例析离心率的几种常规求法

当a =b =c ，且O 、A 、B 共线.由已知条件易得a =b =c =槡10，x 2=y 2=z 2=12.故a +2b +3c3x 2+2y 2+z 2=槡1012.评析：例4，例5和例6的求解关键，是利用空间距离的三角形不等式等号成立的条件找出变量之间的关系或者求出变量的值，从而使得目标函数的求值如行云流水.构造空间距离，借助三角形不等式求解一类满足约束条件下的目标函数的值域等问题，具有思路简洁，方法独特，学生容易接受和掌握等特点.因而不失为解题的一种好方法櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽.例析离心率的几种常规求法江苏省江浦高级中学 （211800） 肖浩春圆锥曲线中求离心率的问题在高考中占有很重要的地位，其解法较灵活，方法较多.综观2008年以后的江苏省高考题，有三年考到了离心率的问题.很多学生怕学解析几何，因为这一块知识方法多，题型多，计算繁.而离心率在解析几何中属于一类比较常见、比较基本的题型，做好这一类题是很重要的.本人根椐多年课堂教学的经验，对这类题型的方法进行了归纳和总结，望给以大家参考.1直接法这种方法就是直接求出a ，b ，c 的值或者直接根据题目条件列出a ，b ，c 之间的方程，求出离心率.例1 （2013江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0），右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2=槡6d 1，则椭圆的离心率为 .解：由题意知d 1=bc a ，d 2=a 2c -c =b 2c，所以有b 2c =槡6bca ，两边平方得到a 2b 2=6c 4，即a 4-a 2c 2=6c 4，两边同除以a 4得到1-e 2=6e 4，解得e 2=13，即e =槡33.评注：本题利用d 2=槡6d 1直接列出a ，b ，c 方程，求出离心率.例2 （2014江苏卷）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.图1解：直线BF 2的方程为xc+y b =1，联立椭圆方程x 2a2+y 2b 2=1（a >b >0），得A （2a 2c a 2+c 2，-b 3a 2+c 2），则C （2a 2c a 2+c 2，b 3a 2+c 2），又因为F 1（-c ，0），F 2（c ，0），则k F 1C =b 3a 2+c 22a 2c a 2+c 2+c=b 33a 2c +c 3，又因为k AB =k BF 2=-bc，由F 1C ⊥AB ，得k F 1C k AB =-1，即b 33a 2c +c3（-bc ）=-1化简得b 4=3a 2c 2+c 4，即（a 2-c 2）2=3a 2c 2+c 4，展开得a 4=5a 2c 2，所以a 2=5c 2，解得e =槡55.所以椭圆的离心率为e =槡55.评注：本题根据F 1C ⊥AB ，直接列出a ，b ，c 之间的方程，不过在求A ，C 坐标和利用垂直关系的时候，过程较繁，需要较强的计算能力.2代入点坐标法这种方法就是根据题目条件把椭圆（或双曲线）上的某点坐标求出来，然后代入椭圆（或双曲线）方程中，找出a ，b ，c 之间的关系，进而求出离心·14·2015年第2期中学数学研究率.例3 （2009江苏卷）如图2，在平面直角坐标系中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）的四个顶点，F 为右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .图2解：由题意，得直线A 1B 2方程为x -a +yb=1，直线B 1F 方程为x c +y-b =1，两直线联立解得T （2aca -c，b （a +c ）a -c ），则M 为（aca -c，b （a +c ）2（a -c ）），因为点M 在椭圆上，所以c2（a -c ）2+（a +c ）24（a -c ）2=1，整理得3a 2-10ac -c 2=0，即e 2+10e -3=0，解得e =槡27-5，所以椭圆的离心率为e =槡27-5.评注：本题根据题目条件直接求出T 的坐标，进一步求出M 的坐标，再把M 代入椭圆方程中，列出a ，b ，c 的等式，然后求出离心率.例4 设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）左焦点为F ，上顶点为A ，过A 作与AF 垂直的直线分别交椭圆C 和X 轴正半轴于P ，Q ，且AP →=85PQ →，求椭圆的离心率.解：设Q （x 0，0），由F （-c ，0），A （0，b ）知，FA →=（c ，b ），AQ →=（x 0，-b ），因为FA →⊥AQ →，所以cx 0-b 2=0，得到x 0=b 2c .设P （x 1，y 1），由AP →=85PQ →，得x 1=8b 213c ，y 1=5b 13，因为点P 在椭圆上，所以（8b 213c ）2a 2+（5b 13）2b 2=1，整理得2b 2=3ac ，所以2e 2+3e -2=0，解得e =12，故椭圆的离心率为12.评注：本题是平面向量与解析几何结合的一道题，平面向量起到一个辅助工具的作用，用坐标进行转化，求出点Q 和P 的坐标，再把点Q 坐标代入椭圆方程，得到a ，b ，c 之间的一个等式，进而求出离心率.注：前面例2也可用代入点坐标法来求.解：设焦点F 1（-c ，0），F 2（c ，0），C （x ，y ）.ȵA ，C 关于x 轴对称，ʑA （x ，-y ）.ȵB 、F 2、A 三点共线，ʑb-c =b +y -x，即bx -cy -bc =0①，ȵF 1C ⊥AB ，ʑy x +c ·b-c=-1，即xc -by +c 2=0②，①②联立方程组，解得x =ca 2b 2-c 2，y =2bc 2b 2-c 2，ʑC （a 2cb 2-c 2，2bc 2b 2-c 2）.ȵC 在椭圆上，ʑ（a 2c b 2-c 2）2a 2+（2bc 2b 2-c 2）2b 2=1，化简得5c 2=a 2，ʑc a =槡55，故离心率为槡55.3焦点三角形法这种方法是根据焦点三角形中椭圆（或双曲线）的离心率e =F 1F 2PF 1+PF 2（或e =F 1F 2︴PF 1-PF 2︴）来求，其中F 1，F 2是椭圆（或双曲线）的两个焦点，P 是椭圆（或双曲线）上任一点.例5 已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）上任一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2=12，则此椭圆的离心率为 .解：设PF 2=m ，由PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2=12，得PF 1=2m ，又因为PF 21+PF 22=F 1F 22=4c 2，解得m =槡255c ，所以PF 1=槡455c ，PF 2=槡255c ，所以e =F 1F 2PF 1+PF 2=2c 槡455c +槡255c =槡53，椭圆的离心率为槡53.评注：本题是典型的利用e =F 1F 2PF 1+PF 2来解题的题目，要注意这种方法的灵活性和局限性（必须要有焦点三角形）.例6 已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）的左右两个焦点，四边形ABCD 的各顶点都·24·中学数学研究2015第2期在椭圆上，AB ，CD 分别经过F 1，F 2，且AB ，CD 都垂直于x 轴，四边形ABCD 为正方形，求椭圆的离心率.解：连接DF 1，DF 2，因为四边形ABCD 为正方形，所以DF 2=12F 1F 2=c ，DF 1=DF 22+F 1F 槡22=槡5c ，所以e =F 1F 2DF 1+DF 2=2c 槡5c +c =槡5-12.椭圆的离心率为槡5-12.评注：本题要构造焦点三角形DF 1F 2，再利用三角形DF 1F 2三边之间的关系不难解出DF 2，DF 1，进而用e =F 1F 2DF 1+DF 2去求离心率.（也可由正方形条件得2b 2a=2c 求出e ）.4通径法这种方法是利用通径的长度2b 2a 来求离心率.例7 已知F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y2b2=1（a >b >0）的左右两个焦点，AB 是过F 2且垂直于x 轴的一条弦，它的长度等于F 2到椭圆右准线的距离，求此椭圆的离心率.解：因为AB 是椭圆的通径，所以AB =2b 2a，又F 2到椭圆右准线的距离为a 2c -c ，所以2b 2a =a 2c -c=b 2c ，化简得a =2c ，所以e =12，此椭圆的离心率为12.评注：此题可求出A ，B 的坐标，然后再求出AB 的长度，但如果直接利用通径的长度就非常方便了.注：前面例6也可利用通径法或利用代入点坐标法来做.解：DF 2=b 2a =12F 1F 2=c ，可求离心率.代入点坐标法：D 坐标为（c ，c ）代入椭圆方程x 2a2+y 2b 2=1（a >b >0）中，可求离心率.通过以上例题我们不难发现，求离心率的方法有很多，另外还有一些其他方法在这里就不赘述了.掌握了求离心率的常规方法，再加以多练习巩固，那么这一类重要问题就变得不再“重要”了櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽.2014年辽宁理科第12题的解法研究黑龙江省大庆实验中学 （163316） 伊 波2014年辽宁理科卷第12题已知定义在［0，1］上的函数满足：①f （0）=f （1）=0；②对所有x ，y ∈［0，1］，且x ≠y ，有︴f （x ）-f （y ）︴<12︴x -y ︴.若对所有x ，y ∈［0，1］，︴f （x ）-f （y ）︴<k 恒成立，则k 的最小值为（ ）.A.12B.14C.12πD.18笔者刚接触本题时出现了理解“偏差”，后来与组里老师沟通，也有老师和我的想法一致.我的起初想法是：要求最小的k ，那就是对所有满足条件的函数，每个函数都对应一个k ，然后取这些k 值中最小的，所以我就想构造常值函数，则k 无限靠近0，没有答案，所以我的理解和出题者的本意是相违背的.出题者的意思是：要求最小的k ，那就是对所有满足条件的函数，每个函数都对应一个k ，然后取这些k 值中最小的k.所以我认为本题的表述并不是特别清楚，应该稍以修正：对所有满足条件的函数f （x ）以及所有的x ，y ∈［0，1］，︴f （x ）-f （y ）︴<k 恒成立，求k 的最小值.本题的难度在于不仅变量x ，y 不定，并且函数f （x ）也是不定的，所以命题者把它作为选择题的压轴题来设置.下面笔者给出几种解法，供大家参考.解法一：（数形结合法）由题设知︴f （x ）-f （0）︴=︴f （x ）︴<12x ，︴f （x ）-f （1）︴=︴f （x ）︴<12（1-x ），x ∈（0，1）.·34·2015年第2期中学数学研究例析离心率的几种常规求法作者：肖浩春作者单位：江苏省江浦高级中学 211800刊名：中学数学研究英文刊名：Studies in Middle School Math Guangdong年，卷(期)：2015(2)引用本文格式：肖浩春例析离心率的几种常规求法[期刊论文]-中学数学研究 2015(2)。