第3讲 因式分解与分式(含答案)

第三讲 因式分解的应用在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．例题求解【例1】若142=++y xy x 282=++x xy y ，则y x +的值为 ．(2002年全国初中数学联赛题)思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于y x +的二次三项式．注：在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用． 代数式求值的常用方法是：(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；(3)整体代入求值．【例2】已知 a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值( )A ．恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负(大原市竞赛题)思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．【例3】计算下列各题：（1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ； （2）20012000200019982000220002323-+-⨯-思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．【例4】已知 n 是正整数，且n 4—16n 2+100是质数，求n 的值．(第13届“希望杯’邀请赛试题)思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成l 和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．【例5】(1)求方程07946=--+y x xy 的整数解；(上海市竞赛题)(2)设x 、y 为正整数，且096422=-++y y x ，求xy 的值．(第14届“希望杯”邀请赛试题)思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口．链接解题思路的获得，一般要经历三个步骤：(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等；(2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构．不定方程(组)的基本解法有：(1)枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法．运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．学历训练1．已知x+y ＝3，422=-+xy y x ，那么3344xy y x y x +++的值为 ．2．方程01552=-+--y x xy x 的整数解是 ． (第13届“希望杯”邀请赛试题)3．已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d ＝ ．4．对一切大于2的正整数n ，数n 5一5n 3+4n 的量大公约数是 ．(2003年四川省竞赛题)5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )A ．41，48B ．45，47C ．43，48D ．4l ，476，已知2x 2－3xy+y 2＝0(xy ≠0)，则xy y x +的值是( ) A ． 2，212 B ．2 C ．212 D ．－2，212- 7．(第17届江苏省竞赛题)a 、b 、c 是正整数，a>b ，且a 2-ac+bc=7，则a —c 等于( )A ．一2B ．一1C ．0D ． 28．如果133=-x x ，那么200173129234+--+x x x x 的值等于( )A ．1999B ．2001C ．2003D ．2005（2000年武汉市选拔赛试题）9．(1)求证：8l 7一279—913能被45整除；(2)证明：当n 为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：)419)(417)(415)(413)(411()4110)(418)(416)(414)(412(4444444444++++++++++。

1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x a b x a c xa xm m m m 2213 （2）a a b a b a a b b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：-+--=--+++++a x a b xa c x a x a x a x b x c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：a a b a b a a b b a ()()()-+---32222 )243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368987+++⨯==⨯=987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x yx y x x y +-++的值。

第二部分 代数式与恒等变形部分★五、多项式的因式分解：1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

《因式分解和整式乘法是互逆变形.如，22))((n m n m n m -=-+是整式乘法，=-22n m ))((n m n m -+是因式分解》2、因式分解的方法、步骤和要求：（1）若多项式的各项有公因式，则先提公因式.如=+--cm bm am ⋅-m （ ）。

（2）若各项没有公因式或对于提取公因式后剩下的多项式，可以尝试运用公式法. 如229b a -= ，=++-=---)2(22222b ab a n n b abn n a 。

（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用其他方法.*十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++.如)1)(3(322-+=-+x x x x 。

*分组分解法（适用于超过三项的多项式，有分组后再提公因式和分组后再用公式两种情况）.如=++-1222x y x =-++2212y x x 22)1(y x -+=)1)(1(y x y x -+++。

（4）因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止。

《因式分解要在指定的范围内进行.如，在有理数范围内分解)2)(2(4224-+=-x x x ，若在实数范围，还可继续分解至)2)(2)(2(2-++x x x .*在高中时还可进一步分解》【拓展型问题】：1.根据“因式分解和整式乘法是互逆变形”，你能对下列整式乘法的结果进行因式分解吗？①)1)(32(-+x x ；②))((z y x z y x --+-；③()()n m b a ++.2.试整理：能进行因式分解的二项式和三项式一般可用哪些方法？【中考真题】：1.代数式3322328714b a b a b a -+的公因式是（ ）A.327b aB.227b aC.b a 27D.3328b a2.若7,6=-=-mn n m ，则n m mn 22-的值是（ ）A.-13B.13C.42D.-423.分解因式：①31255x x -；②3228y y x -；③()()()x y x y y x -+----4423；④81721624+-x x .⑤122--x x ；⑥2)()(2-+-+y x y x ；⑦20)2)(1(---x x . 4.下列分解因式正确的是（ ） A.1)12(24422+-=+-x x xB.)(2n m m m mn m +=++C.)2)(4(822+-=--a a a aD.22)21(21-=+-x x x 5.若A n m n m mn n m ⋅+=+-+)()()(3，则A 是（ ）A.22n m +B.22n mn m +-C.223n mn m +-D.22n mn m ++6.若16)4(292+-+x m x 是一个完全平方式，则m 的值为 。

第7题第3课时整式与分解因式一、选择题1．下列运算正确的是（）A.a 2·a=3aB.a 6÷a 2=a 4C.a+a=a 2D.(a 2)3=a 52．计算：()23ab =（）A ．22a b B ．23a b C ．26a b D ．6ab 3．下列计算正确的是（） A ． B ．C ．D ．4．下列因式分解错误的是()A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+5.若的值为则2y-x 2,54,32==y x A.53 B. -2 C. 553 D. 566.下列命题是假命题的是（） A. 若x y <，则x +2008<y +2008 B. 单项式2347x y -的系数是-4C. 若21(3)0,x y -+-=则1,3x y == D. 平移不改变图形的形状和大小7.一个正方体的表面展开图如图所示，每一个面上都写有一个 整数，并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等，那么（） A ．a=1，b=5 B ．a=5，b=1 C ．a=11，b=5 D ．a=5，b=118. 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A ．2222)(b ab a b a ++=+B ．2222)(b ab a b a +-=-C ．))((22b a b a b a -+=- D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+二.填空题.9．分解因式：328m m -=．33416m n mn -＝623a a a÷=()122--=()236326x xx -=-·()0π31-= ab图甲第8题3214x x x +-= ____．33222ax y axy ax y +-= _______． ．2232ab a b a -+= ___．10.计算：31(2)(1)4a a -⋅-=．11.计算：⎪⎭⎫⎝⎛-⋅23913x x =________；()=÷523y y ________． 12．用正三角形和正六边形按如图所示的规律 拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比 上一个图案多一个正六边形和两个正三角形， 则第n 个图案中正三角形的个数为 （用含n 的代数式表示）．三.解答题：13.先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-． 14.已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值15.如图所示，在长和宽分别是a 、b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．(1) 用a ，b ，x 表示纸片剩余部分的面积；(2) 当a =6，b =4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时， 求正方形的边长．=++22363b aba 第一个图案第二个图案第三个图案…第12题图第4课时分式一、选择题1．化简分式2b ab b +的结果为（ ）A ．1a b +B ．11a b +C ．21a b + D ．1ab b +2．要使22969m m m --+的值为0，则m 的值为（）A ．m=3B ．m=-3C ．m=±3 D．不存在3．若解方程333-=-x m x x 出现增根，则m 的值为（）A ． 0B ．-1C ．3D ．14．如果04422=+-y xy x ，那么y x yx +-的值等于（）A ．31-B ．y 31-C ．31D ．y 31二、填空题.5．当x =时，分式6422---x x x 的值为0．6．若一个分式含有字母m ，且当5m =时，它的值为12，则这个分式可以是．（写出一个即可）7．已知432zy x ==，求分式y x z y x 32534++-=8．若分式方程12552=-+-x ax x 的解为x =0，则a 的值为． 9．已知分式方程k x k=++131无解，则k 的值是．三、解答题 10．化简：（1）211()(1)11x x x ---+（2）24142x x +-+11．先化简，再求值：224242x x x +---，其中2x =．12．当a=2时，求1121422-÷+--a a a a 的值．13．先化简，再求值：2224124422a a a a a a ⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 是方程2310x x ++=的根．三、解分式方程.（1）01221=---x x （2）123514-+=--+x xx x（3）163104245--+=--x x x x （4）4)25.01(11=++x x（5）52742316--=+-x x x x （6）141112-=--+-x x x x x四、当m 为何值时，分式方程x xx m --=+-2142无解？。

第3讲代数式、整式与因式分解知识梳理1.代数式的概念代数式的有关概念：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．2.代数式的值用具体数代替代数式中的字母,按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值. 求代数式的值的方法：①化简求值，②整体代入.3.单项式与多项式(1)单项式：只含有数字与字母的积的运算的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，单项式中的数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.(2)多项式：几个单项式的和叫做多项式，组成这个多项式的每一个单项式都叫多项式的项，多项式中次数最高项的次数就叫做多项式的次数．注意：(1)多项式的每一项都包括它前面的符号.(2)多项式的次数不是所有项的次数之和.4.整式分类整式：单项式和多项式统称为整式．5.同类项所含__字母__相同，并且__相同字母的指数__也相同的项，叫做同类项．注意：同类项与系数大小无关，与字母的排列顺序无关.6.整式加减(1)合并同类项：①字母和字母的指数不变；②__同类项的系数__相加减作为新的系数．(2)添(去)括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项运算__不变__；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变__减号__，减号变__加号__．7.幂的运算性质(1)同底数幂相乘：a m·a n＝__a m＋n__(m，n都是整数，a≠0)．(2)幂的乘方：(a m)n＝__a mn__(m，n都是整数，a≠0)．(3)积的乘方：(ab)n＝__a n·b n__(n是整数，a≠0，b≠0)．(4)同底数幂相除：a m÷a n＝__a m－n__(m，n都是整数，a≠0)．8.整式的乘除(1)单项式乘单项式:ac·bc2=abc3;(2)单项式乘多项式:p(a+b+c)=pa+pb+pc;(3)多项式乘多项式:(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq;(4)单项式除以单项式:abc3÷ac2=bc;(5)多项式除以单项式:(am+bm)÷m=a+b.9.乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__．(2)完全平方公式：(a±b)2＝__a2±2ab＋b2__．10.分解因式概念及基本方法把一个多项式化成几个__整式的积__的形式，叫做因式分解．因式分解与__整式乘法__是互逆变形．因式分解的基本方法(1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝__m(a＋b＋c)__．(2)公式法：运用平方差公式：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__．运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．11.分解因式的基本步骤(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提公因式;(2) 如果各项没有公因式，考虑运用公式法;(3)分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止,简记为一“提”、二“套”、三“检查”.5年真题命题点1 代数式及求值1．（4分）（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是a+8b（结果用含a，b代数式表示）．2．（4分）（2019•广东）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是21．3．（4分）（2017•广东）已知4a+3b＝1，则整式8a+6b﹣3的值为﹣1．4．（3分）（2016•广东）已知方程x﹣2y+3＝8，则整式x﹣2y的值为（A）A．5B．10C．12D．15命题点2 整式的运算5．（3分）（2019•广东）下列计算正确的是（C）A．b6÷b3＝b2B．b3•b3＝b9C．a2+a2＝2a2D．（a3）3＝a66．（3分）（2017•广东）下列运算正确的是（B）A．a+2a＝3a2B．a3•a2＝a5C．（a4）2＝a6D．a4+a2＝a4命题点3 因式分解7．（4分）（2018•广东）分解因式：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．8．（4分）（2017•广东）分解因式：a2+a＝a（a+1）9．（4分）（2016•广东）分解因式：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）．3年模拟a2b n的和仍是单项式，则2m﹣n的值是（B）1．（2020•罗湖区一模）若单项式a m﹣1b2与12A．3B．4C．6D．82．（2020•广州模拟）多项式3xy2﹣2y+1的次数及一次项的系数分别是（B）A．3，2B．3，﹣2C．2，﹣2D．4，﹣23．（2020•花都区一模）下列运算正确的是（D）A．a3+a3＝a6B．a2•a3＝a6C．（ab2）2＝ab4D．5a4b÷ab＝5a34．（2020•白云区一模）下列运算正确的是（B）A．4a﹣a＝4B．a2•a3＝a5C．（a3）3＝a6D．a15+a3＝a5（a≠0）5．（2019•东莞市模拟）已知x+y﹣3＝0，则2x•2y的值是（D）A．6B．﹣6C．1D．886．（2020•东莞市一模）因式分解x 2y ﹣2xy +y 的结果为（ B ）A ．（xy ﹣1）2B ．y （x ﹣1）2C ．y （x 2﹣2x +1）D ．y （x ﹣1）7．（2020•白云区模拟）观察下面三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，……；1，7，﹣5，19，﹣29，67，……；﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，……．分别取每行的第10个数，这三个数的和是（ A ）A ．2563B ．2365C ．2167D ．20698．（2019•鄞州区模拟）如图，4张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S 1，空白部分的面积为S 2，若S 2＝2S 1，则a ，b 满足（ B ）A ．a =32bB ．a ＝2bC ．a =52bD ．a ＝3b9．（2019•荔湾区模拟）苹果的零售价格是每千克5元，一次购买10千克以上按批发价，批发价格是零售价格的8折，买15千克苹果应该付 60 元．16．（2020•东莞市一模）已知x 2+x ﹣3＝0，则代数式15﹣2x 2﹣2x 的值为 9 ．10．（2020•潮州模拟）已知a 2+b 2＝13，ab ＝6，则（a +b ）2＝ 25 ．11．（2020•龙岗区模拟）如果a 2+b 2+2c 2+2ac ﹣2bc ＝0，那么2a +b﹣1的值为 12 ． 12【解析】a 2+b 2+2c 2+2ac ﹣2bc ＝a 2+2ac +c 2+b 2﹣2bc +c 2＝（a +c ）2+（b ﹣c ）2＝0，∴a +c ＝0，b ﹣c ＝0，解得a ＝﹣c ，b ＝c ，∴2a +b ﹣1＝2﹣c +c ﹣1＝2﹣1=12．故答案为：12． 12．（2020•高州市模拟）用边长为1的小正方形摆成如图所示的塔状图形，按此规律，第2020次所摆图形的周长是 8080 ．8000【解析】∵第一次所摆图形周长是1×4＝4；第二次所摆图形的周长是2×4＝8；第三次所摆图形的周长是3×4＝12；…∴第n次所摆图形的周长是n×4＝4n．第2020次所摆图形的周长是2020×4＝8080．故答案为：8080．13．（2019•黔东南州一模）分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）．14．（2020•花都区一模）已知A＝（x+2）2+（x+1）（x﹣1）﹣3．）﹣1，求A的值．（1）化简A；（2）若x2＝（14解：（1）A＝（x+2）2+（x+1）（x﹣1）﹣3＝x2+4x+4+x2﹣1﹣3＝2x2+4x；）﹣1＝4，∴x＝±2，∴A＝2x2+4x＝2×4+4×2＝8+8＝16，或A＝2x2+4x＝2×4+4×（2）∵x2＝（14（﹣2）＝8﹣8＝0，即A的值是0或16．。