第二章 圆锥曲线与方程
一、曲线与方程的定义：
(),C F x y 设曲线，方程=0，满足以下两个条件：
()(),,C x y F x y ∀①曲线上一点的坐标满足=0；
()(),,.
F x y x y C ∀②方程=0解都在曲线上
()(),,.
C F x y F x y C 则曲线称是方程=0的曲线，方程=0是曲线的方程
二、求曲线方程的两种类型：
()
1、已知曲线求方程；用待定系数法
()()()
2,;,x y x y 、未知曲线求方程①设动点②建立等量关系；
③用含的式子代替等量关系；④化简；别出现不等价情况⑤证明；高中不要求
椭圆
一、椭圆及其标准方程
1、画法
{}
121222,2P PF PF a F F a +=<、定义：
3、方程
()()22
22
22221010x y y x a b a b a b
a b +=>>+=>>①或
②
()
22
22+10x y a b a b
=>>二、几何性质：
1,.
x a y b ≤≤、范围：
2x y O 、对称性：关于、、原点对称. ()()()()12123,0,,0,0,,0,.
A a A a
B b B b --、顶点
2224,,a b c a b c =+、之间的关系：
()
2
25101c b e e a a ==-<<、离心率：
0,
1e e →→越圆越扁
扩展：
()2222
22222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1 ()()
2222
22221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或
.a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是
12P P F PF ∠④为椭圆上一动点，当点为短轴端点时，最大.
24.
AB F ABF a V ⑤为过焦点的弦，则的周长为
()()1122,,,y kx b A x y B x y l =+⑥直线与圆锥曲线相交于两点，则当直线的斜率存在时，弦长为:
()()222121212114l k x k x x x x ⎡⎤=+-=
++-⎣⎦
()2
12121222110114k l y y y y y y k k ⎡⎤=+
-=++-⎣⎦或当存在且不为时，()2210,0.
Ax By A B +=>>⑥当椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为
1、画法
{}
1212
22,2
P PF PF a F F a
-=>
、定义：
3、方程：
()() 2222
2222
1,01,0 x y y x
a b a b
a b a b
-=>-=>①或②
()
22
22
1,0
x y
a b
a b
-=>
二、几何性质：
1,
x a y R
≥∉
、范围：
2x y O
、对称性：关于轴、轴、原点对称.
()()
12
1212
,0,,0
=2.
A a A a
A A a
B B b
-
=
3、顶点：
实轴2，虚轴
222.
a b c c a b
=+
4、、、之间的关系：
()
2
2
511
c b
e e
a a
e
==+>
、离心率:
越大，开口越阔
22
22
1
b y x a
y x y x
a a
b b
⎛⎫
=±-==±
⎪
⎝⎭
6、渐近线：的渐近线为
()
2222
2222
10
x y x y
m m
a b a b
-=-=>
说明：与有相同离心率.
P l PF P F l d -⎧⎫
∉⎨⎬
⎩⎭1、定义：且
2、标准方程及几何性质 标准方程
()
220y px p =>
()
220y px p =->
()
220x py p =>
()
220x py p =->
简图
焦点
,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭ ,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、 02p ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭、 准线 2p
x =-
2p x =
2p y =-
2p y =
范围 0x ≥ 0x ≤
0y ≥
0y ≤
对称性 x 轴
y 轴
顶点 ()0,0
离心率 1e =
P 说明：①越大，开口越阔.
②抛物线无限向外延展，但它无渐进线.
扩展：
Q Q 1、设点分别位于抛物线开口以内，抛物线上，以及开口以外，问过点且和抛物线只有一个交点的直线有几条？
()1.
Q 答：①当位于抛物线开口以内，个交点的直线只有一条主轴或其平行线
1Q ②当位于抛物线上，
个交点的直线有两条，即主轴或其平行线，和切线. 1.Q ③当位于抛物线外，
个交点的直线有3条，分别是主轴或其平行线，两条切线
