二次三项式

初中数学什么是二次三项式二次三项式是指一个含有二次项（x^2）的三项式。

在初中数学中，我们通常会学习二次三项式的展开、因式分解以及求解相关问题。

下面我将为您详细介绍二次三项式的定义、展开、因式分解和求解相关问题的方法。

一、二次三项式的定义二次三项式是由三个部分组成的多项式，其中包含二次项（x^2）、一次项（x）和常数项。

一般的二次三项式可以表示为ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别是二次项、一次项和常数项的系数。

二、二次三项式的展开展开二次三项式意味着将它们进行乘法运算，并将结果合并为一个多项式。

展开二次三项式的步骤如下：1. 将二次三项式的每一项按照乘法法则进行乘法运算。

例如，对于二次三项式(ax^2 + bx +c)(dx^2 + ex + f)，我们需要将每个项与其他项相乘。

2. 将乘法运算的结果合并为一个多项式。

合并时，将相同次数的项进行合并，并将系数相加。

例如，展开二次三项式(x + 2)(x - 3)的步骤如下：(x + 2)(x - 3) = x(x) + x(-3) + 2(x) + 2(-3)= x^2 - 3x + 2x - 6= x^2 - x - 6所以，二次三项式(x + 2)(x - 3)展开后得到x^2 - x - 6。

三、二次三项式的因式分解因式分解是将一个多项式表示为两个或多个因式的乘积。

对于二次三项式，我们可以使用因式分解的方法将其分解为两个一次项的乘积。

例如，对于二次三项式x^2 + 5x + 6，我们可以进行因式分解的步骤如下：1. 找到两个数的乘积等于常数项（6），并且两个数的和等于一次项的系数（5）。

在这个例子中，我们可以选择2和3。

2. 将一次项拆分为两个部分，使用选定的两个数。

在这个例子中，我们将5x拆分为2x和3x。

3. 进行拆分后的二次三项式的因式分解。

得到：x^2 + 5x + 6 = x^2 + 2x + 3x + 6= (x(x + 2) + 3(x + 2))= (x + 2)(x + 3)所以，二次三项式x^2 + 5x + 6可以被因式分解为(x + 2)(x + 3)。

二次三项式判别式《二次三项式判别式：数学里的神奇小秘密》我呀，一直觉得数学就像一个巨大的魔法世界。

在这个世界里，二次三项式判别式就像是一把神秘的小钥匙，能打开好多好多有趣的大门呢。

二次三项式，听起来是不是有点高大上？其实它就是像ax² + bx + c这样的式子，这里的a、b、c可都是有自己任务的数字哦。

那这个判别式呢，就是△ = b² - 4ac。

这小小的判别式，本事可大着呢。

就好比我们在玩游戏，这个判别式就是游戏里的一个超级规则。

有一次，我和我的小伙伴小明一起做数学题。

那道题就是关于二次三项式的。

小明看着那道题，愁眉苦脸地说：“这二次三项式怎么这么难搞啊，感觉就像一团乱麻。

”我就跟他说：“嘿，你可别小瞧它，咱们有判别式这个大法宝呢。

”当△>0的时候呀，那就像打开了一扇通往有两个不同答案的大门。

就好像我们去摘苹果，树上有两个不同地方的苹果可以摘到。

比如说二次三项式x² - 3x + 2 = 0，这里a = 1，b = -3，c = 2，那△ = (-3)² - 4×1×2 = 9 - 8 = 1，1大于0呢。

这就意味着这个方程有两个不一样的解。

我和小明一起算了算，发现解出来是x = 1和x = 2。

我们当时可高兴了，就像发现了宝藏一样。

要是△ = 0呢，这就像是只有一个苹果可摘啦。

方程就只有一个解。

我记得有个式子是x² - 2x + 1 = 0，a = 1，b = -2，c = 1，算一下△ = (-2)² - 4×1×1 = 4 - 4 = 0。

这个时候，方程的解就是x = 1。

我就跟小明说：“你看，这判别式多厉害，就像一个精准的小侦探，一下子就把答案找出来了。

”小明也笑着说：“是啊，之前觉得二次三项式好复杂，现在有了这个判别式，好像也没那么可怕了。

”还有啊，当△<0的时候，这就有点像我们在找根本不存在的东西。

什么叫二次三项式举例说明二次三项式，这个听上去有点高大上的词，其实就像是数学里的小精灵，乍一听让人觉得深奥，但其实没那么复杂。

想象一下，二次三项式就像是你在做一个美味的蛋糕，里面有三种主要的成分，每种成分都起着至关重要的作用。

比如，咱们可以说一个二次三项式是形如ax² + bx + c 的样子，其中 a、b、c 都是数字。

你知道吗，这里的“a”可不能是零哦，否则这个蛋糕就没法发起来了。

就像我们做蛋糕的时候，少了面粉那可就不成了，都是上天的眷顾啊。

举个例子吧，想象你有一个二次三项式2x² + 3x + 5。

这个式子就像是你去超市买东西时，推着购物车，车里装的分别是面粉、糖和鸡蛋。

这里的 2 是面粉的份量，说明咱们要的蛋糕底是多么扎实；3x 就是糖，让蛋糕甜甜的，带来一丝丝的快乐；5 就是鸡蛋，给我们的蛋糕增加了丰富的口感。

没错，就是这么简单，把这三样东西放在一起，搅拌一下，哇，蛋糕就成了！这就是二次三项式的魔力，简简单单的数字组合，竟然能变出千变万化的图形和函数。

再说说图形，这个二次三项式还会在平面上画出一条优雅的抛物线。

想象一下，这就像是在滑雪，滑雪者从高处滑下，越往下滑越快，最后平稳地停下来。

抛物线的形状就是这种感觉，开头慢慢上升，然后再迅速下降，最后平稳过渡。

这就是二次三项式在图形上的表现。

它的最高点叫做顶点，就像滑雪者在高峰上的那一瞬间，俯瞰全景，随时准备向下冲去。

咱们再来聊聊这二次三项式的应用，真是无处不在啊。

想想你买东西时，价格往往会涨跌不定，这时候就能用到它。

比如说，假设你在做一个投资计划，花了一些钱去买股票，过了一段时间后，这个股票的价格会随着市场的变化而上下波动。

用二次三项式来建模，就能帮助你更好地预测未来的价格走势，真是个好帮手呢。

仿佛就看到你在计算时的那种专注劲儿，真让人佩服。

数学可不仅仅是冷冰冰的数字和公式。

在学校里，二次三项式也是你和小伙伴们争相讨论的话题。

例 1 在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ；（2）1842-+-x x .分析 对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2=))((21x x x x a --.解 （1）∵ 方程3222--x x 0=的根是 522522212)3(14)22(222±=±=⨯-⨯⨯-±=x∴ 52,5221-=+=x x ∴3222--x x )52)(52(+---=x x（2） ∵ 方程01842=-+-x x 的根是 2328348)4(2)1()4(4882±=-±-=-⨯-⨯-⨯-±-=x ∴232,23221-=+=x x ∴)232)(232(41842--+--=-+-x x x x )322)(322(+----=x x说明 分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.例 2把22542y xy x --分解因式.分析 此二次三项式中有两个字母x 和y ，在分解时可以把它看作是其中一个字母（如x ）的二次三项式，而另一个字母（y ）可看作是已知数.解 ∵ 关于x 的方程22542y xy x --0=的根是22)5(24)4(422⨯-⨯⨯--±=y y y x 41424y y ±= y 2142±=， ∴.2142,214221y x y x -=+= ∴)2142)(2142(254222y x y x y xy x --+-=-- 说明 分解的结果不要丢掉两个一次因式里的y .例3 当k 取何值时，二次三项式k x x 2432+-（1）在实数范围内能分解？（2）不能分解？（3）能分解成一个完全平方式？这个完全平方式是什么？分析 二次三项式能否分解的关键是对应的二次方程是否有解，而方程是否有解由其∆的符号决定.解 设k x x 2432+-0= 则k k 2416234)4(2-=⨯⨯--=∆若02416>-k ，即32<k 时方程有两个不相等的实数根. 此时k x x 2432+-在实数范围内能分解.（2）当32>k 时，k x x 2432+-不能分解. （3）当32=k 时，方程为034432=+-x x . 3232421=⨯--==x x . 此时22)32(33443-=+-x x x 为一个完全平方式.典型例题四例 已知二次三项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则b 、c 的值为（ ）A ．1,3-==c bB ．2,6=-=c bC ．4,6-=-=c bD ．6,4-=-=c b分析与解答 可利用多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形这一关系解.)32(2)1)(3(22--=+-x x x x.264222c bx x x x ++=--=∴ 4-=b 且6-=c .∴ 选D.典型例题五例 已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.分析：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式0=∆解 对于一元二次方程02)6(92=-++-m x m x ，其中9=a ，)6(+-=m b ，2-=m c ，∴ac b 42-=∆[])2(94)6(2-⨯⨯-+-=m m 108242+-=m m原二次三项式是一个完全平方式，∴ 0=∆，即0108242=+-m m0)18)(6(=--m m∴61=m ，182=m故当6=m 或18=m 时，二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式.说明：若042=-ac b ，则二次三项式c bx ax ++2)0(≠a 为完全平方式；反之，若c bx ax ++2)0(≠a 为完全平方式，则042=-ac b .典型例题六例 k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x （m 为有理数）的根为有理数？分析：根据一元二次方程的求根公式，若使方程的根为有理数，需使方程的判别式∆是关于m 的完全平方式，即ac b 42-为有理数；又根据二次三项式的因式分解公式知，若使∆为完全平方式，需使关于m 的方程0=∆的根21m m =，即方程0=∆的判别式0=∆'，进而求得k 的值.解 把原方程化为一般式，得0)423()44(22=+-+--k m m x m x若使方程有有理根，只需使∆为关于m 的完全平方式.[])423(14)44(22k m m m +-⨯⨯---=∆ 16162442+--=k m m若使16162442+--=∆k m m 是关于m 的完全平方式，需使 0)1616(44)24(2=+-⨯⨯--=∆'k ，即02016=+k ∴45-=k ∴当45-=k 时，方程有有理根. 说明：上述求解中多次利用根的判别式，这里有一个结论，即二次三项式c bx ax ++2为完全平方式042=-=∆⇔ac b .典型例题七例 在实数范围内分解因式：22212)16)(1(a a a a a ++-++分析：在实数范围内分解二次三项式的问题，通常是采用公式法，在实数范围内分解因式，是指分解的结果中各因式的数字系数可以是实数范围内的任意实数.解 把原式化为22212)16)(1(a a a a a ++-++[]222127)1()1(a a a a a a +-++++=222212)1(7)1(a a a a a a +++-++= [][]aa a a a a 4)1(3)1(22-++-++=)13)(12(22+-+-=a a a a22)1(12-=+-a a a ，0132=+-a a 的两根为2531+=a ，2532-=a ， ∴原式)253)(253()1(2--+--=a a a . 说明：本题不是直接给出二次三项式要求分解因式，而是需要综合运用因式分解的方法进行分解.对于题中所给的多项式，若直接展开后重新分组分解，则计算量较大，且有一定的难度.上述求解中，是注意到两个二次三项式中仅一次项不同，采用了整体代换方法构造出含12++a a 的二次三项式，从而达到分解因式的目的.同时，因式分解要分解到每一个因式都不能再分解之止.选择题1．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--y x y x 465746572是以下那个多项式分解因式形成的（ ） A ．22272y xy x -+ B ．22372y xy x -+C ．2273y xy x -+D ．22272y xy x ++2. 分解因式：3422--x x （）A ．)2101)(2101(--++x x B ．)2101)(2101(2+---x x C ．)2101)(2101(2--++x x D ．)1022)(1022(21+---x x 3．在实数范围内分解因式241x x +-，正确的结果是（ ）A ．)1)(4(+-x xB ．)32)(32(+---x xC ．)1)(5(+-x xD ．)32)(32(++-+x x4. 以71+与71-为根的一元二次方程是（）A ．0622=--x xB ．0622=+-x xC ．0622=-+y yD ．0622=++y y 5. 分解因式：2223y xy x -+（）A ．))(3(y x y x -+B ．)1)(31(3+-x x C ．)1)(13(+-x x D ．))(3(y x y x +- 6. 分解因式：)13()12()2(2--+--m x m x m （）A ．[])13()2()1(---+m x m xB ．[])13()2()1(-+--m x m xC ．[])13()2()1(+--+m x m xD ．[])13()2()1(+---m x m x7. 分解因式：2732++x x （） A ．)2)(31(--x x B ．)2)(13(++x x C ．)2)(31(++x x D ．)2)(1(3++x x8. 若一元二次方程02=++q px x 的两根为3-和4，则二次三项式02=+-q px x 可分解为（）A ．)4)(3(-+x xB ．)4)(3(+-x xC ．)4)(3(++x xD ．)4)(3(--x x 9．多项式22432y xy x -+在实数范围内分解因式正确的结果是（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x y x 44134413 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---y x y x 441344132 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+y x y x 441344132 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---y x y x 44134413答案：1. A;2. D3. B ;4. A ;5. D;6. A;7. B;8. B;9. B.判断题1. c bx ax --2)0(≠abc 是关于x 的二次三项式。

二次三项式，分解因式的技巧、窍门二次三项式，ax" + bx + c ( a > 0 )，构成了中学数学的重点，一元二次方程ax" + bx + c = 0 和二次函数y = ax" + bx + c 。

解一元二次方程，通常也都是使用因式分解法。

二次三项式，分解因式通常使用【十字相乘法】，可是有些式子，使用十字相乘法，或许不知从何下手，我们看得不知所措，怎么办呢？我根据自己的经验，来讲讲自己“新一代”的方式方法，希望我们共同掌握技巧、窍门。

让我们一同探索奥秘，一同拿起新武器吧！工具/原料∙拆项分组分解因式，或者这样做草稿，分解因式就会感到方便轻松。

∙例题（1），x" ±10x ±24 ；∙例题（2），8x" ±52x ±60 ；∙配方法分解因式，解一元二次方程，对付复杂的式子，也是使用配方法。

①拆项分组分解法(1)，x" ±10x ±24正如x" + (a+b)x + ab = ( x + a )( x + b )，先把单项式mx = (a+b)x 一分为二，变成ax + bx ，就能够分组，提公因式，进行分解了。

关键是看常数项的正负，决定一次项怎样一分为二：【】如果常数项是正数，一次项拆开两个项的绝对值，就都比原来小；【】如果常数项是负数，一次项的绝对值，就是拆开两个项的相差数。

2②一次项怎样一分为二，为什么要根据常数项的正负呢？我们看看 x" ±10x ±24 这个二次三项式。

它相当特别，一次项、常数项，都有正负两种情况。

一次项、常数项的绝对值不变，整个式子就有四种情况，具体的四个式子都能做因式分解。

只要把具体的四个式子都做一遍，我们就会发现：【】常数项不变，只是一次项变成相反数，一次项一分为二的绝对值就不变；【】一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式。

第12讲 二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用（一）【学习目标】本节涉及的二次三项式的因式分解，是不能直接运用十字相乘法进行因式分解，针对此类的二次三项式要借助一元二次方程的知识进行解答．同时，通过本节的学习，充分了解二次三项式与其相对应的一元二次方程之间的联系．其次，会运用方程思想解决实际问题，重点问题找到题目中的等量关系，其中列方程思想是本节的重点内容．【基础知识】一、二次三项式的因式分解（1）形如的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++． 二、一元二次方程应用：利率问题 1、列一元二次方程解应用题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去． 2、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）； 本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．【考点剖析】考点一：二次三项式的因式分解例1．若方程24210y y --=的两个根是1154y +=，2154y -=，则在实数范围内分解因式2421y y --=____________．【难度】★ 【答案】．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例2．将2441x x --在实数范围内分解因式___________．【难度】★ 【答案】4．【解析】因为方程24410x x --=的两个根为：1122x +=，2122x -=，所以2441x x --=4． 【总结】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．例3．将2352x x -+在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ）A ．2(1)()3x x ++B ．2(1)()3x x --C ．23(1)()3x x -+D ．【难度】★ 【答案】D【解析】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式 的分解公式为：2ax bx c ++．【总结】本题可以利用公式进行分解，也可以根据选项，将每一个选项乘开之后进行判定．例4．若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3-++--x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________． 【难度】★ 【答案】2211+=x ，2122-=x ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分 解公式为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．例5．在实数范围内分解因式： （1）28x -；（2）35x x -； （3）2328x x +-；（4）21130x x -+．【难度】★【答案】（1）(282222x x x -=-+； （2）(3555x x x x x -=；（3）()()232874x x x x +-=+-；（4）()()2113056x x x x -+=--．【解析】 （1）（2）中不能够用十字相乘法；（3）（4）可以用十字相乘法． 【总结】本题主要考查利用适当的方法对多项式进行因式分解．例6．在实数范围内分解因式： （1）426x x --； （2）42341x x -+．【难度】★【答案】（1）()()()4226233x x x x x --=++-；（2）()()423334131133x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+--+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】将表达式中的2x 看成一个整体，则可以进行十字相乘法或者求根公式法分解． 【总结】本题主要考查在实数范围内进行因式分解，注意分解要彻底．例7．在实数范围内分解因式： （1）241x x ++；（2）242x x --．【难度】★★【答案】（1）()()2412323x x x x ++=+++-；（2）()()2422626x x x x --=---+．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例8．在实数范围内分解因式： （1）2231x x +-； （2）2423x x +-； （3）2361x x -+；（4）2633x x +-．【难度】★★【答案】（1）23173172312x x x x ⎛+-+-=+ ⎝⎭⎝⎭；（2）21131134234x x x x ⎛+-+-= ⎝⎭⎝⎭； （3）236363613x x x x ⎛+--+= ⎝⎭⎝⎭；（4）233633623x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例9．在实数范围内分解因式： （1）2621x x --+；（2）24411x x -++．【难度】★★【答案】（1）21717621666x x x x ⎛⎫⎛⎫+---+=-++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）21231234411422x x x x ⎛⎫⎛⎫+--++=--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例10．在实数范围内分解因式：（1）222x ax a --； （2）2231211x xy y ++； （3）2241x y xy +-；（4）22285x xy y -+．【难度】★★【答案】（1）()()22222x ax a x a a x a a --=--；（2）226363312113x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫+-++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （3）22117117414x y xy xy xy ⎛+-+-=+ ⎝⎭⎝⎭；（4）2246462852x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫+--+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例11．二次三项式2342x x k -+，当k 取何值时， （1）在实数范围内能分解； （2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？ 【难度】★★ 【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为．【解析】（1）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解，则方程23420x x k -+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅--=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k -+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅--=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k -+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅--=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解． 考点二：一元二次方程应用：利率问题例1．某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？ 【难度】★【答案】方式一划算．【解析】方式一：两年后可取出：()1123661100002=+％；方式二：两年后可取出：()100622.6110000=+％； ∵11236>10062，∴方式一划算．【总结】本题主要考查利率的应用，注意对两种不同存款方式的区分．例2．某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%的利息税，）． 【难度】★ 【答案】4％．【解析】设这种存款的年利率是x ，由题意可列方程：， 则()07744.19512=+x ％，解：038.1951±=+x ％（负值舍去），04.0=x ．答：这种存款的年利率是4％．【总结】注意要扣除利息税，则第一年的表达式为()x ％9511000+，而不是()x +11000．例3．王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本利和全部取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本利和共530元，求第一次存款时的年利率，只列式不计算．（不计利息税） 【难度】★★【答案】设第一次存款时的年利率为x ，则可列方程为：．【解析】注意年利率的变化．例4．李立购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率． 【难度】★★ 【答案】9％．【解析】设这种债券的年利率为x ， 则可列方程为，化简可得：0818555002=-+x x ，分解可得：，解：591-=x （负值舍去），09.02=x ．答：这种债券的年利率为9％．【总结】本题中需要注意对题意得理解以及解方程的方法．【过关检测】一、选择题1（2019浦东一署10月考4）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ） A.2615x x +-； B. 2373y y ++； C.2224x x --； D.2245y y -+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24146153610b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac -=-⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为244424360b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为2416425240b ac -=-⨯⨯=-<,故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.2.（浦东南片2019期中4）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ） A.1562-+x x B.3732++y y C.422--x x D.22542y xy x +- 【答案】D ；【解析】 解：A 、因为24146153610b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac -=-⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac -=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y -=-⨯⨯=-,又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴-<，故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.3.（2019曹杨10月考4）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ） A.2411x x +-； B. 2373y y ++; C. 224x x --; D. 22245x xy y -+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24144111770b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac -=-⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac -=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y -=-⨯⨯=-,又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴-<，故此二次三项式在实数范围内不以因式分解.故答案选D.4.（青浦实验2019期中2）二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为（ ）A. B.C. 2(x+)(x-)22D. 2(x-)(x-22【答案】D ；【解析】解：令2x 2-8x +5=0，解得：x 1x 22x 2-8x +5=2(x x ．故选D ．二、填空题5.（浦东四署2020期末9）在实数范围内分解因式：232x x --＝ .【答案】3322x x ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【解析】解：因为方程2320x x --=的两根为x =，故232x x --=x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 6.（青浦实验2019期中15）在实数范围内因式分解：222x x --=__________________.【答案】2(x x ；【解析】解：2220x x --=的解是114x +=，214x -=，所以222x x --=2(x x ．7.（嘉定区2019期中12）在实数范围内分解因式：243x x --= ____________________．【答案】(22x x --；【解析】解：解方程x 2-x-3=0，得x=2±则：x 2-4x-3=(22x x --+.8.（西延安2019期中11）在实数范围内因式分解：2221x x --=______.【答案】2⎛ ⎝⎭⎝⎭x x ； 【解析】解：22122122x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭=21111222442x x ⎛⎫-⋅+-- ⎪⎝⎭=213224x ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==11222x x ⎛-- ⎝⎭⎝⎭=2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 9（徐教院附2019期中13）在实数范围内分解因式:241x x --=______________【答案】(22x x --；【解析】解：原式=2445x x -+-=()222x --=(22x x -+-.10（浦东新区2020期末10）在实数范围内分解因式：2225x x --=____．【答案】112(22x x ---+；【解析】解：2225x x --=21112()42x x -+-=21112()22x --=21112()24x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦11=2(22x x --，故答案为：112()()2222x x ---+． 11.（浦东南片2020期末9）如果关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值） 【答案】5；【解析】解：当241640b ac m -=-<即4m >时，关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能因式分解，如m 取5等等. 三、解答题12．（2019·上海八年级课时练习）在实数范围内分解因式：（1）224x x --；（2）223x xy y --.【答案】（1）(11x x -- （2）【分析】（1）前两项先配成完全平方公式，然后根据平方差公式，可得答案； （2）先解方程2230x xy y --=，然后分解因式即可．【详解】（1）原式=（x 2﹣2x +1）﹣5=（x ﹣1）22=（x ﹣1x ﹣1（2）∵2230x xy y --=的解是x y =，∴原式=． 【点睛】本题考查了因式分解，利用乘法公式和求根公式是解答本题的关键． 13.（浦东南片2019期中21）在实数范围内将关于x 的二次三项式因式分解： （1）231x x +- （2）2232y xy x --.【答案】（1）(x x ；（2）2()()x y x y ；【解析】 解：（1）令2310x x +-=，则9413∆=+=，所以1,232x -±=，故231(x x x x +-=；（2）令22230x xy y --=，则2229817y y y ∆=+=，所以1,234x y -±=，故22232()()x xy y x y x y +-=. 14.（2019曹杨10月考22）分解因式：2235a ab b --.【答案】;【解析】解：因为222=2543()370b b b ∆-⨯⨯-=≥，故方程22350a ab b --=的两根为a =，故22353a ab b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.15.（2019上外10月考22）如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围． 【答案】p ≥﹣1且p ≠0；【解析】解：∵二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，∴px 2+2x ﹣1＝0有实数解，∴△＝4+4p ≥0，且p ≠0，解得：p ≥﹣1且p ≠0．16．（2019·上海八年级课时练习）阅读题：分解因式：223x x --. 解：原式22113x x =++--()214x =+- .此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +-.【答案】(2121a a ++.【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可．【详解】()(224412122121a a a a a +-=+-=++【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键. 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．。