第一讲必考计算题匀变速直线运动规律的应用

第一讲 必考计算题1匀变速直线运动命题点一 基本公式的应用例1 一辆汽车在高速公路上以30 m/s 的速度匀速行驶，由于在前方出现险情，司机采取紧急刹车，刹车加速度的大小为5 m/s 2，求：(1)汽车刹车后10 s 内滑行的距离．(2)从开始刹车至汽车滑行50 m 所经历的时间．(3)在汽车停止前3秒内汽车滑行的距离．答案 (1)90 m (2)2 s (3)22.5 m解析 (1)由v ＝v 0＋at 可知，汽车的刹车时间为：t 0＝v －v 0a ＝0－30－5s ＝6 s 由于t 0<t ，所以刹车后10 s 内滑行的距离即为汽车停止运动时滑行的距离：s ＝v 02t 0＝302×6 m ＝90 m.(2)设从刹车到滑50 m 所经历的时间为t ′，则有：x ＝v 0t ′＋12at ′2 代入数据解得：t ′＝2 s(3)此时可将运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，则有：s 1＝12at 12＝(12×5×32) m ＝22.5 m.应用基本公式解题的“三点”技巧1．机车刹车问题一定要判断是否减速到零后停止．2．位移的求解可用位移公式、位移－速度关系式，而平均速度式x ＝v ·t 最简单．3．可将末速度为零的匀减速运动逆向看成初速度为零的匀加速运动． 题组阶梯突破1．一物块(可看成质点)以一定的初速度从一光滑斜面底端A 点上滑，最高可滑到C 点，已知AB 是BC 的3倍，如图1所示，已知物块从A 至B 所需时间为t 0，则它从B 经C 再回到B ，需要的时间是多少？图1答案 2t 0解析 设B →C 时间为t 1，由对称知C →B 的时间也为t 1运用逆向思维x CB ＝12at 12 x CA ＝12a (t 1＋t 0)2 由x CA ＝4x CB 得t 1＝t 0故B →C →B 所需时间是2t 0.2．长200 m 的列车匀加速通过长1 000 m 的隧道，列车刚进隧道时的速度是20 m/s ，完全出隧道时速度是24 m/s ，求：(1)列车过隧道时的加速度是多大？(2)通过隧道所用的时间是多少？答案 (1)0.07 m/s 2 (2)54.5 s解析 (1)由匀变速直线运动的速度位移公式得：v 2－v 12＝2ax ，解得：a ＝v 2－v 202x ＝242－2022×1 200m/s 2≈0.07 m/s 2； (2)平均速度：v ＝v 0＋v 2＝20＋242m/s ＝22 m/s ， 时间：t ＝x v ＝1 20022s ≈54.5 s. 3．一小球自O 点由静止释放，自由下落依次通过等间距的A 、B 、C 三点，已知小球从A 运动到B 的时间与从B 运动到C 的时间分别为0.4 s 和0.2 s ，重力加速度g 取10 m/s 2，求：(1)A 、B 两点间的距离；(2)小球从O 点运动到A 点的时间．答案 (1)1.2 m (2)0.1 s解析 设AB 、BC 间距均为l ，小球从O 点运动到A 点的时间记为t ，从A 运动到B 和从B 运动到C 的时间分别为t 1、t 2.AB 间距可表示为：l ＝12g (t ＋t 1)2－12gt 2 ① AC 间距可表示为：2l ＝12g (t ＋t 1＋t 2)2－12gt 2 ② t 1＝0.4 s ，t 2＝0.2 s ，代入数据，解①②得：l ＝1.2 m ，t ＝0.1 s.命题点二 多运动过程问题例2 在一次低空跳伞演练中，当直升机悬停在离地面224 m 高处时，伞兵离开飞机做自由落体运动．运动一段时间后，打开降落伞，展伞后伞兵以12.5 m/s 2的加速度匀减速下降．为了伞兵的安全，要求伞兵落地速度最大不得超过5 m/s.(取g ＝10 m/s 2)求：(1)伞兵展伞时，离地面的高度至少为多少？着地时相当于从多高处自由落下？(2)伞兵在空中的最短时间为多少？解析 (1)设伞兵展伞时，离地面的高度至少为h ，此时速度为v 0，则有：v 2－v 20＝2ah即52－v 20＝－2×12.5×h又v 20＝2g ·(224－h )＝2×10×(224－h )联立解得h ＝99 m ，v 0＝50 m/s以5 m/s 的速度落地相当于从h 1高处自由落下，即：v 2＝2gh 1解得：h 1＝v 22g ＝5220m ＝1.25 m (2)设伞兵在空中的最短时间为t ，则有：v 0＝gt 1解得：t 1＝v 0g ＝5010s ＝5 s t 2＝v －v 0a ＝5－50－12.5s ＝3.6 s 故t ＝t 1＋t 2＝(5＋3.6) s ＝8.6 s.答案 (1)99 m 1.25 m (2)8.6 s多运动过程问题的分析技巧1．匀变速直线运动涉及的公式较多，各公式相互联系，大多数题目可一题多解，解题时要开阔思路，通过分析、对比，根据已知条件和题目特点适当地拆分、组合运动过程，选取最简捷的解题方法．2．两个过程之间的速度往往是解题的关键．题组阶梯突破4．出租车上安装有速度表，计价器里安装有里程表和时间表．出租车载客后，从高速公路入口处驶入高速公路，并从10时10分55秒开始做初速度为零的匀加速直线运动，经过10 s时，速度表显示54 km/h.(1)求这时出租车离出发点的距离．(2)出租车继续做匀加速直线运动，当速度表显示108 km/h 时，出租车开始做匀速直线运动，若时间表显示10时12分35秒，此时计价器里程表示数为多少？(出租车启动时，里程表示数为零)答案 (1)75 m (2)2 700 m解析 (1)根据速度公式得a ＝v 1t 1＝1510 m/s 2＝1.5 m/s 2，再根据位移公式得x 1＝12at 21＝12×1.5×102 m ＝75 m ，这时出租车距载客处75 m.(2)根据v 22＝2ax 2得x 2＝v 222a ＝3022×1.5 m ＝300 m ， 这时出租车从静止载客开始，已经经历的时间为t 2，v 2＝at 2，得t 2＝20 s ，这时出租车时间表应显示10时11分15秒．此后出租车做匀速运动，它匀速运动的时间t 3应为80 s ，通过的位移x 3＝v 2t 3＝30×80 m ＝2 400 m ，所以10时12分35秒时，计价器里程表应显示x ＝x 2＋x 3＝300 m ＋2 400 m ＝2 700 m.5．火车由甲地从静止开始以加速度a 匀加速运行到乙地．又沿原方向以a 3的加速度匀减速运行到丙地而停止．若甲、丙相距18 km.车共运行了20 min.求甲、乙两地间的距离及加速度a 的值．答案 4.5 km 0.1 m/s 2解析 设到达乙站时的速度为v ，甲站到乙站位移为x ，则：v 2＝2ax ，设乙到丙站位移为x 1，则：v 2＝2×a 3·x 1， 整理得：x x 1＝13， 而且：x ＋x 1＝18 km ，解得：x ＝4.5 km ，x 1＝13.5 km ；对于从甲到丙全程，设总时间为t ，有：x ＋x 1＝v 2t ， 故v ＝2(x ＋x 1)t ＝2×18 00020×60m/s ＝30 m/s ， 则a ＝v 22x ＝3022×4.5×1 000m/s 2＝0.1 m/s 2. 6．正以v 0＝30 m/s 的速度运行中的列车，接到前方小站的请求：在该站停靠1分钟接一位危重病人上车．司机决定以加速度大小a 1＝0.5 m/s 2匀减速运动到小站，停车1分钟后做大小为a 2＝1.5 m/s 2的匀加速运动，又恢复到原来的速度运行．求：(1)司机从匀减速运动开始到恢复原来速度共经历的时间t 总；(2)司机由于临时停车共耽误了多少时间？答案 (1)140 s (2)100 s解析 列车减速运动的时间为：t 1＝v －v 0－a 1＝0－30－0.5s ＝60 s ， 列车能通过的位移为：x 1＝v 2－v 202(－a 1)＝－9002×(－0.5)m ＝900 m. 在列车加速过程中，加速的时间为：t 2＝30－01.5s ＝20 s ， 列车加速运动的位移为：x 2＝900－02×1.5m ＝300 m ， 所以，列车恢复到30 m/s 所用的时间为：t 总＝t 1＋t 停＋t 2＝60 s ＋60 s ＋20 s ＝140 s ， 列车恢复到30 m/s 所通过的位移为：x ＝x 1＋x 2＝(900＋300) m ＝1 200 m ，若列车一直匀速运动，则有：t ′＝x v 0＝1 20030s ＝40 s. 列车因停车而耽误的时间为：Δt ＝t 总－t ′＝(140－40) s ＝100 s.(建议时间：40分钟)1．一个滑雪人质量m ＝75 kg ，以v 0＝2 m/s 的初速度沿山坡匀加速滑下，山坡的倾角θ＝30°，在t ＝5 s 的时间内滑下的路程x ＝60 m ，求：(1)滑雪人的加速度；(2)t ＝5 s 时滑雪人的速度．答案 (1)4 m/s 2 (2)22 m/s解析 (1)由运动学位移公式x ＝v 0t ＋12at 2 代入数据，解得：a ＝4 m/s 2(2)由速度公式，得：v ＝v 0＋at ＝(2＋4×5) m/s ＝22 m/s.2．如图1所示，小滑块在较长的固定斜面顶端，以初速度v 0＝2 m/s 、加速度a ＝2 m/s 2沿斜面加速向下滑行，在到达斜面底端前1 s 内，滑块所滑过的距离为715L ，其中L 为斜面长．求滑块在斜面上滑行的时间t 和斜面的长度L .图1答案 3 s 15 m解析 小滑块从A 到B 过程中，有v 0(t －1)＋12a (t －1)2＝x 小滑块从A 到C 过程中，有v 0t ＋12at 2＝L . 又有x ＝L －7L 15＝8L 15； 代入数据，解得L ＝15 m ；t ＝3 s.3．一列火车做匀变速直线运动驶来，一人在轨道旁边观察火车运动，发现在相邻的两个10 s 内，火车从他跟前分别驶过8节车厢和6节车厢，每节车厢长8 m(连接处长度不计)．求：(1)火车的加速度的大小；(2)人开始观察时火车速度的大小．答案 (1)0.16 m/s 2 (2)7.2 m/s解析 (1)由题意知，火车做匀减速直线运动，设火车加速度大小为a ，人开始观察时火车速度大小为v 0，L ＝8 mΔx ＝aT 2,8L －6L ＝aT 2a ＝2L T 2＝2×8100m/s 2＝0.16 m/s 2 (2)v 2t ＝v ＝8L ＋6L 2T ＝14×820m/s ＝5.6 m/s v 2t ＝v 0－aT ，解得v 0＝7.2 m/s.4．高速公路给人们带来了方便，但是因为在高速公路上行驶的车辆速度大，雾天往往易出现十几辆车追尾持续相撞的事故．某辆轿车在某高速公路上的正常行驶的速度大小v 0＝120 km /h ，刹车时轿车产生的最大加速度a ＝6 m/s 2.如果某天有雾，能见度d (观察者能看见最远的静止目标的距离)约为60 m ，设司机的反应时间Δt ＝0.5 s ，为了安全行驶，轿车行驶的最大速度为多少？答案 86.4 km/h解析 设轿车行驶的最大速度为v ，司机在反应时间内做匀速直线运动的位移为x 1，在刹车匀减速阶段的位移为x 2，则：x 1＝v Δt ①v 2＝2ax 2 ②d ＝x 1＋x 2 ③联立①②③式得：v ＝24 m/s ＝86.4 km/h ，即轿车行驶的最大速度为86.4km/h.5．如图2为某高速公路出口的ETC 通道示意图．一汽车驶入ETC 车道，到达O 点的速度v 0＝30 m/s ，此时开始减速，到达M 时速度减至6 m/s ，并以6 m/s 的速度匀速通过MN 区．已知MN 的长度d ＝36 m ，汽车减速运动的加速度a ＝－3 m/s 2，求：图2(1)O 、M 间的距离x ；(2)汽车从O 到N 所用的时间t .答案 (1)144 m (2)14 s解析 (1)由公式v 2－v 20＝2ax得x ＝v 2－v 202a＝144 m (2)汽车从O 到M 减速运动，由公式v ＝v 0＋at 1得t 1＝v －v 0a＝8 s 汽车从M 到N 匀速运动所用时间t 2＝d v ＝6 s汽车从O 到N 的时间t ＝t 1＋t 2＝14 s.6．一个物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a 1＝3 m/s 2，经过一段时间t 1后速度达到v ＝9 m/s ，此时，将加速度方向反向，大小变为a 2.再经过3t 1时间后恰能回到出发点，则：(1)加速度改变前，物体运动的时间t 1和位移x 1大小分别为多少？(2)反向后的加速度a 2应是多大？回到原出发点时的速度v ′为多大？答案 (1)3 s 13.5 m (2)73m/s 2 12 m/s 解析 (1)加速度改变前，物体运动的时间t 1＝v a 1＝93s ＝3 s ， 物体运动的位移x 1＝v 22a 1＝816m ＝13.5 m. (2)加速度反向后，规定初速度的方向为正方向，根据位移时间公式得，x ＝v t 2－12a 2t 22，即－13.5＝9×9－12a 2×81，解得a 2＝73m/s 2， 返回出发点时的速度v ′＝v －a 2t 2＝(9－73×9) m/s ＝－12 m/s ，负号表示方向．。