2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合题（三）数学（文）试题一、单选题1．设集合{|A x y ==，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =I （ ）A ．∅B ．[)0,+∞C ．[)1,+∞D ．[)1,-+∞【答案】B【解析】分别解出两个集合，求出交集即可得解. 【详解】由题：集合{[)|1,A x y ===-+∞，{}[)2|,0,B y y x x R ==∈=+∞，所以A B =I [)0,+∞. 故选：B 【点睛】此题考查求集合的并集，关键在于根据题意准确求出两个函数的定义域和值域，再求出交集.2．已知0a >，函数2()f x ax bx c =++，若0x 满足关于x 的方程20ax b +=，则下列选项的命题中为假命题的是 A ．0,()()x R f x f x ∃∈≤ B ．0,()()x R f x f x ∃∈≥ C ．0,()()x R f x f x ∀∈≤ D ．0,()()x R f x f x ∀∈≥【答案】C【解析】试题分析：因为，0x 满足关于x 的方程20ax b +=，所以，02bx a=-，使2()f x ax bx c =++取得最小值，因此，0,()()x R f x f x ∀∈≤是假命题，选C ．【考点】方程的根，二次函数的图象和性质，全称命题、存在性命题． 点评：小综合题，二次函数，当a>0时，2bx a=-使函数取得最小值．3．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（）A．410190-B．5101900-C．510990-D．4109900-【答案】B【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为110当阿基里斯和乌龟的速度恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为552110011011010010 (10)1900110-⎛⎫-⎪-⎝⎭+++==-故选B4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（）A．3B．163πC．263πD323【答案】D【解析】根据几何体的三视图知,该几何体是底面为等腰直角三角形,3的直三棱锥;且该几何体的外接球球心在侧视图高上,如图所示;设球心为O ,半径为r , 则22(3)1r r =-+,计算得出23r =, 所以, 几何体的外接球的体积为3423323()3327V ππ==. 所以B 选项是正确的.`点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 5．如图3给出的是计算111124620++++L 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ．12?i >B ．11?i >C ．10?i >D ．9?i >【答案】C【解析】试题分析：由题意，该程序按如下步骤运行:经过第一次循环得到1,4,22S n i ===；经过第二次循环得到11,6,324S n i =+==；经过第三次循环得到111,8,4246S n i =++==； ,看到S S 中最后一项的分母与i 的关系是：分母=()21i -,∴()2021i =-解得11=i 时需要输出,所以判断框的条件应为10i >,故选C. 【考点】算法框图.6．将函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右至少平移多少个单位，才能得到一个偶函数（ ） A ．6π B ．512π C ．12πD ．2π 【答案】B【解析】写出函数向右平移之后的函数解析式，()3sin 223f x x ϕϕπ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，函数为偶函数，即2,32k k Z πϕππ-+=+∈，即可得解. 【详解】设函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移,0ϕϕ>个单位之后是偶函数，即()3sin 223f x x ϕϕπ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭是偶函数， 则2,32k k Z πϕππ-+=+∈， ,122k k Z ππϕ=--∈，最小的正数，即当1k =-时，此时512πϕ= 故选：B 【点睛】此题考查求函数平移之后的解析式，根据函数的奇偶性求参数的取值，需要熟练掌握三角函数的图象性质.7．已知椭圆221164x y +=，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线与椭圆交于A ，B 两点，若3AF FB =uu u r uu r，则k =（ ）A ．1 BC D ．2【答案】B【解析】设直线方程x my =+3AF FB =uu u r uu r得纵坐标关系，结合韦达定理求解. 【详解】由题：椭圆221164x y +=，右焦点()F ，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线1x my m k=+=， 设()()1122,,,A x y B x y ，联立221164x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：()22440m y ++-=，1212244y y y y m-+==+ 3AF FB =uu u r uu r，()()1122,3x y x y -=-，所以123y y =-1212122344y y y y y y m ⎧=-⎪⎪⎪+=⎨⎪-⎪=⎪+⎩212m =，即22k =，0k >，所以k =故选：B 【点睛】此题考查根据直线与椭圆交点关系的向量表示求直线方程，结合韦达定理解决根的关系，恰当地设直线方程利于化简变形，此题作为选择题，若能熟记焦点弦两段比例与直线斜率和椭圆离心率的等量关系可以大大缩短解题时间.8．向一个边长为P ，则点P 到三边的距离都不小于1的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．19【答案】C【解析】求出满足条件的点所在区域的面积，根据几何概型即可求得概率. 【详解】如图正三角形边长为431的点位于图中DEF ∆及内部，D 作DM AC ⊥，如图，则1,3DM AM ==432323DF ==，所以此题概率为12323sin 6012144343sin 602DEF ABCS S ∆∆⨯︒==⨯︒. 故选：C 【点睛】此题考查根据几何概型求解概率，关键在于根据题意准确求出满足条件的区域的面积，根据概率求法即可得解.9．“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为（ ） A ．110B ．15C ．310D ．25【答案】A【解析】利用特殊元素及捆绑法得“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有2323A A 种排法,利用古典概型求解即可 【详解】“仁义礼智信”排成一排,任意排有55A 种排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有2323A A种排法,故概率232355110A A P A ==故选：A 【点睛】本题考查排列问题及古典概型，特殊元素优先考虑，捆绑插空是常见方法，是基础题 10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点．那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于 ( )．A ．23B ．105C ．45D ．155【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则O (1,1,0)，E (0,2,1)，D 1(0,0,2)，F (1,0,0)，OE uuu r ＝(－1,1,1)，1FD u u u u r ＝(－1,0,2)，∴OE uuu r ·1FD u u u u r ＝3，|OE uuu r|＝3，|1FD u u u u r |＝5，∴cos 〈OE uuu r ，1FD u u u ur 〉＝35⋅＝155. 即OE 与FD 1所成的角的余弦值为155. 11．若函数2()2ln f x x x =-在其定义域的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A ．32k >B ．12k <-C ．1322k -<< D ．312k ≤<【答案】D【解析】因1()4f x x x '=-，故由题设1()4f x x x'=-在区间()1,1k k -+内有零点，即1(1,1)2x k k =∈-+，所以1012k ≤-≤且112k +>，即312k ≤≤，应选答案D ．12．已知点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左支上的一点，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，12PF F α∠=，21PF F β∠=，双曲线离心率为e ，则tan2tan2αβ=（ ） A ．11e e -+B ．11e e +-C ．2211e e +-D ．2211e e -+ 【答案】B【解析】根据正弦定理()2121sin sin sin F P F P F F αβπαβ==-+⎡⎤⎣⎦，得2121sin sin sin F P F P F F αβπαβ-=--+⎡⎤⎣⎦，()sin sin sin c e a αβαβ+==-，化简即可得解.【详解】在12PF F ∆中，由正弦定理：2121sin sin sin F P F P F F αβπαβ==-+⎡⎤⎣⎦，2121sin sin sin F P F P F F αβπαβ-=--+⎡⎤⎣⎦，即()22sin sin sin a c αβαβ=-+，所以()sin 2sin 2sin sin sin sin 2222c e a αβαβαβαβαβαβαβ+⎛⎫⨯ ⎪+⎝⎭===+-+--⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos sin 2222cos sin sin 222αβαβαβαβαβαβ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin 2222sin coscossin2222αβαβαβαβ+=-tan tan 22tantan22αβαβ+=-令tan 2tan2m αβ=，则tan 21tan121tan 21tan2m e m αβαβ++==--， 解得：11e m e +=-. 故选：B 【点睛】此题考查根据正弦定理结合双曲线几何性质，求解离心率相关问题，关键在于准确进行三角恒等变换.二、填空题13．已知i 为虚数单位，则复数34i2i++的虚部是______. 【答案】1【解析】先用复数运算的除法法则，进行运算，最后求出复数的虚部. 【详解】22234(34)(2)638410+52+2(2)2)25i i i i i i ii i i i i ++⋅--+-====++⋅--（,它的虚部为1. 【点睛】本题考查了复数的除法运算、虚部的概念.14．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[)2060,元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为______元.【答案】4009【解析】根据各个小矩形面积分析出中位数在第三组，列方程即可求解. 【详解】第一个小矩形面积0.1，第二个小矩形面积0.24，第三个小矩形面积0.36，则第四个小矩形面积为0.30，前面两个小矩形之和为0.34，所以中位数在第三组， 设为x ，()0.340.036400.5x +⨯-=，解得：x =4009. 故答案为：4009【点睛】此题考查根据频率分布直方图求中位数，需要熟练掌握中位数的求法，准确计算即可得解.15．ABC ∆中，3AB =，4AC =，5BC =，P 为BC 边上一动点，则2PA PC +u u u r u u u r的最小值为______. 【答案】125【解析】根据三边长得出直角三角形，以,AB AC u u u r u u u r作为基底，表示出()2313PA P C x C x A AB =--+u u u r u u u r u u u r u u u r，即可求得模长，利用函数单调性求出最值.【详解】ABC ∆中，3AB =，4AC =，5BC =，222BC AB AC =+，根据勾股定理,0AB AC AB AC ⊥⋅=u u u r u u u rP 为BC 边上一动点，设(),01PC xBC x AC AB x ==-≤≤u u u r u u u r u u u r u u u r，()()()11BP x BC x AC AB =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r()()()11PA AB BP AB x AC AB xAB x AC =--=----=---u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()()122313xAB x AC x AC AB x AC xAB PA PC +=---+-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u r u r u u u u r ，则()()223133116992PA x AC PC x AB x x =--=-⨯++⨯u u u u u u r u u uu r r u ur ()229611699xx x =-+⨯+⨯22259616x x -+9616225275x ==⨯时，取得最小值，216161442259616757255152⎛⎫⨯-⨯+== ⎪⎝⎭. 故答案为：125【点睛】此题考查平面向量基本定理的应用，结合线性运算，数量积运算，求模长，根据函数性质求最值.16．对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时，()f x 的值域为[,](0)ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.下列函数为2倍值函数的是__________（填上所有正确的序号）．①2()f x x = ②32()22f x x x x =++ ③()ln f x x x =+ ④()xxf x e = 【答案】①②④【解析】分析：()y f x =为2倍值函数等价于，()y f x =的图象与y 2x =有两个交点，且在[],a b 上递增，由此逐一判断所给函数是否符合题意即可.详解：()y f x =为2倍值函数等价于，()y f x =的图象与y 2x =有两个交点，且在[],a b 上递增：对于①，2y x =与2y x =，有两个交点()()0,02,2，在[]0,2上()f x 递增，值域为[]0,4，①符合题意.对于②，2y x =与3222y x x x =++，有两个交点()()0,0,2,4--，在[]2,0-上()f x 递增，值域为[]4,0-，②符合题意. 对于③，2y x =与ln y x x =+，没有交点，不存在，[],x a b ∈，值域为[]2,2a b ，③不合题意.对于④，x xy e=与2y x =两个交点()()0,0ln 2,2ln 2--， ()f x 在[]ln 2,0-上递增，值域为[]2ln 2,0-，④合题意，故答案为①②④.点睛：本题考查函数的单调性以及函数的图象与性质、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.三、解答题17．已知函数()()2sin sin cos 03x x x f x πωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求函数()f x 在区间7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【答案】（1）1；（2）54⎤⎥⎣⎦ 【解析】（1）将函数化简()13sin 2264f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据最小正周期即可得解；（2）整体考虑42,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，sin 2,162x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即可得解. 【详解】（1）整理得()231sin cos sin cos 2f x x x x x ωωωω⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭2231cos sin sin cos 2x x x x ωωωω=++ 31cos 2cos 21sin 242x x x ωωω-+=++3cos 23sin 244x x ωω=++ 13sin 2264x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 由最小正周期为π，所以1ω=. （2）由（1）知()13sin 2264x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，7,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以42,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 所以3sin 2,162x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 所以()335,44f x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题考查根据三角函数的周期求参数值，求函数在某一区间的值域，关键在于准确进行三角恒等变换.18．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶如图所示.（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率.【答案】(1)甲车间的产品的重量相对较稳定. (2)()415P A =. 【解析】试题分析：（1）根据茎叶图所给的两组数据，分别做出这两组数据的平均数，再作出这两组数据的方差，得到甲车间的产品的重量相对较稳定；（2）由题意知本题是一个古典概型的概率，试验发生包含的事件数，可以通过列举得到共有15种结果，而满足条件的事件数也通过列举得到，两个做比值得到概率试题解析：（1）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲、2s 乙， 则31134121101136x -+++++=+=甲21025141101136x --++++=+=乙.()22222221622019216s =+++++=甲.()2222222188543121163s =+++++=乙.由于22s s 甲乙<，所以甲车间的产品的重量相对稳定.（2）设“所抽取两件样品重量之差不超过2克”为事件A .总的基本事件有15个：()124,115、()124,112、()124,110、()124,109、()124,108、()115,112、()115,110、()115,109、()115,108、()112,110、()112,109、()112,108、()110,109、()110,108、()109,108，它们是等可能的事件A 包含的基本事件有4个：()112,110、()110,109、()110,108、()109,108 所以()415P A =答：甲车间的产品的重量相对稳定；从乙车间6件样品中随机抽取两件，所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率为415【考点】极差、方差与标准差；茎叶图；古典概型及其概率计算公式19．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 是1CC 的中点，N 是BC 的中点，K 是AC 中点，点P 在11A B 上.（1）求证：PN AM ⊥； （2）求三棱锥P MNK -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）116【解析】（1）通过证明AM ⊥平面1A KNP 得线线垂直； （2）转换顶点11113P MNK A MNK N A MK A MK V V V NK S ---===⋅，即可得解． 【详解】（1）由题：M 是1CC 的中点，N 是BC 的中点，K 是AC 中点，点P 在11A B 上，1////NK AB A P ，所以N ，K ，1A ，P 四点在一个平面内，由于1AA ⊥平面ABC ，所以1AA AB ⊥，又AB AC ⊥，所以11AB ACC A ⊥，所以AB AM ⊥，又//AB NK ， 所以AM NK ⊥，在正方形中，1ACM A AK ∆≅∆，所以1AM A K ⊥，1,A K NK 是平面1A KNP 内两条相交直线，故AM ⊥平面1A KNP ， 所以AM PN ⊥.（2）因为1//A P NK ，1A P ⊄平面1A KNP ，NK ⊂平面1A KNP ，1//A P 平面1A KNP ， 所以1P MNK A MNK V V --=，AB AC ⊥，//,NK AB NK AC ⊥，平面ABC ⊥平面平面1ACC ，交线为AC ，NK ⊂平面ABC ，所以NK ⊥平面1ACC ， 又1111111111133244816A MNK N A MK A MK V V NK S --⎛⎫==⋅=⨯⨯---= ⎪⎝⎭. 【点睛】此题考查线线垂直的证明和计算锥体体积，常常通过线面垂直证明线线垂直，计算锥体体积经常利用转换顶点，利于计算． 20．已知函数()ln 1a b xf x x +=+在点()()1,1f 处的切线方程为2x y +=.（1）求a ，b 的值；（2）若()mf x x<恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）21a b =⎧⎨=-⎩；（2）()1,+∞【解析】（1）求出导函数，根据切线斜率和切点纵坐标建立方程组即可求解； （2）分离参数2ln 1x x xm x -<+，求出()2ln 1x x g x x x -=+的最大值即可得解.【详解】（1）由()()()()()21ln ln '11bx a b x a b x x f x x f x x +-++=⇒=++， 而点()()1,1f 在直线2x y +=上，所以()11f =， 又直线2x y +=的斜率为-1，则()'11f =-.故有1222114aa b a b ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=-⎪⎩. （2）由（1）得()()2ln 01xf x x x -=>+， 由()m f x x<及0x >，得2ln 1x x xm x -<+， 令()2ln 1x x g x x x -=+，()()()()()()221ln 12ln 1ln 1'1g x x x x x x x xx x -+----==++. 令()()()11ln '100x x h x x x xh =--⇒=--<>， 故()h x 在区间()0,+?上是减函数，故当01x <<时，()()10h x h >=，当1x >时，()()10h x h <=. 从而当01x <<时，()'0g x >，当1x >时，()'0g x <， 则()g x 在()0,1是增函数，在()1,+?是减函数，故()()max11g x g ==.要使2ln 1x x xm x -<+成立，只需1m >.故m 的取值范围是()1,+?.【点睛】此题考查导数的几何意义，根据曲线上某点处的切线方程求解参数值，涉及参数的不等式问题利用分离参数，对新函数利用导函数讨论函数单调性解决最值问题.21．如图，已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的离心率为12，右准线方程为4x =，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线l 与椭圆C相交于M ，N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）记AFM ∆、BFN ∆的面积分别为1S 、2S ，若1232S S =，求k 的值； （3）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与右准线相交于点E ，记直线AM 、BN 、FE 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，求()213k k k ⋅-的值.【答案】（1）22143x y +=；（25；（3）34. 【解析】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，根据题意列出关于a 、c 的方程组，进而可求出b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，根据题中三角形面积的比值，可得出2NF FM =u u u r u u u u r，再由点M 、N 在椭圆上，可求出点M 的坐标，即可求出直线l 的斜率；（3）依题意可知，点()11,M x y 、()22,N x y 在椭圆C 上，根据点差法、三点共线、直线方程、斜率公式，化简整理即可得出()213k k k ⋅-的值. 【详解】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，依题意，12c a =，且24a c=，解得2a =，1c =，故2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y .据题意，1232S S =，即12132122AF y BF y ⨯⨯=⨯⨯，整理可得1212y y =，所以2NF FM =u u u r u u u u r .代入坐标，可得()21211212x x y y ⎧-=-⎨-=⎩，即2121322x x y y =-⎧⎨=-⎩. 又点M 、N 在椭圆C 上，所以()()22112211143322143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩，解得11748x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以直线l的斜率87214k ==-（3）依题意，点()11,M x y 、()22,N x y 在椭圆C 上，所以22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得22222121043x x y y --+= 即2121212134y y y y x x x x +-⋅=-+-，所以34OD k k ⋅=-，即34OD k k=-， 所以直线OD 的方程为34y x k =-，令4x =，得3E y k =-，即34,E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以33141k k k-==--. 又直线AM 的方程为()12y k x =+，与椭圆C 联立方程组()1222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2222111431616120k x k x k +++-=，所以211211612243k x k --⋅=+，得211216843k x k -=+，()11112112243k y k x k =+=+. 所以点M 的坐标为21122116812,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.同理，点N 的坐标为22222228612,4343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.又点M 、N 、F 三点共线，所以12221222122212121243436886114343k k k k k k k k k -++==----++，整理得()()12124330k k k k +-=， 依题意，10k >，20k >，故213k k =.由1211221121124346814143k k k k k k k +==---+可得，21111141144k k k k k -==-，即11114k k k +=. 所以()21311111133344k k k k k k k k ⎛⎫⋅-=⋅+=⋅= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中三角形面积的比值问题以及斜率问题，将面积比转化为向量共线是解题的关键，考查化归与转化思想的应用与运算求解能力，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，若曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称.（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB . 【答案】（1）()2224x y +-=；（2）2AB =.【解析】（1）求出曲线1C 的直角坐标方程，根据对称性即可求得曲线2C 的直角坐标方程；（2）分别写出两个曲线的极坐标方程，求出直线与曲线的交点的极坐标，根据几何意义即可求解. 【详解】（1）曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，化为直角坐标方程：()2224x y -+=，即圆心坐标()12,0C ，半径为2的圆， 曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称，曲线2C 也是半径为2的圆，设圆心坐标()2,C a b ，有12222ba b a ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪⎩，解得0,2a b ==，所以()20,2C ，曲线2C 的直角坐标方程()2224x y +-=；（2）曲线1C 是圆心坐标()12,0C ，半径为2的圆，其极坐标方程为：4cos ρθ=， 曲线2C 是圆心坐标()20,2C ，半径为2的圆，极坐标方程为：4sin ρθ=， 射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，所以2,A B ρρ==2A B AB ρρ=-=.【点睛】此题考查参数方程与普通方程的互化，涉及求圆关于直线对称的圆的方程，根据极坐标求弦长.23．设函数()123f x x x a =-+--. （1）当2a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{2x x ≥或23x ⎫≤⎬⎭；（2）12a ≤. 【解析】（1）利用零点分段法求解不等式； （2）分离参数求出函数最值，利用最值处理. 【详解】（1）当2a =时，不等式()0f x ≥， 即12320x x -+--≥，112320x x x <⎧⎨--+-≥⎩或31212320x x x ⎧≤<⎪⎨⎪--+-≥⎩或3212320x x x ⎧>⎪⎨⎪-+--≥⎩三种情况解得：23x ≤或无解或2x ≥第 21 页 共 21 页 综上所述，不等式的解集为{2x x ≥或23x ⎫≤⎬⎭； （2）()0f x ≥恒成立，即123x x a -+-≥恒成立，只需()min 123x x a -+-≥即()34,131232,12334,2x x g x x x x x x x ⎧⎪-+<⎪⎪=-+-=--≤<⎨⎪⎪->⎪⎩， 函数()g x 在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 所以()min 3122g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭， 所以12a ≤. 【点睛】此题考查解绝对值不等式，根据不等式恒成立求参数的值，利用分段函数讨论单调性求最值.。
