数值分析实验插值与拟合

数值计算方法插值与拟合数值计算方法在科学计算和工程应用中起着重要的作用，其中插值和拟合是其中两个常用的技术。

插值是指通过已知的离散数据点来构造出连续函数或曲线的过程，拟合则是找到逼近已知数据的函数或曲线。

本文将介绍插值和拟合的基本概念和常见的方法。

一、插值和拟合的基本概念插值和拟合都是通过已知数据点来近似表达未知数据的方法，主要区别在于插值要求通过已知数据点的函数必须经过这些数据点，而拟合则只要求逼近这些数据点。

插值更加精确，但是可能会导致过度拟合；拟合则更加灵活，能够通过调整参数来平衡拟合精度和模型复杂度。

二、插值方法1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，通过已知数据点构造出线段，然后根据插值点在线段上进行线性插值得到插值结果。

2. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法，通过已知数据点构造出一个多项式，并根据插值点求解插值多项式来得到插值结果。

3. 分段线性插值分段线性插值是一种更加灵活的插值方法，通过将插值区间分成若干小段，然后在每个小段上进行线性插值。

三、拟合方法1. 最小二乘法拟合最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化实际观测点和拟合函数之间的残差平方和来确定拟合函数的参数。

2. 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法，通过选择合适的多项式次数来逼近已知数据点。

3. 曲线拟合曲线拟合是一种更加灵活的方法，通过选择合适的曲线函数来逼近已知数据点，常见的曲线包括指数曲线、对数曲线和正弦曲线等。

四、插值与拟合的应用场景插值和拟合在实际应用中具有广泛的应用场景，比如图像处理中的图像重建、信号处理中的滤波器设计、金融中的风险评估等。

五、插值与拟合的性能评价插值和拟合的性能可以通过多种指标进行评价，常见的评价指标包括均方根误差、相关系数和拟合优度等。

六、总结插值和拟合是数值计算方法中常用的技术，通过已知数据点来近似表达未知数据。

插值通过已知数据点构造出连续函数或曲线，拟合则找到逼近已知数据的函数或曲线。

《数值分析》课程实验一：插值与拟合一、实验目的1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性；2. 编写MATLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象；3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理；4. 编写MATLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。

二、实验内容1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。

2. 设]5,5[,11)(2-∈+=x xx f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。

不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。

(2) 编写MATLAB 程序绘制出曲线拟合图。

三、实验步骤1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件：⎩⎨⎧≠===ji j i x l ij j i ,0,,1)(δ的一组基函数{}ni i x l 0)(=，l i (x )的表达式为∏≠==--=nij j ji j i n i x x x x x l ,0),,1,0()(有了基函数{}ni i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为∑==ni i i n x l y x L 0)()((2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为1102110],,,[],,,[],,,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=-则n 次多项式)())(](,,[))(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N差商表的构造过程：x i f (x i ) 一阶差商 二阶差商三阶差商 四阶差商x 0 f (x 0) x 1 f (x 1) f [x 0, x 1]x 2 f (x 2) f [x 1, x 2] f [x 0, x 1,x 2]x 3 f (x 3) f [x 2, x 3] f [x 1, x 2,x 3] f [x 0, x 1,x 2,x 3]x 4 f (x 4)f [x 3, x 4]f [x 2, x 3,x 4]f [x 1, x 2,x 3,x 4]f [x 0, x 1,x 2,x 3,x 4]试验结果：2. MATLAB程序实现：试验结果：3. 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：（1）由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n ； （2）列表计算)2,,1,0(0n j xmi ji=∑=和∑==mi i j i n j y x 0),,1,0( ；（3）写出正规方程组，求出),,1,0(n k a k =； （4）写出拟合多项式∑==nk kk n xa x p 0)(。

《数值分析》实验报告实验五、插值与拟合及其并行算法一．实验目的：1．学会拉格朗日插值， 分段线性插值或三次样条插值以及曲 线拟合等数值分析问题，通过 MATLAB 编程解决这些数 值分析问题，并且加深对此次实验内容的理解。

2．加强编程能力和编程技巧，练习从数值分析角度看问题， 同时用 MATLAB 编写代码。

二．实验要求：学会在计算机上实现拉格朗日插值，分段线性插值或三次 样条插值以及曲线拟合等数值分析问题，分析几种插值方法的异 同。

三．实验内容：分别用下列题目完成①：拉格朗日插值及其误 差分析 ②：三次样条 ③: 曲线拟合及其误差分析，实验要求。

四．实验题目： （1）已知 sin 30 D = 0.5 ， sin 45D = 0.707 1 ，sin 60 D = 0.866 0 ，用拉格朗日插值及其误差估计的MATLAB主程序求 sin 20D 的近似值，并估计其误差。

（2）观测得出函数 y=f(x)在若干点处的值为 f(0)=0, f(2)=16, f(4)=36, f(6)=54, f(10)=82 和 f＇(0)=8, f＇(10)=7, 试求 f(x)的三次样条函数,并计算 f(3)和 f(8)的近似值. （ 3 ） t=[2.1 7.9 10.1 13 14.5 15.3];r=[13.5 36.9 45.7 求出 r 与 t 之间的关系， 及三 57.3 62.78 74.9];根据给出数据， 种误差，并作出拟合曲线。

五．实验原理：（1）拉格朗日插值公式：P5 ( x) = ∑ y i l i ( x)i =05li ( x) =( x − x 0 ) " ( x − xi −1 )( x − xi +1 ) " ( x − x n ) ( xi − x0 ) " ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) " ( xi − x n )（2）三次样条插值公式：Ｓn（x）=｛Ｓi（x）=a i x ＋b i x ＋c i x＋d i ， x ∈ ［x i −1 ，x i ］ ，i=1,2,….,n｝32（3）曲线拟合： 最小二乘法并不只限于多项式，也可以用于任何具体给出的函数 形式。

数值分析计算实习题答案数值分析计算实习题答案数值分析是一门研究如何利用计算机对数学问题进行近似求解的学科。

在数值分析的学习过程中，实习题是一种重要的学习方式，通过实践来巩固理论知识，并培养解决实际问题的能力。

本文将为大家提供一些数值分析计算实习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握数值分析的相关知识。

一、插值与拟合1. 已知一组数据点，要求通过这些数据点构造一个一次插值多项式，并求出在某一特定点的函数值。

答案：首先，我们可以根据给定的数据点构造一个一次插值多项式。

假设给定的数据点为(x0, y0), (x1, y1)，我们可以构造一个一次多项式p(x) = a0 + a1x，其中a0和a1为待定系数。

根据插值条件，我们有p(x0) = y0，p(x1) = y1。

将这两个条件代入多项式中，可以得到一个方程组，通过求解这个方程组，我们就可以确定a0和a1的值。

最后，将求得的多项式代入到某一特定点，就可以得到该点的函数值。

2. 已知一组数据点，要求通过这些数据点进行最小二乘拟合，并求出拟合曲线的表达式。

答案：最小二乘拟合是一种通过最小化误差平方和来找到最佳拟合曲线的方法。

假设给定的数据点为(x0, y0), (x1, y1)，我们可以构造一个拟合曲线的表达式y =a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，其中a0, a1, ..., an为待定系数。

根据最小二乘拟合原理，我们需要最小化误差平方和E = Σ(yi - f(xi))^2，其中yi为实际数据点的y值，f(xi)为拟合曲线在xi处的函数值。

通过求解这个最小化问题，我们就可以确定拟合曲线的表达式。

二、数值积分1. 已知一个函数的表达式，要求通过数值积分的方法计算函数在某一区间上的定积分值。

答案：数值积分是一种通过将定积分转化为数值求和来近似计算的方法。

假设给定的函数表达式为f(x)，我们可以将定积分∫[a, b]f(x)dx近似为Σwi * f(xi)，其中wi为权重系数，xi为待定节点。

插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过实验了解插值法和拟合法在数值计算中的应用；2.掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法的原理和使用方法；3.学会使用最小二乘法进行数据拟合。

二、实验仪器和材料1.一台计算机；2. Matlab或其他适合的计算软件。

三、实验原理1.插值法插值法是一种在给定的数据点之间“插值”的方法，即根据已知的数据点，求一些点的函数值。

常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法。

-拉格朗日插值法：通过一个n次多项式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。

-牛顿插值法：通过递推公式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。

-分段线性插值法：通过将给定的n+1个数据点的连线延长，将整个区间分为多个小区间，在每个小区间上进行线性插值，构造出一个插值函数。

2.拟合法拟合法是一种通过一个函数，逼近已知的数据点的方法。

常用的拟合法有最小二乘法。

-最小二乘法：通过最小化实际观测值与拟合函数的差距，找到最优的参数，使得拟合函数与数据点尽可能接近。

四、实验步骤1.插值法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法，分别求出要插值的点的函数值；-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。

2.拟合法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用最小二乘法，拟合出一个合适的函数；-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。

五、实验结果与分析1.插值法的结果分析：-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。

根据实验数据和插值函数的图形，可以判断插值函数是否能较好地逼近实际的曲线。

-比较不同插值方法的计算时间和计算复杂度，评价其使用的效率和适用范围。

2.拟合法的结果分析：-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。

可以使用均方根误差（RMSE）等指标来进行评价。

-根据实际数据点和拟合函数的图形，可以判断拟合函数是否能较好地描述实际的数据趋势。

数值分析中的插值和拟合数值分析是一门运用数学方法和计算机技术来解决实际问题的学科，其中的插值和拟合是其中的两个重要概念。

一、插值在数值分析中，插值是指在已知数据点的情况下，利用一定的数学方法来估计在此数据范围之外任意一点的函数值。

常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。

以拉格朗日插值为例，假设已知数据点(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn) ，其中 xi 不相同，Lagrange 插值问题就是要找到一个函数p(x)，使得：p(xi) = yi (0 <= i <= n)并且 p(x) 在区间 [x0, xn] 上为连续函数。

然后，根据拉格朗日插值多项式的定义，拉格朗日插值多项式Lk(x) 可以定义为：$$ L_k(x) = \prod_{i=0, i \neq k}^n \frac{x - x_i}{x_k - x_i}$$然后，定义插值多项式 p(x) 为：$$ p(x) = \sum_{k=0}^n y_k L_k(x) $$这样，我们就可以通过计算插值多项式来估计任意一点 x 的函数值了。

二、拟合拟合是在给定一组离散数据点的情况下，通过一定的数学方法来找到一个函数 f(x)，使得该函数可以较好地描述这些数据点之间的关系。

拟合方法主要包括最小二乘法和非线性拟合等。

以最小二乘法为例，假设有 m 个数据点(x1, y1), (x2, y2), …, (xm, ym) ，要找到一个函数 f(x)，使得该函数与这些数据点的误差平方和最小，即：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - f(x_i))^2 $$最小二乘法就是要找到一个函数 f(x)，使得 S 最小。

假设这个函数为：$$ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n $$则 S 可以表示为：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - a_0 - a_1 x_i - a_2 x_i^2 - ... - a_nx_i^n)^2 $$接下来，我们需要求解系数a0, a1, …, an，在满足式子 (2) 的情况下，使得 S 最小。

插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性；2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理；3.利用matlab 编程，学会matlab 命令；4.掌握拉格朗日插值法；5.掌握多项式拟合的特点和方法。

二、实验题目1.、插值法实验将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点kx 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较：;11)(2x x f += ;arctan )(x x f = .1)(42x x x f +=(1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值.2、拟合实验给定数据点如下表所示：分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(i i y x 和拟合函数的图形。

三、实验原理1.、插值法实验∏∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--==-===-=-=----==++==ji j ji i i i i ni i n nji j jnji j ji i nji j jn i i i ni i n nn o i ni i n x x x x x y x l x L x x c ni x x c x x x cx x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00,0,0,0110000)(l )()()(1,1,0,1)()(l )()())(()()()()()()()(，故，得再由，设2、拟合实验四、实验内容1.、插值法实验1.1实验步骤：打开matlab软件，新建一个名为chazhi.m的M文件，编写程序（见1.2实验程序），运行程序，记录结果。

1.2实验程序：x=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y1=1./(1+x.^2);L=malagr(x,y1,xx);L1=interp1(x,y1,x,'linear');S=maspline(x,y1,0.0148,-0.0148,xx);hold on;plot(x,y1,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y2=atan(x);L=malagr(x,y2,xx);L1=interp1(x,y2,x,'linear');S=maspline(x,y2,0.0385,0.0385,xx);hold on;plot(x,y2,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y3=x.^2./(1+x.^4);L=malagr(x,y3,xx);L1=interp1(x,y3,x,'linear');S=maspline(x,y3,0.0159,-0.0159,xx);hold on;plot(x,y3,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');1.3实验设备：matlab软件。

插值与拟合的实验报告心得1.引言1.1 概述插值与拟合是数值分析和数据处理领域中常见的重要技术方法，通过对已知数据点进行插值计算，得到未知点的数值估计。

插值方法可以帮助我们填补数据间的空缺、平滑曲线和预测未来趋势，因此在科学研究、工程建模和数据分析中具有广泛的应用价值。

本实验报告将对插值的基本概念进行介绍，探讨插值方法的分类和在实际应用中的意义。

同时，我们将总结实验结果，评述插值与拟合的优缺点，并提出对进一步研究的建议，希望通过本报告对插值与拟合的方法和应用有一个全面的了解。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括:在本报告中，将包括以下几个部分的内容:1. 引言：介绍插值与拟合的基本概念，以及本实验的目的和意义。

2. 正文：包括插值的基本概念、插值方法的分类以及插值在实际应用中的意义。

我们将深入探讨这些内容，并解释它们在实验中的具体应用。

3. 结论：总结本次实验的结果，分析插值与拟合的优缺点，并提出对进一步研究的建议。

通过以上内容的分析和探讨，我们希望能够全面地了解插值与拟合的理论基础和实际应用，为进一步的研究和实践提供一定的参考和启发。

1.3 目的本实验的目的在于通过对插值和拟合的实验研究，探索和了解这两种数学方法在现实生活中的应用。

通过实验，我们将深入了解插值的基本概念和分类方法，以及插值在实际应用中的意义。

同时，我们还将对插值和拟合的优缺点进行分析，为进一步的研究提供建议和启示。

通过本实验，我们的目的是掌握插值与拟合方法的应用和特点，为实际问题的求解提供更多的数学工具和思路。

2.正文2.1 插值的基本概念插值是指通过已知数据点构建出一个函数，该函数经过这些数据点，并且在每个数据点上都有相应的函数值。

换句话说，插值是一种通过已知离散数据点来推断未知数据点的方法。

在数学上，插值可以用于近似未知函数的值，或者用于填补数据间的空隙。

在插值过程中，我们通常会选择一个合适的插值函数，比如多项式函数、三角函数或者样条函数等，来拟合已知的数据点。

数值分析实验插值与拟合插值是指根据已知的数据点，通过其中一种数学方法来构造一个函数，使得该函数在已知的数据点上与被插值函数相等。

插值方法可以分为两类：基于多项式的插值和非多项式插值。

基于多项式的插值方法中，最常用的是拉格朗日插值和牛顿插值。

拉格朗日插值方法通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的所有点。

牛顿插值方法则通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的前m+1个点。

非多项式插值方法中，最常用的是分段线性插值和样条插值。

分段线性插值方法将插值区间划分为多个小段，在每一段内使用线性函数来逼近被插值函数。

样条插值方法则使用分段低阶多项式来逼近被插值函数，保证了插值函数和原函数在插值区间内的连续性、光滑性。

拟合是指在给定的离散数据点集合上，通过选取一个函数，使得该函数与数据点之间的误差最小化。

拟合方法可以分为两类：线性拟合和非线性拟合。

线性拟合方法中，最简单的是最小二乘法。

最小二乘法拟合是通过最小化观测数据与拟合函数的残差平方和来选择最佳函数参数。

在实验中，最小二乘法常用于线性回归问题，例如估计一个直线或者平面来拟合数据。

非线性拟合方法中，最常用的是非线性最小二乘法和局部加权回归。

非线性最小二乘法通过将非线性拟合问题转化为线性问题，使用最小二乘法来寻找最佳参数。

局部加权回归方法则通过给予不同数据点不同的权重，以更好地逼近数据点。

在数值分析实验中，插值与拟合可以应用于各种实际问题。

例如，在地理信息系统中，通过已知的地理坐标点来插值出未知点的地理信息。

在气象学中，通过已知的气象数据点来插值出未知点的气象信息。

在工程学中，通过已知的测量数据点来拟合出一个最佳的拟合函数来预测未来的测量值。

需要注意的是，插值和拟合的精度在很大程度上取决于数据的分布和拟合函数的选择。

如果数据点过于稀疏或者数据点中存在异常值，可能导致插值和拟合结果不准确。

因此，在进行插值和拟合之前，需要对数据进行预处理，例如去除异常值、平滑数据等。