2015年成人高考高起点数学(文史类)真题
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2015年成人高考高起点数学(文史类)真题
2015年成人高等学校招生全国统一考试
数学（文史财经类）
一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合𝑴={𝒙|−𝟏≤𝒙≤𝟐}，𝑵={𝒙|𝒙≤𝟏}，则集合𝑴∩𝑵=（）
A. {𝒙|𝒙>−𝟏} B. {𝒙|𝒙>𝟏}
C. {𝒙|−𝟏≤𝒙≤𝟏} D.
{𝒙|𝟏≤𝒙≤𝟐}
（2）函数𝒚=𝟏𝒙−𝟓的定义域为（）
A. （−∞，𝟓） B. （−∞，+∞）
C. （𝟓，+∞） D. （−∞，𝟓）∪（𝟓，+∞）
（3）函数𝒚=𝟐𝐬𝐢𝐧𝟔𝒙的最小正周期为（）
A. 𝝅𝟑 B. 𝝅𝟐 C. 𝟐𝛑 D.
𝟑𝛑
（4）下列函数为奇函数的是（）
A. 𝒚=𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙 B. 𝒚=𝐬𝐢𝐧𝒙
C.
A. (−𝟐，𝟎)和（𝟏，𝟎） B. (−𝟐，𝟎)和（−𝟏，𝟎）
C. (𝟐，𝟎)和（𝟏，𝟎） D. (𝟐，𝟎)和（−𝟏，𝟎）
（9）不等式|𝒙−𝟑|>𝟐的解集是（）
A. {𝒙|𝒙<𝟏} B. {𝒙|𝒙>𝟓}
C. {𝒙|𝒙>𝟓或𝒙<𝟏} D. {𝒙|𝟏<𝒙<𝟓}
（10）已知圆𝒙𝟐+𝐲𝟐+𝟒𝒙−𝟖𝒚+𝟏𝟏=𝟎，经过点𝐏（𝟏，𝟎）作该圆的切线，切点为Q，则线段PQ的长为（）
A. 4 B. 8 C. 10
D. 16
（11）已知平面向量𝒂=(𝟏，𝟏),𝐛=(𝟏,−𝟏)，则两向量的夹角为（）
A. 𝛑𝟔 B. 𝛑𝟒 C. 𝛑𝟑 D.
𝛑𝟐
（12）若𝟎<𝒍𝒈𝒂<𝒍𝒈𝒃<𝟐，则（）
A. 𝟎<𝒂<𝒃<𝟏 B. 𝟎<𝒃<𝒂<𝟏
C. 𝟎<𝒃<𝒂<𝟏𝟎𝟎 D. 𝟏<𝒂<
𝒃<𝟏𝟎𝟎
（13）设函数𝒇(𝒙)=𝒙+𝟏𝒙，则𝒇(𝒙−𝟏)=（）
A. 𝒙𝒙+𝟏 B. 𝒙𝒙−𝟏 C. 𝟏𝒙+𝟏 D.
𝟏𝒙−𝟏
（14）设两个正数𝒂，𝒃满足𝒂+𝒃＝𝟐𝟎，则𝒂𝒃的最大值为（）
A. 400 B. 200 C. 100
D. 50
（15）将5本不同的历史书和2本不同的数学书排成一行，则2本数学书恰好在两端的概率为（）
A. 𝟏𝟏𝟎 B. 𝟏𝟏𝟒 C. 𝟏𝟐𝟎 D. 𝟏𝟐𝟏
（16）在等腰三角形𝑨𝑩𝑪中，𝑨是顶角，且𝐜𝐨𝐬𝑨=−𝟏𝟐，则𝐜𝐨𝐬𝑩=（）
A. √𝟑𝟐 B. 𝟏𝟐 C. −𝟏𝟐
D. −√𝟑𝟐
（17）从1，2，3，4，5中任取3个数，组成的没有重复数字的三位数共有（）
A. 80个 B. 60个 C. 40个
D. 30个
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
（18）计算𝟑𝟓𝟑×𝟑𝟏𝟑−𝐥𝐨𝐠𝟒𝟏𝟎−𝐥𝐨𝐠𝟒𝟖𝟓=.
（19）曲线𝐲=𝒙𝟑−𝟐𝒙在点（1，－1）处的切线方程为.
（20）等比数列{𝒂𝒏}中，若𝒂𝟐=𝟖，公比为𝟏𝟒，则𝒂𝟓＝.
（21）某运动员射击10次，成绩（单位：环）如下）
8 10 9 9 10 8 9 9 8 7
则该运动员的平均成绩是环.
三、解答题：本大题共4小题，共49分。解答应写出推理、演算步骤。
（22）（本小题满分12分）
已知∆𝑨𝑩𝑪中，𝑨=𝟏𝟏𝟎°，𝑨𝑩=𝟓，𝑨𝑪=𝟔，求𝑩𝑪.（精确到0.01）
（23）（本小题满分12分）
已知数列{𝒂𝒏}的前𝒏项和𝑺𝒏=𝒏𝟐−𝟐𝒏. 求
（Ⅰ）{𝒂𝒏}的前三项；
（Ⅱ）{𝒂𝒏}的通项公式.
（24）（本小题满分12分）
设函数𝒇(𝒙)=𝒙𝟑−𝟑𝒙𝟐−𝟗𝒙，求
（Ⅰ）函数𝒇(𝒙)的导数
（Ⅱ）函数𝒇(𝒙)在区间[𝟏，𝟒]的最大值与最小值.
（25）（本小题满分13分）
设椭圆的焦点为𝑭𝟏(−√𝟑，𝟎)，𝑭𝟐(√𝟑，𝟎)，其长轴长为4
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设直线𝐲=√𝟑𝟐𝒙+𝒎与椭圆有两个不同的交点，其中一个交点的坐标是（0，1），求另一个交点的坐标.
参考答案：
一、选择题
（1）C （2）D （3）A （4）B
（5）B （6）C
（7）D （8）A （9）C （10）A （11）D （12）D
（13）B （14）C （15）D （16）A （17）B
二、填空题
（18）7 （19）𝒚=𝒙−𝟐 （20）𝟏𝟖 （21）8.7
三、解答题
（22）解：根据余弦定理
𝐁𝐂=√𝑨𝑩𝟐+𝑨𝑪𝟐−𝟐𝑨𝑩∙𝑨𝑪∙𝒄𝒐𝒔𝑨
=√𝟓𝟐+𝟔𝟐−𝟐×𝟓×𝟔×𝒄𝒐𝒔𝟏𝟏𝟎°
≈𝟗.𝟎𝟑
(23)解: （Ⅰ）因为𝑺𝒏=𝒏𝟐−𝟐𝒏,则
𝒂𝟏=𝑺𝟏=−𝟏,
𝒂𝟐=𝑺𝟐−𝒂𝟏=𝟐𝟐−𝟐×𝟐−
(−𝟏)=𝟏,
𝒂𝟑=𝑺𝟑−𝒂𝟏−𝒂𝟐=𝟑𝟐−𝟐×𝟑−(−𝟏)−𝟏=𝟑
（Ⅱ）当𝒏≥𝟐时，𝒂𝒏=𝑺𝒏−𝑺𝒏−𝟏
=𝒏𝟐−𝟐𝒏−[(𝒏−𝟏)𝟐−𝟐(𝒏−𝟏)]
=𝟐𝒏−𝟑
当𝒏=𝟏时，𝒂𝟏=𝟏，满足公式𝒂𝒏=𝟐𝒏−𝟑
所以数列{𝒂𝒏}的通项公式为𝒂𝒏=𝟐𝒏−𝟑.
(24) 解: （Ⅰ）因为函数𝒇(𝒙)=𝒙𝟑−𝟑𝒙𝟐−𝟗𝒙,所以
𝒇′(𝒙)=𝟑𝒙𝟐−𝟔𝒙−𝟗.
（Ⅱ）𝒇′(𝒙)=𝟎,解得𝒙=𝟑或𝒙=−𝟏,比较𝒇(𝟏), 𝒇(𝟑),𝒇(𝟒)的大小,
𝒇(𝟏)=−𝟏𝟏, 𝒇(𝟑)=−𝟐𝟕, 𝒇(𝟒)=−𝟐𝟎
所以函数𝒇(𝒙)=𝒙𝟑−𝟑𝒙𝟐−𝟗𝒙在区间[𝟏，𝟒]的最大值为-11,最小值为-27.
(25) 解:
（Ⅰ）由已知,椭圆的长轴长𝟐𝒂=𝟒，焦距𝟐𝒄=𝟐√𝟑，设其短半轴长为𝒃，则
𝒃=√𝐚𝟐−𝐜𝟐=√𝟒−𝟑=𝟏
所以椭圆的方程为 𝒙𝟐𝟒+𝒚𝟐=𝟏.
（Ⅱ）因为直线与椭圆的一个交点为（0，1），将该交点坐标代入直线方程可得𝒎=𝟏,即
𝒚=√𝟑𝟐𝒙+𝟏.
将直线与椭圆的方程联立得
{𝐲=√𝟑𝟐𝒙+𝟏,𝒙𝟐𝟒+𝒚𝟐=𝟏.
解得另一交点坐标为（−√𝟑，−𝟏𝟐）.
