因子分析模型
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因子分析模型 (2)
因子分析模型概述因子分析是一种多变量统计分析方法，旨在找到观测变量背后的共同因素或潜在结构。
因子分析模型通过统计分析观测变量之间的关系，将多个相关变量归纳为较少的无关因子，以解释和简化数据。
模型假设因子分析模型基于以下假设： 1. 变量之间存在线性关系，且该关系可以用较少的无关因子来描述。
2. 每个观测变量是由潜在因子和特异因素共同决定的。
3. 特异因素相互独立，不相关。
模型建立过程因子分析模型的建立包括以下步骤： 1. 数据准备：将需要进行因子分析的样本数据进行整理和清洗，确保数据质量和可用性。
2. 因子提取：采用主成分分析或最大似然估计等方法，提取出潜在因子。
3. 因子旋转：通过因子旋转，使得每个潜在因子与尽可能多的观测变量相关，以减少因子之间的相关性。
4. 因子分析结果解释：解释提取出的因子，确定每个因子与观测变量之间的关系以及因子的实际意义。
模型应用因子分析模型广泛应用于各个领域的研究和实践，如心理学、社会学、市场调研等。
以下是几个常见的应用场景：1. 心理学在心理学中，因子分析可用于评估心理测试的信度和效度。
通过观察心理测试得到的一系列变量，可以通过因子分析确定隐藏在这些变量背后的共同因子，以评估测试的有效性。
2. 市场调研在市场调研中，因子分析可以帮助确定潜在的消费者需求和心理特征。
通过对消费者行为和态度等多个变量进行因子分析，可以获得更准确的结果，从而为企业的市场定位和产品设计提供指导。
3. 社会学在社会学领域，因子分析可用于研究社会结构和社会现象。
例如，通过对教育水平、收入水平、职业等多个变量进行因子分析，可以判断不同因子对社会等级的影响程度，并揭示社会结构中的潜在关系。
模型评估为了评估因子分析模型的拟合程度和模型可解释性，常用的指标有：- 特征根：通过特征根可以判断提取的因子是否显著。
特征值大于1的因子通常被认为是显著的。
- 方差贡献率：衡量因子解释的原始变量方差的比例。
因子分析模型
因子分析模型 1.模型的定义.因子分析就是用少数因子来描述许多指标或因素之间的联系，以较少几个因子反映原资料的大部分信息的统计学方法.2. 因子分析的想法是将相互关联的较多变量的综合为相互独立的因子,它的数学模型表示如下,111112211122112222221122................m m m m p p p pm m p px a F a F a F a x a F a F a F a x a F a F a F a εεε=++++⎧⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩其中123.......p x x x x 、、为p 个原有变量，是均值为0，方差为1的标准化变量，ij a 为因子载荷，就是第i 个原有变量和第j 个因子变量的相关系数，即i x 在第j 个公共因子变量上的相对重要性.因此，ij a 绝对值越大，则公共因子i F 和原有变量i x 关系越强.12,...,m F F F 、为m 个因子变量，m 小于p ，ε为特殊因子，表示了原有变量不能被因子变量所解释的部分.将其表示成矩阵形式为， X AF a ε=+其中F 为因子变量或公共因子.A 为因子载荷矩阵.3.因子分析的四个步骤.一、确定需要分析的大量变量是否适合进行因子分析.因子分析的想法是用较少的因子来代替具有大量数据的原始变量,因此,这里就需要一个要求,即原有变量之间的相关系数较大.因此在对原变量进行分析之前，需要考虑原变量之间的相关性.通常来说最简单的方法是计算变量之间的相关矩阵.如果大部分变量之间的相关系数都大于0.3则适合进行因子分析.二、构造因子变量.因子分析有多种确定因子变量的方法，其中常用的有主成分分析法，它是利用相关矩阵求特征值，然后根据特征值的大小对因子分析进行求解.对于如何确定因子个数，通常也有两种方法，一种是根据相关矩阵的特征值的大小来判断，通常来说取大于1的特征值，另一种是按照百分率来确定，最后确定出因子载荷矩阵.三、利用旋转后的因子载荷矩阵对因子命名.对因子变量进行命名解释时通常采用旋转后的载荷矩阵，旋转的方法有正交旋转、斜交旋转、方差极大法，其中最常用的是方差极大法.对于某个因子来说，若它对某个变量的因子载荷较大，且对其他的变量的载荷较小，则该因子可利用该变量命名.四、计算因子得分.因子分析的最后一步通常是求得因子得分表,当确定因子载荷矩阵后,对于每一个数据,我们都可以求得它们在每一个因子上的得分,它与原变量数值是对应的,计算出因子得分以后,我们就可以将对原数据的分析改为对因子得分的分析.。
因子分析数学模型
因子分析数学模型1、因子分析看基本思想因子分析是一种旨在寻找隐藏在多变量数据中，无法直接观察到却影响或支配可观测变量的潜在因子，并估计潜在因子对可观测变量的影响程度，以及潜在因子之间的相关性的一种多元统计分析方法。
其基本思想是从分析多变量数据的相关关系入手，找到支配这种相关关系的少数几个相关独立的潜在因子，并通过建立起这些潜在因子与原变量之间的数量关系来预测潜在因子的状态，帮助发现隐藏在原变量之间的某种客观规律性。
因子分析和主成分分析都能起到清理多个原始变量内在结构关系的作用，但主成分分子重在综合原始变量信息，而因子分析重在解释原始变量间的关系，是比主成分分析更深入的一种多元统计方法。
因子分析法就是这些潜在因子的数学模型方法，它是在主成分的基础上构筑若干个意义较为明确的潜在因子，以它们为框架分析原变量，以考察原变量间的联系与区别。
2、因子分析的基本原理3、因子分析的数学模型假设对n例样品观测了p个指标，即，，…，，得到观测数据。
我们的任务就是从一组观测数据出发，通过分析各指标，，…，之间的相关性，找出支配作用的潜在因子，使得这些因子可以解释各个指标之间的相关性。
因子分析模型描述如下：（1）X=（，，…，）是可观测随机变量，均值向量E(X)=0，协方差Cov（X）与相关矩阵R相等，（只要将变量标准化即可实现）。
（2）F=(，，…，)（m<=p）是不可测的向量，其均值E(F)=0，协方差矩阵Cov（F）=1，即向量的各分量是独立的。
（3）e=（，，…，）与F相互独立，且E(e)=0，e的协方差矩阵是对角矩阵，即各分量e之间是相互独立的。
则因子分析的数学模型如下：由于该模型是针对变量进行的，各因子是正交的，所以也称为R型正交因子模型。
其矩阵形式为：X=AF+e。
其中：X= A= F= ，e=对于因子分析，要求数据和模型满足以下假设条件：●是均值为0、方差为1的随机变量；●是均值为0 ，方差为常数的正太随机变量。
因子分析数学模型
因子分析数学模型因子分析是一种统计方法，用于研究多个变量间的关系，并将其通过线性组合的方式转化为少数几个影响变量的因子。
因子分析模型是一种数学模型，旨在解释变量之间的相关性，找出潜在的因子影响变量的变异程度。
因子分析的数学模型可以分为两个阶段。
第一阶段是提取因子，通过主成分分析的方法从原始变量中提取出少数几个因子。
主成分分析的核心是将原始变量进行线性组合，使得新的变量能够解释尽可能多的原始变量的变异。
主成分分析将提取的因子按照解释的变异程度排序，选择解释性较好的因子作为主成分。
第二阶段是因子旋转，通过变换因子的坐标轴方向，使得因子能够具有较好的解释性和可解释性。
因子旋转可以使用正交旋转或斜交旋转的方法进行。
正交旋转将因子的坐标轴变换为正交的坐标轴，使得因子之间没有相关性；斜交旋转将因子的坐标轴变换为斜交的坐标轴，使得因子之间可以存在相关性。
根据具体问题的需求，选择适当的旋转方法。
因子分析的数学模型可以表示为：Y=λ1F1+λ2F2+…+λnFn+e其中，Y是观测变量的向量，包括m个变量；F是因子的向量，包括n个因子；λ是因子载荷的矩阵，表示观测变量对因子的影响程度；e是误差项。
因子载荷矩阵λ可以用来衡量观测变量与因子之间的关系，越大表示对应观测变量越受该因子的影响。
因子分析的数学模型还可以进一步扩展为混合因子分析模型。
混合因子分析模型考虑了因子间的相关性和观测变量间的相关性，通过引入协方差矩阵和错误项协方差矩阵，对因子和观测变量的相关性进行建模。
混合因子分析模型可以更准确地描述变量之间的关系，并提供更可靠的因子载荷和因子得分。
总之，因子分析是一种通过线性组合的方式转化变量间关系的统计方法，其数学模型可以用来解释变量之间的相关性，并提取出影响变量的少数几个因子。
因子分析的数学模型在社会科学、市场调研等领域具有广泛的应用价值。
第五章 因子分析和主成分分析
3. 子得分
计算因子得分的途径是用原有变量来描述因子， 第j个因子在第i个样本上的值可表示为： Fji = j1xi1 + j2xi2 +…+ jpxip (j = 1，2，…，k) 式中，xi1，xi2，…，xip分别是第1，2，…，p个原 有变量在第i个样本上的取值，j1，j2，…，jp分别 是第j个因子和第1，2，…，k个原有变量间的因子值 系数。可见，它是原有变量线性组合的结果(与因子 分析的数学模型正好相反)，因子得分可看作各变量 值的加权(j1，j2，…，jp)总和，权数的大小表示了 变量对因子的重要程度。
用数据矩阵X的p个列向量（即p个指标向量）X1， X2，…，Xp作线性组合，得综合指标向量： F1 a11 X 1 a21 X 2 ... a p1 X p F a X a X ... a X 2 12 1 22 2 p2 p ...... Fp a1 p X 1 a2 p X 2 ... a pp X p 简写成： Fi = a1iX1 + ai2X2 +…+apiXp i = 1，2，…，p
2. 因子旋转（正交变换）
所谓因子旋转就是将因子载荷矩阵A右乘一个正交 矩阵T后得到一个新的矩阵A*。它并不影响变量Xi的 共同度hi2，却会改变因子的方差贡献qj2。因子旋转 通过改变坐标轴，能够重新分配各个因子解释原始 变量方差的比例，使因子更易于理解。
设p维可观测向量X满足因子模型：X = AF +ε。T为 正交阵，则因子模型可写为 X = ATT'F +ε = A*F* +ε 其中A* = AT，F* = T'F。 易知，∑ = AA' + D = A*A*' + D（其中A* = AT）。这 说明，若A，D是一个因子解，任给正交阵T，A* = AT， D也是因子解。在这个意义下，因子解是不惟一的。 由于因子载荷阵是不惟一的，所以可对因子载荷 阵进行旋转。目的是使因子载荷阵的结构简化，使 载荷矩阵每列或行的元素平方值向0和1两极分化， 这样的因子便于解释和命名。
因子分析模型
案例二：消费者行为研究
总结词
因子分析用于研究消费者行为的共同模式和趋势，帮助企业更好地理解消费者需求和行为特征。
详细描述
消费者行为研究是了解消费者需求和行为特征的重要手段，因子分析能够从大量数据中提取出消费者行为的共同 模式和趋势。通过这种方式，企业可以更好地理解消费者需求和行为特征，制定更符合消费者需求的营销策略和 产品改进方案。
大数据处理与因子分析
大数据预处理
数据可视化
利用大数据技术对大规模数据进行预 处理，包括数据清洗、降维和特征选 择，以减小计算负担和提高分析效率。
利用数据可视化技术，如热图、网络 图或动态图，直观展示因子分析结果， 便于理解和解释。
并行计算
采用并行计算框架，如Hadoop或 Spark，实现大规模数据的分布式处 理，加速因子分析的计算过程。
因子分析模型
• 因子分析模型概述 • 因子分析模型的原理 • 因子分析模型的实现方法 • 因子分析模型的应用案例 • 因子分析模型的未来发展与展望
01
因子分析模型概述
定义与特点
定义
因子分析是一种统计方法，用于从一 组变量中提取公因子，并使用这些公 因子来解释变量之间的相关性。
特点
因子分析能够揭示隐藏在数据中的结 构，减少变量的数量，解释变量之间 的共同变化趋势，并增强对总体变异 的解释。
义。
因子命名则是根据因子的含义，为每个因子取一个合 适的名称，以便更好地理解和描述每个因子的性质。
在因子解释和命名过程中，需要综合考虑每个因子的 载荷值、原始变量的含义以及实际问题的背景等因素，
以确保因子的解释性和命名准确性。
03
因子分析模型的实现方法
因子分析的软件实现
SPSS
因子分析模型在心理学研究中的应用
因子分析模型在心理学研究中的应用心理学是探究人类心理活动和行为的科学，而因子分析模型是一种常用的数据分析技术，它可以帮助研究者分析复杂的心理数据并提取潜在的心理因子。
本文将探讨因子分析模型在心理学研究中的应用，并介绍其原理和步骤。
一、因子分析模型的原理因子分析模型是基于潜在变量的一种统计方法，它可以帮助我们理解观测数据背后潜在的结构。
在心理学研究中，我们经常面临大量的心理测量数据，如人格、情绪、认知能力等方面的数据。
使用因子分析模型可以帮助我们压缩数据维度，从而更好地理解这些数据。
因子分析模型的基本原理是将一组观测变量解释为潜在的因子，这些因子可以解释观测变量之间的相关性。
具体而言，我们假设观测变量与因子之间存在线性关系，同时假设观测变量之间的相关性可以通过少量的潜在因子来解释。
通过进行数据分析，我们可以确定因子的个数以及每个观测变量与因子之间的关系。
二、因子分析模型的步骤1. 收集数据：首先需要收集心理学实验或调查所需的数据。
这些数据可以通过问卷调查、实验记录等方式获取。
2. 确定因素个数：接下来，需要确定因子的个数。
常用的方法有特征值大于1、累计方差贡献率达到80%等准则。
根据这些准则，我们可以选择最合适的因子个数。
3. 进行因子提取：在确定了因子个数后，我们使用因子提取方法提取出这些因子。
常用的方法有主成分分析法和极大似然法等。
这些方法可以帮助我们计算出每个因子的权重系数。
4. 进行因子旋转：为了解释性更好，我们可以进行因子旋转，使因子与观测变量之间的关系更加清晰。
常用的因子旋转方法有方差最大旋转和极简旋转等。
5. 解释因子结构：最后一步是解释因子结构，确定每个观测变量与因子的相关性以及不同因子之间的关系。
我们可以根据权重系数的大小来解释观测变量与因子的关系。
三、因子分析模型在心理学研究中具有广泛的应用，以下列举几个典型的应用领域。
1. 人格研究：通过因子分析模型，我们可以将大量的人格特征变量压缩为少数几个潜在因子。
因子分析模型的建立
因子分析模型的建立因子分析是一种用于揭示多个变量之间的潜在结构及其共同因素的统计方法。
它可以帮助我们理解数据背后的维度、关联性和结构。
本文将介绍因子分析模型的建立过程，并详细说明其中的步骤和注意事项。
一、因子分析模型的建立步骤1.明确研究问题和目标：在进行因子分析之前，我们需要明确研究问题和目标。
确定我们想要研究的变量是哪些，并做好数据准备工作。
2.选择适当的因子分析方法：因子分析有两种主要方法，即常规因子分析和主成分分析。
常规因子分析着重于解释变量之间的相关系数，而主成分分析则侧重于保留最多的原始数据信息。
基于研究问题的特点，选择适当的方法进行因子分析。
4.确定合适的因子数目：在因子提取之后，我们需要确定保留多少个因子。
通常使用Kaiser准则、Scree图、因子解释度等方法来帮助确定因子数目。
Kaiser准则认为，保留能自解释的公共因子，其特征值大于1的因子可被保留。
5.因子旋转：因子旋转是为了获得更容易解释的因子结构，使得变量与因子的关系更加明确。
常见的因子旋转方法有方差最大旋转（Varimax Rotation）、方差最大斜交旋转（Varimax with Kaiser Normalization，VarimaxK）和极小极大旋转（Minimum Max Criteria，Oblimin Rotation）等。
选择合适的旋转方法，使因子在变量间的解释力度更加清晰。
6.解释因子：因子提取和旋转完成后，我们需要解释因子，确定每个因子背后的含义和解释。
此时可以根据因子载荷矩阵，观察每个变量与因子的相关性，并为这些因子命名。
7.因子得分计算和应用：通过因子分析，我们可以找到一组变量的潜在因子并解释结果。
使用因子得分计算方法，可以将观测数据转化为因子得分，从而进行进一步的分析与应用。
二、因子分析模型建立的注意事项1.数据选择：因子分析对数据的质量要求较高，所以在建立因子分析模型之前，需要确保数据的可靠性，例如数据采集的方法、样本数量和特征等。
《因子分析数学模型》课件
总结与展望
因子分析数学模型是一种强大的数据分析工具，可以揭示变量间的潜在结构和关系，帮助决策者做出准确和可靠的 决策。 未来，随着数据科学和人工智能的发展，因子分析将在更多领域得到应用，成为决策支持和问题解决的重要手段。
参考文献
• 附录1：相关数学知识 • 附录2：实例数据和代码 • 附录3：常见因子分析软件介绍
3
最似然法（MLE）
MLE基于概率统计理论，通过最大化观测数 据与模型之间的似然函数来估计因子载荷。
主因子法（PAF）
PAF基于向量之间的相关系数，寻找具有最 大因子载荷的主要因子，从中提取对观测变 量具有最大解释力的因子。
因子分析的实例分析
数据准备及预 处理
根据特定问题的需求， 选择合适的数据集，并 对数据进行清理、转换 和标准化，以满足因子 分析的假设。
因子数的确定 和选择
根据特征值、解释度方 差贡献率、Scree图等 指标，确定最合适的因 子数，以提取最重要的 信息。
因子旋转和解 释度分析
使用旋转方法（如 Varimax、Promax等）， 优化因子结构，同时通 过解释度判断模型的质 量和合理性。
结果分析和解读
对提取的因子模式进行 解释，结合领域知识和 实际情境，解读因子的 含义和影响，提出相关 建议和决策。
特征值和特征向量
特征值用于衡量因子的重要性， 而特征向量表示因子的方向和 权重。
旋转和解释度
旋转可以优化因子的解释度， 使其更易理解和解释，用以提 高模型的可解释性和可靠度。
因子分析的模型方法
1
主成分分析法（PCA）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
PCA通过线性变换将观测变量转化为无关变
量的线性组合，从中提取主要特征，以解释
因子分析ppt课件
xi ai1 f1 ai2 f2 ... ui
特殊因子(unique factor)观测变量所
特有的因子，表示
公因子(common因fa子ct负or载s)(是factor load该in变gs量)：不表能示被i公个因 观测变量所共有的变因量子在，第解j个释公因子上子的所负解载释，的是部因分子。
因子抽取方法的选择一般考虑因子分 析的目的和对变量方差的了解程度:
如果因子分析的目的是用最少的因子 最大程度地解释原始数据中的方差,或特 殊因子、误差带来的方差很小，则用主 成分分析法。
如果目的是确定数据结构，但不了解 变量方差的情况，则用公因子分析法。
五、解释因子(rotation)
初始因子很难解释，大多数因子都和很多变 量有关，因子的实际意义难以理解和把握。 因子旋转使因子结构更简单、更易于理解。
当公因子间不相关时，某变量 xi 的公因子方差
h2i
a2i1
a2i2
...
a
பைடு நூலகம்
2 im
即等于与该变量有关的公因子负载的平方和。
因子贡献率(contributions) 表示每个公因子对数据的解释能力， 它等于和该因子有关的因子负载的平 方和，能衡量公因子的相对重要性。
公因子个数 ≤ 观测变量数
能代表观测变量较多信息的公因子是 研究感兴趣的；求因子解时，第一个因 子代表信息最多，随后的因子代表性逐 渐衰减。
0.6以上,差; 0.5,很差;0.5以下不能接受;
KMO 用于检测变量之间的简单相关系数和偏 相关系数的相对大小，取值在0--1间，一般认 为KMO在0.9以上很适合做因子分析，0.8以上 比较适合做因子分析；
Bartlett's 球形检验虚无假设“相关矩 阵是单位矩阵”，拒绝该假设(P<.001)表明 数据适合进行因子分析。
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2 2 以后， 计算出 A 以后，可由用 Σ − AA′ 的对角元作为各特殊因子方差 σ 12 , σ 2 ,L , σ p 的
(
)
估计。 估计 。 估计出因子负荷后， 估计出因子负荷后，对 F j 作出解释的依据是因子负荷矩阵 A 中第
j 列元素的大
小与符号， 之间的相关性强弱。 小与符号，因为它们分别度量了 F j 与可观测变量 X 1 , X 2 ,L , X p 之间的相关性强弱。 相关性最强的若干个可观测变量，对它们的含义和共性加以提炼， 找出与 F j 相关性最强的若干个可观测变量，对它们的含义和共性加以提炼，并与 其它变量的含义进行对比、衬托 ，就有可能归纳、 其它变量的含义进行对比、衬托，就有可能归纳、提炼出潜在因子 F j 的合理解释与命 名。 难于给出合理的解释（ 如果基于所得到的因子负荷矩阵 A 难于给出合理的解释（ 表现为 A 中第 j 列元素 在量值上较为均衡） ，则需要对负荷矩阵 施以正交变换。 在量值上较为均衡 ） 则需要对负荷矩阵 A 施以正交变换。变换的目的是使 ， 两极分化。 从而利于对公共因子的解释， 元素都能呈现向 0 和 1 两极分化 。 从而利于对公共因子的解释 ，
这意味着我们试图通过 这意味着我们 试图通过 m 个潜在的公共因子 ( F1 , F2 ,L , Fm ) 来对第 i 小题的测试分 线性地加以解释。 数 X i 线性地加以解释 。 称因子负荷， 其中系数 ai1 , ai 2 ,L , aim 称因子负荷 ，用来表达第 i 小题的测试分数 X i 反映出的各 公共因子方面的能力 ； 公共因子方面 的能力； 的能力
−1
F11 F21 因子得分矩阵 F = L F n1
则有简洁表达式
F = XA ( A′A )
Spss软件实现
1．心血管疾病的因子分析：spss 数据 ：13-02 ．心血管疾病的因子分析： 关注：数据格式、结果解读 关注：数据格式、 2．抑郁症测试的因子分析：spss 数据 ：抑郁症资料 ．抑郁症测试的因子分析：
引入矩阵记号 :
X1 a11 X2 a21 X= ， A= M L Xp a p1
则 ， 模型可表达为
a12 a22 L ap2
L a1m ε1 F1 1m L a2 m F2 ε2 ，F = ，ε = M L L L F ε p L a pm m
xi1 = a11 Fi1 + a12 Fi 2 + L + a1m Fim + ε i1 x = a F + a F +L + a F + ε i2 21 i1 22 i 2 2 m im i2 LL xip = a p1 Fi1 + a p 2 Fi 2 + L + a pm Fim + ε ip
2 i
作为特殊因子的方差， 作为特殊因子的方差，
根据前述的思路， 给出因子分析的数学模型： 根据前述的思路 ， 给出因子分析的数学模型 ：
X 1 = a11 F1 + a12 F2 + L + a1m Fm + ε1 X = a F + a F +L + a F + ε 2 21 1 22 2 2m m 2 LL X p = a p1 F1 + a p 2 F2 + L + a pm Fm + ε p
X = AF + ε
其中矩阵称因子负荷矩阵。 其中矩阵称因子负荷矩阵 。
因子分析的任务是： 因子分析的任务是 ： （ 1） 估计因子负荷 a 的存在； 的存在 ； （ 2） 通过较少的 m 个潜在的公共因子 ( F , F ,L, F ) 不可能完全解释
1 2 m
i1
, ai 2 ,L , aim , 并由此推测潜在公共因子 ( F1 , F2 ,L , Fm )
个公共因子， 由于它们是潜在且不可观测的， 设有 m 个公共因子， 由于它们是潜在且不可观测的 ，形式上记为 ( F1 , F2 ,L , Fm ) 。 假设第 i ( i = 1, 2,L ,50 ) 小题的测试分数 X i 可表示为
X i = ai1 F1 + ai 2 F2 + L + aim Fm + ε i ， ( i = 1, 2,L , p )
这里， 项可观测指标； 这里 ， xi1 ,L , xip 是第 i 个样品 x( i ) 的 p 项可观测指标 ； 是已经估计出的因子负荷 估计出的因子负荷； {a , i = 1,L , p; j = 1,L , m} 是已经估计出的因子负荷； ε
ij i1
,L , ε ip 是第i 个样品x( i )
p 次试验观测中随机波动项的取值， 可观测指 次试验观测中随机波动项的取值， 将
视为响应变量的取值， 视为解释 标 xi1 ,L , xip 视为响应变量的取值， 将因子负荷 aij , j = 1,L , m; i = 1,L , p 视为解释 变量的取值 ， 视为回归系数， 变量的取值，而将因子得分 Fi1 ,L , Fim 视为回归系数 ，按最小二乘法使残差平方和达 的取值 到最小的估计思路， 因子得分估计式： 到最小的估计思路 ， 可得第 i 个样品 x( i ) 的 因子得分估计式 ：
的特殊因子分量。 未知且不可观测， 的特殊因子分量。由于 ε i1 ,L , ε ip 未知且不可观测 ，所以第 i 个样品 x( i ) 的 因子得分
Fi1 不能从方程组解出。 只能进行估计。
因子得分的估计方法有多种， 一种较为直接的处理方法如下。 因子得分的估计方法有多种 ， 一种较为直接的处理方法如下 。 将特殊因子分量 ε i1 ,L , ε ip 视为
F
A=
(
λ1 e1 ,K , λm em
列元素
)
λj ej 是
Σ 的第 j 大特征
A 作为一个 p 行 m 列的矩阵， 列的矩阵， 其第 j
根 λ j 所对应的单位长度特征向量e j 的 λ j 倍，也正好是主成分分析中第
j 主成分的系数向量的 λ j 倍，因此这种给出因子负荷矩阵 A 初步估计的
方法也称为主成分方法。 方法也称为主成分方法 。
{
}
xi1 Fi1 Fi 2 −1 xi 2 = ( A′A) A′ M M F x im ip
或等价地
( Fi1
Fi 2 L Fim ) = ( xi1
xi 2 L xip ) A ( A′A)
( X1 , X 2 ,L, X 50 ) 的取值 。 的取值。
每道题上的得分是表面现象，应试者在语言表达能力、 逻辑思维能力、 每道题上的得分是表面现象 ，应试者在语言表达能力、 逻辑思维能力、对事物的 敏锐程度、 思想修养、 兴趣爱好、 生活常识等方面（称公共因子） 敏锐程度、 思想修养、 兴趣爱好、 生活常识等方面 （称公共因子） 的能力大小才是本 质的， 但是这每个公共因子都比较抽象， 是潜在的， 难以直接加以观测或度量。 质的 ， 但是这每个公共因子都比较抽象 ， 是潜在的 ， 难以直接加以观测或度量 。 信息， 我们希望充分利用应试者在各题上的得分 ( xi1 , xi 2 ,L , xi50 ) 信息 ， 分析计算出应聘者在 每个公共因子方面的水平高低 。 这就是因子分析要解决的问题。 每个公共因子方面的水 平高低。 这就是因子分析要解决的问题 。 平高低
ε i 表达了第 i 小题的测试分数 X i 不能被 m 个公共因子线性解释的部分，称为特殊 个公共因子线性解释的部分，
因子。 特殊因子也不可观测。 通常假定 ε i 因子。 特殊因子也不可观测。 可理解为特殊因子的强度的度量。 可理解为特殊因子的强度的度量 。
~ N 0, σ i2
(
) ，这里的 σ
p 个可观测变量 ( X , X
1
2
所表达的信息， ,L , X p ) 所表达的信息 ，不能表达的部分
是通过特殊因子来承载， 是通过特殊因子来承载， 为此需推断不能被解释部分的强 度 ， 即估计 {σ
2 i
, i = 1, 2,L , p} ;
1 2 m
都是潜在的， （ 3） m 个公共因子 ( F , F ,L, F ) 都是潜在的 ，如果推测出它们的存 就希望能对它们的实际含义作出适当的解释； 在 ， 就希望能对它们的实际含义作出适当的解释 ； 依据样品（应聘者） （ 4） 依据样品 （应聘者）的 p 项可观测指标值 ( x
(
)
A 的各列
在 各 公共 因子 的含 义明 确 以后 ，进 一步 希望 知 道每 个样品
′ x (i ) = (xi1 , xi 2 , L , xip ) ， 在各 方面的能力或水平如何 ， 这就是所谓因子得分 。 在各方面的能力或水平如何 这就是所谓因子得分。 方面的能力或水平如何，
上的得分， 它们应满足方程： 用 Fij 表示第 i 个样品 x( i ) 在 公共因子 F j 上的得分 ， 它们应满足方程 ：
−1
对于 n 个 p 维样品 x( i ) = xi1
(
xi 2 L xip ) ， i = 1, 2,L , n ， 记
x11 x21 样品矩阵 X = L x n1
x12 L x1 p x22 L x2 p ， L L L xn 2 L xnp F12 L F1m F22 L F2 m L L L Fn 2 L Fnm
因子分析模型
p) 因子分析与主成分分析不同的是它试图将 p 个可观测变量 ( 1 2 通过数量较 来加以解释。从形式上看， 少的 m 个潜在且不可观测的公共因子 ( F1 , F2 ,L , Fm ) 来加以解释。从形式上看，它也是多元