2020-2021学年青海省西宁市大通回族土族自治县高一上学期期末联考数学试题 解析版

2020-2021学年西宁市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(−1,0)，c ⃗ =(√3,k)，若a ⃗ −2b ⃗ 与c⃗ 共线，则实数k =( ) A. 0B. 1C. √3D. 32.设X ={x|0≤x ≤2}，Y ={y|0≤y ≤1}，则从X 到Y 可建立映射的对应法则是( )A. y =23xB. y =(x −2)2C. y =14x 2D. y =x −13.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)上是单调递减函数，若f(lnx)+f(ln 1x )−2f(1)<0，则x 的取值范围是( )A. (0,1e ) B. (1e ,e)C. (e,+∞)D. (0,1e )∪(e,+∞)4.设角A 是第三象限角，且|sin A2|=−sin A2，则A2在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.已知sin(x −9π14)cos π7+cos(x −9π14)sin π7=13，则cosx 等于( )A. 13B. −13C. 2√23 D. ±2√236.设集合，，i 为虚数单位，，则M ∩N为( )A. (0,1)B. (0,1]C. [0,1)D. [0,1]7.已知函数f(x)=sin(π2x)−1−log a x({0<a <1)至少有5个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,√77) B. (√77,1) C. (√55,1) D. (0,√55) 8. 若函数f(x)=−sin 2ωx −6sinωxcosωx +3cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为2π，若对任意x ∈R 都有f(x)−1≤|f(α)−1|，则tanα的值为( )A. 32B. 23C. −32D. −239.已知函数f(x)的导函数f ′(x)只有一个极值点，在同一平面直角坐标系中，函数f(x)及f ′(x)的图象可以为( )()A. B.C. D.10.函数y=x2+1x2的图象关于()对称．A. 原点B. 直线y=−xC. y轴D. 直线y=x11.下列函数在(−∞,+∞)内为单调函数的是()A. y=x2−xB. y=|x|C. y=e−xD. y=sinx12.7.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像()A. 关于点对称B. 关于直线x=对称C. 关于点对称D. 关于直线x=对称二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若cos2α=35，则sin4α−cos4α=______ ．14.函数f(x)=4x−4x31+2x2+x4在R上的最大值为______ ．15.已知M={y|y=x2−4x+3,x∈R}，N={y|y=−x2+2x+8,x∈R}则M∩N=______．16.已知p，q∈R，p<q，不等式x2−px−qx+pq−2≤0的解集为[m,n]，有下列四个命题：①13p+13q∈[m,n]；②(m+1)(n+1)<(p+1)(q+1)；③n−m=q−p+2√2；④m3+n3>p3+q3．其中，全部正确命题的序号为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=ax2−(2a+1)x+a+1．(1)若a=2，解关于x的不等式f(x)≥0；(2)若对于a∈[−2,2]，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围．18.如图，四边形ABCD是一块边长为100cm的正方形铁皮，其中扇形AMPN的半径为90cm，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是MN⏜弧上一点，∠PAB=θ，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个边在BC与CD上的矩形铁皮，求矩形铁皮PQCR面积的最大值和这时θ的值．19.A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限，C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为等腰直角三角形．记∠AOC=α．(1)若A点的坐标为(35,45)，求sin2α+sin2αcos2α+cos2α的值；(2)求|BC|2的取值范围．20.f(x)=x2+ax+bx是定义在[−4,0)∪(0,b]上的奇函数(1)求a，b的值；(2)用单调性定义证明：f(x)在(0,√b]上为减函数21.设集合A=x|2x2+3px+2=0，B=x|2x2+x+q=0，其中p，q，x∈R，当A∩B={12}时，求p的值和A∪B．22. 如图，在▱ABCD 中，AB =3，AD =2，∠BAD =60°． (1)求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)求cos∠BAC 的值．参考答案及解析1.答案：B解析：本题考查了平面向量共线的坐标表示，属基础题．先求出a⃗−2b⃗ ，再根据向量共线的结论即可求解．解：因为向量a⃗=(1,√3)，b⃗ =(−1,0)，c⃗=(√3,k)，∴a⃗−2b⃗ =(3,√3)，∵a⃗−2b⃗ 与c⃗共线；∴3−3k=0⇒k=1．故选：B．2.答案：C解析：解：X={x|0≤x≤2}，Y={y|0≤y≤1}，对于A，由0≤23x≤43，函数值y构成的集合不在集合Y中，不是映射；对于B，由−2≤x−2≤0，可得0≤(x−2)2≤4，函数值y构成的集合不在集合Y中，不是映射；对于C，由0≤x2≤4，可得0≤14x2≤1，函数值y构成的集合在集合Y中，是映射；对于D，由−1≤x−1≤1，函数值y构成的集合不在集合Y中，不是映射．故选：C．运用映射的定义，考虑函数值的集合是否在集合Y中，即可得到结论．本题考查映射的定义和判断，考查运算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)上是单调递减函数，若f(lnx)+f(ln1x)−2f(1)<0，则f(lnx)+f(lnx)<2f(1)，∴lnx<−1，或lnx>1，∴0<x<1e，或x>e，故选：D．由题意可得则f(lnx)+f(lnx)<2f(1)，即lnx<−1，或lnx>1，由此求得x的范围．本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，对数不等式的解法，属于基础题．4.答案：D解析：本题考查三角函数的符号，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．先确定A2可能是第二或第四象限角，再根据|sin A2|=−sin A2，可得sin A2<0，从而可得结论．解：∵角A是第三象限角，则A2可能是第二或第四象限角，又|sin A2|=−sin A2，故sin A2<0，∴A2是第四象限角，故选D．5.答案：B解析：由已知利用两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值，本题主要考查了两角和的正弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．解：∵sin(x−9π14)cosπ7+cos(x−9π14)sinπ7=13，∴sin(x−9π14+π7)=sin(x−π2)=−cosx=13，∴cosx=−13．故选：B．6.答案：C解析：7.答案：A解析：若使f(x)=sin(π2x)−1−log a x至少有5个零点，则只需使函数ℎ(x)与函数g(x)至少有5个交点；从而利用数形结合的思想方法求解即可．本题考查了函数的零点与函数的图象的交点的关系应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题．解：若使f(x)=sin(π2x)−1−log a x至少有5个零点，则只需使函数f(x)与函数g(x)至少有5个交点；作函数ℎ(x)=−sin(π2x)−1与g(x)=log a x的图象如下，。

青海省西宁市大通县2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列命题中正确的是（）A．第一象限角小于第二象限角B．锐角一定是第一象限角C．第二象限角是钝角D．平角大于第二象限角2．已知集合M＝{x|﹣3＜x≤2}，N＝{x|x≤1}，则M∪N＝（）A．{x|x≤2}B．{x|﹣2＜x≤3}C．{x|﹣3＜x≤1}D．{x|﹣2≤x≤1}3．函数f（x）＝（a2﹣3a+3）•a x是指数函数，则a的值是（）A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a＞0或a≠14．如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（）A．B．C．D．5．下列说法不正确的是（）A．奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点B．偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和轴相交C．若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝0D．若奇函数的图象与y轴相交，交点不一定是原点6．已知函数f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣10B．﹣18C．﹣26D．107．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统（PrivateKeyCryptosystem），其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为y＝kx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（）A．B．C．2D．8．设a＝，b＝，c＝log0.3，则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c9．sin45°•cos15°+cos225°•sin15°的值为（）A．B．C．D．10．函数的部分图象如图所示，则函数f（x）的〖解析〗式为（）A．B．C．D．11．在边长为3的菱形ABCD中，，，则＝（）A．B．﹣1C．D．12．幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）在区间（0，+∞）上单调递增，且a+b＞0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知角θ的终边过点（1，﹣2），则tanθ＝．14．已知向量，满足，，且，则与的夹角为．15．函数y＝的值域是．16．设常数a使方程在闭区间〖0，2π〗上恰有三个不同的解x1，x2，x3，则实数a的取值集合为，x1+x2+x3＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}．求：（1）A∩B；（2）（∁U A）∩（∁U B）．18．（12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中＝（2，1）．（1）若||＝2，且，求的坐标；（2）若||＝，且与的夹角为π，求的值．19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+mx，函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（1）求函数f（x）的〖解析〗式；（2）若关于x的方程f（x）﹣a＝0有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）求函数f（x）的值域．21．（12分）已知，．（1）分别求tanα，的值；（2）若角β终边上一点P（7，1），求tan（2α+β）的值．22．（12分）设函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣1．（1）设x∈〖﹣，〗，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）设函数为偶函数，求φ的值，并求函数g（x）的单调增区间．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B〖解析〗第一象限角不一定小于第二象限角，比如第二象限的角120°小于第一象限的角390°，故A错误；大于0°而小于90°的角为锐角，故B正确；480°为第二象限角，但不是钝角，故C错误；480°为第二象限角，但是大于平角，故D错误．故选：B．2．A〖解析〗集合M＝{x|﹣3＜x≤2}，N＝{x|x≤1}，∴M∪N＝{x|x≤2}．故选：A．3．C〖解析〗由指数函数的定义，得，解得a＝2．故选：C．4．D〖解析〗∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥CB且DE＝CB，则与向量相等的有，．故选：D．5．D〖解析〗奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点，正确，比如f（x）＝，偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和轴相交，正确，比如函数f（x）＝log2|x|，若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为x1，x2，则交点关于y轴对称，则x1+x2＝0，正确，若奇函数的图象与y轴相交，则当x＝0时，f（0）＝0恒成立，则与y轴的交点一定是原点，故D错误，则不正确的是D，故选：D．6．C〖解析〗令g（x）＝x5+ax3+bx，易得其为奇函数，则f（x）＝g（x）﹣8，所以f（﹣2）＝g（﹣2）﹣8＝10，得g（﹣2）＝18，因为g（x）是奇函数，即g（2）＝﹣g（﹣2），所以g（2）＝﹣18，则f（2）＝g（2）﹣8＝﹣18﹣8＝﹣26，故选：C．7．D〖解析〗根据加密密钥为y＝kx3，利用其加密、解密原理可知，当x＝4时，y＝2，从而2＝k×43，解得k＝；设接受方接到密文为“”的“明文”为b，则有＝×b，解得b＝，即解密后得明文为，故选：D．8．D〖解析〗∵b＞1＞a＞0＞c，∴b＞a＞c，故选：D．9．C〖解析〗sin45°•cos15°+cos225°•sin15°＝sin45°•cos15°﹣cos45°•sin15°＝sin（45°﹣15°）＝sin30°＝故选：C．10．B〖解析〗由图象可知，•＝﹣，求得ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝，则，∴函数的〖解析〗式为，故选：B．11．C〖解析〗如图，∵，∴，∴＝，且，又，∴＝＝．故选：C．12．A〖解析〗幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）在区间（0，+∞）上单调递增，∴，解得m＝2，∴f（x）＝x5，∴f（x）在R上为奇函数，由a+b＞0，得a＞﹣b，∵f（x）在R上为单调增函数，∴f（a）＞f（﹣b）＝﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0恒成立．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．﹣2〖解析〗因为角θ的终边过点（1，﹣2），所以tanθ＝＝﹣2．故〖答案〗为：﹣2．14．〖解析〗设向量与的夹角为θ，由向量夹角余弦公式cosθ＝＝＝，又因为0≤θ≤π，故θ＝．故〖答案〗为：．15．（﹣∞，﹣3〗〖解析〗由x2+8≥8，所以y＝≤log8＝﹣3，故函数y的值域是（﹣∞，﹣3〗．故〖答案〗为：（﹣∞，﹣3〗．16．{}；〖解析〗∵，∴a＝，如图所示，作出函数，x∈〖0，2π〗的图象，再作直线y＝a，由图可知，只有当a＝时，直线y＝a与函数，x∈〖0，2π〗的图象有三个交点，即x1＝0，，x3＝2π，故x1+x2+x3＝．故〖答案〗为：{}；．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：（1）∵A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}；（2）∵全集U＝R，A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}，∴∁U A＝{x|x≤0或x＞2}，∁U B＝{x|﹣3≤x≤1}，则（∁U A）∩（∁U B）＝{x|﹣3≤x≤0}．18．解：（1）因为＝（2，1），，所以＝λ＝（2λ，λ），又因为||＝2，所以，解得λ＝±2，所以的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．（2）由（1）知||＝＝，又因为||＝，与的夹角为π，所以＝||•||•cosπ＝••（﹣1）＝﹣．所以＝2﹣2+3＝10﹣+3（﹣）＝0．19．解：（1）由图可知f（﹣2）＝4﹣2m＝0，解得m＝2，设x＞0，则﹣x＜0，∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）＝x2﹣2x＝f（x），∴f（x）＝x2﹣2x，∴f（x）＝；（2）作出函数f（x）的图象如图所示：f（x）min＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，由图可知，当a＜﹣1时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为0；当a＞0或a＝﹣1时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为2；当﹣1＜a＜0时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为4；当a＝0时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为3．所以a的取值范围为：（﹣1，0）．20．解：（1）f（x）为奇函数，证明如下：证明：因为2x﹣1≠0，所以x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．又因为f（﹣x）＝＝＝＝﹣﹣＝﹣f（x），故f（x）为奇函数；（2）令y＝，可得2x＝＝，又因为2x＞0，且2x≠1，所以，解得y＞或y＜﹣，故函数的值域为：（﹣）∪（）．21．解：（1）∵已知，，∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝﹣，＝sinαcos+cosαsin＝+（﹣）×＝．（2）若角β终边上一点P（7，1），则tanβ＝，tan2α＝＝，∴tan（2α+β）＝＝7．22．解：函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣1＝2sin（2x﹣）﹣1，由于x∈〖﹣，〗，所以，故；故函数f（x）的最大值为﹣1，最小值为﹣3．（2）函数g（x）＝f（x+φ）+4m为偶函数，所以2φ﹣＝k（k∈Z），整理得φ＝（k∈Z），由于0＜φ，故φ＝；此时g（x）＝cos2x+4m﹣1，令﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，整理得（k∈Z），故函数的单调递增区间为〖〗（k∈Z）．青海省西宁市大通县2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列命题中正确的是（）A．第一象限角小于第二象限角B．锐角一定是第一象限角C．第二象限角是钝角D．平角大于第二象限角2．已知集合M＝{x|﹣3＜x≤2}，N＝{x|x≤1}，则M∪N＝（）A．{x|x≤2}B．{x|﹣2＜x≤3}C．{x|﹣3＜x≤1}D．{x|﹣2≤x≤1}3．函数f（x）＝（a2﹣3a+3）•a x是指数函数，则a的值是（）A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a＞0或a≠14．如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（）A．B．C．D．5．下列说法不正确的是（）A．奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点B．偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和轴相交C．若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝0D．若奇函数的图象与y轴相交，交点不一定是原点6．已知函数f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣10B．﹣18C．﹣26D．107．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统（PrivateKeyCryptosystem），其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为y＝kx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（）A．B．C．2D．8．设a＝，b＝，c＝log0.3，则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c9．sin45°•cos15°+cos225°•sin15°的值为（）A．B．C．D．10．函数的部分图象如图所示，则函数f（x）的〖解析〗式为（）A．B．C．D．11．在边长为3的菱形ABCD中，，，则＝（）A．B．﹣1C．D．12．幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）在区间（0，+∞）上单调递增，且a+b＞0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知角θ的终边过点（1，﹣2），则tanθ＝．14．已知向量，满足，，且，则与的夹角为．15．函数y＝的值域是．16．设常数a使方程在闭区间〖0，2π〗上恰有三个不同的解x1，x2，x3，则实数a的取值集合为，x1+x2+x3＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}．求：（1）A∩B；（2）（∁U A）∩（∁U B）．18．（12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中＝（2，1）．（1）若||＝2，且，求的坐标；（2）若||＝，且与的夹角为π，求的值．19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+mx，函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（1）求函数f（x）的〖解析〗式；（2）若关于x的方程f（x）﹣a＝0有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）求函数f（x）的值域．21．（12分）已知，．（1）分别求tanα，的值；（2）若角β终边上一点P（7，1），求tan（2α+β）的值．22．（12分）设函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣1．（1）设x∈〖﹣，〗，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）设函数为偶函数，求φ的值，并求函数g（x）的单调增区间．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B〖解析〗第一象限角不一定小于第二象限角，比如第二象限的角120°小于第一象限的角390°，故A错误；大于0°而小于90°的角为锐角，故B正确；480°为第二象限角，但不是钝角，故C错误；480°为第二象限角，但是大于平角，故D错误．故选：B．2．A〖解析〗集合M＝{x|﹣3＜x≤2}，N＝{x|x≤1}，∴M∪N＝{x|x≤2}．故选：A．3．C〖解析〗由指数函数的定义，得，解得a＝2．故选：C．4．D〖解析〗∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥CB且DE＝CB，则与向量相等的有，．故选：D．5．D〖解析〗奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点，正确，比如f（x）＝，偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和轴相交，正确，比如函数f（x）＝log2|x|，若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为x1，x2，则交点关于y轴对称，则x1+x2＝0，正确，若奇函数的图象与y轴相交，则当x＝0时，f（0）＝0恒成立，则与y轴的交点一定是原点，故D错误，则不正确的是D，故选：D．6．C〖解析〗令g（x）＝x5+ax3+bx，易得其为奇函数，则f（x）＝g（x）﹣8，所以f（﹣2）＝g（﹣2）﹣8＝10，得g（﹣2）＝18，因为g（x）是奇函数，即g（2）＝﹣g（﹣2），所以g（2）＝﹣18，则f（2）＝g（2）﹣8＝﹣18﹣8＝﹣26，故选：C．7．D〖解析〗根据加密密钥为y＝kx3，利用其加密、解密原理可知，当x＝4时，y＝2，从而2＝k×43，解得k＝；设接受方接到密文为“”的“明文”为b，则有＝×b，解得b＝，即解密后得明文为，故选：D．8．D〖解析〗∵b＞1＞a＞0＞c，∴b＞a＞c，故选：D．9．C〖解析〗sin45°•cos15°+cos225°•sin15°＝sin45°•cos15°﹣cos45°•sin15°＝sin（45°﹣15°）＝sin30°＝故选：C．10．B〖解析〗由图象可知，•＝﹣，求得ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝，则，∴函数的〖解析〗式为，故选：B．11．C〖解析〗如图，∵，∴，∴＝，且，又，∴＝＝．故选：C．12．A〖解析〗幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）在区间（0，+∞）上单调递增，∴，解得m＝2，∴f（x）＝x5，∴f（x）在R上为奇函数，由a+b＞0，得a＞﹣b，∵f（x）在R上为单调增函数，∴f（a）＞f（﹣b）＝﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0恒成立．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．﹣2〖解析〗因为角θ的终边过点（1，﹣2），所以tanθ＝＝﹣2．故〖答案〗为：﹣2．14．〖解析〗设向量与的夹角为θ，由向量夹角余弦公式cosθ＝＝＝，又因为0≤θ≤π，故θ＝．故〖答案〗为：．15．（﹣∞，﹣3〗〖解析〗由x2+8≥8，所以y＝≤log8＝﹣3，故函数y的值域是（﹣∞，﹣3〗．故〖答案〗为：（﹣∞，﹣3〗．16．{}；〖解析〗∵，∴a＝，如图所示，作出函数，x∈〖0，2π〗的图象，再作直线y＝a，由图可知，只有当a＝时，直线y＝a与函数，x∈〖0，2π〗的图象有三个交点，即x1＝0，，x3＝2π，故x1+x2+x3＝．故〖答案〗为：{}；．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：（1）∵A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}；（2）∵全集U＝R，A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}，∴∁U A＝{x|x≤0或x＞2}，∁U B＝{x|﹣3≤x≤1}，则（∁U A）∩（∁U B）＝{x|﹣3≤x≤0}．18．解：（1）因为＝（2，1），，所以＝λ＝（2λ，λ），又因为||＝2，所以，解得λ＝±2，所以的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．（2）由（1）知||＝＝，又因为||＝，与的夹角为π，所以＝||•||•cosπ＝••（﹣1）＝﹣．所以＝2﹣2+3＝10﹣+3（﹣）＝0．19．解：（1）由图可知f（﹣2）＝4﹣2m＝0，解得m＝2，设x＞0，则﹣x＜0，∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）＝x2﹣2x＝f（x），∴f（x）＝x2﹣2x，∴f（x）＝；（2）作出函数f（x）的图象如图所示：f（x）min＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，由图可知，当a＜﹣1时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为0；当a＞0或a＝﹣1时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为2；当﹣1＜a＜0时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为4；当a＝0时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为3．所以a的取值范围为：（﹣1，0）．20．解：（1）f（x）为奇函数，证明如下：证明：因为2x﹣1≠0，所以x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．又因为f（﹣x）＝＝＝＝﹣﹣＝﹣f（x），故f（x）为奇函数；（2）令y＝，可得2x＝＝，又因为2x＞0，且2x≠1，所以，解得y＞或y＜﹣，故函数的值域为：（﹣）∪（）．21．解：（1）∵已知，，∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝﹣，＝sinαcos+cosαsin＝+（﹣）×＝．（2）若角β终边上一点P（7，1），则tanβ＝，tan2α＝＝，∴tan（2α+β）＝＝7．22．解：函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣1＝2sin（2x﹣）﹣1，由于x∈〖﹣，〗，所以，故；故函数f（x）的最大值为﹣1，最小值为﹣3．（2）函数g（x）＝f（x+φ）+4m为偶函数，2021-2022学年期末考试试题所以2φ﹣＝k（k∈Z），整理得φ＝（k∈Z），由于0＜φ，故φ＝；此时g（x）＝cos2x+4m﹣1，令﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，整理得（k∈Z），故函数的单调递增区间为〖〗（k∈Z）．21。

青海省西宁市2021版高一上学期期末数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一下·杭州期中) 设点O是正方形的中心，则下列结论错误的是（）A .B .C . 与共线D .3. （2分）(2019·成都模拟) 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）A .B .C .D .4. （2分）若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0垂直，则a=（）A . 2B .C . 1D . -25. （2分）生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，设O、H、G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项锥误的是（）A . HG=2OGB . ++=C . 设BC边中点为D，则有AH=3ODD . S△ABG=S△BCG=S△ACG6. （2分） (2017高二上·太原月考) 已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·临泉开学考) 设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（）A . 当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件B . 当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C . 当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件D . 当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件8. （2分）已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）A . 4B .C .D .9. （2分） (2016高二上·德州期中) 一束光线从点（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路径长度是（）A . 4B . 5C . 3D . 210. （2分）如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD 上任意两点,且EF的长为定值,则下面四个值中不为定值的是A . 点P到平面QEF的距离B . 直线PQ与平面PEF所成的角C . 三棱锥P-QEF的体积D . 二面角P-EF-Q的大小11. （2分） (2019高一下·东莞期末) 圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是（）A . 4B . 6C . 16D . 3612. （2分） (2019高一上·西安月考) 以等腰直角三角形ABC斜边AB的中线CD为棱，将折叠，使平面平面BCD，则AC与BC的夹角为（）．A .B .C .D . 不确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·海淀期中) 将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：①面是等边三角形；② ；③三棱锥的体积是其中正确命题的序号是_________.（写出所有正确命题的序号）14. （1分） (2016高二上·六合期中) 直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a的值为________．15. （1分）(2020·大庆模拟) 已知双曲线的右顶点为A,且以A为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于两点，若，则双曲线C的离心率的取值范围是________．16. （1分）已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2020高一下·连云港期末) 已知梯形ABCD中，，如图（1）所示.现将△ABC沿边BC翻折至 A'BC，记二面角A'—BC—D的大小为θ.（1）当θ＝90°时，如图（2）所示，过点B作平面与A‘D垂直，分别交于点E，F，求点E到平面的距离；（2）当时，如图（3）所示，求二面角的正切值18. （10分）(2013·湖北理) 如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1 ， C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2 ．（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2 ，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．19. （15分）已知两定点M（0，1），N（1，2），平面内一动点P到M的距离与P到N的距离之比为，直线y=kx﹣1与点P的轨迹交于A，B两点．（1）求点P的轨迹方程，并指出是什么图形；（2）求实数k的取值范围；（3）是否存在k使得• =11（O为坐标原点），若存在求出k的值，若不存在，请说明理由．20. （5分）如图，O是长方体ABCD﹣A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O∥平面A1C1D．21. （10分）(2020·吉林模拟) 已知O为坐标原点，椭圆的下焦点为F，过点F且斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点.（1）以AB为直径的圆与相切，求该圆的半径；（2）在轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.22. （5分）(2016·四川模拟) 在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是正三角形，E是AB中点，A1E⊥平面ABC．（I）证明：BC1∥平面 A1EC；（II）若A1A⊥A1B，且AB=2．①求点B到平面ACC1A1的距离；②求直线CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：考点：解析：。

注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（共60分，每小题5分）1. 已知集合，则{}220A x x x =-->RA =ðA. B.{}12x x -<<{}12x x -≤≤C. D.}{}{|12x x x x <-⋃}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥【答案】B 【解析】【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A ，之后根据220x x -->集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式得， 220x x -->12x x <->或所以，{}|12A x x x =<->或所以可以求得，故选B.{}R |12C A x x =-≤≤点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确. 2. （ ） sin10cos50cos 40cos10︒︒+︒︒=A.B.C.12【答案】C 【解析】【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.【详解】()sin10cos50cos 40cos10sin10cos50cos 9050cos10︒︒+︒︒=︒︒+︒-︒︒()cos50sin10sin 50cos10sin 5010sin 60=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=故选：C3. 设，则（ ） ()()()22,13M a a N a a =-=+-A.B.C. D.M N >M N ≥M N <M N ≤【解析】【分析】利用作差法即得.【详解】因为()()()2213M N a a a a -=--+-()222423a a a a =----恒成立，223a a =-+()2120a =-+>所以． M N >故选：A .4. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是（ ） (0,)+∞A. B. C. D.3y x =1lny x=2x y =2y x =【答案】D 【解析】【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性可直接判断出答案. 【详解】是奇函数，不满足题意；3y x =的定义域为，是非奇非偶函数，不满足题意； 1lny x=()0,+∞是非奇非偶函数，不满足题意；2x y =是偶函数，且在区间上单调递增，满足题意；2y x =(0,)+∞故选：D5. 设，，则“”是“”的（ ） 0x >R y ∈x y >x y >A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的含义，结合特殊值说明即可. 【详解】设，，显然有，但是不成立； 3x =4y =-x y >x y >若，因为，所以有成立.x y >y y ≥x y >所以，“”是“”的必要而不充分条件.x y >x y >6. 已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（ ） 38πA.B.C.D.316π38π34π32π【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式即可求出. 【详解】设扇形的圆心角为， α则，即，解得. 212S r α=231182πα=⨯34πα=故选：C.7. 下列函数中最小正周期为的是（ ） πA. B.C. D.sin y x =sin y x =tan2xy =cos 4y x =【答案】A 【解析】【分析】依次计算4.【详解】对于A ，为把轴下方的图像翻折上去，最小正周期变为，正确； sin y x =sin y x =x π对于B ，的最小正周期为，错误；sin y x =2π对于C ，的最小正周期为，错误；tan 2x y =212ππ=对于D ，最小正周期为，错误. cos 4y x =242ππ=故选：A.8. 函数的零点所在的区间是（ ） ()()2ln 1f x x x=+-A. B.C.D.(0,1)(1,2)(2,)e (3,4)【答案】B 【解析】【分析】函数的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反. ()()2ln 1f x x x=+-【详解】解：∵，()2ln 22ln 201f e =-<-=，()2ln 31ln 10f e =->-=则， (1)(2)0f f <∴函数的零点所在区间是 ， ()()2ln 1f x x x=+-(1,2)当，且时， 0x >0x →()()2ln 10f x x x=+-<， ()()22ln 1ln 0e e e e f e =+->->， ()()3322ln 3103ln f e =+->->， ()()1442ln 41ln 20f e =+->->ACD 中函数在区间端点的函数值均同号， 根据零点存在性定理，B 为正确答案. 故选：B.【点睛】本题考查函数的零点存在性定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号.9. 已知，则0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===A. B.C.D.a b c <<a c b <<c<a<b b<c<a 【答案】B 【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较0,a c 1,b c 【详解】则．故选B ． 22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=01,c a c b <<<<【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 10. 函数的图象大致为（ ） ()221xf x x =+A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】先求出函数的定义域和奇偶性排除选项和，再利用特殊值即可排除选项，进而求解. A B C 【详解】由题意可知：函数的定义域为， 22()1xf x x =+R 又因为， 2222()()11x xf x f x x x --==-=-++所以函数为上的奇函数，故排除选项和； ()f x R A B 又因为当时，函数，故排除选项， 0x >22()01xf x x =>+C 故选：.D 11. 已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（ ） 1:sin C y x =2cos 23:C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到1C 6π曲线2C B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到1C 12π曲线2C C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到1C 126π曲线2C D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到1C 1212π曲线2C【答案】D 【解析】【分析】先将转化为，再根据三角函数图像变换的知识得出正确选项. 1C cos 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【详解】对于曲线，，要得到，则把上各点的横坐标1C sin cos 2y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭2cos 23:C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭1C 缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得12cos 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭12π到，即得到曲线. cos 2cos 21223x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2C 故选：D.12. 若定义在的奇函数f (x )在单调递减，且f (2)=0，则满足的x 的取值范围是R (,0)-∞(10)xf x -≥（）A. B. [)1,1][3,-+∞ 3,1][,[01]-- C. D.[1,0][1,)-⋃+∞[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等()f x 于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， R ()f x (,0)-∞(2)0f =所以在上也是单调递减，且，，()f x (0,)+∞(2)0f -=(0)0f =所以当时，，当时，， (,2)(0,2)x ∈-∞-⋃()0f x >(2,0)(2,)x ∈-+∞ ()0f x <所以由可得：(10)xf x -≥或或 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩0012x x >⎧⎨≤-≤⎩0x =解得或，10x -≤≤13x ≤≤所以满足的的取值范围是， (10)xf x -≥x [1,0][1,3]-⋃故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.二、填空题（共20分，每小题5分）13. 函数的定义域为______． ()lg(1)f x x =++【答案】 (1,1)-【解析】【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】函数有意义，则有，解得，()lg(1)f x x =++1010x x ->⎧⎨+>⎩11x -<<所以函数的定义域为. ()f x (1,1)-故答案为：(1,1)-14. 函数（且）恒过定点为 _________. ()log 23a y x =-+0a >1a ≠【答案】 ()3,3【解析】【分析】根据，直接求定点.log 10a =【详解】由函数，可知当时，. ()log 23a y x =-+3x =log 133a y =+=所以函数恒过点. ()3,3故答案为：()3,315. 已知，则______． 3sin()5απ+=-tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】或##或 7-17-17-7-【解析】【分析】首先根据诱导公式求出，再利用同角三角函数关系式求出的值，从而可求3sin 5α=cos ,tan αα出的值. tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭【详解】因为，所以，所以或， 3sin()5απ+=-3sin 5α=4cos 5α=-4cos 5α=当时，，； 4cos 5α=-3tan 4α=-tan 1tan 74tan 1πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭当时，，. 4cos 5α=3tan 4α=tan 11tan 4tan 17πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭故答案为：或. 7-17-16. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________ .()2743kx f x kx kx +=++R k 【答案】 30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】分析可知，对任意的，恒成立，分、两种情况讨论，结合已x R ∈2430kx kx ++≠0k =0k ≠知条件可求得实数的取值范围. k 【详解】因为函数的定义域为，()2743kx f x kx kx +=++R 所以，对任意的，恒成立. x R ∈2430kx kx ++≠①当时，则有，合乎题意；0k =30≠②当时，由题意可得，解得. 0k ≠216120k k ∆=-<304k <<综上所述，实数的取值范围是. k 30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：. 30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题（共70分，17题10分，18-22题各12分）17. 已知.sin cos 1sin cos 2αααα-=+（1）若为第三象限角，求的值 αcos α（2）求的值 cos 2α【答案】（1）（2） 45-【解析】【分析】（1）根据题意可得，再结合且为第三象限角即可求解； sin 3cos αα=22sin cos 1αα+=α(2)结合（1）的结论和二倍角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，sin cos 1sin cos 2αααα-=+2sin 2cos sin cos αααα-=+则，因为且为第三象限角， sin 3cos αα=22sin cos 1αα+=α所以sin α=cos α=【小问2详解】由（1）可知：， cos α=所以. 214cos 22cos121105αα=-=⨯-=-18. 在①；②这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答． A B A = A B ⋂=∅已知集合． {}{}221,1A x a x a B x x =-<<=≤（1）若，求；1a =-()R A B ð（2）若________，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）或{3x x ≤-}1x ≥-（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）化简集合，根据集合的运算直接计算即可得到结果.B （2）根据条件分集合为空集与集合不为空集分别讨论计算，即可得到结果. A A 【小问1详解】，{}{}2111B x x x x =≤=-≤≤当时，，所以或 1a =-{}31A x x =-<<-{R 3A x x =≤-ð}1x ≥-所以或 ()R A B ð={3x x ≤-}1x ≥-【小问2详解】由(1)知， {}11B x x =-≤≤若选①：由，得A B A = A B ⊆当，即时，，符合题意；21a a -≥1a ≥A =∅当时，，解得.A ≠∅212111a a a a -<⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩01a ≤<综上所述，实数的取值范围是 a [)0,∞+若选②：当时，，即；A =∅21a a -≥1a ≥当时，或 A ≠∅211a a a -<⎧⎨≤-⎩21211a aa -<⎧⎨-≥⎩解得或不存在.1a ≤-a 综上所述，实数的取值范围是a (][),11,-∞-⋃+∞19. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】（1）最大值为16米；（2）最小值为平方米. (824+【解析】【分析】（1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，依题意列出不等关系，求解即可； （2）表示，利用均值不等式，即得最小值. 400(26)(4)(26)(4)S x y x x=++=++【详解】（1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，由面积均为400平方米，得. 400y x=因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，所以，解得. 4009x x+…294000x x +-…2516x -……又，所以.0x >016x <…所以宽的最大值为16米. （2）记整个的绿化面积为S 平方米，由题意可得（平方米）400300(26)(4)(26)(4)8248()(824S x y x x x x=++=++=+++…当且仅当.x =所以整个绿化面积的最小值为平方米.(824+20. 已知函数且点在函数的图像上. 2,0,()log ,0,a x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩(2,1)()f x（1）求，并在如图直角坐标系中画出函数的图像；a ()f x （2）求不等式的解集；()1f x <（3）若方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．()0f x m -=【答案】（1），图像见解析2a =（2）(,1)(0,2)-∞- （3）(],2-∞【解析】【分析】（1）由得出，进而画出图像；(2)1f =a （2）由对数函数的单调性解不等式得出解集；（3）由函数的图像与函数的图像有两个不同的交点，结合图像得出实数m 的取值范围． y m =()y f x =【小问1详解】点在函数的图像上，，(2,1)()f x (2)log 21a f ∴==2a ∴=， 22,0()log ,0x x f x x x +≤⎧∴=⎨>⎩函数的图像如图所示：()f x 【小问2详解】不等式等价于或， ()1f x <20log 1x x >⎧⎨<⎩021x x ≤⎧⎨+<⎩解得或，02x <<1x <-不等式的解集为∴()1f x <(,1)(0,2).-∞-⋃【小问3详解】方程有两个不相等的实数根，()0f x m -=函数的图像与函数的图像有两个不同的交点．∴y m =()y f x =结合图像可得，故实数m 的取值范围为 .2m …(],2-∞21. 函数的部分图象如图：()()sin (0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>><（1）求解析式；()f x （2）写出函数在上的单调递减区间. ()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】（1） 2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2） ,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据图象求得，从而求得解析式.,,A ωϕ()f x （2）利用整体代入法求得在区间上的单调递减区间. ()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【小问1详解】由图象知，所以，又过点， 72,88A T πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭2ω=,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭令，由于，故所以. 22,284k k πϕπϕππ-⨯+==+2πϕ<,4πϕ=2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【小问2详解】 由， ()3222242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得， ()588k x k k Z ππππ+≤≤+∈当时， 0k =588x ππ≤≤故函数在上的单调递减区间为. ()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦22. 已知定义域为 的函数是奇函数. R 2()2xx b f x a-=+（1）求 的值;,a b （2）用定义证明 在上为减函数;()f x (,)-∞+∞（3）若对于任意 ，不等式 恒成立，求的范围.R t ∈()()22220f t t f t k -+-<k 【答案】（1），. 1a =1b =（2）证明见解析. （3） 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数性质即可求得答案.（2）根据函数单调性的定义即可证明结论.（3）利用函数的奇偶性和单调性将恒成立，转化为对任意的()()22220f t t f t k -+-<232k t t <-都成立，结合求解二次函数的最值，即可求得答案.R t ∈【小问1详解】为上的奇函数，，可得 ()f x R 002(0)02b f a-∴==+1b =又 , ,解之得, (1)(1)f f -=-11121222a a----∴=-++1a =经检验当 且时， ， 1a =1b =12()21xx f x -=+满足是奇函数, 1221()()2112x x x x f x f x -----===-++故，.1a =1b =【小问2详解】由（1）得 ， 122()12121x x x f x -==-+++任取实数 ，且，12,x x 12x x <则 ， ()()()()()211212122222221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，可得，且，故， 12x x < 1222x x <()()1221210x x ++>()()()211222202121x x x x ->++，即，()()120f x f x ∴->()()12f x f x >所以函数在上为减函数;()f x (,)-∞+∞【小问3详解】根据 （1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数. ()f x (,)-∞+∞不等式 恒成立，∴()()22220f t t f t k -+-<即恒成立， ()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+也就是:对任意的都成立， 2222t t t k ->-+R t ∈即对任意的都成立， 232k t t <-R t ∈ ，当时取得最小值为， 221132333t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ 13t =232t t -13-，即的范围是. 13k ∴<-k 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭。

2023-2024学年青海省西宁市大通回族土族自治县高一上册期末数学试题一、单选题1．设集合U =R ，{2M x x =>或}2x ≤-，则U M =ð（）A ．{}22x x -<<B ．{}22x x -<≤C ．{2x x >或}2x <-D ．{2x x ≥或}2x ≤-【正确答案】B【分析】根据补集的运算可得答案.【详解】{}22U M x x =-<≤ð．故选：B ．2．已知扇形的圆心角为1rad 5，半径为5，则扇形的弧长为（）A ．12B ．1C ．2D ．4【正确答案】B【分析】根据扇形的弧长公式计算即可求解.【详解】因为扇形的圆心角为1rad 5，半径为5，所以由弧长公式得扇形的弧长为1515l r α=⋅=⨯=.故选：B.3．“α为第一象限角”是“tan 0α>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据正切函数在各个象限的符号，结合充分条件、必要条件的概念，即可得出答案.【详解】若α为第一象限角则必有tan 0α>；反之，若tan 0α>，则α为第一或第三象限角.故选：A.4．已知点()3,2a 在幂函数()()1bf x a x =-的图象上，则（）A ．()1f x x-=B ．()122f x x =C ．()3f x x=D ．()13f x x=【正确答案】D【分析】根据幂函数的定义求出a ，将已知点的坐标代入解析式即可求解.【详解】 函数()()1bf x a x =-是幂函数，11a ∴-=，即2,a =∴点()8,2在幂函数()bf x x =的图象上，8b∴=2，即13b =，故()13f x x =.故选：D.5．已知函数()3sin 2022f x ax b x =++，若()2021f m =，则()f m -=（）A ．2021-B ．2022C ．2023D ．2023-【正确答案】C【分析】根据函数的奇偶性可得函数函数()()32022sin g x f x ax b x =-=+是奇函数，进而()()4044f m f m +-=，结合题意即可求解.【详解】设()()32022sin g x f x ax b x =-=+，则()()()33()sin sin g x a x b x ax b x g x -=-+-=--=-，即函数()g x 是奇函数，()()2022f x g x =+，则()()()()202220224044f m f m g m g m +-=++-+=，而()2021f m =，所以()2023f m -=.故选：C.6．已知sin α=cos αtan 2α等于（）A ．2B ．2C 2D ．2)±【正确答案】C【分析】应用半角正切公式即可求值，注意法二：2α正切值的符号.【详解】方法一：∵sin α，cos α=∴sin tan221cos ααα==-+.方法二：∵sin 0α=>，cos 0α=>，∴α的终边落在第一象限，2α的终边落在第一或第三象限，即tan02α>，∴tan 2.2α=-故选：C7．函数3πcos tan 02y x x x ⎛=⋅≤< ⎝且π2x ⎫≠⎪⎭的图象是下列图象中的（）A ．B ．C．D．【正确答案】C【分析】根据函数的自变量，将函数变形为π3πsin ,0,22πsin ,.2x x x y x x ππ⎧≤<≤<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩或结合正弦函数的性质与图象，根据选项即可求解.【详解】依题意，π3πsin ,0,22cos tan πsin ,.2x x x y x x x x ππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或由此判断出正确的选项为C.故选：C.8．定义：对于()f x 定义域内的任意一个自变量的值1x ，都存在唯一一个2x1=成立，则称函数()f x 为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（）A ．()ln f x x=B ．()exf x =C ．()sin exf x =D ．()cos f x x=【正确答案】B【分析】根据“正积函数”的定义一一判断即可.【详解】对于A ，()ln f x x =，121ln ln 1x x ==⇒=，当11x =时，则不存在2x 满足情况，故A 不是正积函数；对于B ，()e xf x =，12121e e 10x x x x ==⇒=⇒+=，则任意一个自变量的值1x ，都存在唯一一个2x 满足120x x +=，故B 是正积函数；对于C ，()sin e xf x =，1212sin sin sin sin 1e e 1e 1x x x x +==⇒=⇒=，得12sin sin 0x x +=，当10x =时，则2sin 0x =，2πx k =，k ∈Z ，则2x 不唯一，故C 不是正积函数；对于D ，()cos f x x =，121cos cos 1x x ==⇒=，当[)1cos 0,1x ∈时，则不存在2x 满足情况，故D 不是正积函数.故选:B.二、多选题9．下列函数中，值域是()0,∞+的是（）A ．y =B ．()()20,1x y x x +=∈+∞+C ．2121y x x =++D ．1tan y x=【正确答案】CD【分析】利用基本初等函数的性质以及不等式的性质求出各选项中函数的值域，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，y =A 不满足条件；对于B 选项，当0x >时，则11x +>，所以()()112111,2111x x y x x x +++===+∈+++，B 不满足条件；对于C 选项，对于函数2121y x x =++，1x ≠-，则()22110211y x x x ==>+++，C 满足条件；对于D 选项，对于函数1tan y x=，tan 0x >，则10tan y x =>，D 满足条件.故选：CD.10．若“,0x M x ∃∈<”为真命题，“,3x M x ∃∈≥”为假命题，则集合M 可以是（）A ．(,1)-∞B ．[]1,3-C ．[)0,2D ．()3,3-【正确答案】AD【分析】由已知条件，写出命题,3x M x ∃∈≥的否定，即为真命题，四个选项逐一判断即可.【详解】由题意,0x M x ∃∈<为真命题，,3x M x ∀∈<为真命题，则应满足选项为集合{}3x x <的子集，且满足,0x M x ∃∈<，AD 选项均满足，B 选项当3x =时不符合,3x M x ∀∈<，故错误，C 选项不存在,0x M x ∈<，故错误.故选：AD11．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则能够使得2cos y x =变成函数()f x 的变换为（）A ．先横坐标变为原来的12倍，再向右平移6π个单位长度B ．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移12π个单位长度C ．先向右平移3π个单位长度，再横坐标变为原来的12倍D ．先向左平移24π个单位长度，再横坐标变为原来的2倍【正确答案】AC【分析】利用图象求出函数()f x 的解析式，结合三角函数图象变换可得出结论.【详解】由图可知，()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为54126⎛⎫=-= ⎪⎝⎭T πππ，则22T πω==．又2cos 263f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得cos 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()23k k πϕπ+=∈Z ，而2πϕ<，所以3πϕ=-，所以()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．把2cos y x =图象向右平移3π得2cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12倍即得()f x 的图象；或者先将2cos y x =图象上所有点的横坐标变为原来的12，再将所得图象右移6π个单位长度得到()f x 的图象．故选：AC ．12．设函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论正确的是（）A ．7324f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解【正确答案】ABD【分析】根据()1f x +为偶函数和()1f x -为奇函数可得731222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可判断A ；利用函数的奇偶性建立方程，证明()f x 为一个周期函数，即可判断B ；根据函数的单调性、对称性和周期性即可判断C ；利用数形结合的思想，结合图形即可判断D.【详解】A ：()1f x +为偶函数，故()()11f x f x +=-+，令52x =，得7531222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1f x -为奇函数，故()()11f x f x -=---，令12x =，得3111222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中1131244f ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，所以73132224f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 正确；B ：因为()1f x -为奇函数，则()()11f x f x -=---,得(2)()f x f x --=-，又()1f x +为偶函数，则()()11f x f x +=-+，得()()2f x f x -+=，所以(2)(2)f x f x --=--+，令x x =-得(2)(2)-=-+f x f x ，即()(4)f x f x =-+，则(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即(8)()f x f x +=，所以8为函数()f x 的一个周期.故()()71f x f x +=-，所以()()()()()711187f x f x f x f x f x -+=--=--=--+=-+，从而()7f x +为奇函数，故B 正确；C ：()21f x x =-+在区间(]1,0-上是增函数，且()f x 的图象关于点()1,0-对称，所以()f x 在()2,0-上单调递增，又()f x 周期为8，故()f x 在()6,8上单调递增，故C 错误；D ：作出()f x 与lg y x =-的大致图象，如图所示，其中lg y x =-单调递减且lg 61,lg121->--<-，所以两函数图象有6个交点，故方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解，故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知函数()lg ,03,0x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则110f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】1-【分析】根据函数解析式直接代入求解即可.【详解】由题意可得111lg lg1011010f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，故1-14．若角的终边经过点()()1,0P m m -≠，且sin 2m θ=，则m =______.【正确答案】1±=，解方程即可得解.【详解】由题意，2sin mθ==，因为0m≠，所以1m=±.故答案为.1±15．已知一元二次不等式23208kx kx++>对一切实数x都成立，则k的取值范围是___________．【正确答案】{}03k k<<【分析】由题意，函数()23028y kx k kx++≠=的图象在x轴上方，故k>⎧⎨∆<⎩，解不等式组即可得k的取值范围．【详解】解：因为不等式23208kx kx++>为一元二次不等式，所以0k≠，又一元二次不等式23208kx kx++>对一切实数x都成立，所以有22034208kk k>⎧⎪⎨∆=-⨯⨯<⎪⎩，解得03kk>⎧⎨<<⎩，即03k<<，所以实数k的取值范围是{}03k k<<，故{}03k k<<．16．函数()cos sinf x x x=+在[]π,π-上有______个零点.【正确答案】2【分析】由已知()f x为偶函数.当0πx≤≤时，由sin0x≥恒成立，可得()π4f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，进而得出3π04f⎛⎫=⎪⎝⎭.再根据偶函数的性质即可得出答案.【详解】因为()()()()cos sin cos sinf x x x x x f x-=-+-=+=，则函数()f x是偶函数.当0πx≤≤，sin0x≥恒成立，()πcos sin cos sin4f x x x x x x⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭，因为0πx≤≤，所以ππ5π444x≤+≤，当ππ4x +=，即3π4x =时，()0f x =，所以3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又函数()f x 是偶函数，所以3π3π044f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以函数()f x 在[]π,π-上有2个零点.故2.四、解答题17．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 3α=.(1)求tan α的值；(2)求πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)【分析】（1）根据已知可求出sin 3α=，进而即可得出答案；（2）根据两角和的余弦公式，即可得出结果.【详解】（1）因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α>，所以sin 3α===，所以sin 3tan 1cos 3ααα===.（2）由（1）得，1cos 3α=，sin α，则πππcos cos cos sin sin 333ααα⎛⎫+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭113232=⨯-⨯=18．已知函数2()2f x ax ax b =-++.（1）当1a =、3b =时，解不等式()0f x >；（2）若0a >、0b >，且()12f =，求11a b+的最小值.【正确答案】（1）(1,3)-；（2）2.（1）本题首先可根据题意将()0f x >转化为2230x x -++>，然后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据(1)2f =得出2a b +=，然后将11a b+转化为122b a a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，最后根据基本不等式即可求出最值.【详解】（1）因为1a =，3b =，2()2f x ax ax b =-++，所以不等式()0f x >即2230x x -++>，(3)(1)0x x -+<，解得13x -<<，故不等式()0f x >的解集为(1,3)-.（2）因为(1)2f =，所以2a b +=，则111111()2222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，故11a b+的最小值为2.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.19．已知函数()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调增区间；(2)当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.【正确答案】(1)()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)[]0,3.【分析】（1）由正弦函数性质知在()πππ2π22πZ 262k x k k -≤+≤+∈上递增，即可求增区间；（2）应用整体法求π26x +的区间，再由正弦函数性质求值域.【详解】（1）由()πππππ2π22πππZ 26236k x k k x k k -≤+≤+⇒-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调增区间是()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得ππ5π2666x -≤+≤从而1sin 2,162πx ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]π2sin 210,36x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.所以()f x 的值域为[]0,3.20．已知函数()12xf x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过原点，且无限接近直线2y =但又不与该直线相交.(1)求该函数的解析式；(2)判断该函数的奇偶性和单调性.【正确答案】(1)()1222xf x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；(2)偶函数，在[0,)+∞上为增函数，在(,0)-∞上为减函数.【分析】（1）由题得2b =，0a b +=，即得解；（2）利用函数的奇偶性定义证明函数是偶函数，再判断函数的单调性得解.【详解】（1）解：由题得2b =，∵()00f a b =+=，∴22a b =-=，.∴()1222xf x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（2）解：函数()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=.∴()f x 是偶函数.当0x ≥时，1()=2()22x f x -⋅+，由复合函数的单调性原理得此时函数是增函数.∴()f x 在[0,)+∞上为增函数，在(,0)-∞上为减函数.21．已知函数()()()log 1log 1a a f x bx x =+--（0a >且1,0a b ≠>）为奇函数.（1）求()f x 的定义域；（2）求关于x 的不等式()0f x >的解集.【正确答案】（1）()1,1-；（2）当1a >时，解集为()0,1；当01a <<时，解集为()1,0-；（1）根据函数()f x 为奇函数，利用()()f x f x -=-列式求解1b =，再代入解不等式；（2）分类讨论1a >和01a <<两种情况，分别求解分式不等式，再与定义域求交集.【详解】（1）因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，即()()()()log 1log 1log 1log 1a a a a bx x bx x --+=-++-，所以22211b x x -=-，得21b =，又因为0b >，所以1b =根据解析式可得，1010x x +>⎧⎨->⎩，所以11x -<<.所以()f x 的定义域为()1,1-，（2）解不等式()()()log 1log 10a a f x x x =+-->，即解1log 01ax x +>-当1a >时，1log 01a x x +>-等价于111x x+>-，即201x x >-，解得01x <<；当01a <<时，1log 01ax x +>-等价于111x x +<-，即201x x <-，解得0x <或1x >，又因为11x -<<，所以解集为10x -<<.综上，当1a >时，解集为()0,1；当01a <<时，解集为()1,0-；解对数不等式问题时，首先需要注意定义域的限制，其次如果底数不确定时，需要分类讨论底数1a >和01a <<两种情况，结合对数函数的单调性求解不等式解集.22．某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x=+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）.20.3y x =设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.(1)将y 表示成关于x 的函数；(2)为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【正确答案】(1)27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+(2)分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【详解】（1）若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.（2）由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.。

青海省西宁市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，则a﹣b＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．下列在法则f的作用下，从集合A到集合B的对应中，不是映射的个数是（）A．0B．1C．2D．33．航海罗盘将圆周32等分，如图所示，则图中劣弧所对的圆心角为（）A．B．C．D．4．设，，则＝（）A．（﹣8，﹣2）B．（8，2）C．（﹣8，2）D．（﹣2，2）5．若a＝，b＝，则a+b等于（）A．﹣10B．10C．﹣2D．26．若，则角α终边上一点的坐标可能是（）A．B．C．D．7．已知a＝log23，b＝（）3，c＝log3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 8．已知tan（5π+x）＝﹣2，则的值为（）A．4B．3C．﹣3D．﹣49．已知点（n，8）在幂函数f（x）＝（m﹣2）x m的图象上，则函数f（x）在区间〖n，n+1〗上的值域为（）A．〖﹣8，27〗B．〖2，3〗C．〖4，9〗D．〖8，27〗10．已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝a x+b ﹣2的图像是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝在R上是减函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（0，〗C．（0，〗D．（﹣∞，〗12．已知函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象上相邻两个最高点间的距离为B．f（x）的图象在区间上单调递减C．f（x）的图象关于直线成轴对称D．f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得函数为偶函数二、填空题13．函数的定义域是．14．函数f（x）＝sin（）的最小正周期是．15．函数y＝的零点为．16．已知函数f（x）＝log a x+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若角α终边经过点A，则＝．三、解答题17．（10分）如图，已知圆O的半径r为10，弦AB的长为10．（1）求弦AB所对的圆心角α的大小；（2）求圆心角α所对应的弧长l及阴影部分的面积S．18．（12分）设函数f（x）＝x2﹣2|x|+3．（1）画出函数图像（画在答题卡上，标出关键点坐标）；（2）结合图像，试讨论方程f（x）＝m根的个数．19．（12分）已知向量与，其中．（1）若∥，求sinθ和cosθ的值；（2）若f（θ）＝，求f（θ）的值域．20．（12分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，集合B＝{x|a+1≤x≤2a+1}．（Ⅰ）若a＝2，求A∪B和A∩∁R B；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．21．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的〖解析〗式；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）的单调递增区间．22．（12分）已知函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）＝．（1）确定函数f（x）的〖解析〗式．（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题1．C〖解析〗∵P＝Q，∴，解得，∴a﹣b＝0，故选：C．2．D〖解析〗根据映射的定义可得：①③中出现了一对多，②中，原象2，4没有像，④中元素完全符合映射的定义，所以不是映射的个数有3个，故选：D．3．B〖解析〗因为劣弧的弧长占了32等分中的7等分，所以劣弧所对的圆心角为．故选：B．4．A〖解析〗∵，，∴＝（﹣5﹣3，﹣1﹣1）＝（﹣8，﹣2），故选：A．5．D〖解析〗a＝＝﹣4，b＝＝6，∴a+b＝2，故选：D．6．C〖解析〗对于A，若角α终边上一点的坐标是，则sinα＝＝，故错误；对于B，若角α终边上一点的坐标是，则sinα＝＝﹣，故错误；对于C，若角α终边上一点的坐标是（，﹣），则sinα＝＝﹣，故正确；对于D，若角α终边上一点的坐标是（﹣，），则sinα＝＝，故错误．故选：C．7．A〖解析〗a＝log23＞log22＝1，b＝（）3＝＜1，c＝log3＜0，所以a＞b＞c，故选：A．8．B〖解析〗因为tan（5π+x）＝﹣2，则tan x＝﹣2，所以＝＝，故选：B．9．D〖解析〗因为函数f（x）＝（m﹣2）x m的是幂函数，所以m﹣2＝1，解得m＝3；所以函数f（x）＝x3，又点（n，8）在函数f（x）＝x3的图象上，所以n3＝8，解得n＝2，所以函数f（x）在区间〖2，3〗上是单调增函数，且f（2）＝8，f（3）＝27，所以f（x）的值域为〖8，27〗．故选：D．10．D〖解析〗由函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象，则0＜b＜1，1＜a＜2，函数g（x）＝a x+b﹣2恒过定点（0，b﹣1），因为0＜b＜1，则﹣1＜b﹣1＜0，又1＜a＜2，则函数g（x）为单调递增函数，故选：D．11．B〖解析〗由题意可得，解得0，故选：B．12．D〖解析〗函数的最小正周期为，对于A：函数f（x）的图象上相邻的最高点的距离为π，故A错误；对于B：当x时，，故函数在该区间上不单调，故B 错误；对于C：当x＝﹣时，，故函数取不到最值，故C错误；对于D：函数f（x）＝向右平移个单位后，得到g（x）＝cos2x的关系式，故函数为偶函数，故D正确．故选：D．二、填空题13．（﹣2，0）∪（0，+∞）〖解析〗由题意得：，解得：x＞﹣2且x≠0，故函数的定义域是（﹣2，0）∪（0，+∞），故〖答案〗为：（﹣2，0）∪（0，+∞）．14．4〖解析〗因为f（x）＝sin（），所以f（x）的最小正周期为．故〖答案〗为：4．15．1〖解析〗令y＝＝0⇒＝，解得x＝1，故函数的零点为1，故〖答案〗为：1．16．1﹣〖解析〗因为函数f（x）＝log a x+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），若角α终边经过点A，所以sinα＝＝，cosα＝＝，则＝2sinαcosα﹣cosα＝2×﹣＝1﹣．故〖答案〗为：1﹣．三、解答题17．解：（1）由于圆O的半径为r＝10，弦AB的长为10，所以△AOB为等边三角形，所以α＝∠AOB＝．（2）因为，所以l＝αr＝，S扇形AOB＝lr＝××10＝，又S△AOB＝×10×10＝25，所以阴影部分的面积S＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣25．18．解：（1）由已知函数的定义域为R关于原点对称，且f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2|﹣x|+3＝x2﹣2|x|+3＝f（x），所以函数f（x）是偶函数；函数f（x）的图象如图所示：（2）由图象可得：当m＝3时，方程f（x）＝m有3个根，当m＞3或m＝2时，方程f（x）＝m有2个根，当2＜m＜3时，方程f（x）＝m有4个根，当m＜2时，方程f（x）＝m没有根．19．解：（1）∵与，∥，∴sinθ＝cosθ，∵sin2θ+cos2θ＝1，，∴sinθ＝，cosθ＝．（2）f（θ）＝＝sinθ+cosθ＝2sin（θ+），∵，∴∈（，），∴sin（）∈（，1〗，∴f（θ）∈（1，2〗．∴f（θ）的值域为（1，2〗．20．解：（I）a＝2时，A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|a+1≤x≤2a+1}＝{x|3≤x≤5}，A∪B＝{x|﹣2≤x≤5}，A∩∁R B＝{x|﹣2≤x≤5}∩{x|x＞5或x＜3}＝{x|﹣2≤x＜3}；（II）由A∪B＝A，得B⊆A，若B＝∅，则a+1＞2a+1，解得a＜0，当B≠∅，则，解得0≤a≤2，综上，a≤2，所以a的范围{a|a≤2}．21．解：（Ⅰ）由图像知，故，A＝2，再由＝﹣2得，故，结合0＜φ＜π得，故f（x）＝2sin（2x）；（Ⅱ）由y＝f（x）的图象向右平移个单位，得g（x）＝2＝2sin（2x﹣），要求函数y＝g（x）的单调递增区间，只需，解得，故g（x）的单调递增区间为〖〗，k∈Z．22．（1）解：函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数，则f（0）＝0，即有b＝0，且f（）＝，则，解得，a＝1，则函数f（x）的〖解析〗式：f（x）＝（﹣1＜x＜1）；（2）证明：设﹣1＜m＜n＜1，则f（m）﹣f（n）＝＝，由于﹣1＜m＜n＜1，则m﹣n＜0，mn＜1，即1﹣mn＞0，（1+m2）（1+n2）＞0，则有f（m）﹣f（n）＜0，则f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解：由于奇函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，则不等式f（t﹣1）+f（t）＜0即为f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），即有，解得，则有0＜t＜，即解集为（0，）．。

青海省大通县教学研究室2021届高三第一轮复习期末联考数学（理科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合{|12},{|03}A x x B x x =-=<，则A B ⋂=（ ）A ．{|10}x x -<B ．{|10}x x -C ．{|02}x x <<D ．{|02}x x <2．已知复数2z =，i 为虚数单位，则2z =（ ） A ．522i - B ．522i + C ．322i - D ．322i + 3．已知x ，y 满足约束条件20,220,1,x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪⎩则35z x y =-的最小值为（ ）A ．6-B ．8-C ．10-D ．12-4．经验表明：当人的下肢部分之长与身高总长度的比为0.618时是最美的，如果某人的这个比值与0.618相差较大，则可以通过穿适当高度的高跟鞋来调节，从而达到美的标准．若某女性的身高170厘米，下肢部分之长为103厘米，为了让自己变得更美，该女性选择高跟鞋的高度最适合的为（ ）A ．5.4厘米B ．5.8厘米C ．4.9厘米D ．4.5厘米5．直线2y x =-被圆224210x y x y +-++=所截得的弦长为（ ）A ．4 B． C． D6．已知锐角ABC 三边长分别为x1x +，则实数x 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(2,5)7．某高校对全体大一新生开展了一次有关“人工智能引领科技新发展”的学术讲座，随后对人工智能相关知识进行了一次测试（满分100分），如图所示是在甲、乙两个学院中各抽取的5名学生的成绩的茎叶图，由茎叶图可知，下列说法正确的是（ ）①甲、乙的中位数之和为159；②甲的平均成绩较低，方差较小；③甲的平均成绩较低，方差较大；④乙的平均成绩较高，方差较小；⑤乙的平均成绩较高，方差较大A ．①②④B ．①③④C ．①③⑤D ．②⑤8．44sin cos 1212ππ+=（ ）A ．12B ．58C ．34D ．789．在平面直角坐标系O x y 中，直线1y x =+与椭圆2212x y +=相交于A 、B 两点，则OAB 的面积为（ ）A ．3B ．1C ．23D ．3 10．函数()cos()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则()sin()g x A x ωϕ=-的单调递增区间为（ ）A ．122,2()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．212,2()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．212,2()33k k k ππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．122,2()33k k k ππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 11．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1112．已知34501,log ,log ,log t a t b t c t <<===，则（ ）A ．453b c a <<B ．534c a b <<C ．543c b a <<D ．435b a c <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 满足||1,(1,3)a b ==，若()2a a b ⋅-=，则a 与b 的夹角为________．14．5()x a x -的展开式中3x 的系数为1250-，则是实数a 的值为__________．15．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,2,ABC AC BC AB AP ⊥==，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为_________．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过右支上一点P 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ．若1||PH PF +的最小值为4a ，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知前n 项和为n S 的等差数列{}n a 的通项公式为403n a n =-．（1）求n S 的最大值；（2）令()()114040n n n b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足12109n T =的正整数n 的值． 18．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDE 中，平面AEC ⊥平面,,ABC AC BC AE CD ⊥⊥，四边形BCDE 为平行四边形．（1）证明：AE EC ⊥；（2）若AE EC CB ===，求二面角D AC E --的余弦值．19．（本小题满分12分）某班为了活跃元旦晩会气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放人一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．（1）求甲获得奖品的概率；（2）设ⅹ为甲参加游戏的轮数，求X 的分布列与数学期望．20．（本小题满分12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．（1）若直线l 与抛物线C 的准线相交于点P ，且||PF =l 的方程；（2）若直线l 不过原点，且90AFB ∠=，求ABF 的周长． 21．（本小题满分12分）已知函数32()e ()f x x ax a =-∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0x >时，若()0x f x e +，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为241x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222124sin 3cos ρθθ=+． （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程； （2）若点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数2()1||f x x m x m =----．（1）当1m =时，求不等式1()2f x <的解集；（2）若()1f x ，求实数m 的取值范围．青海省大通县教学研究室2021届高三第一轮复习期末联考·数学（理科）参考答案、提示及评分细则1．D {|02}AB x x =<． 2．C 21322222z i i =--=-． 3．D 线性区域端点的坐标为3(2,0),(1,3),1,2⎛⎫--⎪⎝⎭，可知z 的最小值为12-． 4．A 设该女性选择高跟鞋的高度为x ，由题意有1030.618170x x +=+，解得 5.4x ≈厘米． 5．D 圆的方程化为标准方程为22(2)(1)4x y -++=，圆心到直线的距离为=，所求弦长为=． 6．A由题意有2222(1)502(1)0x x x x ⎧++->⎪+⎪⎨>，解得12x <<． 7．B 由茎叶图可得甲、乙两组数据的中位数分别为76，79，故甲、乙的中位数之和为155． 6372768396785x ++++==甲， 6972798897815x ++++==乙． 222222 1(6378)(7278)(7678)(8378)(9678)122.85S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲， 2222221(6981)(7281)(7981)(8881)(9781)106.85S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙． 所以正确的说法是①③④．8．D24422222117 sin cos sin cos2sin cos1sin1 1212121212122688πππππππ⎛⎫+=+-=-=-=⎪⎝⎭．9．C 联立方程22121xyy x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得1xy=⎧⎨=⎩或4313xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，||3AB==，点O到直线1y x=+，则OAB的面积为12233S=⨯=．10．B 由图可知，21,2A Tπω===，∴ωπ=．由22()32k kππϕπ⨯+=+∈Z，不妨取6πϕ=-，∴()sin6g x xππ⎛⎫=+⎪⎝⎭．由22()262k x k kππππππ-++∈Z，得2122()33k x k k-+∈Z，所以()g x 的递增区间为212,2()33k k k⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z．11．D 该几何体的直观图为三棱柱切去一个三棱锥而得，如图所示，其体积为12111-=．12．C ∵345111log,log,loglog3log4log5t t ta tb tc t======，∴34343log44log3log4log334log3log4log3log4log3log4t t t tt t t t t ta b---=-==⋅⋅，∵3401,43t<<<，∴34log30,log40,log4log30t t t t<<->，∴3log44log3340log3log4t tt ta b--=>⋅，即43b a<．同理可得45log5log4450log4log5t tt tb c--=>⋅．故543c b a<<．13．120°由()2a a b⋅-=知，22a a b-⋅=，则1a b⋅=-，所以1cos,2a b〈〉=-，故夹角为120°．14．5-展开式中3x的系数为23235C(1)101250,5a a a⨯⨯-==-=-．15．92π 三棱锥P ABC -的外接球的半径为32=，则三棱锥P ABC -的外接球的体积多3439322ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭．16 由双曲线定义知，122PF PF a -=，则122PF PF a =+，∴12||||2PH PF PH PF a +=++，所以，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线垂足为H ，交右支于点P ，此时2||2PH PF a ++最小且最小值为4a ，易求焦点到渐近线的距离为b ，即2||PH PF b +=，所以24b a a +=，即222,5b a c a ==，可求离心率e =17．解：（1）令0n a ，可得403n ． 2分 可得当113n 时，0n a >；当14n 时，0n a <． 4分故当13n =时，n S 的最大值为13131213(403)(3)2472S ⨯=⨯-+⨯-= 6分 （2）由403n a n -=-，有11111(3)[3(1)]9(1)91n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪-⨯-+++⎝⎭8分 有11111111119223191n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 10分 有1112191109n ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，解得108n = 故满足12109n T =的正整数n 的值为108． 12分 18．解：（1）证明：因为平面AEC ⊥平面ABC ，交线为AC ，又AC BC ⊥，所以BC ⊥平面,AEC BC AE ⊥，又,AE CD CD BC C ⊥=，则AE ⊥平面,BCDE EC ⊂平面BCDE ，所以，AE EC ⊥； 4分（2）取AC 的中点O ，AB 的中点F ，连接,OE OF ，则OE ⊥平面,ABC OF ⊥平面AEC ； 以点O 为坐标原点，分别以,,OA OF OE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，已知AE EC CB ===2,1AC OE ==． 6分(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,O A C D -，则(2,0,0),(1,AC AD =-=-， 8分设平面DAC 的一个法向量(,,)m x y z =，由0,0m AC m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,0x x z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令y =0,2x z ==， 即(0,2,2)m =；平面ECA 的一个法向量为(0,1,0)n =； 10分2cos ,3||||2m n m n mn ⋅〈〉===+． 所以二面角D AC E --． 12分 19．解：（1）设甲获得奖品为事件A ，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关， 则63211(A)1263212P =⨯⨯⨯=． 5分 （2）随机变量X 的取值可以为1，2，3，4． 6分61(1)122P X ===， 7分 631(2)1264P X ==⨯=， 8分 6311(3)126312P X ==⨯⨯=， 9分6321(4)12636P X ==⨯⨯=． 10分 X 的分布列为所以数学期望111123()12342412612E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 12分 20．解：（1）设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为(1,2)m -- 2分联立方程242y x y x m⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为224(44)0x m x m +-+=，又由22Δ(44)1616320m m m =--=->，可得12m < 4分由点F 的坐标为(1,0)，有||PF ==0m =或4m =（舍去）故直线l 的方程为2y x = 6分（2）设直线l 的方程为2(0)y x b b =+≠，点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y联立方程242y x y x b⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为224(44)0x b x b +-+=，可得121x x b +=-，21214x x b =，()()()2221212121222422(1)2y y x b x b x x b x x b b b b b b =++=+++=+-+=又由22Δ(44)1616320b b b =--=->，可得12b < 8分 又由()()11221,,1,FA x y FB x y =-=-，可得()()121211,FA FB x x y y ⋅=--+()22121212111(1)123044x x x x y y b b b b b =-+++=--++=+=，得0b =（舍去）或12b =- 10分由12b =-，可得121213,36,||x x x x AB +=====()()1212||||11215AF BF x x x x +=+++=++=故ABF 的周长为15+ 12分21．解：（1）函数()f x 的定义域为R ，22()3e 23e 3e a f x x ax x x ⎛⎫=-=- ⎝'⎪⎭1分 ①当0a =时，2()3e 0f x x='，此时函数()f x 在R 上单调递增，增区间为(,)-∞+∞； 2分②当0a >时，令()0f x '>，可得203a x e <<，此时函数()f x 的减区间为20,3a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为(,0)-∞，2,3a e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； 3分 ③当0a <时，令()0f x '>，可得203a x e <<，此时函数()f x 的减区间为2,03a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为2,3a e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(0,)+∞； 4分（2）不等式()e0xf x +可化为23xaxe ex +，可得32x e ex a x +，有2xe a ex x+ 6分 令2()(0)x e g x ex x x =+>，有3(2)()xx e g x e x -'=+ 7分 令3(2)()(0)x x e h x e x x -=+>，有()24446(1)3(2)()x x x x x ex x e x e h x x x -+---='= 9分 24(2)20xx e x⎡⎤-+⎣⎦=>，可得函数()h x 单调递增，又由(1)0h =，可得01x <<时，()0h x <；1x >时，()0h x >，可得函数()g x 的减区间为(0,1)，增区间为(1,)+∞ 11分有min ()(1)2g x g e ==，可得2a e 故当0x >时，若()0xf x e+，则实数a 的取值范围为(,2]e -∞． 12分22．解：（1）在直线l 的参数方程中消去参数t 有2(1)4x y =++ 1分 整理可得直线l 的的直角坐标方程为260x y --= 2分 曲线C 的极坐标方程可化为22224sin 3cos 12ρθρθ+= 3分将cos ,sin x y ρθρθ==代入曲线C 的极坐标方程，可得曲线C 的直角坐标方程为223412x y += 5分（2）曲线C 的直角坐标方程可化为22143x y += 6分 设点P的坐标为(2cos )αα 7分点P 到直线l的距离为25d=== 故点P 到直线l 的距离的最大值为 10分23．解：（1）当1m =时，()|2||1|f x x x =---． 1分 ①当1x <时，不等式1()2f x <可化为1(2)(1)2x x ---<，得112<，不合题意，舍去； 2分 ②当12x 时，不等式1()2f x <可化为1(2)(1)2x x ---<，得54x >，有524x <； 3分 ③当2x >时，不等式1()2f x <可化为1(2)(1)2x x ---<，得112-<，有2x >． 4分 由上知不等式1()2f x <的解集为5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5分 （2）由()222()1()11f x x mx m m m m m ----=-+=-+， 8分若()1f x ，有211m m -+，解得01m ，故若()1f x ，则实数m 的取值范围[0,1]． 10分。

青海省西宁市2020-2021学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集U =N *，集合A ={1，2，5}，B ={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2B ．{2,4，6}C ．{}4,6D ．{1,3，5}2．若sin cos 0αα⋅>，则角α的终边在（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限3．下列函数既是奇函数，又在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A ．y ＝x 3B ．y ＝lnxC ．y ＝|x |D ．y ＝sinx4．在（0，2π）内，使tanx ＞1成立的x 的取值范围是（ ）A ．（4π，2π）∪（π，54π）B ．（4π，π） C ．（4π，54π）D ．（4π，2π）∪（54π，32π）5．已知函数f （x ）＝2x 2+kx ﹣1在区间[1，2]上是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣8]∪[﹣4，+∞） B ．[﹣8，﹣4] C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．[﹣4，﹣2]6．实数a ，b ，c 是图象连续不断的函数y =f （x ）定义域中的三个数，且满足a ＜b ＜c ，f （a ）f （b ）＜0，f （c ）f （b ）＜0，则y =f （x ）在区间（a ，c ）上的零点个数为（ ）. A ．2B ．奇数C ．偶数D ．至少是27．已知集合A ＝{1，2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{12}，则A ∪B ＝（ ） A ．{12，1，0} B ．{﹣1，12} C ．{12，1} D ．{﹣1，12，1}8．如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，BD ＝2DC ，如果AD x AB y AC =+，那么（ ）A ．x 13=，y 23= B ．x 23=，y 13=C ．x 23=-，y 13=D ．x 13=，y 23=- 9．已知函数()y f x =在定义域()1.1-上是减函数，且(21)(1)f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,∞+10．已知函数f （x ）＝163x a -+（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点P ，若定点P 在幂函数g （x ）的图象上，则幂函数g （x ）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是（ ）.A ．图象关于点-,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减 D ．在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增 12．已知偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是增函数．若a ＝f （log 215），b ＝f （12log 3），c＝f （2﹣0.8），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b二、填空题13．函数2()lg(31)f x x =++的定义域是__________． 14．某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm ，则该扇形面积为_____cm 2． 15．已知tan （4π+α）＝1，则sin 2α﹣2cos 2α＝_____． 16．设函数f （x ）在定义域[﹣5，5]上满足f （x ）﹣f （﹣x ）＝0，且f （3）＝0，当x ∈[0，5]时，f （x ）的图象如图所示，则不等式xf （x ）＜0的解集是_____．三、解答题17．已知角α的终边上一点（x ，35），且tanα34=-． （1）求x 的值；（2）求cos 42α-sin 42α的值． 18．已知函数f （x ）＝x mx+，且此函数图象过点（1，2）．（1）求实数m 的值；（2）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（3）讨论函数f （x ）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论． 19．设函数f(x)={(12)x−3,x <0√x,x ≥0（1）若f(x)<1，求满足条件实数x 的集合A ；（2）对于（1）中的集合A ，若集合B ={x |2a ≤x ≤a +1} ，且A ∪B =A ，求a 的取值范围.20．已知函数2222xx x f x sin cos π=-（）（）． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在区间[﹣π，0]上的最大值和最小值．21．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ． （1）求f （0）及f （f （1））的值； （2）求函数f （x ）的解析式；（3）若关于x 的方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围， 22．设函数()()sin (,,f x A x A ωφωφ=+为常数，且0,0,0)A ωφπ>><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的表达式； （2）求函数()f x 的单调减区间；（3）若()4f α=，求cos(2)6πα-的值.参考答案1．C 【解析】 【分析】由集合A ，B ，结合图形即可写出阴影部分表示的集合． 【详解】解：根据条件及图形，即可得出阴影部分表示的集合为()U C A B ⋂= {4，6}． 故选C ． 【点睛】考查列举法的定义，以及Venn 图表示集合的方法,属于基础题． 2．B 【分析】由sin cos 0αα⋅>可得sin α>0,cos α>0⎧⎨⎩ 或sin α<0,cos α<0⎧⎨⎩由三角函数在各个象限的符号可求角α的终边所在象限. 【详解】由sin cos 0αα⋅>可得sin α>0,cos α>0⎧⎨⎩ 或sin α<0,cos α<0⎧⎨⎩当sin α>0cos α>0⎧⎨⎩时，角α的终边位于第一象限，当sin α<0cos α<0⎧⎨⎩时，角α的终边位于第三象限. 故选：B. 【点睛】本题考查角函数在各个象限的符号，属基础题. 3．A 【分析】根据函数奇偶性及单调性的定义对选项进行检验即可判断． 【详解】解：y ＝lnx 定义域（0，+∞）不关于原点对称，故为非奇非偶函数， y ＝|x |为偶函数，不符合题意，y ＝sin x 在（0，+∞）上不单调，不符合题意，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础试题． 4．D 【分析】由条件根据正切函数的图象特征可得 k π4π+<x <k 2π+，k ∈z ，再结合x ∈（0，2π），求得x 的范围． 【详解】解：由tan x ＞1，可得 k π4π+<x <k 2π+，k ∈z ． 再根据x ∈（0，2π），求得x ∈（4π，2π）∪（54π，32π），故选：D ． 【点睛】本题主要考查正切函数的图象特征，考查数形结合思想，属于基础题． 5．A 【分析】由在区间上单调，可知对称轴不在区间内可得． 【详解】 解：对称轴x 4k=-， 函数f （x ）＝2x 2+kx ﹣1在区间[1，2]上是单调函数，则对称轴不在区间内， 则14k -≤或者24k-≥； 即k ≤﹣8或k ≥﹣4， 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数单调性问题，考查分类讨论思想，属于基础题． 6．D 【分析】由零点的存在性定理：f （a ）f （b ）＜0，则y =f （x ）在区间（a ，b ）上至少有一个零点，同理在（b ，c ）上至少有一个零点，结果可得． 【详解】由根的存在性定理，f （a ）f （b ）＜0，f （c ）f （b ）＜0， 则y =f （x ）在区间（a ，b ）上至少有一个零点， 在（b ，c ）上至少有一个零点，而f （b ）≠0，所以y =f （x ）在区间（a ，c ）上的零点个数为至少2个． 故选：D ． 【点睛】本题考查零点的存在性定理，正确理解零点的存在性定理的条件和结论是解决本题的关键． 7．D 【分析】 根据A ∩B ＝{12}，求出a ，b 的值，进而可得答案． 【详解】解：∵集合A ＝{1，2a }，B ＝{a ，b }， 若A ∩B ＝{12}，则2a 12=，即a ＝﹣1， 且b 12=， 故A ＝{1，12}，B ＝{12，﹣1}，故A ∪B ＝{﹣1，12，1}，故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是集合的交并补混合运算，难度不大，属于基础题． 8．A 【分析】利用AB ，AC 将CB 表示出来，再运用平面向量的线性运算即可求解 【详解】解：∵BD ＝2DC ， ∴()1133CD CB CA AB ==+；∵AD AC CD =+，∴11213333AD AC CA AB AC AB =++=+；∴13x =，23y =．故选：A ． 【点睛】本题考查了平面向量的数乘与线性运算，考查学生的分析能力，计算能力；属于基础题． 9．B 【分析】由函数的单调性及定义域可得不等式，即可得解. 【详解】因为函数()y f x =在定义域()1.1-上是减函数，且(21)(1)f a f a -<-，所以2111211111a a a a ->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩,解得213a <<,所以实数a 的取值范围是2,13⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，考查了运算求解能力，属于基础题. 10．A 【分析】根据指数函数的性质求出点P 坐标，得出g （x ）的解析式，从而得出g （x ）的图象． 【详解】解：f （x ）＝163x a -+恒过点P （16，4）， 设幂函数g （x ）＝x α，则16α＝4， ∴α12=， ∴g （x）=故选：A ．【点睛】本题考查了指数函数的性质，幂函数的性质，属于基础题． 11．D 【解析】函数()sin2f x x =的图象向左平移6π个单位，得到的图象对应的函数为sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．对于A ，当3x π=-时，sin 03y π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭．图象不关于点-,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，∴A 不正确；对于B ，当6x π=-时，sin 00y ==，图象不关于6x π=-轴对称，∴B 不正确；对于C ，sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期是π．当12x π=时，函数取得最大值，∴在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减不正确，∴C 不正确；sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期是π．当12x π=时，函数取得最大值，1112x π=-时，函数取得最小值，∵511,,1261212ππππ⎡⎤⎡⎤--⊂-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增，∴D 正确点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.12．A 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质，以及对数和指数幂的性质进行转化求解即可． 【详解】解：∵偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是增函数， ∴函数f （x ）在[0，+∞）上是减函数， a ＝f （log 215）＝f （﹣log 25）＝f （log 25）， b ＝f （12log 3）＝f （﹣log 23）＝f （log 23）， ∵0＜2﹣0.8＜1＜log 23＜2＜log 25， ∴f （2﹣0.8）＞f （log 23）＞f （log 25）， 即c ＞b ＞a ， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键． 13．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】要使函数()f x ()2lg 31x +有意义,则10310x x ->⎧⎨+>⎩,解得113x -<<,即函数()f x =()2lg 31x ++的定义域为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目． 14．1 【解析】设该扇形的半径为r ，根据题意，因为扇形的圆心角为2弧度，周长为4，则有422,1r r r =+=，2211=21122S r α=⨯⨯=，故答案为1.15．﹣2【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数的恒等式的应用求出结果．【详解】解：已知tan （4π+α）＝1，则111tan tan αα+=-，解得tan α＝0， 所以sin 2α﹣2cos 2α2222222221sin cos tan sin cos tan αααααα--===-++． 故答案为：﹣2【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角恒等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16．（﹣5，﹣3）∪（0，3）【分析】根据题意，结合函数的图象分析可得在（0，3）上，f （x ）＜0，在（3，5）上，f （x ）＞0，结合函数的奇偶性可得在（﹣5，﹣3）上，f （x ）＞0，在（﹣3，0）上，f （x ）＜0，又由xf （x ）＜0⇔()00x f x ⎧⎨⎩＞＜或()00x f x ⎧⎨⎩＜＞，分析可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）为偶函数，且图象可得在（0，3）上，f （x ）＜0，在（3，5）上，f （x ）＞0，则在（﹣5，﹣3）上，f （x ）＞0，在（﹣3，0）上，f （x ）＜0，xf （x ）＜0⇔00x f x ⎧⎨⎩＞（）＜或00x f x ⎧⎨⎩＜（）＞， 分析可得：﹣5＜x ＜﹣3或0＜x ＜3，即不等式的解集为（﹣5，﹣3）∪（0，3）；故答案为：（﹣5，﹣3）∪（0，3）．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 17．（1）x 45=-（2）45- 【分析】（1）由三角函数的定义即可算出结果；（2）利用定义可得cosα，化简所求表达式，代入可求出结果．【详解】（1）由题意可知：335tan 4x α==-，∴x 45=-； （2）又（1）可知角α的终边上一点（45-，35）， ∴cosα45=-， cos 42α-sin 42α=（cos 22α+sin 22α）（cos 22α-sin 22α）＝cos 22α-sin 22α=cosα45=-． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和同角基本关系式及二倍角余弦公式，是基础题． 18．（1）m ＝1（2）函数是奇函数,证明见解析（3）函数是单调递减函数,证明见解析【分析】（1）利用函数f （x ）＝x m x+，且此函数图象过点（1，2），代入计算求实数m 的值； （2）利用函数f （x ）的奇偶性的定义，判断与证明；（3）利用定义证明函数f （x ）在（0，1）上的单调性．【详解】（1）∵函数f （x ）＝x m x+，且此函数图象过点（1，2）， ∴2＝1+m ，∴m ＝1； （2）f （x ）＝x 1x+，定义域为：()()00-∞⋃+∞，，， 又f （﹣x ）＝﹣x 1x +=--f （x ）， ∴函数f （x ）是奇函数；（3）函数f （x ）在（0，1）上单调递减，设0＜x 1＜x 2＜1，则()()()()211212121212121212111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x ---=+--=-+=-⋅⋅⋅， ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，x 1x 2﹣1＜0，∴()()()1212121210x x f x f x x x x x --=-⋅＞， 即f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（0，1）上的单调递减．【点睛】本题考查求函数的解析式，考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（1）A ={x |−2<x <1} ；（2）a ∈(−1,0)∪(1,+∞).【详解】试题分析：（1）由{x <0(12)x −3<1 或{x ≥0√x <1解不等式即可； （2）由A ∪B =A ,可知B ⊆A ，讨论B =∅和B ≠∅求解即可.试题解析：（1）由{x <0(12)x −3<1 或{x ≥0√x <1 解得：−2<x <0或0≤x <1∴A ={x |−2<x <1} .（2）∵A ∪B =A ,所以可知B ⊆A（i ）当B =∅时，2a >a +1，∴ a >1满足题意（ii ）当B ≠∅时，{2a ≤a +12a >−2a +1<1解得：−1<a <0综上得：a ∈(−1,0)∪(1,+∞).20．（1）最小正周期为T ＝2π（21-+【分析】（1）化函数f （x ）为正弦型函数，求出它的最小正周期；（2）根据x 的取值范围，利用正弦函数的图象与性质求出函数f （x ）的最大、最小值．【详解】 （1）因为2222x x x f x sin cos π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（）2222x x x sin cos =12sinx =+3sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以f （x ）的最小正周期为T ＝2π；（2）因为x ∈[﹣π，0]，所以2333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，；所以当33x ππ+=，即x ＝0时，函数f （x ）取得最大值32sin π+=当32x ππ+=-，即56x π=-时，函数f （x ）取得最小值1-+；所以f （x ）在区间[﹣π，0]和1-+． 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查三角恒等变换，是基础题．21．（1）f （0）＝0，f （1）＝﹣1（2）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩（3）（﹣1，0）【分析】（1）根据题意，由函数的解析式，将x ＝0代入函数解析式即可得f （0）的值， 同理可得f （1）的值，利用函数的奇偶性分析可得f （f （1））的值；（2）设x ＜0，则﹣x ＞0，由函数的解析式分析f （﹣x ）的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；（3）若方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，则函数y ＝f （x ）与直线y ＝m 有4个交点，作出函数f （x ）的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】（1）根据题意，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ；则f （0）＝0，f （1）＝1﹣2＝﹣1，又由函数f （x ）为偶函数，则f （1）＝f （﹣1）＝﹣1，则f （f （1））＝f （﹣1）＝﹣1；（2）设x ＜0，则﹣x ＞0，则有f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ，又由函数f （x ）为偶函数，则f （x ）＝f （﹣x ）＝x 2+2x ，则当x ＜0时，f （x ）＝x 2+2x ，∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩（3）若方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，则函数y ＝f （x ）与直线y ＝m 有4个交点，而y ＝f （x ）的图象如图：分析可得﹣1＜m ＜0；故m 的取值范围是（﹣1，0）．【点睛】本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数形结合法分析与应用，是中档题．22．（1）())3f x x π=+（2）7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）14 【解析】试题分析：（1）由图可以得到A =T π=，故2ω=，而()f x 的图像过(,0)6π-，故03πφ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合()0,φπ∈得到3πφ=.（2）利用复合函数的单调性来求所给函数的单调减区间，可令3222232k x k πππππ+≤+≤+，解得函数的减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（3）由()f α=得1sin(2)34πα+=，而cos(2)sin(2)63ππαα-=+，所以1cos(2)64πα-=.解析：（1）根据图象得A =37()4126T ππ=--T π⇒=，所以2ω=. 又()f x 过点(,0)6π-，03πφ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,φπ∈，所以2()06πφ⋅-+=得：3πφ=. （2）由3222232k x k πππππ+≤+≤+得：7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈.即函数()f x 的单调减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（3）由()f α=)3πα+=，所以1sin(2)34πα+=. 1cos(2)sin (2)sin(2)62634ππππααα⎡⎤-=+-=+=⎢⎥⎣⎦.。