舍，因为），42a p =+42a p =-3242a a a a ->-所以（舍，因为）.52a p =-3252a a a a ->-若，，则，1a p =21a p =+31a p =-故（舍，因为），或42a p =+3242a a a a ->-42a p =-所以（舍，因为）.52a p =+3252a a a a ->-所以均不能同时使，都具有性质.{}3,4,3,2p m m ∈--…,{}n a {}n b p当时，即有，1p =21311m a a a a a a -≤-≤≤- 故，故， 23m a a a ≤≤≤ 232,3,,m a a a m === 故有数列：满足题意.{}n a 1,2,3,1,m m -…,当时，则且，故，2p =21a =3122m a a ≤-≤≤- 33,,m a a m == 故有数列：满足题意.{}n a 2,1,3,1,m m -…,当时，，p m =12131m a a a a a a -≤-≤≤- 故，故， 23m a a a ≥≥≥ 231,2,,1m a m a m a =-=-= 故有数列：满足题意.{}n a ,1,321m m -…,,,当时，则且，1p m =-2a m =3111m m a m a ≤--≤≤-- 故，32,,1m a m a =-= 故有数列：满足题意.{}n a 1,,2,3,321m m m m ---…,,,故满足题意的数列只有上面四种.本题为新定义背景下的数列存在性问题，先确定时均不存在具有性质{}3,4,3,2p m m ∈--…,的数列是关键，依据定义枚举再依据定义舍弃是核心，本题属于难题.p。

山东省实验中学2024届高三调研考试数学试题2024.2说明：本试卷满分150分.试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设{}{}21,4,2,1,A x B x ==，若B A ⊆，则x =（）A.0B.0或2C.0或2- D.2或2-2.若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n =（）A.9B.10C.11D.123.已知向量()()1,3,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A.117B.17C.55D.2554.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A.24- B.3- C.3D.85.要得到函数cos 2y x =的图象，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴A.向左平移12π个单位 B.向左平移6π个单位C.向右平移6π个单位 D.向右平移12π个单位6.在三棱锥-P ABC 中，点M,N 分别在棱PC,PB 上，且13PM PC =，23PN PB =，则三棱锥P AMN -和三棱锥-P ABC 的体积之比为（）A.19B.29C.13D.497.为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x （单位：2dm ）与水生植物的株数y （单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型e (0)kx y c c =>去拟合x 与y 的关系，设ln ,z y x =与z 的数据如表格所示：得到x 与z 的线性回归方程2ˆˆ 1.z x a=+，则c =（）x3467z22.54.57A.-2B.-1C.2e -D.1e -8.双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左､右顶点分别为,A B ，曲线M 上的一点C 关于x 轴的对称点为D ，若直线AC 的斜率为m ，直线BD 的斜率为n ，则当9mn mn+取到最小值时，双曲线离心率为（）A.3B.4C.D.2二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足210z z ++=，则（）A.1i 22z =-+ B.1z =C.2z z= D.2320240z z z z ++++= 10.过线段()404x y x +=≤≤上一点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与,x y 轴分别交于点,M N ，则（）A.点O 恒在以线段AB 为直径的圆上B.四边形PAOB 面积的最小值为4C.AB 的最小值为D.OM ON +的最小值为411.已知函数())ln1f x x =+，则（）A.()f x 在其定义域上是单调递减函数B.()y f x =的图象关于()0,1对称C.()f x 的值域是()0,∞+D.当0x >时，()()f x f x mx --≥恒成立，则m 的最大值为1-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量X 服从二项分布B～（n，p），若E （X）=30，D （X）=20，则P=__________．13.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 为椭圆22143x y +=的右焦点，直线l 过点F 交抛物线于,A B 两点，且8AB =.直线12,l l 分别过点,A B 且均与x 轴平行，在直线12,l l 上分别取点,M N （,M N 均在点,A B 的右侧），ABN ∠和BAM ∠的角平分线相交于点P ，则PAB 的面积为__________.14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,M N 为体对角线1BD 的三等分点，动点P 在三角形1ACB 内，且三角形PMN 的面积263PMN S =△，则点P 的轨迹长度为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图所示，圆O 的半径为2，直线AM 与圆O 相切于点,4A AM =，圆O 上的点P 从点A 处逆时针转动到最高点B 处，记(],0,πAOP θθ∠=∈.（1）当2π3θ=时，求APM △的面积；（2）试确定θ的值，使得APM △的面积等于AOP 的面积的2倍.16.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，12AA AC CB AB ===.（1）证明：1//BC 平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的正弦值．17.盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，比赛结束后放回盒中.使用过的球即成为旧球.（1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；（2）设两局比赛后盒中新球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.18.已知函数()()21ln ,,2f x x a x a f x =∈'-R 是()f x 的导函数，()e x g x x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有唯一零点.①求实数a 的取值范围；②当0a >时，证明：()()4g x f x >'+.19.已知有穷数列12:n A a a a ，，，(3)n ≥中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1m n ≤≤的整数m ，令集合(){}12k A m k a m k n === ，，，，.记集合()A m 中元素的个数为()s m （约定空集的元素个数为0）.（1）若:63253755A ，，，，，，，，求(5)A 及(5)s ；（2）若12111()()()n n s a s a s a +++= ，求证：12,,,n a a a 互不相同；（3）已知12,a a a b ==，若对任意的正整数()i j i j i j n ≠+≤，，都有()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，求12n a a a +++ 的值.山东省实验中学2024届高三调研考试数学试题2024.2说明：本试卷满分150分.试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设{}{}21,4,2,1,A x B x ==，若B A ⊆，则x =（）A.0B.0或2C.0或2- D.2或2-【答案】C 【解析】【分析】根据B A ⊆，可得24x =或22x x =，结合集合元素性质分别求解即可.【详解】由B A ⊆得24x =或22x x =，即0x =或2x =或2x =-，当0x =时，{}{}1,4,0,1,0A B ==，符合题意；当2x =时，{}{}1,4,4,1,4A B ==，不符合元素的互异性，舍去；当2x =-时，{}{}1,4,4,1,4A B =-=，符合题意；综上，0x =或2x =-.故选：C .2.若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n =（）A.9B.10C.11D.12【答案】B 【解析】【分析】利用二项式系数的性质直接求解即可.【详解】因为22nx ⎫+⎪⎭的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式一共有11项，即10n =.故选：B3.已知向量()()1,3,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A.117B.1717C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】因为()()1,3,2,2a b ==，所以()()3,5,1,1a b a b +=-=-，所以()()·cos ,17a b a b a b a b a b a b+-+-==+-.故选：B.4.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A.24-B.3- C.3D.8【答案】A【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差()0d d ≠，由236,,a a a 成等比数列求出d ，代入6S 可得答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差()0d d ≠，∵等差数列{}n a 的首项为1，236,,a a a 成等比数列，∴2326a a a =⋅，∴()()()211125+=++a d a d a d ，且11a =，0d ≠，解得2d =-，∴{}n a 前6项的和为61656566122422（）⨯⨯=+=⨯+-=-S a d .故选：A.5.要得到函数cos 2y x =的图象，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴A.向左平移12π个单位 B.向左平移6π个单位C.向右平移6π个单位 D.向右平移12π个单位【答案】A 【解析】【分析】先用诱导公式把正弦型函数化为余弦型函数，然后根据图象的平移变换的解析式的特征变化，得到答案.【详解】sin 2sin 2cos 2cos[2(326612y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此该函数图象向左平移12π个单位，得到函数cos 2y x =的图象，故本题选A.【点睛】本题考查了已知变化前后的函数解析式，求变换过程的问题，考查了余弦函数图象变换特点.6.在三棱锥-P ABC 中，点M,N 分别在棱PC,PB 上，且13PM PC =，23PN PB =，则三棱锥P AMN -和三棱锥-P ABC 的体积之比为（）A.19B.29C.13D.49【答案】B 【解析】【分析】分别过,M C 作,MM PA CC PA ''⊥⊥,垂足分别为,M C ''.过B 作BB '⊥平面PAC ，垂足为B '，连接PB ',过N 作NN PB ''⊥,垂足为N '.先证NN '⊥平面PAC ，则可得到//BB NN ''，再证//MM CC ''.由三角形相似得到13MM CC ''=，'2'3NN BB =，再由P AMN N PAMP ABC B PACV V V V ----=即可求出体积比.【详解】如图，分别过,M C 作,MM PA CC PA ''⊥⊥,垂足分别为,M C ''.过B 作BB '⊥平面PAC ，垂足为B '，连接PB ',过N 作NN PB ''⊥,垂足为N '.因为BB '⊥平面PAC ，BB '⊂平面PBB '，所以平面PBB '⊥平面PAC .又因为平面PBB ' 平面PAC PB '=，NN PB ''⊥，NN '⊂平面PBB '，所以NN '⊥平面PAC ，且//BB NN ''.在PCC '△中，因为,MM PA CC PA ''⊥⊥，所以//MM CC ''，所以13PM MM PC CC '=='，在PBB '△中，因为//BB NN ''，所以23PN NN PB BB '=='，所以11123231119332PAM P AMN N PAMP ABC B PACPAC PA MM NN S NN V V V V S BB PA CC BB ----⎛⎫'''⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭====⎛⎫'''⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.故选：B7.为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x （单位：2dm ）与水生植物的株数y （单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型e (0)kx y c c =>去拟合x 与y 的关系，设ln ,z y x =与z 的数据如表格所示：得到x 与z 的线性回归方程2ˆˆ 1.z x a=+，则c =（）x3467z22.54.57A.-2B.-1C.2e -D.1e -【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，求得5,4x z ==，进而代入回归方程可求得ˆ2a=-，从而得出ˆ 1.22zx =-，联立ln z y =，即可求得本题答案.【详解】由已知可得，346754x +++==，2 2.5 4.5744z +++==，所以，有ˆ4 1.25a =⨯+，解得ˆ2a =-，所以，ˆ 1.22zx =-，由ln z y =，得ln 1.22y x =-，所以， 1.222 1.2e e e x x y --==⋅，则2e c -=.故选：C .8.双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左､右顶点分别为,A B ，曲线M 上的一点C 关于x 轴的对称点为D ，若直线AC 的斜率为m ，直线BD 的斜率为n ，则当9mn mn+取到最小值时，双曲线离心率为（）A.3B.4C.D.2【答案】D【解析】【分析】由题意9mn mn+利用均值定理可得3mn =，再利用双曲线的几何性质求解即可.【详解】设(,0),(,0),(,),(,)A a B a C x y D x y --，则ACy m k x a ==+，BD y n k x a -==-，所以222y mn x a-=-，将曲线方程22222x a y a b -=代入得22b mn a=-，又由均值定理得996mn mn mn mn +=+≥，当且仅当9mn mn =，即223bmn a==时等号成立，所以离心率2e ==，故选：D.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e （e 的取值范围）．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足210z z ++=，则（）A.1i 22z =-+ B.1z =C.2z z = D.2320240z z z z ++++= 【答案】BC【解析】【分析】设()i ,z a b a b =+∈R ，代入题干方程求解判断A ，求复数的模判断B ，根据复数乘方运算及共轭复数的定义判断C ，利用复数的周期性求和判断D.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，由210z z ++=得()()2i i 10a b a b ++++=，即()()2212i 0a b a ab b -++++=，所以221020a b a ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1i 22z =-+或122z =--，故选项A 错误；由13i 22z =-+，所以1z ==，由122z =--，所以1z ==，故选项B 正确；当13i 22z =-+时，所以2211i 2222z ⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，13i 22z =--，所以2z z =，当122z =--时，所以221313i i 2222z ⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，13i 22z =-+，所以2z z =，故选项C 正确；因为321(1)(1)0z z z z -=-++=，所以31z =，所以()()()2320242345620202021202220232024z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+++++++++++ ()()()232201722111z z z z z z z z z z =+++++++++++ ()00011=++++-=- ，故选项D 错误.故选：BC10.过线段()404x y x +=≤≤上一点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与,x y 轴分别交于点,M N ，则（）A.点O 恒在以线段AB 为直径的圆上B.四边形PAOB 面积的最小值为4C.AB 的最小值为D.OM ON +的最小值为4【答案】BCD 【解析】【分析】设(),4P a a -，则可求AB 的方程为(4)40ax a y +--=.结合,,,O A P B 四点共圆可判断A 的正误，求出OP 的最小值后可判断B 的正误，求出AB 所过的定点后可判断C 的正误，结合AB 的方程可求OM ON +，利用二次函数的性质可求其最小值，故可判断D 的正误.【详解】设(),4P a a -，因为AB 与,x y 轴均相交，故04a <<，连接,OA OB ，设线段:4(04)l x y x +=<<，则,,,O A P B 四点共圆，且此圆以OP 为直径，而以OP 为直径的圆的方程为：()()40x x a y y a -+-+=，整理得到：22(4)0x y ax a y +---=，故AB 的方程为：4(4)0ax a y ---=，整理得到：(4)40ax a y +--=.对于A ，若O 在以线段AB 为直径的圆上，则90AOB ∠=︒，由,,,O A P B 四点共圆可得90APB ∠=︒，而90∠=∠=︒PAO PBO ，2AO BO ==，故四边形OAPB 为正方形，故OP =，但P 为动点且OP 长度变化，故O 不恒在以线段AB 为直径的圆上，故A 错误.对于B ，四边形PAOB 面积为122S OA AP =⨯⨯⨯=而PO ≥=，当且仅当OP ⊥l 即()2,2P 时等号成立，故S 的最小值为4，故B 成立.对于C ，因为AB 的方程为：(4)40ax a y +--=，整理得到：()440a x y y -+-=，令0440x y y -=⎧⎨-=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，故AB 过定点()1,1Q ，设O 到AB 的距离为d ，则d OQ ≤=故AB =≥，当且仅当d =OQ AB ⊥时等号成立，故AB 的最小值为，故C 成立.对于D ，由AB 的方程为(4)40ax a y +--=可得44,0,0,4M N a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故()24416,04424OM ON a a a a +=+=<<---+，而20(2)44a <--+≤，故4OM ON +≥，当且仅当2a =等号成立，故OM ON +的最小值为4，故D 成立.故选：BCD .11.已知函数())ln1f x x =+，则（）A.()f x 在其定义域上是单调递减函数B.()y f x =的图象关于()0,1对称C.()f x 的值域是()0,∞+D.当0x >时，()()f x f x mx --≥恒成立，则m 的最大值为1-【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ，先求原函数的导函数，再判断其导函数的符号即可；选项B ，取譬如“点(1,(1))f --和点(1,(1))f ”的特殊值判断即可；选项C ，||x x >=≥，11x +>，进而判断即可；选线D ，先构造函数()()()F x f x f x mx =---，将不等式的恒成立问题转化为函数的最值，即可判断.【详解】已知函数())ln 1f x x =+，||x x >=≥0x ->，故函数()f x 的定义域为R ，对于选项A ，函数()f x 的导函数为：()f x '=，0x ->，得()0f x '<，所以()f x 在其定义域上是单调递减函数，选项A 正确；对于选项B ，取特值：(1)ln f =(1)2)f -=+，且(1)(1)ln 2ln(22)ln(222)1222f f +-++==≠，即函数图象上存在点(1,(1))f --和点(1,(1))f 不关于()0,1对称，选项B 错误；对于选项C 0x ->11x -+>，得())ln1ln10f x x =-+>=，当x →+∞111x -+=+→，当x →-∞1x -+→+∞，同时()f x 在其定义域上是单调递减函数，故()f x 的值域是()0,∞+选项C 正确；对于选项D ，定义()()()F x f x f x mx =---，0x >，则))()ln1ln1F x x x mx =-+-++-，)()ln 1ln1F x x mx ⎛⎫=-++-⎪⎭，)()ln ln1F x x mx ⎛⎫=-+-，故)()lnF x x mx =-+-，其导函数()F x m m'==-，若,()0x ∈+∞，()()f x f x mx --≥恒成立，即函数()0F x ≥恒成立，由于(0)0F =，则(0)0F '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，即(0)10F m '=--≥，得1m ≤-，当1m =-时，)()lnG x x x =-++，,()0x ∈+∞()1G x '=+，由于,()0x ∈+∞，则1>1<，()10G x '=+>，所以函数()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，且(0)ln100G =-+=，则,()0x ∈+∞时，()0G x >恒成立，同时,()0x ∈+∞，由于1m ≤-，mx x -≥则))()lnln()0F x x mx x x G x =--≥-++=>，显然()0F x >恒成立，,()0x ∈+∞时，()()f x f x mx --≥恒成立，则m 的最大值为1-正确；选项D 正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是转化为(0)0F '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，从而得到1m ≤-，最后验证得到1m =-时符合题意即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量X 服从二项分布B～（n，p），若E （X）=30，D （X）=20，则P=__________．【答案】13【解析】【详解】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．解：随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．13.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 为椭圆22143x y +=的右焦点，直线l 过点F 交抛物线于,A B 两点，且8AB =.直线12,l l 分别过点,A B 且均与x 轴平行，在直线12,l l 上分别取点,M N （,M N 均在点,A B 的右侧），ABN ∠和BAM ∠的角平分线相交于点P ，则PAB 的面积为__________.【答案】【解析】【分析】当直线l 的斜率不存在时，写出直线l 的方程，求出||4AB =，不合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，联立抛物线的方程，由12||8AB x x p =+=+，求出k ，根据锐角三角函数表达边长，再进一步求出PAB 的面积．【详解】由22143x y +=的右焦点为()1,0，所以抛物线的焦点为(1,0)F ，故12p=，则2p =，因此抛物线24y x =，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，代入抛物线的方程，得2y =±，所以(1,2)A ，(1,2)B -，所以||4AB =，不合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=，所以212224k x x k ++=，所以221212222444||2822p p k k AB x x x x p k k ++=+++=++=+==，所以1k =±，由对称性不妨设1k =，则45AFx ∠=︒，因为ABN ∠和BAM ∠的平分线相交于点P ，//AM BN ，所以PA PB ⊥，45ABN ∠=︒，22.5ABP ∠=︒，所以在Rt ABP 中，sin 22.58sin 22.5AP AB =︒=︒，cos 22.58cos 22.5BP AB =︒=︒，所以18sin 22.58cos 22.52ABP S =⋅︒⋅︒ 32sin 22.58cos 22.516sin 45=︒︒=︒=，故答案为：14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,M N 为体对角线1BD 的三等分点，动点P 在三角形1ACB 内，且三角形PMN 的面积3PMN S =△，则点P 的轨迹长度为___________.【答案】263π【解析】【分析】由题意求出P 到MN 的距离，又易证1BD ⊥面1AB C ，进而得到P 点在1AB C V 所在平面的轨迹是以263为半径的圆，因为1AB C V 3<，所以该圆一部分位于三角形外，作出图形即可求解．【详解】因为正方体的棱长为16BD =，所以123BD MN ==，设P 到MN 的距离为d ，由1||2PMN S d MN ==263d =，11A D ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，∴111A D AB ⊥，又11AB A B ⊥，1111A D A B A = ，∴1AB ⊥平面11A D B ，11BD AB ∴⊥，同理可证1BD AC ⊥，又1AB AC A = ，1BD ∴⊥面1AB C ，P ∴点在1AB C V 所在平面的轨迹是以263为半径的圆，1AB C V内切圆的半径为123=，∴该圆一部分位于三角形外，如图有22226(2)()3x +=，解得63x =，∴6HOB π∠=，∴圆在三角形内的圆弧为圆周长的一半，∴1262622l π=⋅⋅，故答案为：263π.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图所示，圆O 的半径为2，直线AM 与圆O 相切于点,4A AM =，圆O 上的点P 从点A 处逆时针转动到最高点B 处，记(],0,πAOP θθ∠=∈.（1）当2π3θ=时，求APM △的面积；（2）试确定θ的值，使得APM △的面积等于AOP 的面积的2倍.【答案】（1）6（2）π2θ=【解析】【分析】（1）过点P 作PQ AM ⊥，利用圆的性质求得PQ ，代入面积公式直接求解即可；（2）设AOP 的面积为1,S APM 的面积为2S ，结合三角形面积公式建立方程，利用辅助角公式化简求解即可.【小问1详解】过点P 作PQ AM ⊥交AM 于点Q ，如图：因为圆O 的半径为2，由题意π2π22sin 22cos 22cos 323PQ θθ⎛⎫=+-=-=-= ⎪⎝⎭，又4AM =，所以APM △的面积为14362⨯⨯=.【小问2详解】连接AP ，设AOP 的面积为1,S APM 的面积为2S ，又1122sin 2sin 2S θθ=⨯⨯⨯=，()()211421cos 41cos 22S AM PQ θθ=⋅=⨯⨯⨯-=-，由题意212S S =，所以()41cos 4sin θθ-=，即sin cos 1θθ+=，所以π2sin 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()0,πθ∈，所以ππ5π,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3π44θ+=，所以π2θ=，所以当π2θ=时，使得APM △的面积等于AOP 的面积的2倍.16.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，122AA AC CB AB ===.（1）证明：1//BC 平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）63【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理可得1//DF BC ，由线面平行的判定定理可得结果；（Ⅱ）由122AA AC CB AB ===，可设：AB=2a ，可得AC BC ⊥，以点C 为坐标原点，分别以直线1,,CA CB CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图，利用向量垂直数量积为零列方程分别求出平面1A CD 的法向量、平面1A CE 的一个法向量，再由空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（Ⅰ）如图，连结1AC ，交1AC 于点F ，连结DF ，因为D 是AB 的中点，所以在1ABC 中，DF 是中位线，所以1DF / / BC ，因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ；（Ⅱ）因为2AC CB AB ==，所以90ACB ︒∠=，即ACBC ⊥，则以C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CC为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设1AA =AC=CB=2，则1(0,0,0),(1,1,0),(0,2,1),(2,0,2)C D E A ，则1(1,1,0),(0,2,1),(2,0,2)CD CE CA ===，设()111,,m x y z =r是平面1DA C 的一个法向量，则，即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，则111,1=-=-y z ,则(1,1,1)n =--同理可得平面1EA C 的一个法向量，则(2,1,2)n =-，所以，3cos ,3m n 〈〉=，所以sin ,3m n 〈〉=，即二面角D AC E --的正弦值为.63【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.17.盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，比赛结束后放回盒中.使用过的球即成为旧球.（1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；（2）设两局比赛后盒中新球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）815（2）分布列见解析，169【解析】【分析】（1）根据超几何分布概率公式求解即可；（2）根据超几何分布概率公式求得分布列，进而求得数学期望即可.【小问1详解】由题意可知当比赛使用1个新球，1个旧球时，盒中恰有3个新球，使用一局比赛后盒中恰有3个新球的概率112642C C 8C 15P ==.【小问2详解】由题意可知X 的可能取值为0,1,2,3,4，()22422266C C 60C C 225P X ==⋅=，()22111134424222226666C C C C C C 721+C C C C 225P X ==⋅⋅=，()1122112233444224222222666666C C C C C C C C 1142++C C C C C C 225P X ==⋅⋅⋅=，()22111132424222226666C C C C C C 323+C C C C 225P X ==⋅⋅=，()22222266C C 14C C 225P X ==⋅=，所以X 的分布列为X01234P622572225114225322251225()67211432116012342252252252252259E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18.已知函数()()21ln ,,2f x x a x a f x =∈'-R 是()f x 的导函数，()e xg x x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有唯一零点.①求实数a 的取值范围；②当0a >时，证明：()()4g x f x >'+.【答案】（1）答案见解析（2）①(){},0e -∞ ；②证明见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导得到()2x a f x x='-，根据导数与函数单调性间的关系，对a 分类讨论，即可得出结果；（2）①法一：直接对a 进行分类讨论，利用（1）的结果，即可得出结果；法二：分离常量得到21ln 2x a x=，构造函数()2ln xx x ϕ=，将问题转化成函数图象交点个数来解决问题；②构造函数()1e 2e (0)2xh x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，通过求导，利用导数与函数单调性间的关系，得到()h x 的最小值，从而得出()1e 2e 2xg x x x ⎛⎫=≥-⎪⎝⎭，从而将问题转化成证明()()22e 1e 4e 0x x --++>，即可证明结果.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()2a x af x x x x='-=-，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时()f x 的单调递增区间是()0,∞+，无单调递减区间，当0a >时，令()0f x '>得x >()0f x '<得0x <<；此时()f x 单调递减区间为(；单调递增区间为)∞+，综上，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间是()0,∞+，无单调递减区间，当0a >时，()f x 单调递减区间为(，单调递增区间为)∞+.【小问2详解】①法一；当0a =时，()f x 没有零点，不符合题意；当a<0时，由（1）知函数()f x 在()0,∞+单调递增，因为()()2211ln 122f x x a x x a x =-<--，取0m a =>，则()21((1)(3)02f m a a a a a <+-+-=++<，又()1102f =>，故存在唯一()0,1x m ∈，使得()00f x =，符合题意；当0a >时，由（1）可知，()f x 有唯一零点只需0f =，即ln 022a aa -=，解得e a =，综上，a 的取值范围为(){},0e ∞-⋃.法二：当0a =时，()f x 没有零点，不符合题意；由()0f x =，得到21ln 2x a x =，令()2ln x x x ϕ=，则()312ln xx x ϕ-'=，当(x ∈时，()0x ϕ'>，则()x ϕ在区间(单调递增，当)x ∞∈+时，()0x ϕ'<，则()x ϕ在区间)∞+单调递减，又lim ()0x x ϕ→+∞=，()0lim x x ϕ∞+→=-，所以102a <或1122ea ϕ==，即a<0或e a =，综上，a 的取值范围为(){},0e ∞-⋃.②由①得出e a =，令()1e 2e (0)2xh x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，则()()1e 2e xh x x '=+-，令()()1e 2e xg x x =+-，则()()2e 0xg x x =+>'恒成立，所以()h x '单调递增，又()10h '=，故当()0,1x ∈时，()0h x '<，则()h x 在区间()0,1上单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0h x '>，则()h x 在区间()1,∞+上单调递增；故()()10h x h ≥=，所以()1e 2e 2xg x x x ⎛⎫=≥-⎪⎝⎭，要证()()4g x f x >'+，只需证明()1e2e 442x f x x x⎛⎫->+=-⎪'+ ⎝⎭，即证()()22e 1e 4e 0x x --++>，由22229595Δ12e 167e 12e e 16e e 12e 16e 2222⎛⎫=+-=-+-=-+- ⎪⎝⎭95e 12 2.7167.2022⎛⎫<-⨯+-⨯< ⎪⎝⎭，所以()()22e 1e 4e 0x x --++>成立，故不等式得证.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问中的②，构造函数()1e 2e (0)2x h x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，通过求导，利用导数与函数单调性间的关系，得到()h x 的最小值，从而得出()1e 2e 2xg x x x ⎛⎫=≥-⎪⎝⎭，通过放缩，将问题转化成证明()()22e 1e 4e 0x x --++>，从而解决问题.19.已知有穷数列12:n A a a a ，，，(3)n ≥中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1m n ≤≤的整数m ，令集合(){}12k A m k a m k n === ，，，，.记集合()A m 中元素的个数为()s m （约定空集的元素个数为0）.（1）若:63253755A ，，，，，，，，求(5)A 及(5)s ；（2）若12111()()()n n s a s a s a +++= ，求证：12,,,n a a a 互不相同；（3）已知12,a a a b ==，若对任意的正整数()i j i j i j n ≠+≤，，都有()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，求12n a a a +++ 的值.【答案】（1）(5){478}A =，，，(5)=3s .（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）观察数列，结合题意得到(5)A 及(5)s ；（2）先得到11()i s a ≤，故12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，再由12111()()()n n s a s a s a +++= 得到()1i s a =，从而证明出结论；（3）由题意得i j i a a +=或i j j a a +=，令1j =，得到32a a =或31a a =，当a b =时得到12n a a a na +++= ，当a b ¹时，考虑3a a =或3a b =两种情况，求出答案.【小问1详解】因为4785a a a ===，所以{}(5)4,7,8A =，则(5)=3s ；【小问2详解】依题意()1,12i s a i n ≥=，，， ，则有11()i s a ≤，因此12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，又因为12111()()()n n s a s a s a +++= ，所以()1i s a =所以12,,,n a a a 互不相同.【小问3详解】依题意12,.a a ab ==由()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，知i j i a a +=或i j j a a +=.令1j =，可得1i i a a +=或11i a a +=，对于2,3,...1i n =-成立，故32a a =或31a a =.①当a b =时，34n a a a a ==== ，所以12n a a a na +++= .②当a b ¹时，3a a =或3a b =.当3a a =时，由43a a =或41a a =，有4a a =，同理56n a a a a ==== ，所以12(1)n a a a n a b +++=-+ .当3a b =时，此时有23a a b ==，令13i j ==，，可得4()A a ∈或4()A b ∈，即4a a =或4a b =.令14i j ==，，可得5()A a ∈或5()A b ∈.令23i j ==，，可得5()A b ∈.所以5a b =.若4a a =，则令14i j ==，，可得5a a =，与5a b =矛盾.所以有4a b =.不妨设23(5)k a a a b k ====≥ ，令1(2,3,,1)i t j k t t k ==+-=-， ，可得1()k A b +∈，因此1k a b +=.令1,i j k ==，则1k a a +=或1k a b +=.故1k a b +=.所以12(1)n a a a n b a +++=-+ .综上，a b =时，12n a a a na +++= .3a a b =≠时，12(1)n a a a n a b +++=-+ .3a b a =≠时，12(1)n a a a n b a +++=-+ .【点睛】数列新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.。

2023-2024学年南宁市高二年级下学期期末考调研测试高二数学试卷试卷共4页,19小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1. 考查范围:高中全部内容。

2. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。

3. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,请将答题卡交回。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合1,{,43}2x M x N x x x ⎧⎫=>-=∈-<≤⎨⎬⎩⎭Z ∣,则M N ⋂中元素的个数为 A.4 B.3 C.2 D.12. 已知随机变量()~3,,01X B p p <<,且()()3E X D X =,则p =A.14 B.13 C.12 D.233. 已知向量()212,,1,x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭a b ,若⊥a b ,则2+=a b A.()3,4 B.()4,3 C.()0,5 D.()0,34. 若椭圆()222103x y a a +=>的离心率为32,则该椭圆的半焦距为 A.32 3 C.33 D.3或325. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为524,27,80n S a a S ==,则1a =A.1B.2C.3D.46. 在ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足22220b c a +-=,则sin B 的最大值为A.33 B.13 C.12 D.237. 设0x 为函数()ln ex x f x =的极值点,则A.()00,1x ∈B.()01,3x ∈C.()03,4x ∈D.()04,5x ∈8. 已知直线l 与圆22:36O x y +=交于M,N 两点,若以MN 为直径的圆过点()0,8P ,则MN 的最大值为A.422+B.322+C.822+D.42+二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知()12i 13i z -=+,则A.1i z =-+B.3z =C.z 在复平面上对应的点位于第三象限D.342i z z +=-- 10. 已知()f x 为定义在R 上的奇函数,()g x 为定义在R 上的偶函数,则A.()()()()f f x f f x =--B.()()()()g g x g g x =--C.()()()()f g x f g x =--- D.()()()()g f x g f x =--- 11. 已知函数()()223sin 1,sin 0,0,2sin 1,sin 0,x x f x x x x π⎧-≥=∈⎨-<⎩,若方程()1f x a =±有6个根,则a 的值可能为A.0B.22 3D.1三、填空题:本题共5小题,共15分;12.2024年高考于6月7日正式开考，某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间（单位：分钟）分别为11.12.12.13.13,14.14,15.15,16,17,18,则该组数据的第75百分位数为13. 若双曲线22113y C x -=的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 右支上的动点, 则12PF PF ⋅的取小值为14.某高校的化学实验室内的电子微型质量测量仪的底座形似一个正四棱台,记该正四棱台为1111ABCD A B C D -,283，上底面1111A B C D 、下底面ABCD 的边长分别为2,4,记AC,BD 交于点交于点1111,,O AC B D 交于点交于点1O ,则1OA =若四棱台为1111ABCD A B C D -的各个顶点均在球2O 的表面上,则球2O 的表面积为 (第一空2分,第二空3分)四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (13分)已知函数()()1ln f x x x =+.记()f x '为()f x 的导函数.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程;(2)求()f x '的最值.16. (15分)2024年5月底,各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作,某市经过初次选拔后有小明、小王、小红三名同学成功进入决赛,在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知小明成功解出这道题的概率是34,小明、小红两名同学都解答错误的概率是112,小王、小红两名同学都成功解出的概率是14,这三名同学解答是否正确相互独立. (1)分别求出小王、小红两名同学成功解出这道题的概率;(2)求三人中至少有两人成功解出这道题的概率.17. (15分)在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,且,PA AB PA =⊥底面ABCD ,点E 满足2PE PC =.(1)证明:BD ⊥平面PAC ;(2)求平面ABE 与平面BDE 的夹角的大小.18. (17分)已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 在直线:1l y x =-上.(1)求C 的方程;(2)过点()0,1P -的直线交C 于M,N 两点,又点Q 在线段MN 上,且PM QM PN QN =,证明:点Q 在定直线上.19. (17分)若数列{}n b 满足1535,,4422n n n n b n b b ππππ+⎛⎫⎛⎫⎧⎫-<<+-∉⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭,且1sin cos n n b b +=,则 称数列{}n b 为“正余弦错位数列”.已知数列{}n a 为“正余弦错位数列”.(1)若14a π=,求234,,a a a ;(2)证明:数列{}1n n a a ++为等差数列.。

长沙市2023-2024学年高二下学期期末调研数学试卷（答案在最后）一、单选题1.已知集合{}2log 1A x x =>，{}04B x x =<<，则()RA B ⋂=ð（）A.{}24x x << B.{}24x x ≤< C.{}02x x <≤ D.{}2x x ≤【答案】C 【解析】【分析】解对数不等式化简集合A ，由集合的交并补混合运算即可得解.【详解】因为{}{}2log 12A x x x x =>=，所以{}R |2A x x =£ð，因为{}04B x x =<<，所以(){}R 02A B x x ⋂=<≤ð.故选：C.2.“1a >”是“函数221y x ax =-+在(],1-∞上单调递减”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据二次函数性质分析可知若函数221y x ax =-+在(],1-∞上单调递减，等价于1a ≥，根据包含关系结合充分、必要条件分析求解.【详解】因为函数221y x ax =-+的图象开口向上，对称轴为x a =，若函数221y x ax =-+在(],1-∞上单调递减，等价于1a ≥，显然()1,+∞是[)1,+∞的真子集，所以“1a >”是“函数221y x ax =-+在(],1-∞上单调递减”的充分不必要条件.故选：A.3.学生可从本年级开设的7门选修课中往意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是（）A.350B.700C.2100D.4200【答案】A 【解析】【分析】根据组合数以及分步乘法计数原理即可求解.【详解】7门选修课中往意选择3门，共有57C 35=种选择，从5种课外活动小组中选择2种，共有25C 10=种选法，故总的选法有3510350⨯=种，故选：A4.福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()y x k ωϕ=++，据此可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（）A.5B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】从图象中的最小值入手，求出5k =，进而求出函数的最大值，即为答案.【详解】从图象可以看出，函数3sin()y x k ωϕ=++最小值为-2，即当sin()1x ωϕ+=-时，函数取得最小值，即32k -+=，解得：5k =，所以3sin()5y x ωϕ=++，当sin()1x ωϕ+=时，函数取得最大值，max 358y =+=，这段时间水深（单位：m ）的最大值为8m.故选：C5.已知随机变量()2~2X N σ，，且()30.3P X >=，则()12P X <≤=（）A.0.7 B.0.3 C.0.2D.0.1【答案】C 【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】根据正态曲线的对称性可得()()123120.22P X P X -><≤==,故选：C6.某企业生产线上生产的产品的某项指标()2365,X N σ~，且()3660.6P X <=.现从该生产线上随机抽取100个产品，记ξ表示365366X ≤<的产品个数，则()D ξ=（）A.7B.9C.11D.13【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布的性质求出()365366P X ≤<，即可得到()100,0.1B ξ ，再根据二项分布的方差公式计算可得.【详解】因为()2365,X N σ~，且()3660.6P X <=，所以()()3653663660.50.60.50.1P X P X ≤<=<-=-=，则()100,0.1B ξ ，所以()()1000.110.19D ξ=⨯⨯-=.故选：B7.若函数()()213e 212xf x x x x =-+-+在区间()22,3m m -+上存在最值，则m 的取值范围是（）A.1m <-B.>2m C.12m -<< D.1m <-或>2m 【答案】C 【解析】【分析】借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解.【详解】()()()()2e 22e 1xxf x x x x '=-+-=-+，则当2x >时，()0f x '>，当2x <时，()0f x '<，即()f x 在(),2∞-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，即()f x 在2x =处取得最值，则有2223m m -<<+，解得12m -<<.故选：C.8.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()34P B =，()12P A B +=，则（）A.()14P B A =B.()16P AB =C.()()P B P B A = D.()512P AB AB +=【答案】C 【解析】【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得.【详解】因为()13P A =，()34P B =，则()()114P B P B =-=，又()()()()P A B P A P B P AB +=+-，即()111234P AB =+-，所以()112P AB =，故B 错误；()()()P AB P AB P A += ，()11123P AB ∴+=，∴()14P AB =，∴()()()134143P AB P B A P A ===，故A 错误；1()112()1()43P AB P B A P A ===，()14P B =，∴()()P B A P B =，故C 正确.因为()()()()112P AB AB P AB P AB P AB +=+=+，()()()P B P AB P AB =+ ，∴()3144P AB =+，∴()12P AB =，∴()11712212P AB AB +=+=，故D 错误.故选：C.二、多选题9.已知a ，b ，c 为实数，则下列命题中正确的是（）A.若22a b c c<，则a b < B.若ac bc >，则a b >C.若a b >，c d >，则a c b d +>+ D.若0a b <<，则11a b>【答案】ACD 【解析】【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.【详解】对于A ，若22a b c c<，则20c >，所以a b <，故A 正确；对于B ，当0c <时，若ac bc >，则a b <，故B 错误；对于C ，若a b >，c d >，则a c b d +>+，故C 正确；对于D ，若0a b <<，则11a b>，故D 正确.故选：ACD.10.已知()()()()62012661111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则下列选项正确的有（）A.01a = B.61a =C.10664a a a +++=L D.135364a a a ++=-【答案】BD 【解析】【分析】原式可化为()()()()620266121111x a a x a x a x --=+-+-++-⎡⎤⎣⎦L ，则其展开式的通项公式为6162(1)(1)rrr r r T C x -+=--，然后利用赋值法求解即可【详解】解：由()()()()62012661111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，得()()()()620266121111x a a x a x a x --=+-+-++-⎡⎤⎣⎦L ，则其展开式的通项公式为6162(1)(1)rrr r r T C x -+=--，对于A ，令0r =，则0606062(1)2a C =-=，所以A 错误，对于B ，令6r =，则66662(1)1a C =-=，所以B 正确；对于C ，在()()()()62012661111x a a x a x a x +=+-+-++-L 中令0x =，则0161a a a +++= ，所以C 错误；对于D ，153351356662(1)2(1)2(1)364a a a C C C ++=⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-=-，所以D 正确，故选：BD11.已知正实数,m n 满足ln e ln m m n n =⋅+（e 是自然对数的底数，e 2.718≈），则（）A.e m m n =⋅B.e n n m =⋅C.1e m n -的最大值为21e D.方程1e em n -=-无实数解【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：由已知可得e mm n =，代入原方程可判断A ；于B ：由已知可得e n nm =，代入原方程可判断B ；令11(),0e em m m f m n m -=-=>，求导，可判断其单调性，进而可求其最大值与值域，可判断CD.【详解】对于A ：由e m m n =⋅，可得e m m n =，将em mn =代入原方程，可得e ln e ln ln ln e emm m m m m n n m m m m ⋅+=⋅+=+-=，故A 正确；对于B ：若e n n m =⋅，可得e n n m =，将en nm =代入原方程，得e ln e ln nnn n n n-=⋅+，则e 1e nn-=，而右边恒大于0，则等式不成立，故B 错误；对于C ：令11(),0e e m m m f m n m -=-=>，则2e e 1)2()=e e (m m m mm m f m ---'=，令2()0e m m f m -'==，可得2m =，当02m <<时，()0f m '>，所以()f m 单调递增，即(2)()(0)1f f m f >>=-，当m>2时，()0f m '<，所以()f m 单调递减，即(2)()0f f m >>，所以当0m >时，max 21()(2)e f m f ==，()f m 在区间(0,)+∞上的值域为21(1,]e-，故C 正确；对于D ：由上可知()f m 在区间(0,)+∞上的值域为21(1,e -，所以1e e mn -=-无实数解，故D 正确.故选：ACD.三、填空题12.曲线y =与直线24y x =+平行的切线方程为_________.【答案】220x y -+=【解析】【分析】对()f x 求导，建立方程求出切点，由此即可得解.【详解】()y f x ==()f x ='=()2f x '==，解得1x =，而()14f =，所以所求直线方程为()421y x -=-，即22y x =+.故答案为：220x y -+=.13.现安排高二年级甲，乙、丙、丁、戊五名同学去A 、B 两个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，每个工厂至少需要两名同学，若甲和乙不能去同一个工厂，则不同的安排方法种数为______．（用数字作答）【答案】12【解析】【分析】分甲和除乙外的1个人分为一组和甲和除乙外的2个人分为一组，再进行全排列，相加得到结果.【详解】甲和除乙外的1个人分为一组，再和工厂进行全排列，故有1232C A 6=种方法，甲和除乙外的2个人分为一组，再和工厂进行全排列，故有2232C A 6=种方法，综上，共有6612+=种方法.故答案为：1214.某学校有A ，B 两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择A 餐厅和选择B 餐的概率均为12.如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为35；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为45，则某同学第2天去A 餐厅用餐的概率为________；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量X 为该班3名同学中第2天选择B 餐厅的人数，则随机变量X 的均值()E X =__________.【答案】①.710##0.7②.910##0.9【解析】【分析】首先根据题意设出对应的事件，以及概率，再代入全概率公式，即可求解；随机变量X 服从二项分布，代入二项分布的期望公式，即可求解.【详解】设事件1:A 第一天去A 餐厅，事件2:A 第二天去A 餐厅，事件1:B 第一天去B 餐厅，事件2:B 第二天去B 餐厅，由题意可知，()()1112P A P B ==，()1235P A A =，()2145P A B =，则()()()()()2121121P A P A P A A P B P A B =+，13147252510=⨯+⨯=，所以第2天去A 餐厅的概率为710；由题意可知，每个人去B 餐厅的概率为7311010-=，33,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以3931010EX =⨯=.故答案为：710；910四、解答题15.已知集合{}220A x x x =--<，{}253B x x =-≥.（1）求A B ⋃，A B ⋂R ð；（2）记关于x 的不等式()224240x m x m m -+++<的解集为M ，若B M =R ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}24A B x x x ⋃=<≥或，{}R 12A B x x ⋂=<<ð（2）{}01m m ≤≤【解析】【分析】（1）将集合,A B 化简，结合集合的运算，带入计算，即可求解；（2）由题意可得{}4M x m x m =≤≤+，再由B M ⋃=R ，列出不等式，代入计算，即可求解.【小问1详解】因为220x x --<，解得12x -<<，所以{}12A x x =-<<，又因为253x -≥，解得4x ≥或1x ≤，所以{}14B x x x =≤≥或，所以{}24A B x x x ⋃=<≥或；又因为{}R 14B x x =<<ð，所以{}R 12A B x x ⋂=<<ð.【小问2详解】因为()()()22244040x m x m m x m x m ⎡⎤-+++≤⇔--+≤⎣⎦，所以{}4M x m x m =≤≤+，若B M ⋃=R ，则144m m ≤⎧⎨+≥⎩，解得01m ≤≤，所以m 的取值范围是{}01m m ≤≤.16.在822x ⎫⎪⎭的展开式中，（1）求二项式系数最大的项；（2）若第1k +项是有理项，求k 的取值集合；（3）系数最大的项是第几项.【答案】（1）611120r T x -+=（2）{}0,2,4,6,8；（3）第6项和第7项【解析】【分析】（1）由二项式系数的性质，代入计算，即可得到结果；（2）由二项式展开式的通项公式代入计算，即可求解；（3）根据题意，由项的系数列出不等式，代入计算，即可求解.【小问1详解】548218822C C 2,0,1,8rr rrr r r T xr x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，二项式系数最大的项为中间项，即第5项，所以204446218C 21120r Txx --+==.【小问2详解】584218822CC 2,0,1,8rrr r r r r T xr x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，当542r -为整数时为有理项，即0,2,4,6,8r =，则k 的取值集合为{}0,2,4,6,8；【小问3详解】设第1r +项的系数最大，则11881188C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩，所以2191281r rr r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得56r ≤≤，故系数最大的项为第6项和第7项.17.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量y （单位：亿元）与研发人员增量x （人）的10组数据．现用模型①y bx a =+，②y c =+分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中101110i i i t t t ===∑.yt()1021ii x x =-∑()1021ii tt =-∑()()101iii y y x x =--∑()()101iii y y tt =--∑7.5 2.2582.50 4.5012.142.88（1）根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）（2）根据（1）中所选模型，求出y 关于x 的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1）【答案】（1）选择模型②（2） 6.06ˆy =；10人【解析】【分析】（1）根据残差图即可求解；（2）根据最小二乘法求解线性回归方程，即可换元得非线性回归方程，代入即可求解预测值.【小问1详解】选择模型②，理由如下：由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以选模型②比较合适；【小问2详解】根据模型②，令t y =与t 可用线性回归来拟合，有y c dt =+$$$，则()()()1011021ˆ42.880.64.5ii i i i y y tt d t t ==--===-∑∑，所以 7.50.64 2.25 6.06cy dt =-=-⨯= ，则y 关于t 的经验回归方程为 0.640 6.06y t =+．所以y 关于x 的经验回归方程为6.06y =，由题意，6.068y =>，解得2979.232x ⎛⎫>≈ ⎪⎝⎭，又x 为整数，所以10x ≥，所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人．18.无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.（1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值0.001α=的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：晴天雨天命中4530不命中520附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++其中n a b c d =+++α0.150.100.050.0100.001x α 2.072 2.706 3.841 6.63510.828（2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为45，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为12，击中目标两次起火点被扑灭的概率为23，击中目标三次起火点必定被扑灭.（i ）求起火点被无人机击中次数X 的分布列及数学期望；（ii ）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.【答案】（1）答案见解析（2）（i ）分布列见解析，125（ii ）102125【解析】【分析】（1）根据已知数据得到列联表，求出2χ，即可判断；（2）（i ）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得；（ii ）根据互斥事件的概率公式求解可得【小问1详解】零假设0H ：消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关晴天雨天合计命中453075不命中52025合计5050100因为()2210045205301210.82850507525χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，根据小概率值α=0.001的独立性检验，零假设0H 不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关.【小问2详解】（i ）起火点被无人机击中次数X 的所有可能取值为0,1,2,3()()32131141120,1C 512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫=====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()232341484642=C ,3551255125P X P X ⎛⎫⎛⎫=⋅⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X 的分布列如下：X 0123P 1125121254812564125()44123,,3555X B E X ⎛⎫~∴=⨯= ⎪⎝⎭.（ii ）击中一次被扑灭的概率为121134116=C 552125P ⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭击中两次被火扑灭的概率为222341232=C 553125P ⎛⎫⋅⨯⨯= ⎪⎝⎭击中三次被火扑灭的概率为334645125P ⎛⎫== ⎪⎝⎭所求概率63264102125125125125P =++=.19.已知函数()ln 2f x x x =--.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）函数()f x 在区间()(),1N k k k +∈上有零点，求k 的值；（3）记函数()()2122g x x bx f x =---，设1x ，212()x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值.【答案】（1）1y =-（2）0或3（3）152ln 28-【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程；（2）求出()f x 的导数，判断()f x 的单调性，利用零点存在性定理判断即可；（3）求函数的导函数，令()0g x '=，依题意方程2(1)10x b x -++=有两不相等的正实根1x 、2x ，利用韦达定理，结合b 的取值方程，即可求出1x 的取值范围，则212112111()()2ln )2g x g x x x x -=--，构造函数2211()2ln (2F x x x x =--，10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解．【小问1详解】因为()ln 2f x x x =--，所以1()1f x x'=-，则切线斜率为()10f '=，又()11f =-，切点为()1,1-，所以切线方程为1y =-；【小问2详解】1()x f x x-'= ，()0,x ∞∈+，当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为()110f =-<，2222(e )e ln e 2e 0f ----=--=>，()f x ∴在区间(0,1)上存在一个零点3x ，此时0k =；又()33ln 321ln 30f =--=-<，()44ln 4222ln 22(1ln 2)0f =--=-=->，()f x ∴在区间(3,4)上存在一个零点4x ，此时3k =，综上，k 的值为0或3；【小问3详解】函数2211()2()ln (1)22g x x bx f x x x b x =---=+-+，()0,x ∞∈+，所以21(1)1()(1)x b x g x x b x x-++'=+-+=，由()0g x '=得2(1)10x b x -++=，依题意方程2(1)10x b x -++=有两不相等的正实根1x 、2x ，则()21212Δ1401010b x x b x x ⎧⎡⎤=-+->⎣⎦⎪⎪+=+>⎨⎪=>⎪⎩，所以1b >，121x x b ∴+=+，121=x x ，∴211x x =，又32b ≥，111512x b x +=+≥，12110x x x <<=，解得1102x <≤，222112*********111()()ln ()(1)()2ln ()22x g x g x x x b x x x x x x ∴-=+--+-=--，构造函数2211()2ln (2F x x x x =--，10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以223321(1)()0x F x x x x x --'=--=<，()F x ∴在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以当12x =时，min 115()(2ln 228F x F ==-，因为()()12g x g x k -≥恒成立，所以152ln 28k ≤-，则k 的最大值为152ln 28-．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

高二下学期数学综合测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．我校在检查学生作业时，按规定的比例从不同层中随机抽取学生作业进行检查，这里运用的是( )A ．分层抽样B ．抽签抽样C ．随机抽样D ．系统抽样2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa 的值相等的是( )A.bc B ．sin B sin AC.sin C cD ．c sin C3.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．不是互斥事件4．已知△ABC 中，c ＝6，a ＝4，B ＝120°，则b 等于( ) A ．76 B ．219 C ．27D ．275．设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n)，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过点(x ，y )C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kg 6．在等比数列{a n }中，a 3a 4a 5＝3，a 6a 7a 8＝24，则a 9a 10a 11＝( )A ．48B ．72C ．144D ．1927．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D ．228．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－1，2)，则a ＋b 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．－29．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝450，则a 4＋a 8的值为( ) A ．45B ．75C ．180D ．30010．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A. 3 B ． 2 C.13D ．1211．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C ．92D ．512．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20率是( )A.110B.715 C.815 D.1315第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶ 3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．14．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C 处，则A，C两地的距离为________km.15．等比数列{a n}中，a1＋a3＝20，a2＋a4＝60，则a7＋a8＝________．16．数列{a n}为等比数列，已知a n＞0，且a n＝a n＋1＋a n＋2，则该数列的公比q是_______．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直角三角形两条直角边长的和等于10 cm，求面积最大时斜边的长．18．(本小题满分12分)已知数列{a n}为等差数列，且a3＝5，a7＝13.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n＝log4b n，求数列{b n}的前n项和T n.19．(本小题满分12分)已知海岛A四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在B处望见岛A在北偏东75°，航行202海里后，在C处望见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？20．(本小题满分12分)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的分类垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400 100 100可回收物30 240 30其他垃圾20 20 60(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为a、b、c，其中a＞0，a＋b＋c＝600.当数据a、b、c的方差s2最大时，写出a、b、c的值(结论不要求证明)，并求出此时s2的值．21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA＋C2＝33.(1)求cos B的值；(2)若a＝3，b＝22，求c的值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xx＋1，数列{a n}满足a1＝1，并且a n＋1＝f(a n).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝1n＋1a n，求数列{b n}的前n项和S n.高二下学期数学综合测试题答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．ACCBD DCCCA 11．C12．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( C )A.110B.715C.815D.1315[解析] 根据频率分布直方图，可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4.设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A ，B ，生产产品件数在[15,20)内的4人分别为C ，D ，E ，F ，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，(C ，D)，(C ，E)，(C ，F)，(D ，E)，(D ，F)，(E ，F)，共15种.2位工人不在同一组的结果有(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，共8种．故选取的2位工人不在同一组的概率为815.第Ⅱ卷(非选择题 共52分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶ 3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．[答案] 1514．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地的距离为 km.答案：7 15. 5832 16．((根号5)-1)/2三、解答题(本大题共6个大题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．．(本小题满分10分)已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a7＝13. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足an ＝log4bn ，求数列{bn}的前n 项和Tn. [解] (1)设an ＝a1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a1＋2d ＝5，a1＋6d ＝13，解得a1＝1，d ＝2. 所以{an}的通项公式为an ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)依题意得bn ＝4an ＝42n －1， 因为bn ＋1bn ＝42n ＋142n －1＝16，所以{bn}是首项为b1＝41＝4，公比为16的等比数列，所以{bn}的前n 项和Tn ＝4×（1－16n ）1－16＝415(16n －1). 18．(本小题满分12分) 已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在B 处望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，在C 处望见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？解：如图所示，在△ABC 中， 依题意得BC ＝202(海里)， ∠ABC ＝90°－75°＝15°，∠BAC ＝60°－∠ABC ＝45°. 由正弦定理，得AC sin 15°＝BC sin 45°，所以AC ＝202sin 15°sin 45°＝10(6－2)(海里)． 故A 到航线的距离为AD ＝ACsin 60°＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里)． 因为152－56>8，所以货轮无触礁危险．19．(本小题满分12分)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的分类垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为a 、b 、c ，其中a ＞0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a 、b 、c 的方差s 2最大时，写出a 、b 、c 的值(结论不要求证明)，并求出此时s 2的值．[解] (1)厨余垃圾投放正确的概率为P ＝“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A ，则事件A 表示“生活垃圾投放正确”．事件A 的概率为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A )＝400＋240＋601000＝710，所以P(A)＝1－P(A )＝1－710＝310.(3)当a ＝600，b ＝0，c ＝0时，方差s 2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c)＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80000.20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＋C 2＝33. (1)求cos B 的值；(2)若a ＝3，b ＝22，求c 的值． 解：(1)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以cos A ＋C 2＝cos π－B 2＝sin B 2＝33，所以cos B ＝1－2sin 2B 2＝13. (2)因为a ＝3，b ＝22，cos B ＝13，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1.21．已知直角三角形两条直角边长的和等于10 cm ，求面积最大时斜边的长． 【解析】设一条直角边长为x cm ，(0＜x ＜10)，则另一条直角边长为(10－x )cm ， 面积S ＝12x (10－x )≤12⎣⎡⎦⎤x ＋(10－x )22＝252(cm 2)， 等号在x ＝10－x 即x ＝5时成立，∴面积最大时斜边长L ＝x 2＋(10－x )2＝52(cm)．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝xx ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，并且a n ＋1＝f (a n ). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1n ＋1a n，求数列{b n }的前n 项和S n . [解] (1)由题意得a n ＋1＝a n a n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋1a n ＝1＋1a n ，即1a n ＋1－1a n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是一个等差数列，公差为1，首项为1a 1＝1，从而1a n＝n ，∴a n ＝1n .(2)由(1)得b n ＝1n ＋1a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.。

湛江市2023—2024学年度第二学期期末调研考试高二数学说明：本卷满分150分.考试用时120分钟.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 过()2,0−和()0,2两点的直线的斜率是（ ）A. 1B. 1−C.π4D.3π4【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式2121y y k x x −=−可得.【详解】根据斜率公式求得所给直线的斜率02120k −=−−. 故选：A2. 用最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5,6)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23y x =+，若6130ii x==∑，则61ii y==∑（ ）A. 11B. 13C. 63D. 78【答案】D 【解析】【分析】根据线性回归方程为ˆ23y x =+一定过点(),x y ，先求出x ，代入回归方程即可得出y ，进而可得61i i y =∑的值.【详解】依题意， 因为6130ii x==∑，所以3056x==， 因线性回归方程为ˆ23y x =+一定过点(),x y ， 为所以2325313y x =+=×+=，所以6161378ii y==×=∑.故选：D.3. 若圆22:()(4)4C x a y a −+−=被直线:320l x y −+=平分，则=a （ ） A.12B. 1C.32D. 2【答案】D 【解析】【分析】由题设，将圆心坐标代入直线方程即可求解.【详解】由题意得圆心(),4a a 在直线:320l x y −+=上， 则3420a a −+=，解得2a =. 故选：D.4. 函数()y f x =的导函数()y f x =′的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）A. ()y f x =在0x =处的切线的斜率大于0B. ()1f −是函数的极值C. ()y f x =在区间()3,1−上不单调D. ()1f −是函数的最小值【答案】A 【解析】【分析】根据()y f x =′的图像分析()y f x =的单调性和最值，即可判断BCD ；对于A ：根据导数的几何意义分析判断.【详解】由图象可知：当3x <−时，()0f x ′<；当3x >−时，()0f x ′≥（当且仅当=1x −时，等号成立）；可知()y f x =在(),3∞−−内单调递减，在()3,∞−+内单调递增， 则()3f −为()y f x =的最小值（也为极小值），无最大值，故BCD 错误；对于A ：可知()00f ′>，即()y f x =在0x =处的切线的斜率大于0，故A 正确； 故选：A.5. 某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下22×列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间（ ）喜欢课外阅读不喜欢课外阅读合计 男生 5 20 25 女生 15 10 25 合计203050参考数据及公式如下：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d −=++++ ()20P K k ≥0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.828A. 不能根据小概率的0.05α=的2χ独立性检验认为两者有关B. 根据小概率的0.01α=的2χ独立性检验认为两者有关C. 根据小概率的0.001α=的2χ独立性检验认为两者有关D. 根据小概率0.05α=的2χ独立性检验认为两者无关 【答案】B 【解析】【分析】根据给定的数表，求出2χ的观测值，再与临界值比对即得.【详解】由数表知，2250(5101520)25203025253χ××−×==×××，而256.63510.8283<<， 所以根据小概率值0.01α=的2χ独立性检验认为两者有关． 故选：B6. 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，的则不同的选法种数为（ ） A. 20 B. 25C. 225D. 450【答案】C 【解析】【分析】根据分步计数原理，结合组合数公式，即可求解.【详解】甲和乙的选择方法分别有1255C C 15+=种方法， 所以甲和乙不同的选择方法有1515225×=种. 故选：C7. 如图，在三棱锥−P ABC 中，2,90,60,PA PB PC APB BPC APC M ∠∠∠====== 为BC 的中点，Q 为AM 的中点，则线段PQ 的长度为（ ）A.B.C.32D.【答案】C 【解析】【分析】先得到111244PQ PA PB PC =++，再平方求解.【详解】解：由题意得1111122244PQ PA PM PA PB PC =+=++，故222211111141616448PQ PA PB PC PA PB PA PC PB PC +++⋅+⋅+⋅， 111191044244=+++++=，则32PQ =. 故选：C.8. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设{}n a 是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，53a =，则数列12{}n n a a ++的前24项和为（ ）A.B. 3C. D. 6【答案】D 【解析】【分析】先由等方差数列的定义得到{}2n a 是公差为2的等差数列并求出n a ，进而求出12n n a a ++，再利用裂项相消法求和即得.【详解】依题意，2212n n a a +−=，即{}2n a 是公差为2的等差数列，而53a =， 于是2252(5)21n a a n n =+−=−，即n a =则12n n a a +=+，所以数列12{}n n a a ++的前24项和为：1)716++++=−= .故选：D二､多选题：本题共36分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若13465,135a a a a +=+=，则（ ） A. 114a = B. 3q =C. 1134n n a −=× D.()1314nn S =− 【答案】BD 【解析】【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得1,a q ，代入公式即可一一判断.【详解】依题，21321(1)5(1)135a q a q q += += ，解得11,23a q== 故A 错误，B 正确； 则111132n n n a a q −−==×，1)(1)131(1)1(3144n nn n a q S q −==−−−=−，故C 错误，D 正确.故选：BD.10. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件1A 、2A ，从乙口袋中取出的球是红球为事件B ，则下列结论正确的是（ ） A. ()134P A =B. ()214P B A = C. ()1916P A B =D. ()2211P A B =【答案】ACD 【解析】【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出()134P A =，()214P A =，()134P B A =，()212P B A =，即可判断A 选项，再结合条件概率公式和全概率公式即可确定B ，C ，D 选项的正确性. 【详解】对于A ，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以()134P A =，故A 正确； 对于B ，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为()22142P B A ==，故B 错误； 对于C ，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为()34P =，所以()()()1113394416P A B P A P B A ==⋅=，故C 正确； 对于D ，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以()214P A =，结合以上分析，所以()()()()()()()()()22221122112243311114424P B A P A P A B P A B P B P B A P A P B A P A ⋅====+⋅+⋅，故D 正确.故选：ACD11. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点P 是线段1AD 上的点，点E 是线段1CC 上的一点，则下列说法正确的是（ ）A. 存在点E ，使得1A E ⊥平面11AB DB. 当点E 为线段1CC 的中点时，点1B 到平面1AED 的距离为2C. 点E 到直线1BDD. 当点E 为棱1CC 的中点，存在点P ，使得平面PBD 与平面EBD 所成角为4π 【答案】ABD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解A ，求解平面法向量，即可根据点面距离，以及点线距离，求解BC ，利用两平面的法向量的夹角即可求解D.【详解】对A 选项，以DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系如图：则根据题意可得(0D ,0,0),1(0D ,0,2),1(2A ,0,2),1(2B ,2,2),()2,0,0A ， 设(0E ,2,)(02)a a ≤≤，所以1(2,0,2)AD − ，1(0,2,2)AB = ，1(2,2,2)A E a =−−，假设存在点E ，使得1A E ⊥平面11AB D ，则()114220AD A E a ⋅=+−= ，()114220AB A E a ⋅=+−=，解得0a =，所以存在点E ，使得1A E ⊥平面11AB D ，此时点E 与点C 重合，故A 正确；对于B ，点E 为线段1CC 的中点时，()0,2,1E ,(2,2,1)AE −,1(2,0,2)AD − ,设平面1AED 的法向量为(),,m x y z = ，则1220220AD m x z AE m x y z ⋅=−+= ⋅=−++=，取2x =，则()2,1,2m = ， 1(0,2,2)AB = ,故点1B 到平面1AED 的距离为12423AB m m ⋅+==，故B 正确， 对C 选项,(0E ,2,)(02)a a ≤≤，()()12,0,,2,2,2BE a BD =−=−−,点E 到直线1BD==故当1a =时，即点E 为1CC 中点时，此时点E 到直线1BD ，故C 错误；对D 选项，点E 为线段1CC 的中点时，()0,2,1E ,()0,2,1DE = ,()2,2,0DB =, 设平面EBD 的法向量为()111,,a x y z = ，则111120220DE a y z DB a x y ⋅=+= ⋅=+=，取11x =，则()1,1,2a =− ，设()(),0,202P x x x −≤≤,(),0,2DP x x =−,()2,2,0DB = , 设平面PBD 的法向量为()222,,b x y z =，则()222220220DP b xx x z DB b x y ⋅=+−= ⋅=+=，取22x x =−，则()2,2,b x x x =−−−，若存在点P ，使得平面PBD 与平面EBD 所成角为4π， 则cos ,a b a b a b⋅==，化简得27880x x −−=，解得x =或，由于02x ≤≤，所以x =D 正确， 故选：ABD ．三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 6x 展开式中2x 项的系数为________.【答案】30 【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求出指定项的系数.【详解】6x −展开式的通项表达式为()()6621661C 1C rr r r r r r rr T x x −−+−−， 当622r −=时，2r =，()22222361C 30T x x −=.故答案为:30.13. 已知()2e x f x m x =−，若()f x ′为奇函数，则m =______. 【答案】0 【解析】【分析】求导后利用奇函数的性质得到()()f x f x ′′=−−，代入计算再结合指数函数的性质可得结果. 【详解】()e 2xf x m x ′=−， 因为()f x ′为奇函数，所以()()f x f x ′′=−−，即()e 2e 2xxm x m x −−=−+，化简可得()e e0x xm −+=， 因为e 0,e 0x x −>>， 所以0m =. 故答案为：0.14. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点，若222sin 3sin ABF BAF ∠=∠，21cos 8ABF ∠=−，则C 的离心率为______．【答案】 【解析】【分析】引入参数t ，结合双曲线定义、正弦定理表示出2AF t =，223BF t =，12AF t a =−，1223BF a t =+，143AB a t =−，在2ABF △中由余弦定理可得4t a =，在12BF F △中，运用余弦定理可得出228c a =，结合离心率公式即可得解.【详解】在2ABF △中，设2AF t =，由正弦定理得2222sin sin AF BF ABF BAF =∠∠，则223BF t =， 所以由双曲线的定义可知12AF t a =−，1223BF a t =+，故11143AB BF AF a t =−=−， 在2ABF △中，2222124133cos 1282433a t t t ABF a t t−+− ∠==−×−×，解得4t a =，所以在12BF F △中，1143a BF =，283aBF =，122F F c =， 又222128144133cos 8148233a a c F BF a a +− ∠==−××，解得228c a =，所以离心率cea==故答案为：【点睛】关键点点睛：关键在于适当引入参数，结合已知得出参数与,,a b c 的关系，进而结合离心率公式即可得解.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知585S =，且617a a =． （1）求n a 和n S ； （2）设15n n n b a a +=，求数列{}n b 前n 项和n T ． 【答案】（1）61na n =−；232n S n n =+； （2）65n T nn =+． 【解析】【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前n 项和； （2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】设{}n a 的公差为d ，因为15535()5852a a S a +===，所以317a =， 又617a a =，所以()1737172d d +=−，解得6d =，所以()()33173661n a a n d n n =+−=+−×=−， ()()125613222n n n a a n n S n n ++−===+． 【小问2详解】 ()()155511616566165n n n b a a n n n n + ===− −+−+ ， 所以5111111116511111767616165n T n n n n =−+−++−+− −−−+ 511656565n n n =−= ++ ． 16. 四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AB ==，点E 是棱PC 上一点．（1）求证: 平面PAC ⊥平面BDE ；（2）当E 为PC 中点时， A BE D −−的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由正方形的性质得到BD AC ⊥，又由线面垂直的性质得到PA BD ⊥，即可得到BD ⊥平面PAC ，从而得证；（2）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】底面ABCD 是正方形，BD AC ∴⊥，PA ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，又BD AC ⊥，PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE ．【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()1,1,1E ，所以()2,0,0AB = ，()1,1,1BE =− ，()2,2,0BD =− ，设平面ABE 的法向量为(),,n x y z = ，则200n AB x n BE x y z ⋅== ⋅=−++= ，取()0,1,1n =− ， 设平面DBE 的法向量为(),,m a b c = ，则2200m BD a b m BE a b c ⋅=−+= ⋅=−++= ，取()1,1,0m = ， 设二面角A BE D −−为θ，由图可知二面角A BE D −−为锐二面角，所以1cos 2m n m n θ⋅==⋅ ，所以sin θ，即二面角A BE D −−.17. 已知F 1，F 2分别为椭圆W ：2214x y +=的左、右焦点，M 为椭圆W 上的一点． （1）若点M 的坐标为（1，m ）（m >0），求△F 1MF 2的面积；（2）若点M 的坐标为（x 0，y 0），且∠F 1MF 2是钝角，求横坐标x 0的范围． 【答案】（1）32（2）【解析】【分析】（1）代入法求得m 值，然后求出焦点坐标后可得三角形面积；（2）由余弦定理可得．【小问1详解】因为点M （1，m ）在椭圆上，所以2114m +=， 因为m >0，所以m =， 因为a ＝2，b ＝1，所以c =1(F，2F ，所以1212113222F MF S m F F ==×= 【小问2详解】因为点M 在椭圆上，所以－2≤x 0≤2，由余弦定理得 cos ∠F 1MF 2＝22212122||||||2||||MF MF F F MF MF +−⋅，因为∠F 1MF 2是钝角，所以22220000((120x y x y +++−<，又因为220014x y =−，所以2083x <，解得0x <<，故横坐标x 0的范围为 .18. 学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.（1）求在有女生参加活动条件下，恰有一名女生参加活动的概率；（2）记参加活动的女生人数为X ，求X 的分布列及期望()E X ；（3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为Y ，求Y 的期望()E Y .【答案】（1）89（2）分布列见解析，()23E X =（3）13个工时的【解析】【分析】（1）根据条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式进行求解即可；（2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可；（3）根据数学期望公式和性质进行求解即可.【小问1详解】设“有女生参加活动”为事件A ，”恰有一名女生参加活动“为事件B .则()()11112424222266C C C C C 83,C 15C 5P AB P A +====， 所以()()()8815|395P AB P B A P A === 【小问2详解】依题意知X 服从超几何分布，且22426C C ()C k k P X k −==(0,1,2)k =， ()()()21124422222666C C C C 2810,1,2C 5C 15C 15P X P X P X ⋅=========， 所以X 的分布列为：()2812012515153E X =×+×+×=； 【小问3详解】设一名女生参加活动可获得工时数为1X ，一名男生参加活动可获得工时数为2X ，则1X 的所有可能取值为36,，2X 的所有可能取值为6,9， 111(3)(6)2P X P X ====，1119()36222E X =×+×=， 221(6)(9)2P X P X ====，21115()69222E X =×+×=， 有X 名女生参加活动，则男生有()2X −名参加活动.()915215322Y X X X =+−=−， 所以()()()2153153153133E Y E X E X −−−×. 即两人工时之和的期望为13个工时..19. 已知函数()()e ,()x f x x a x a =−−∈R .（1）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，求a 的值；（2）在（1）的条件下，判断函数()f x 的单调性；（3）()221()1e 12x g x x ax x x =−+−++，若1−是()g x 的极大值点，求a 的取值范围. 【答案】（1）0（2）(),0∞−上单调递减，()0,∞+上单调递增（3）()e,∞−+【解析】【分析】（1）求导，然后根据(0)0f ′=列式计算即可；（2）求导，然后通过二次求导确定导函数的正负，进而确定函数的单调性；（3）求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，进而确定极值点.【小问1详解】由已知()(1)e 1x f x x a ′=−+−，则0(0)(1)e 1f a a ′=−+−=−，由于曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，所以0a −=，所以0a =；【小问2详解】当0a =时，()(1)e 1x f x x ′=+−，令()(1)e 1x h x x =+−，则()(2)e x h x x ′=+，当<2x −时，()0h x ′<，()f x ′单调递减，当2x >−时，()0h x ′>，()f x ′单调递增，又当<2x −时，()0f x ′<恒成立，2(2)e 1f −′−=−−，0(0)e 10f ′−，所以当0x <时()0f x ′<，0x >时，()0f x ′>，所以()f x 在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增；【小问3详解】由已知()()()2()12e 11(1)e 1x x g x x ax x a x x x a ′ =−++−−+=+−+− ，令()(1)e 1x v x x a =−+−，则()(2)e xv x x a ′=−+， 当2x a <−时，()0v x ′<，()v x 单调递减，当2x a >−时，()0v x ′>，()v x 单调递增，又当2x a <−时，()0v x <恒成立，且()22e 10a v a −−=−−<，当x →+∞时，()0v x >，即()v x 在()2,a −+∞上有且只有一个零点，设为0x ，当01x <−，即()11(11)e 10v a −−=−−+−>，解得e a <−， 此时若()0g x ′<，解得01x x <<−，()g x 在()0,1x −上单调递减，若()0g x ′>，解得0x x <或1x >−，()g x 在()()0,,1,x −∞−+∞上单调递增，此时()g x 在=1x −处取极小值，不符合题意，舍去；当01x >−，即()11(11)e 10v a −−=−−+−<，解得e a >−， 此时若()0g x ′<，解得01x x −<<，()g x 在()01,x −上单调递减，若()0g x ′>，解得1x <−或0x x >，()g x ()()0,1,,x −∞−+∞上单调递增，此时()g x 在=1x −处取极大值，符合1−是()g x 的极大值点，当01x =−时，即()11(11)e 10v a −−=−−+−=，解得a e =−，此时()0g x ′≥恒成立，()g x 无极值点，综上所述：a 的取值范围为()e,∞−+.【点睛】方法点睛：函数的极值跟导函数的零点有关，当零点不确定的时候，就需要对零点的存在性以及零点的大小进行分类讨论，从而达到确定极值点的目的.在。

2024年6月广东省高二年级统一调研测试数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用，黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名､准考证号､考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据1,6,7,8,8,9,10,11,12,13的第30百分位数为（）A.7B.7.5C.8D.8.52.()()2i 13i +−的虚部为（ A.-5 B.5C.-1D.13.已知椭圆22:1(0)1x y C m m m +=>+m =（ ）A.3B.13C.2D.124.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若425S S =，则数列{}n a 的公比为（ ）A.12C.25.函数()2cos f x x =−在13π0,6上的零点个数为（）A.5B.4C.3D.26.已知函数()()31x f x m m n −=−⋅−，其中0m >且1,m n ≠∈R ，则()f x 的单调性（ ）A.与m 有关，与n 有关B.与m 有关，与n 无关C.与m 无关，与n 有关D.与m 无关，与n 无关7.建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台12O O ，已知该圆台的上､下底面积分别为216πcm 和29πcm ，高超过1cm ，该圆台上､下底面圆周上的各个点均在球O 的表面上，且球O 的表面积为2100πcm ，则该圆台的体积为（ ）A.380πcmB.3259πcm 3 C.3260πcm 3D.387πcm8.过圆22:1O x y +=外一点(),M m n 做圆O 的切线MA ，切点为A ，若MA =23m n +的最大值为（ ）A. B. D.8二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知全集{}2230U x x x =∈+−Z∣ ，集合{}210B xx =−=∣，若UA 有4个子集，且AB ∩=∅，则（ ）A.1A ∉B.集合A 有3个真子集C.3A −∈D.A B U ∪=10.已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ABC 的面积记为S ，若4,60a A == ，则（ ）A.2SAC =⋅B.ABC πC.S 的最大值为D.若M 为线段AB 的中点，且CM =S = 11.已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()12f x y f x f y ++=++，且()01f =，则（ ）A.()11f −=− B.()f x 无最小值 C.301()1425i f i ==∑ D.()f x 的图象关于点()2,5−−中心对称三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知tan 2θ=，则1sin2θ=__________. 13.学校安排甲､乙等5名学生作为社区组织的“中老年趣味体育大赛”的项目志愿者，已知该比赛有,,A B C 这3个项目，每名学生只去1个项目做志愿者，且每个项目的志愿者至少有1人，则不同的安排方法有__________种.（用数字作答）14.已知O 为坐标原点，点,A B 在抛物线2:4E x y =上，且0,OA OB OD OA OB ⋅==+.记点D 的轨迹为曲线G ，若直线l 与曲线G 交于,M N 两点，且线段MN 中点的横坐标为1，则直线MN 的斜率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，1190,,222BAD AB DC CD AD DD ∠=====.（1）证明：1CB ∥平面11A BD ；（2）求1A C 与平面11A BD 所成的角的正弦值. 16.（15分）已知函数()()2ln f x a x x =−.（1）若0a ≠，讨论()f x 的单调性；（2）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线20x y +−=垂直，证明：()f x x . 17.（15分）为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若三次投掷的数字之和是6，12或18，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会.已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示.（1）已知某顾客有两次终极抽奖机会，求该顾客获得一个健身背包和一盒蛋白粉的概率； （2）求一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率.18.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>，过点()1,1E −的直线l 与C 交于,M N 两点，当l 的斜率为12−时，MN =（1）求C 的方程；（2）若,M N 分别在C 的左､右两支，点()(),21A t t t −≠，探究：是否存在t ，使得EAM EAN ∠∠=，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.19.（17分）定义：任取数列{}n a 中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列{}n a 具有“性质1”.已知项数为n 的数列{}n a 的所有项的和为n M ，且数列{}n a 具有“性质1”. （1）若4n =，且140,1a a ==−n M 的值；（2）若12024,2023a n ==，证明：“20232a =”是“()11,2,,2022k k a a k +>= ”的充要条件； （3）若10,2,0n a n M == ，证明：4n m =或()*41n m m =+∈N .2024年6月广东省高二年级统一调研测试数学参考答案及评分细则1.【答案】B【解析】题设数据共有10个数，因为1030%3×=，故第30百分位数为787.52+=.故选B. 2.【答案】A【解析】依题意，()()2i 13i 26i i 355i +−=−++=−，故所求虚部为-5.故选A. 3.【答案】C【解析】1,a c 2m =.故选C. 4.【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，显然1q ≠，则424221151S q q S q−==+=−，解得2q =或2q =−（舍去）.故选C. 5.【答案】A【解析】令()0f x =，解得cos x =±，则π5π7π11π13π,,,,66666x =，共5个零点.故选A. 6.【答案】D【解析】易知()f x 的单调性与n 无关， 解法一：当1m >时，函数()()31x f x m mn −=−⋅−单调递减，当01m <<时，函数()()31x f x m m n −=−⋅−单调递减，故()f x 的单调性与m 无关，与n 无关.故选D.解法二：依题意，()()31ln x f x m m m−′=−⋅⋅，因为0m >且1m ≠，故()1ln 0m m −⋅<，故()0f x ′<，则不论m 取何值，函数()f x 单调递减.故选D.7.【答案】B【解析】设球O 的半径为cm R ，上､下底面分别为圆12,O O ，依题意，24π100πR =，解得5R =，则24cm OO =，同理可得，13cm OO =，因为圆台的高超过1cm ，则该圆台的高为7cm ，该圆台的体积为()31259π9π16π12π7cm 33×++×=.故选B. 8.【答案】B【解析】依题意，2MO =，即224m n +=.解法一：()222222222(23)491249941352m n m n mn m n m n m n +=+++++=+= ，当且仅当221636,1313m n ==时等号成立，故23m n +的最大值为.故选B. 解法二：设23m n b +=，由题意知直线:230l m n b +−=与圆：224m n +=有公共点，令2，解得b ，故23m n +的最大值为故选B.9.【答案】ACD （每选对1个得2分）【解析】依题意，()(){}{}{}{}130313,2,1,0,1,1,1U x x x x x B =∈−+=∈−=−−−=−Z Z∣∣ ，而U A 有4个子集，A B ∩=∅，故{}3,2,0A =−−，故集合A 有7个真子集，B 错误，ACD 均正确.故选ACD.10.【答案】AC （每选对1个得3分）【解析】依题意，2sin cos 2S bc A AC A ==⋅==，故A 正确；记ABC 外接圆的半径为R，则2sin aRA==，则ABC，故B 错误；由余弦定理，222222cos a b c bc A b c bc bc =+−=+− ，则16bc，故1sin 2Sbc A = 4b c ==时等号成立，故C 正确；由C可知，当S =时，ABC为等边三角形，此时CM =故D 错误.故选AC.11.【答案】BCD （每选对1个得2分）【解析】解法一：令1,0x y =−=，得()()()0102f f f =−++，解得()12f −=−，故A 错误；令0y =，则()()13f x f x +=+，可知函数()f x 无最小值，故B 正确；()()1034f f =+=，则3013029()(1)(2)(3)(30)304314252i f i f f f f =×++++×+×∑，故C 正确；令4y x =−−，则原式化为()()()342f f x f x −=+−−+，即()()()43210f x f x f +−−=−−=−，故D 正确.故选BCD.解法二：依题意，()()()1112112112f x y f x f y +++−+=+−+++−+，令1,1x s y t +=+=，则()()()121212f s t f s f t +−+=−++−+，令()()12g x f x =−+，则原式化为()()()g s t g s g t +=+，令()g x kx =，则()2f x kx k =+−，代入()01f =，解得3k =，则()31f x x =+，故()()12,f f x −=−无最小值，()f x 的图象关于点()2,5−−中心对称，301(491)30()14252i f i =+×==∑.故选BCD.12.【答案】54【解析】依题意，2221sin cos tan 15sin22sin cos 2tan 4θθθθθθθ++===. 13.【答案】150【解析】依题意，不同的安排方法有2213113531521322C C C C C C A 150A +⋅=种. 14.【答案】12【解析】设直线:OA y kx =，则1:OB y x k =−，联立2,4,y kx x y = = 得()24,4A k k ，同理可得，244,B k k − ，设(),D x y ，则2244,44,x k ky k k=− =+ 化简可得，曲线21:84G y x =+.设()()1122,,,M x y N x y ，则21122218,418,4y x y x =+=+ 两式相减可得，()()12121214y y x x x x −=+−，则()1212121142MN y y k x x x x −==+=−.15.（1）证明：取CD 的中点E ，连接11,,D E BE A E ，因为1,2AB DC AB =∥1111,A B AB A B =，所以1111,A B CE A B =∥CE ，故四边形11CEA B 为平行四边形， 所以1CB ∥1A E ，易知四边形11BED A 是平行四边形，所以1A E ⊂平面11A BD ， 而1CB ⊄平面11A BD ，故1CB ∥平面11A BD .（2）解：以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()110,0,1,1,0,0,0,2,1,2,2,0A B D C ，所以()()()11111,0,1,0,2,0,2,2,1A B A D AC =−==−， 设(),,n x y z = 是平面11A BD 的法向量，则1110,0,n A B n A D ⋅=⋅=故0,20,x z y −== 令1z =，得1,0x y ==，则)1,0,1n =是平面11A BD 的一个法向量， 设1A C 与平面11A BD 所成的角为θ，则11sin A C n A C nθ⋅==即1A C 与平面11A BD. 16.（1）解：依题意，()()10,,2x f x a x a x ∞ ∈+=−′=，令()0f x′=，解得x =.若0a >，则当x ∈ 时，()0fx ′<，当x ∞ ∈+时，()0f x ′>，则()f x 在 上单调递减，在∞ +上单调递增；若0a <，则当x ∈ 时，()0f x ′>，当x ∞ ∈+ 时，()0f x ′<，则()f x 在 上单调递增，在∞ +上单调递减，综上所述，若()0,a f x >在 上单调递减，在∞ +上单调递增；若()0,a f x <在上单调递增，在∞+上单调递减.（2）证明：由（1）可知，()1f a ′=，而()()111f ⋅−=−′，解得1a =. 令()()()2ln ,0,h x f x x x x x x ∞=−=−−∈+，故()()()221112121x x x x h x x x xx′+−−−=−−==，则当()0,1x ∈时，()()0,h x h x ′<单调递减， 当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x ′>单调递增，故()min()10h x h ==，即()0h x ，故()f x x . 17.解：（1）记该顾客获得一个健身背包和一盒蛋白粉为事件M ， 则()12313C 448P M ××. （2）记事件1A =“顾客有两次终极抽奖机会”，事件2A =“顾客有一次终极抽奖机会”， 事件B =“获得蛋白粉”，故()3133168P A ==， ()21371416P B A =−=∣， ()214P B A =∣， 事件2A 包括的事件是：“3次投掷的点数之和为6"“3次投掷的点数之和为12”“3次投掷的点数之和为18”，①若“3次投掷的点数之和为6”，则有“1,1,4”“1,2,3”“2,2,2”三种情形，故共有213313C C A 110++=种； ②若“3次投掷的点数之和为12”，则有“1,5,6”“2,5,5”“2,4,6”“3,4,5”“3,3,6”“4,4,4”六种情形，故共有31233213323331A C C A A C C 125+++++=种； ③若“3次投掷的点数之和为18”，则只有“6,6,6”一种情形，故()2310251166P A ++==， 故()()()()()112217113781664384P B P A P BA P A PB A =+=×+×=∣∣. 18.解：（1）依题意，直线11:22l y x =−−，e c a =，故a b =，联立222,11,22x y a y x −= =−−得2232140x x a −−−=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则21212214,33a x x x x ++==−，则2MN x =−=， 解得21a =，故C 的方程为221x y −=.（2）因为EAM EAN ∠∠=，故cos cos EAM EAN ∠∠=，故AE AM AE AN AE AM AE AN ⋅⋅=，所以AM AE AE ANAN AN⋅⋅=， 又AM EM EN AN=，故AE EMAE AN AN EN⋅=. 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y kx k =−+，其中()()334411,,,,k M x y N x y −<<，由()221,1,x y y kx k −= =−+ 得()()222121220k x k k x k k −++−−−=， 故()23434222122,11k k k k x x x x k k+−−−+=−=−−， 因为()()()33441,1,,2,,2AE t t AM x t y t AN x t y t =−−=−−+=−−+ ， 所以()()()()3344121,121AE AM t x kx k t AE AN t x kx k t ⋅=−+−−+⋅=−+−−+ ， 所以333444211211x kx k t x x kx k t x +−−+−=+−−+−， 整理得()()()34341210k x x k t x x k t +−++++−=， 结合根与系数的关系解得32t =， 经检验，存在31,22A −，使得EAM EAN ∠∠=，故32t =. 19.（1）解：依题意，若:0,1,0,1n a −，此时0n M =； 若:0,1,0,1n a −−，此时2n M =−；若:0,1,2,1n a −−−，此时4n M =−（2）证明：必要性：因为()11,2,,2022k k a a k +>=，故数列{}()1,2,3,,2023n a n = 为等差数列， 所以()111,2,,2022k k a a k +−=−= ，公差为-1， 所以()()202320242023112a =+−×−=； 充分性：由于2023202220222021211,1,,1a a a a a a −−−−−− ，累加可得，202312022a a −− ，即2023120222a a −=， 因为20232a =，故上述不等式的每个等号都取到，所以()1101,2,,2022k k a a k +−=−<=， 所以()11,2,,2022k k a a k +>=， 综上所述，“20232a =”是“()11,2,,2022k k a a k +>=”的充要条件. （3）证明：令()11,2,,1k k k c a a k n +=−=− ，依题意，1k c =±，因为21131121121,,,n n a a c a a c c a a c c c −=+=++=++++ ， 所以()()()11231123n n M na n c n c n c c −=+−+−+−++ ()()()()()()()12112111121n n n c n c n c −=−+−++−−−−−−−−− ()()()()()()1211111212n n n c n c n c −− −−−+−−++− ，因为1k c =±，所以1k c −为偶数()1,2,,1k n =− ，所以()()()()()12111121n c n c n c −−−+−−++− 为偶数； 所以要使0n M =，必须使()12n n −为偶数，即4整除()1n n −， 亦即4n m =或()*41n m m =+∈N， 当()*4n m m ∈N 时，比如()41434240,1,11,2,,k k k k a a a a k m −−−===−== 或4143420,1k k k a a a −−−===，()411,2,,k a k m =−= 时，有10,0n a M ==； 当()*41n m m =+∈N 时，比如()4143424410,1,1,01,2,,k k k k k a a a a a k m −−−+===−=== 或41430k k a a −−==，()424411,1,01,2,,k k k a a a k m −+==−== 时，有10,0n a M ==； 当42n m =+或(43n m m =+∈N 时，()1n n −不能被4整除，0n M ≠.。

试卷类型：A2024年深圳市普通高中高二年级调研考试数学2024.7本试卷共4页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合}1,02{,1,A -=，2{|}3B x x =∈Z ，则A B =A ．{0,1}B ．{}1,0,1-C ．{0,1,2}D ．}1,0,{1,2-2．若复数z 满足i(2)1z -=，则z =A ．2i--B ．2i-+C ．2i-D ．2i+3．已知向量a ，b ，c 为非零向量，则“=b c ”是“⋅=⋅a b a c ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是A ．若//m α，n α⊂，则//m nB ．若//m α，//αβ，则//m βC ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥5．已知a ，b ，c 均为不等于1的正实数，若32a b =，32b c =，则log ()c ab =A ．53B ．65C ．76D ．1096．从9名同学中选出4人去参加环保活动，若甲、乙两名同学至少有1名参加，则选派方案共有A ．56种B ．70种C ．91种D ．126种7．P ，Q 分别是抛物线22x y =和x 轴上的动点，(2,1)M -，则||||PM PQ +的最小值为A ．5B ．52C D ．28．已知sin cos 5αα+=，且3π2π2α<<，则πtan(2)4α+的值为A ．17-B ．17C ．7-D ．7二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。