人教A版高中数学选修1-1：1.4.1-2全称量词存在量词同步课时练习

1．4.1全称量词1.4.2存在量词

填一填

1.全称量词和全称命题

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示，常

见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．

(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．

(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x) 成立”，可用符号简记为?x∈M，p(x)．

2．存在量词和特称命题

(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示，

常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．

(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．

(3)特称命题：“存在M中的元素x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为?x0∈M，p(x0).

判一判

1.在全称命题和特称命题中，量词都可以省略．(×)

解析：全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略．故错误．

2．“有的等差数列也是等比数列”是特称命题．(√)

解析：含有存在量词“有的”，是特称命题．故正确．

3．“三角形内角和是180°”是全称命题．(√)

解析：命题中省略了全称量词但含有“全部”的意义，是全称命题．故正确．

4．“凸多边形的外角和等于360°”是特称命题．(×)

解析：可以改为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，为全称命题．故错误．

5．“有的向量方向不定”是全称命题．(×)

解析：含有存在量词“有的”，故是特称命题．故错误．

6．“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是全称命题．(√)

解析：含有全称量词“任意”，是全称命题．故正确．

7．“矩形的对角线不相等”是全称命题．(√)

解析：可以改为“所有矩形的对角线不相等”，为全称命题．故正确．

8．“若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直”是特称命题．(×)

解析：若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，为全称命题．故错误.

想一想

1.你能说出一些常用的全称量词和存在量词吗？

提示：全称量词相当于日常语言中“凡是”，“所有”，“一切”，“任意一个”“每

一个”“都是”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“某个”，“有

些”，“至少有一个”，“至多有一个”等．

2．全称命题与特称命题如何判断真假？

提示：(1)判断命题是全称命题还是特称命题，关键是找出命题中含有的量词，隐含量词

需依据命题的含义挖掘出来．

(2)①要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个

反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．

②要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理

得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．

思考感悟：

练一练

1．下列全称命题为真命题的是()

A．所有的质数是奇数

B．?x∈R，x2＋1≥1

C．对每一个无理数x，x2也是无理数

D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5

解析：A选项中2是质数但不是奇数故错误；C选项中x＝2是无理数，但是x2＝2是有

理数，故错误；D选项中能被5整除的末尾数字也可能是0，故错误．故选B.

答案：B

2．下列命题中的假命题是()

A．?x

0∈R，lg x

0＝0

B．?x0∈R，tan x0＝1

C．?x∈R，x2>0

D．?x∈R，ex

>0

解析：对于A，x＝1时，lg x＝0；

对于B，x＝kπ＋π

4(k∈Z)时，tan x＝1；

对于C，当x＝0时，x2＝0，所以C中命题为假命题；

对于D，ex

>0恒成立．

答案：C

3．命题p：?x0∈R，x2

0＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是

________命题(填“真”或“假”)．

解析：含有存在量词“?”，所以是特称命题；因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4恒成立，

故原命题错误．

答案：特称命题假

4．用全称量词或存在量词表示下列语句：

(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；

(2)当x为有理数时，1

3x2＋1

2x＋1也是有理数；

(3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立；

(4)方程3x－2y＝10有整数解．

解析：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．

(2)对任意有理数x，1

3x2＋1

2x＋1是有理数．

(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．

(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．

知识点一全称命题与特称命题的判断

1.下列命题为特称命题的是()

A．奇函数的图象关于原点对称

B．sinπ

2－x＝cos x

C．棱锥仅有一个底面

D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0

解析：A，B，C中的命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D

中的命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.

答案：D

2．下列命题为特称命题的是()

A．偶函数的图象关于y轴对称

B．正四棱柱都是平行六面体

C．不相交的两条直线是平行直线

D．存在实数大于等于3

解析：选项A、B、C均为全称命题．故选D.

答案：D

3．用量词符号“?”“?”表述下列命题：

(1)凸n边形的外角和等于2π；

(2)有一个有理数x

0满足x2

0＝3.

解析：(1)?x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π．

(2)?x

0∈Q，x2

0＝3.

知识点二全称命题与特称命题的真假判定

4.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是()

A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α

B．存在实数x0，使sin x0＝π

2

C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α

D．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β

解析：只有A，B两个选项中的命题是特称命题．因为|sin x|≤1，所以sin x

0＝π

2不成立，

故B中命题为假命题，又因为当α＝45°时，tan(90°－α)＝tan α，故A中命题为真命题．

答案：A

5．下列命题中，是正确的全称命题的是()

A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0

B．菱形的两条对角线相等

C．?x

0∈R，x2

0＝x

0

D．对数函数在定义域上是单调函数

解析：A中含有全称量词“任意”，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命

题．B，D在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C是

特称命题，故选D.

答案：D

6．四个命题：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；

④?x∈R,4x2

>2x－1＋3x2

.其中真命题的个数为________．

解析：①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x2＝2，解得x＝±2，而±2

为无理数，故②为假命题；③因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为

x2－2x＋1>0，即(x－1)2

>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题．

答案：0

知识点三全称命题与特称命题的应用

7.已知函数f(x)＝x2，g(x)＝1

2x－m，若对?x

1∈[－1,3]，?x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，

则实数m的取值范围是________．

解析：因为x

1∈[－1,3]，所以f(x

1)∈[0,9]，又因为对?x

1∈[－1,3]，?x

2∈[0,2]，使得

f(x1)≥g(x2)，即?x2∈[0,2]，g(x2)≤0，即1

22x

－m≤0，所以m≥1

22x

，又1

22x

∈1

4，1，

故m≥1

4.

答案：m≥1

4

8．(1)命题p：?x∈R，sin xcos x≥m.若命题p是真命题，求实数m的取值范围；

(2)命题q：?x∈R，sin xcos x≥m.若命题q是真命题，求实数m的取值范围．

解析：设函数f(x)＝sin xcos x，x∈R，

则f(x)＝1

2sin 2x，x∈R，

所以函数f(x)的值域是－1

2，1

2.

(1)由于命题p是真命题，

即对任意x∈R，sin xcos x≥m恒成立，

所以对任意x∈R，f(x)≥m恒成立．

又函数f(x)的最小值为－1

2，所以只需m≤－1

2，

所以实数m的取值范围是－∞，－1

2.

(2)由于命题q是真命题，即存在实数x满足sin xcos x≥m成立，

所以存在实数x，满足f(x)≥m成立．

由于函数f(x)的最大值为1

2，

所以m≤1

2，

所以实数m的取值范围是－∞，1

2.

基础达标

一、选择题

1．下列命题中是全称命题并且是真命题的是()

A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点

B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b

C．存在一个菱形不是平行四边形

D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋7＜0成立

解析：对于A，是全称命题，但是假命题，故A错误；

对于B，是全称命题，是真命题，故B正确；

对于C，D，是特称命题，故C、D错误．

故选B.