初高中数学衔接学案一乘法公式

江苏省泰兴中学初高中数学衔接教学案（一）乘法公式、因式分解(2)班级 姓名一、引入新课1、关于x 的二次三项式2(0)ax bx c a ++≠的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.此时，称2(0)a x b x c a ++≠可被12x x x x --和整除.（1）若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠有一根是0x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠必有一个因式是0x x -，即20(0)ax bx c a ++=≠可被0x x -整除.此时2(0)ax bx c a ++≠必可分解为'00()()a x x x x --，其中0'x 是方程的另一个根. （2）若二次三项式2(0)ax bx c a ++≠的系数,,a b c 满足0a b c ++=，则它必有一个因式是1x -；满足0a b c -+=，则它必有一个因式是1x +.2、一元多项式的除法我们把形如 1110,(0)n n n n n a x a x a x a a --++++≠，(n 为非负整数)的代数式称为关于x 的一元多项式，常用(),()f x g x ，…表示一元多项式．我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念． 一般地，一个一元多项式()f x 除以另一个一元多项式()g x 时，总存在一个商式()q x 与一个余式()r x ，使得()()()()f x g x q x r x =+成立，其中()r x 的次数小于()g x 的次数．特别地，当()0r x =时，称()f x 能被()g x 整除．（1）若关于x 的方程()0f x =有一根是0x ，则一元多项式()f x 必有一个因式是0x x -，即()f x 可被0x x -整除.此时必有0()()()f x x x g x =-，其中()g x 是次数小于()f x 的次数的一元多项式.（2）若()f x 的所有项的系数和为0，则()f x 必有因式1x -；若()f x 的奇次项与偶次项的系数差为0，则()f x 必有因式1x +.二、例题精讲例1 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2(1)x a x a -++（3）222525525x xy y x y -+---（4）已知2267314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++，试确定,,a b c 的值.例2 (1) 利用因式分解的方法解方程32320x x -+=；(2) 已知32()528f x x x x =-++能被2x a x a --和整除，求a 的值.例3 （1）如果257x kx -+被52x -除后余6，求k 的值及商式.(2)设g(x)=3x 2-2x+1，f(x)=x 3-3x 2-x-1，求用g(x)去除f(x)所得的商q(x)及余式r(x)．。

第 2 讲十字相乘法因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。

在分式运算、解方程及各种恒等变形中起重视要的作用，是连续高中数学学习的一项基本技术。

因式分解的方法好多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法( 平方差公式和完满平方公式) 外，还有公式法( 立方和、立方差公式) 、十字相乘法和分组分解法等。

【知识梳理】1.乘法公式：初中已经学习过了以下乘法公式：（ 1）平方差公式(a b)(a b)a2b2；（ 2）完满平方公式(a b)2a22ab b2．（ 3）立方和公式(a b)(a2ab b2 )a3b3；（ 4）立方差公式(a b)( a2ab b2 )a3b3；2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这类变形叫做把这个多项式分解因式．3．因式分解与整式乘法的差别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系．（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘．4．因式分解的思路：（1）先看各项有没有公因式，如有，则先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即经过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的最后结果必然是几个整式的乘积，不然不是因式分解；（5）因式分解的结果必然进行到每个因式在要求的范围内（比方有理数范围内）不可以再分解为止．5．因式分解的解题步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完满平方公式）、三检查（完满分解）．【高效演练】1．将以下各式因式分解：（ 1）x26x 7；（ 2）2x ﹣ 6x +4x；32（ 3）a24ab5b2；（ 4）x22x 3；（ 5）ax510ax416ax3；（ 6）a2b216ab39 ；（ 7）152 n7n n 142n 2；y yx x（ 8）x2222x 23x72 ；3x【答案】 (1)( x1)(x7) ；（ 2） 2x（ x﹣ 1）（ x﹣2）；（3）(a 5b)(a b)；（ 4）x22x14( x1) 222( x 12)( x12)( x3)( x1) ；（ 5）ax3( x 2)( x8) ；（ 6）原式ab 2ab39ab3ab1316（ 7）原式3x n y n15x n 4 y n1（ 8）原式x 23x 4 x23x18x4x 1x 6 x32. 把4x4y25x 2 y 29 y2分解因式的结果是________________。

初高中数学衔接 1.1乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b+-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b-++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b+=+++； （5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． ．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。

初高中衔接知识专题乘法公式
先来看今天的知识点：
乘法公式：
1. 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b
2.
2. 立方和公式： (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b
3.
3. 立方差公式： (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3.
4. 完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2;
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
5. 完全立方公式：
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
这些公式可以用多项式乘多项式的方法，通过计算获得，亲爱的同学，你可以把这些公式作为练习，自己计算一下.
记忆这些公式时，要注意以下几点：
第一：要注意公式中有负号时，负号所处的位置.
第二：完全平方公式展开后，每一项的次数都是2，如果某一项里面有两个字母，它的系数也是2，如： 2ab；如果某一项是单独一个字母的平方，它的系数是1，如： a2.
完全立方公式与此类似.
有“负号”的那个完全立方公式，展开后，如果某一项含有b的奇数次方，这一项的符号就是“负号”. 如： -3a2b，因为它含有b的一次方，所以它的符号是“负号”.
千万不要小看上面的这两道例题哦，它们不但经常会出现在初中的一些探究题中，而且可以作为最基本的模型，在高中的好多知识模块中都能用到. 亲爱的同学，你一定要好好琢磨这两道例题的特点和解法，最好能自己再做一遍.。

高一数学学案 序号 001 高一 年级 班 教师 方雄飞 学生课题 初高中衔接第一讲：乘法公式学习目标：回顾初中所学习的一些基本知识，并掌握常用的几个公式。

学习重点：公式的熟练应用。

学习难点：立方和与立方差公式的应用。

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ： 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 ： 2222)(b ab a b a ++=+=-2)(b a（3）完全平方的转化： 22)()(b a b a -=++-+=-22)()(b a b a 练习：．．（3x+ ）2=9x 2+ +4 （x- ）2=x 2-x+推广：我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：证明：例1：计算下列各式：○122)312(+-x x ○2 2)532(y x -+练习1：计算下列各式：○12)32(c b a -+ ○222)12(+-x x例2：（1）计算：（2a+b ）（4a 2-2ab+b 2） （2）分解因式：83+x练习2：分解因式：○131x + ○238127a +证明：例3：分解因式：○11253-x ○23327n m -练习3：分解因式：○166n m - ○2338127n m -学习小结：课后作业： 1． 填空：（1）(4m + ++=m m 416)22（2）++=-+2224)2(b a c b a 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数3、计算 （1）、（3x+2y ）（9x 2-6xy+4y 2） （2）、（2x-3）（4x 2+6xy+9）（3）、)916141(31212++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m （4）、（a+b ）（a 2-ab+b 2）（a-b ）（a 2+ab+b 2）4、分解因式：○1338b a - ○231q +○3318q +5、已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．6、已知2310x x -+=，求331x x +的值．思考题：已知0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．。

初高中数学衔接知识点专题（一）★ 专题一 数与式的运算【要点回顾】 1．绝对值[1]绝对值的代数意义： ．即||a = ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔．2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++=[公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]33a b =- (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式[1]0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2= ；= ；= ；= ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a的平方根，记作0)x a =≥，其(0)a ≥叫做a 的算术平方根．[3]立方根的概念： 叫做a的立方根，记为x =4．分式[1]分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，如2m n p m n p+++，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4．例2 计算：（1）221()3x + （2）2211111()()5225104m n m mn n -++（3）42(2)(2)(416)a a a a +-++ （4）22222(2)()x xy y x xy y ++-+例3 已知2310x x -==，求331x x +的值．例4 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）（2）1)x ≥（3） （4）例6设x y ==，求33x y +的值．例7 化简：（1）11xx x x x -+- （2）222396127962x x x x x x x x ++-+---+ （1）解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=====--⋅+-++--+-++ 解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+-++--+-⋅ （2）解：原式=2223961161(3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=---++-+-+--22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x +-------===+-+-+说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 ．【巩固练习】1． 解不等式 327x x ++-<2．设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值．3． 当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab+--的值．4． 设x=，求4221x x x ++-的值．5． 计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-6．化简或计算：(1)3÷ (2)(4) ÷+1AC |x －1||x －3|● 各专题参考答案 ●专题一数与式的运算参考答案例1 （1）解法1：由20x -=，得2x =；①若2x >，不等式可变为21x -<，即3x <； ②若2x <，不等式可变为(2)1x --<，即21x -+<，解得：1x >．综上所述，原不等式的解为13x <<．解法2： 2x -表示x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式21x -<的几何意义即为x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x 的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为13x <<．解法3：2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<，所以原不等式的解为13x <<．（2）解法一：由10x -=，得1x =；由30x -=，得3x =； ①若1x <，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．解法二：如图，1x -表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA |＋|PB |＞4．由|AB |可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． 所以原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．例2（1）解：原式=221[()]3x ++222222111()()()2(22()333x x x x =++++⨯+⨯⨯43281339x x x =-+-+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． （2）原式=33331111()()521258m n m n -=-（3）原式=24222336(4)(44)()464a a a a a -++=-=-（4）原式=2222222()()[()()]x y x xy y x y x xy y +-+=+-+3326336()2x y x x y y =+=++ 例3解：2310x x -== 0x ∴≠ 13x x∴+= 原式=22221111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x+-+=++-=-= 例4解：0,,,a b c a b c b c a c a b ++=∴+=-+=-+=-∴原式=b c a c a b a b c bc ac ab+++⋅+⋅+⋅222()()()a ab bc c a b c bc ac ab abc ---++=++=- ① 33223()[()3](3)3a b a b a b ab c c ab c abc +=++-=--=-+3333a b c abc ∴++= ②，把②代入①得原式=33abcabc-=-例5解：（1）原式6==- （2）原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．（3）原式ab =（4） 原式===例6解：22(277 14,123x y x y xy ===+=-⇒+==- 原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量． 【巩固练习】1．43x -<< 2． 3．3-或2 4．3-5．444222222222x y z x y x z y z ---+++ 6．()(((13,23,4-。

初高中数学公式的衔接【知识梳理】：常用的乘法公式有:【乘法分配律】【和的平方公式】【差的平方公式】【平方差公式】【和的立方公式】【差的立方公式】【立方和公式】【立方差公式】一、乘法公式与多项式1-1多项式的乘法【二项式相乘公式】如下图，一个长为，宽为的长方形，其面积为，也等于四个长方形的面积和，即。

cabdacbcbdad我们也可利用分配律来展开的乘积而得到下列的公式：【公式1】在应用上，a、b、c及d可为数字或任何文字符号。

【范例1】利用公式1展开下列各式：(1) (2) (3)【解】 (1)(2)(3)在上例的第(2)题中，的x2项(或称二次项)系数为1，x项(或称一次项)系数为5，常数项为6，其中最高次项为二次，所以称为x的二次多项式，并简称为一元二次式。

在第(3)题中，有x、y两个变量，其中6x2、xy和y2都是二次项。

因此，它的最高次项为二次，所以称它为x和y的二次多项式，并简称为二元二次式。

【类题练习1】展开下列各式：(1) (2)二项式相乘公式也常运用于来简化数的计算过程，例如：求123279127121123121127279的值。

我们观察到123279与123121有公因子123；127121与127279有公因子127，所以123279127121123121127279123279123121127279127121123(279121)127(279121)(279121)(123127)400250100000。

【范例2】展开下列各式：(1)(2)【解】 利用分配律：(1)(2)【范例3】 分别求的展开式中，、、和的系数。

【解】 利用分配律做展开运算时，只需要观察两式中，两项次数的和等于所要求次数，则其系数乘积的总和即为所求，因此的系数为 ；的系数为 ；的系数为 ；的系数为 。

【类题练习2】分别求的展开式中，、、、的系数。

【重点整理】1. 【二项式相乘公式】，其中a、b、c及d可为数字或任何文字符号。

第一课时：乘法公式【学习目标】1.掌握常用乘法公式；2.能够初步使用乘法公式进行相关运算，初步具备相应技能。

【学习过程】一 情景导入：温故知新 夯实基础⑴平方差公式：22a b -= ； ⑵完全平方公式：2()a b += ；2()a b -= ；二 思议展评：知识互动，研讨探究探究一：三个数的完全平方公式ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++自主学习：请尝试证明该公式。

小组热议：如何证明代数恒等式。

展示研讨：代数恒等式的不同证明方法。

提升点评：【例1】计算：2(23)a b c -+探究二：立方和（差）公式1．3322()()a b a b a ab b +=+-+ 2．3322()()a b a b a ab b -=-++ 自主学习：请尝试证明该公式并用文字语言叙述。

小组热议：如何证明代数恒等式。

展示研讨：提升点评：【例2】填空1计算：（1）（3x+2y ）（9x 2-6xy+4y 2）=（2）（2x-3）（4x 2+6xy+9）=（3）)916141(31212++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m =（4）（a+b ）（a 2-ab+b 2）（a-b ）（a 2+ab+b 2）= 2．利用立方和、立方差公式进行因式分解（1）27m 3-n 3= （2）27m 3-81n 3=（3）x 3-125= （4） m 6-n 6= 总结提升：三 检测拓展：规范训练 提升认知1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；（3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )（4）已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=， 222a b c ++= 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 ( ) （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 ( ) （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数3计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++- （3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++。

第一节 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b+-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b-++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b +=+++；（5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数3. 计算（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)（3）(a -1)2(a 2+a +1)2(a 6+a 3+1)2 （4）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．4.已知x +y =10，x 3+y 3=100，求x 2+y 2的值；5.观察下列各式：()()()()()()x x x x x x x x x x x x -+=--++=--+++=-111111111223324……由猜想到的规律可得()()x x x x x n n n -+++++=--1112…____________。