2隐函数与参量函数微分法

隐函数的求导和微分隐函数是指一个函数的自变量和函数值之间的关系不能通过直接解出函数公式来表示，需要通过其他方式描述出来。

这种函数在实际运用中非常常见，例如在物理学和经济学等领域中，我们经常需要通过观测数据来进行分析，而这些数据往往就对应着一个或多个隐函数。

在对这些函数进行求导和微分时，我们需要使用隐函数的求导和微分方法。

一、隐函数的求导求导是指求出函数某一点处的导数，它是一个表示函数的变化率的数值。

在求隐函数的导数时，我们需要考虑隐函数的自变量无法直接表示出函数值与该自变量之间的关系。

因此，我们需要使用隐函数求导法。

隐函数求导法是一种通过对已知隐函数的所有变量进行微分和求导的方法，最终得到隐函数的导数。

这种方法的难点在于如何对多个未知变量进行微分和求导。

举个例子，假设有一个圆形，它的半径和面积之间的关系式为A=πr²，其中A为面积，r为半径。

现在我们需要求出圆形面积对半径的导数。

按照普通的求导方法，显然是行不通的，因为难以将面积与半径解出具体的表达式。

此时，我们需要采用隐函数求导法。

首先对圆形面积的表达式进行微分：dA=2πrdr然后对等式两边同时除以2πr，得到：(A/2πr) = r这时，我们可以对上述表达式求导，即可得到圆形面积对半径的导数：d(A/2πr)/dr = d(r)/drdA/dr = 2πr通过这种方法，我们成功地求出了圆形面积对半径的导数。

二、隐函数的微分微分是求一个函数在某一点上的变化量所对应的极限值的操作。

在隐函数的微分中，我们同样需要考虑到自变量无法直接表示出函数值与该自变量之间的关系。

隐函数微分主要有两种方法：一是牛顿-莱布尼茨公式，也称作微元法；二是全微分法。

牛顿-莱布尼茨公式是通过对应函数的导数来计算隐函数的微分。

我们将给定的隐函数写成一个方程：F(x,y)=0然后对上式两边同时求导：dF/dx(dx) + dF/dy(dy) = 0由于我们需要求的是隐函数的微分，所以可以将上式重写成：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这样，我们就可以使用隐函数的导数来直接计算隐函数的微分值。

隐函数与参数方程的微分微积分是数学的一个重要分支，研究函数的变化与性质。

在微积分中，我们经常接触到的是显函数的微分，即以直接的数学表达式来描述函数关系。

然而，有时候我们遇到的函数并不能轻易用显函数的形式来表示，这就需要用到隐函数和参数方程来描述函数关系。

隐函数是一种用方程的形式来表示函数关系的方法。

当一个函数关系无法用单一变量的表达式来表示时，我们可以用多个变量之间的方程来隐含地表示这个函数关系。

在微积分中，我们经常使用隐函数的微分求导方法来研究函数的性质。

参数方程是一种用参数的形式来描述函数的方法。

当一个函数不能用单一变量的表达式来表示时，我们可以用参数来替代变量，将函数表示为参数的关系式。

在微积分中，我们可以通过对参数表示的函数求导来研究函数的变化和极值等性质。

接下来，我们将逐步介绍隐函数和参数方程的微分求导方法。

一、隐函数的微分设有方程F(x, y) = 0，其中y是x的隐函数。

要求解y关于x的微分，可以按照以下步骤进行：1. 对方程两边关于x求导，得到F’(x, y) + F’(y) * dy/dx = 0。

2. 将方程中的dy/dx项移到一边，得到dy/dx = -F’(x, y) / F’(y)。

通过以上推导，我们可以求出隐函数关于x的导数dy/dx，这样就可以研究隐函数的斜率、变化等性质。

二、参数方程的微分设有参数方程x = f(t)，y = g(t)，要求解y关于x的微分，可以按照以下步骤进行：1. 将参数方程中的y表示为x的函数形式，即y = g(f^(-1)(x))。

2. 对方程两边关于x求导，得到dy/dx = g’(f^(-1)(x)) / f’(x)。

通过以上推导，我们可以求出参数方程关于x的导数dy/dx，这样就可以研究参数方程的斜率、变化等性质。

综上所述，隐函数和参数方程是微积分中常用的描述函数关系的方法。

通过对隐函数和参数方程的微分求导，我们可以研究函数的性质和变化规律。

隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法一、基本内容 1. 隐函数的微分法：方法一：利用微分法则和微分形式不变性。

方法二：假设由方程0),(=y x F 所确定的函数为)(x y y =，则把它代回方程0),(=y x F 中，得到恒等式0))(,(≡x y x F然后利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x 求导，再解出所求导数dxdy 即可。

2. 对数微分法：先在函数两边取自然对数，然后在等式两边同时对自变量x 求导，最后解出所求导数。

3. 由参数方程所确定的函数的微分法：先分别求出dx 和dy ，由“微商”的概念，可得dx dy y ='，若求二阶导数，再计算y d '，而dxy d y '=''。

二、学习要求1. 会求隐函数和由参数方程所确定函数的一阶、二阶导数；2. 掌握对数微分法。

三、基本题型及解题方法 题型1 求隐函数的导数解题方法：导数又称“微商”，所以可以通过dx dy y ='，dxy d y '=''求导数，即通过微分来求导数。

【例1】求由方程yxe y -=1 所确定的隐函数y 的导数。

解： 方程两边同时微分，得 )(yxe d dy -=)(dx e dy xe dy yy+-=即 dx e dy xe yy-=+)1(当01≠+yxe 时， yyxe e dx dy +-=1。

【例2】设方程144=+-y xy x 确定了隐函数)(x y y =，求y ''在点)1,0(处的值。

解： 方程两边微分，得 04433=+--dy y ydx xdy dx x即 )4(3x y -dx x y dy )4(3-=当)4(3x y -0≠时，xy x y dx dy y --=='3344， 41)1,0(='y ， 又 ='y d 23323233)4()488()488(x y dxy y x x dy y x y x -+-++--='=''dx y d y 23323233)4()488()488(x y y y x x y y x y x -+-+'+-- 将 41,1,0)1,0(='==y y x 代入上式，得 161)1,0(-=''y 。

§2-3 隱函數的微分(甲)隱函數的微分討論曲線的切線，本是幾何中的一個重要題材；但是，許多曲線並不是函數圖形，對於這類曲線，前面利用微分一個函數來求切線斜率的方法，無法直接利用在這類的曲線上。

而我們知道基本上求曲線上一個點的切線，只須要這個點附近的圖形即可，因此可將曲線分成若干部分，使每一個部分都是函數圖形，再微分通過這個切點的函數，求出切線斜率，進一步求出切線的方程式。

例：試求x 29 + y 24 = 1以點(125 , −65)為切點的切線方程式。

(一)利用函數圖形：橢圓x 29 + y 24 = 1不是函數圖形，(二)利用隱函數的微分法：顯函數與隱函數：前面所提的函數，都是以x 表示y ，叫做顯函數(explicit function)，例如：y =x 3−x ，y = x 2x +1 都是顯函數。

若方程式F(x ,y )=0，可以定義出函數y =f (x )，而非解出y 以x 表示，則稱y 為x 的隱函數(implicit function)。

如方程式 x 2−xy +y −4=0可定義出一個函數 y =f (x )= x 2−4x −1，x ≠1。

故方程式x 2−xy +y −4=0中的y 為x 的隱函數。

隱函數的微分：一般而言，方程式F(x ,y )=0不一定都可以定義出函數y =f (x )。

縱使可以，想解出y 以x 表示，有時亦很困難，例如：sin y +2y +x =0，甚至不可能。

在此情形下，我們可將y 視為x 的可微分函數，全式對x 微分，即可求得 dydx ，此種方法稱為隱函數的微分法。

若假定y =f (x )存在且可微分，則y =f (x )在曲線上點P(x 0,y 0)的導數，記做),(00|y x dydx或dy dx |P 。

例如：F(x ,y )=x 2+y 2−4=0，將y 視為x 的可微分函數，全式對x 微分，則d dx (F(x ,y ))= d dx (x 2)+ d dx (y 2)− d dx (4)=0，即2x +2y dy dx =0，故dy dx = −xy ，y ≠0。