电磁场实验指导书及实验报告
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CENTRAL SOUTH UNIVERSITY
题 目 利用Matlab模拟点电荷电场的分布
姓 名 xxxx
学 号 xxxxxxxxxx
班 级 电气xxxx班
任课老师 xxxx
实验日期 2010-10
电磁场理论 实验一
——利用Matlab模拟点电荷电场的分布
一．实验目的：
1．熟悉单个点电荷及一对点电荷的电场分布情况；
2．学会使用Matlab进行数值计算,并绘出相应的图形;
二．实验原理：
根据库伦定律:在真空中，两个静止点电荷之间的作用力与这两个电荷的电量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向在两个电荷的连线上，两电荷同号为斥力，异号为吸力,它们之间的力F满足：
RRQQkFˆ212
（式1)
由电场强度E的定义可知：
RRkQEˆ2
(式2）
对于点电荷,根据场论基础中的定义，有势场E的势函数为
RkQU (式3)
而 UE (式4)
在Matlab中，由以上公式算出各点的电势U，电场强度E后，可以用Matlab自带的库函数绘出相应电荷的电场分布情况.
三．实验内容:
1. 单个点电荷
点电荷的平面电力线和等势线
真空中点电荷的场强大小是E=kq /r^2 ,其中k 为静电力恒量， q 为电量， r
为点电荷到场点P（x，y）的距离。电场呈球对称分布, 取电量q> 0, 电力线是以电荷为起点的射线簇。以无穷远处为零势点, 点电荷的电势为U=kq /r,当U 取常数时， 此式就是等势面方程。等势面是以电荷为中心以r 为半径的球面。
平面电力线的画法
在平面上, 电力线是等角分布的射线簇， 用MATLAB 画射线簇很简单。取射线的半径为( 都取国际制单位） r0=0.12, 不同的角度用向量表示( 单位为弧度） th=linspace(0,2*pi,13）。射线簇的终点的直角坐标为: ［x,y]=pol2cart(th,r0）.插入x 的起始坐标x=[x； 0.1＊x]。同样插入y 的起始坐标, y=［y; 0.1＊y], x 和y 都是二维数组， 每一列是一条射线的起始和终止坐标。用二维画线命令plot（x，y）就画出所有电力线。
平面等势线的画法
在过电荷的截面上, 等势线就是以电荷为中心的圆簇， 用MATLAB 画等势线更加简单。静电力常量为k=9e9, 电量可取为q=1e- 9； 最大的等势线的半径应该比射线的半径小一点？ r0=0.1.其电势为u0=k8q /r0。如果从外到里取7 条等势线, 最里面的等势线的电势是最外面的3 倍， 那么各条线的电势用向量表示为： u=linspace（1,3,7）*u0。从- r0 到r0 取偶数个点, 例如100 个点， 使最中心点的坐标绕过0, 各点的坐标可用向量表示： x=linspace(- r0,r0，100)， 在直角坐标系中可形成网格坐标： [X,Y]=meshgrid（x）。各点到原点的距离为: r=sqrt（X.^2+Y.^2), 在乘方时, 乘方号前面要加点， 表示对变量中的元素进行乘方计算.各点的电势为U=k8q。 /r， 在进行除法运算时， 除号前面也要加点， 同样表示对变量中的元素进行除法运算。用等高线命令即可画出等势线contour(X，Y,U,u）, 在画等势线后一般会把电力线擦除， 在画等势线之前插入如下命令hold
on 就行了.平面电力线和等势线如图1， 其中插入了标题等等。越靠近点电荷的中心, 电势越高， 电场强度越大， 电力线和等势线也越密。
-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15xy单个点电荷的电场线与等势线
图1
源程序：
%点电荷的平面电力线和等势线
%平面电力线的画法
q=1e-9；
r0=0.12;
th=linspace(0,2＊pi,13)；
［x，y]=pol2cart（th，r0）；
x=［x;0。1*x］;
y=［y;0。1*y]；
plot(x,y）;
grid on
hold on
plot(0，0，’o’,’MarkerSize'，12)
xlabel(’x',’fontsize'，16）
ylabel（’y’,’fontsize',16）
title(’单个点电荷的电场线与等势线’,’fontsize’,20)
%平面等势线的画法
k=9e9；
r0=0.1；
u0=k＊q/r0;
u=linspace(1，3，7）*u0;
x=linspace(-r0,r0，100);
［X，Y］=meshgrid(x);
r=sqrt（X。^2+Y.^2）；
U=k*q./r;
hold on;
contour(X，Y,U,u)
clear；
点电荷的立体电力线和等势面
立体电力线的画法
先形成三维单位球面坐标, 绕z 轴一周有8 条电力线［X，Y，Z］=sphere(8）,
每维都是9×9 的网格矩阵, 将X 化为行向量, 就形成各条电力线的终点x 坐标x=r0=X(:)′， 其他两个坐标也可同样形成终点坐标y=r0+Y（:)’ , z=r0+Z(：）' 。对x坐标插入原点x=[x(zeros（size(x))]， 其他两个坐标如下形成y=［y(zeros(size（y））]， z=［z(zeros（size(z))], 用三维画线命令plot3(x，y,z)， 就画出所有电力线。
立体等势面的画法
画5 条等势面时, 各面的电势为u=linspace(1,3,5)+u0， 各等势面的半径为r=k6q。 /u， 其中第一个球面的半径为rr=r（1）.三维单位球面的坐标可由［X,Y，Z］=sphere 命令形成， 每维都是21×21 的网格矩阵, 由于外球会包围内球， 因此把球面的四分之一设为非数, 表示割去该部分Z（X<0＆Y〈0)=nan。 用曲面命令可画出第一个曲面surf(rr6X,rr6Y,rr6Z), 只要取不同的半径就能画出不同的等势面。为了使等势面好看, 可设置一个颜色浓淡连续变化的命令shading interp。点电荷的立体电力线和等势面如图2, 旋转图片可从不同的角度观察。
-0.2-0.100.10.2-0.2-0.100.10.2-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2x正电荷电场线等势面的三维图形yz
图2
源程序：
%立体电力线的画法
q=1e-9;
［X，Y,Z］=sphere(8）;
r0=0.18；
r1=0。2;
k=9e9；
u0=k*q/r0；
x=r1＊X(：)’；
y=r1*Y（:)'；
z=r1*Z（：）'；
x=[x;zeros(size(x））];
y=［y;zeros（size（y))];
z=[z;zeros(size（z)）］;
plot3(x，y,z）
hold on;
%立体等势线之画法
u=linspace（1,3,5)*u0; ％画5 条等势面时, 各面的电势为u=linspace(1，3,5)+u0，
r=k*q。/u； %各等势面的半径为r=k6q. /u
[X，Y,Z］=sphere；
Z(X<0&Y〈0）=nan；
surf（r（1）＊X,r（1)＊Y,r（1）＊Z); %第一到第五个球面
surf（r（2）*X，r(2）＊Y,r(2）*Z);
surf(r(3）＊X,r(3)*Y，r(3)＊Z);
surf(r（4)＊X,r(4）＊Y,r(4)＊Z)；
surf（r（5)*X，r(5）*Y，r(5）＊Z）;
shading interp %个颜色浓淡连续变化的命令shading interp。
xlabel('x’,'fontsize’,16）；
ylabel（’y'，'fontsize’，16);
zlabel（'z',’fontsize’，16);
title（’正电荷电场线等势面的三维图形','fontsize’，20)；
clear;
2. 一对点电荷
平面等势线的画法
仍然用MATLAB 的等高线命令画等势线。对于正负两个点电荷， 电量不妨分别取q1=2e— 9,q2=- 1e- 9， 正电荷在x 轴正方, 负电荷在x 轴负方, 它们
到原点的距离定为a=0。02； 假设平面范围为xx0=0.05,yy0=0。04, 两个坐标向量分别x=linspace（— xx0,xx0，20)和y=linspace(- yy0,yy0,50）.设置平面网格坐标为[X,Y］=meshgrid(x）， 各点到两电荷的距离分别为r1=sqrt（(X- a）。^2+Y.^2)和r2=sqrt（(X+a).^2+Y.^2)。各点的电势为U=k6q1. /r1+k6q2。 /r2， 取最高电势为u0=50, 最低电势取其负值.在两者之间取11 个电势向量u=linspace (u0,—
u0，11), 等高线命令contour(X,Y，U,u,’k- ' )用黑实线, 画出等势线如图2所示, 其中， 左边从里到外的第6 条包围负电荷的等势线为零势线。
平面电力线的画法
利用MATLAB 的箭头命令， 可用各点的电场强度方向代替电力线。根据梯度可求各点的场强的两个分量[Ex，Ey]=gradient（- U），合场强为E=sqrt(Ex。^2+Ey。^2)。为了使箭头等长， 将场强Ex=Ex. /E,Ey=Ey. /E 归一化， 用箭头命令quiver(X,Y,Ex,Ey)可标出各网点的电场强度的方向,异号点电荷对的场点方向如图3 所示。
为了画出连续的电力线， 先确定电力线的起点。电荷的半径可取为r0=0.002，
如图4 所示， 假设第一条电力线的起始角为30 度, 其弧度为q=30+pi /180, 起始点到第一个点电荷的坐标为x1=r0+cos（q),y=r0+sin(q）, 到第二个点电荷的坐标只有横坐标x2=2+a+x1 不同。用前面的方法可求出该点到两个电荷之间的距离r1 和r2， 从而计算场强的两个分量以及总场强Ex=q1+x1 /r1^3 +q2+x2 /r2^3,
Ey=q1+y/r1^3+q2+y/r2^3， E=sqrt(Ex6Ex+Ey6Ey).下面只要用到场强分量与总场强的比值, 在计算场强分量时没有乘以静电力常量k。由于电力线的方向与场强的切线方向相同， 取线段为s=0.0001,由此可求出终点的坐标为x1=x1+s＃Ex/E,y=y+s+Ey/E， 从而计算x2。以终点为新的起点就能计算其他终点.当终点出界时或者到达另一点电荷时， 这个终点可作为最后终点. 这种计算电力线的方法称为切线法。
