江苏省高邮市车逻镇九年级数学下册 7.6 锐角三角函数

苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的Ca b记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．要点二、特殊角的三角函数值(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是（）A．2 B．C．D．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．举一反三：【课程名称：锐角三角函数395948：例1（1）-（2）】【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．a【答案】c = 5 ，sinA = 35 ， cosA =45，sinB =45， cosB =35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模） 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015•乐陵市模拟） sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°；(3)（2015•宝山区一模） +tan60°﹣．【答案与解析】 解：（1）原式==12(2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+3；(3) 原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【课程名称： 锐角三角函数 395948 ：例1（3）-（4）】 【变式】在Rt ΔABC 中，∠C =90°，若∠A=45°，则∠B = ，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=，cosA=，sinB=cosB=．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD＝6，试求cos∠APC的值．【答案与解析】连结AC，∵ AB是⊙O的直径，∴∠ACP＝90°，又∵∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴△PCD∽△PAB，∴PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ，∴ 4AC a ==，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，BD ==，∴ sadA BD AD == 【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。

数学九年级下苏教版教学案第七章《锐角三角函数》(共9课时)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（数学九年级下苏教版教学案第七章《锐角三角函数》(共9课时)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为数学九年级下苏教版教学案第七章《锐角三角函数》(共9课时)的全部内容。

课题7.1正切(1) 自主空间学习目标知识与技能：1。

理解正切的概念,能通过画图求出一个角的正切的近似值。

能运用正切解决与直角三角形有关的简单问题。

过程与方法：1.经历探索表示物体倾斜程度，形成正切的概念的过程,练就创造性解决问题的能力。

学习重点理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。

学习难点计算一个锐角的正切值的方法。

教学流程预习导航观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶.下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？图(1) 图(2）[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答：图的台阶更陡，理由合作探 究一、新知探究：1、思考与探索一:除了用台阶的倾斜角度大小外,还可以如何描述 台阶的倾斜程度呢？① 可通过测量BC 与AC 的长度,② 再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。

(思考：BC 与AC 长度的比与台阶的倾斜程度有何关系?）答：_________________.③ 讨论：你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？答:________________________. 2、思考与探索二：（1）如图，一般地，如果锐角A 的大小已确定， 我们可以作出无数个相似的RtAB 1C 1,RtAB 2C 2, RtAB 3C 3……，那么有：Rt △AB 1C 1∽_____∽____……根据相似三角形的性质， 得：111AC C B ＝_________＝_________＝……（2)由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定,那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_________。

第15课时 锐角三角函数学习目标: 1．理解锐角三角函数的定义，会由已知条件求锐角三角函数值． 2．熟记特殊角的三角函数值. 重难点： 利用三角函数知识解决问题 学习过程 一．知识梳理 1.三角函数定义在直角三角形中，一个锐角的 与 的比叫正弦。

在直角三角形中，一个锐角的 与 的比叫余弦。

在直角三角形中，一个锐角的 与 的比叫正切。

sinA ＝ ，cosA ＝ ，tanA ＝ 。

2.特殊角三角函数值3.当角度在0°～90°范围内变化时， 正弦函数值随角度的增大而 ； 余弦函数值随角度的增大而 ； 正切函数值随角度的增大而 。

二、典型例题 1.锐角三角函数（1）（2015•南通）如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点21（，），则tan α的值是（ ）A ．12 D ．2（2）（2017聊城）在Rt △ABC 中，1cos 2A =，那么sinA 的值是（ ） A ．2B C ．．12（3）（中考指要例2）（2017天水）在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cosB 的值为（ ）A ．12B ．2C ．2 D ．34）123l l ，相邻两条平行直线间的距离相等，的三个项点分别在这三条平行直线上，则sin α的值是（ C2.特殊角的三角函数值计算：（中考指要例3）0014cos30)002cos 45sin 604-+112014)tan 45()2-+-︒-+（4）（中考指要例3）已知αβ、均为锐角，且满足1sin 02a -=， 则a β+=3.与三角函数有关的综合题（1）（2017安顺）如图，⊙O 的直径4AB =，BC 切O 于点B ，OC 平行于弦AD ，5OC =，则AD 的长为（ ）A ．65 B ．85 C D （2）（中考指要第8题）（2017杭州）如图，在△ABC 中，12AB AC BC ==，，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D ．设BD x tan ACB y =∠=，，则（ ） A ．23x y -= B ．229x y -= C ．2315x y -= D ．2421x y -=三、中考预测（2015•乌鲁木齐）如图，AB 是O 的直径，CD 与O 相切于点C ，与AB 的延长线交于点D ，DE AD ⊥且与AC 的延长线交于点E ．（1）求证：DC DE =； （2）若132tan CAB AB ∠==，，求BD 的长．四、反思总结1.本节课你复习了哪些内容？2.通过本节课的学习，你还有哪些困难？五、达标检测1.（2017宜昌）△ABC 在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），A DBC ⊥于D ，下列选项中，错误的是（ ）A ．sin cos αα=B ．2tanC = C ．sin cos ββ=D ．1tan α=2.（2016•淄博）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A B P Q ，，，四点均在正方形网格的格点上，线段AB PQ ，相交于点M ，则图中QMB ∠的正切值是（ ）A ．12B ．1CD ．23.（2007•成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数0y kx b k =+≠（）的图象过点11P （，），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且3tan ABO ∠=，那么点A 4.（2017重庆）如图，在平面直角坐标系中，一次函数0y ax b a =+≠（）的图象与反比例函数ky x=0k ≠（）的图象交于A B 、两点，与x 轴交于点C ，过点A 作AH x ⊥轴于点H ，点O 是线段CH 的中点，AC =，cos ACH ∠=B 的坐标 为4n （，）（1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求BCH 的面积．。

课题： 7.3特殊角的三角函数学习目标：1．能通过推理得30°、45°、60°角的三角函数值，进一步体会三角函数的意义； 2．会计算含有30°、45°、60°角的三角函数值；3．能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小；4．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生推理能力和计算能力 学习重点：通过推理得30°、45°、60°的三角函数值，进一步体会三角函数的意义． 学习难点：特殊角的三角函数的运用．学习过程： 一.【情境创设】如图，在Rt△ABC 中，∠C 为直角，如何表示∠A 的三种三角函数？二.【问题探究】问题1：你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？（1）除了可以用计算器计算，是否可以通过手里的三角板来求值呢？（2）是否还有其他的方法呢？如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°． ①请说出BC:AB:AC ＝( )；②若设BC ＝1，则AC ＝( ) AB ＝( )；③你能求出sin30°，cos30°，tan30°的函数值吗？④若∠A ＝45°，你能求出sin45°，cos45°，tan45°的函数值吗？ ⑤若∠A ＝60°，你能求出它的三角函数值吗？ 归纳：根据计算结果，填写表格：认真观察上面表格，你能发现什么规律？如何快速记忆？ 问题2：求下列各式的值。

（1）2sin30°-cos45° （2）sin60°·cos60°（3）sin 230°+cos 230°aA问题3：求满足下列条件的锐角α。

苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确使用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB； cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=3.3030°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)坡度：；坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：要点诠释：1求∠2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

第七章 ?锐角三角函数? 班级 姓名 复习目标： 1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。

2、掌握锐角三角函数的知识，并能灵活运用。

复习重点、 难点：灵活运用锐角三角函数的知识解决问题。

复习过程：知识点一：锐角三角函数的定义(1).在Rt △ABC 中，∠C=90o ,AB=c.BC=a.AC=b 。

正弦: sinA ＝∠A 的对边斜边＝ 余弦: cosA ＝∠A 的邻边斜边＝ 正切: tanA ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ (2).特殊角的三角函数值：计算：(1)sin 245°＋cos 30°·tan 60° (2)tan 45°＋2sin 45°－2cos 60°知识点二 ：解直角三角形直角三角形的常用关系:(1)三边之间的关系： ；(2)锐角之间的关系： ；(3)边角之间的关系： 。

如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，求AB 的长．如图，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠ADC ＝90°，AB ＝6，CD ＝4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E.(1)假设∠A＝60°，求BC 的长；(2)假设sinA ＝45，求AD 的长．知识点三 ：解直角三角形的应用仰角、俯角、坡度、坡角和方向角:(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i 表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，那么有i ＝tanα.(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，那么从点O 出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，假设DE＝3 m，CE＝2 m，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10 m，那么此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84) ( )A．5.1 m B.6.3 m C．7.1 m D.9.2 m如图，“中海海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，点C在点B的北偏西60°方向上，且B，C两地相距150海里．(1)求出此时点A到岛礁C的距离；(2)假设“中海海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50〞的航行距离．(结果保存根号)课后作业：1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么sin A的值为( )A.512B.125C.1213D.5132．关于x的一元二次方程x2－2x＋sinα＝0有两个相等的实数根，那么锐角α等于( )A．15°B．30°C．45°D．60°3．如图，在△ABC中，cos B＝22，sin C＝35，AC＝5，那么△ABC的面积是( )A.21/ 2 B．12 C．14 D．214．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图4，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1m，那么旗杆PA的高度为( )A.11－sinαm B.11＋sinαm C.11－cosαm D.11＋cosαm5．如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的平安性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，那么调整后的楼梯AC的长为( ) A．23m B．26m C(23－．(26－6．如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C (0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，那么tan ∠OBC 为( )A.13 B ．22 C.24 D.2237．在△ABC 中，如果∠A ，∠B 满足|tan A －1|＋⎝⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，那么∠C ＝___ _． 8．如图，△ABC 内接于⊙O ，AO ＝2，BC ＝23，那么∠BAC 的度数为___ _．9．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．菱形的一个角(∠O )为60°，A ，B ，C 都在格点上，那么tan ∠ABC 的值是___ _．10．计算： 2cos45°·sin45°－2sin30°·tan45°＋6·tan60°.11．如图，AB 是⊙O 的直径，D ，E 为⊙O 上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使得CD ＝BD ，连结AC 交⊙O 于点F ，连结AE ，DE ，DF .(1)证明：∠E ＝∠C ；(2)假设∠E ＝55°，求∠BDF 的度数；(3)设DE 交AB 于点G ，假设DF ＝4，cos B ＝23，E 是AB ︵的中点，求EG ·12．在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC 中，假设∠A ＝45°，∠B ＝30°，a ＝6，求b . 理解应用：如图，甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，且乙船从B 1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20 min 后到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10 2海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？。