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连续时间系统的时域分析

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第二章——连续时间系统的时域分析(总7页)

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--内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 第二章 连续时间系统的时域分析

用时域经典法求解微分方程

（一） 求齐次解hrt

例 求解微分方程323271612dddrtrtrtrtetdtdtdt的齐次解。

解 系统的特征方程为

322716120230

特征根为 12（二重根） ，23

与之相对应的齐次解为

23123tthrtAtAeAe

（二） 求特解prt

例 给定微分方程

2223detddrtrtrtetdtdtdt

如果已知：（1）2ett；（2）tete，分别求两种情况下方程的特解。

解

（1） 将2ett代入微分方程右端，得到22tt，为了使等式两端平衡，试选特解函数式

2p123rtBtBtB 将特解代入微分方程，等式两端各对应幂次的系数应该相等，于是可以解得

113B，229B，31027B

所以特解为

2p12103927rttt

（2） 将tete代入微分方程右端，得到2te，故假设特解为

ptrtBe

将特解代入微分方程，等式两端各对应幂次的系数应该相等，于是可以解得

13B

所以特解为

p13trte

与几种典型激励对应的特解

零输入响应与零状态响应

（一） 定义

自由响应（固有响应）：齐次解的函数特性仅依赖于系统本身，与激励信号的函数形式无关，因而称为系统的自由响应。

强迫响应（受迫响应）：特解的函数完全由激励函数决定，因而称为系统的强迫响应。

零输入响应：没有外加激励信号的作用，只由起始状态所产生的响应，以zirt表示。

零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所产生的响应。以zsrt表示。

（二） 例题

例 已知系统方程式

33drtrtetdt

若起始状态为302r，激励信号etut，求系统的自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应以及完全响应。 解：由系统方程式可得系统的特征方程

30

解得特征根为3，故可设齐次解为3thrtAe。

将激励信号代入微分方程式右端可得3ut，故可设特解为prtB。

将特解代入微分方程可得：0331BB。

由此可得完全解为3p1thrtrtrtAe。

由方程式两端奇异函数平衡原理可知：

00003330030222drtrrdtutdtdt

将302r代入完全解中可以解得：12A。

故而可得：完全解3p112thrtrtrte

自由响应312thrte

强迫响应p1rt

当输入激励信号为零时，特解为零，则零输入响应为3tzirtAe，由初始条件302r可得：32A，所以零输入响应为332tzirte。

再求零状态响应，此时00r，将其代入完全响应式31trtAe中可以解得1A，故而零状态响应为31tzsrte。

冲激响应与阶跃响应

（一） 定义

冲击响应：以单位冲激信号t作激励，系统产生的零状态响应称为冲激响应，以ht表示。

阶跃响应：以单位阶跃信号ut作激励，系统产生的零状态响应称为阶跃响应，以gt表示。

（二） 性质

由LTI系统的性质可知

dhtgtdt而0tdhtgthddt

已知描述系统的方程如下

1011110111nnnnnnmmmmmmdrtdrtdrtCCCCrtdtdtdtdetdetdetEEEEetdtdtdt 1. 在n>m的条件下，冲激响应ht函数式中将不包含t及其各阶导数项。

2. 在n=m的条件下，冲激响应ht函数式中将包含一个t项。

3. 在n

（三） 例题

例 已知某连续时间LTI系统的微分方程为

432rtrtetet

试求系统的冲激响应ht。

解：该系统微分方程所对应的特征方程为

40

解得其特征根为4，又可知n=m，所以设412thtAeutAt。

对ht求导可得

44112411244ttthtAeutAetAtAeutAtAt

将,,,rthtrthtettett代入微分方程并化简可以得到

122432AAtAttt

故解得110A，23A

所以4103thteutt

注：根据定义，冲激信号t及其各阶导数在t>0时都等于零，t信号的加入，在t=0时刻引起了系统的能量储存，而在0t以后，系统的外加激励不复存在，只有由冲激引入的能量储存作用，这样就把冲激信号源转换为非零的起始条件，响应形式必然与零输入响应相同，相当于求齐次解。

卷积及其性质

（一） 卷积定义

用卷积求零状态响应的一般表达式：

rtethtehtd

（二）卷积的性质

[1] 交换律

1221ftftftft

[2] 分配律

1231213ftftftftftftft

[3] 结合律

123123ftftftftftft [4] 微分性

211212dftdftdftftftftdtdtdt

[5] 积分性

121221tttffdftfdftfd

[6] 不变性

1212tdftfdftftdt

（二） 常用卷积公式

1) fttft

2) 00ftttftt

3) fttft

4) tftutfd

5) kkfttft

6) 00kkftttftt

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实验1 利用matlab进行系统的时域分析

实验1 利用matlab进行系统的时域分析

实验1 利用matlab进行系统的时域分析

一． 实验目的:

1． 了解离散时间序列卷积与的matlab实现;

2． 利用卷积与求解系统的零状态响应;

二． 实验原理:

1． 连续时间系统零状态响应的求解

连续时间LTI系统以常系数微分方程描述,系统的零状态响应可通过求解初始状态为零的微分方程得到。在MATLAB中,控制系统工具箱提供了一个用于求解零初始状态微分方程数值解的函数lsim。其调用方式为

y= lsim( sys,x,t)

式中t表示计算系统响应的抽样点向量,x就是系统输入信号向量,sys就是连续时间LTI系统模型,用来表示微分方程、差分方程、状态方程。在求解微分方程时,微分方程的连续时间LTI系统模型sys要借助tf函数获得,其调用方式为

sys= tf(b,a)

式中b与a分别为微分方程右端与左端各项的系数向量。例如对3阶微分方程

+++=+++

可用

a=[ a3, a2, a1, a0];b=[b3 ,b2, b1,b0]; sys=tf( b,a)

获得连续时间LTI模型。注意微分方程中为零的系数一定要写入向量a与b中。

【例2-1】描述某力学系统中物体位移y(t)与外力f(t)的关系为

++y(t)=x(t)

物体质量m=l kg,弹簧的弹性系数ks= 100 N/m,物体与地面的摩擦系数fd=2 N·s/m,系统的初始储能为零,若外力x(t)就是振幅为10、周期为1的正弦信号,求物体的位移y(t)。

解:由已知条件,系统的输入信号为x(t)=10sin(2πt),系统的微分方程为

++100y(t)=x(t)

计算物体位移y(t)的MATLAB程序如下:

%program2_1微分方程求解

ts=0;te=5;dt=0、01;

sys=tf([1],[1 2 100]);

连续时间LTI系统的时域分析

连续时间LTI系统的时域分析

实 验 报 告 贺鹤 18号

实验名称：连续时间LTI系统的时域分析

实验课时：2课时

实验地点：知行楼404

实验时间：2015年5月29日 星期五 第13周

实验目的及要求：

(一)目的：

1．学会用MATLAB求解连续系统的零状态响应；

2. 学会用MATLAB求解冲激响应及阶跃响应；

3．学会用MATLAB实现连续信号卷积的方法；

（二）要求：

1. 在MATLAB中输入程序，验证实验结果，并将实验结果存入指定存储区域。

2. 对于程序设计实验，要求通过对验证性实验的练习，自行编制完整的实验程序，实现对信号的模拟，并得出实验结果。

3. 在实验报告中写出完整的自编程序，并给出实验结果。

实验环境：MATLAB

实验内容：（算法、程序、步骤和方法）

1．实验原理

函数lsim 、函数impluse和step、conv( )函数

2.实验内容

（1）题目1：已知描述系统的微分方程和激励信号f(t)如下，试用解析法求系统的零状态响应y(t)，并用MATLAB绘出系统零状态响应的时域仿真波形，验证结果是否相同

y’’(t)+ 4y’(t)+4y(t)=f’(t)+3f(t) f(t)= exp(-t))(t

程序1：

ts=0;te=5;dt=0.01;

sys=tf([1,3],[1,4,4]);

t=ts:dt:te;

f1=(t>=0);

f=exp(-t).*f1;

y=lsim(sys,f,t);

plot(t,y);

xlabel('Time(sec)');

ylabel('y(t)'); （2）题目2：已知描述系统的微分方程如下，试用MATLAB求系统在0~10秒范围内冲激响应和阶跃响应的数值解，并用绘出系统冲激响应和阶跃响应的时域波形

y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=f(t)

y’’(t)+ 2y’(t)+2y(t)=f’(t)

实验三 连续时间系统的时域分析

实验三 连续时间系统的时域分析

信号与线性系统实验报告三

2015年10月 班级：电子 姓名：xxx 学号：xxxxxxx

信号与线性实验三 第 1 页 共 6 页- 实验三 连续时间系统的时域分析

实验目的：

1、熟悉和掌握常用的用于信号与系统时域分析的MATLAB函数；

2、掌握如何利用Matlab软件求解一个线性时不变连续时间系统的零状态响应、冲激响应和阶跃响应。

实验原理：

在信号与线性系统中，LTI(线性时不变)连续时间系统以常系数微分方程描述，系统的零状态响应可以通过求解初始状态为零的微分方程得到。在Matlab中，控制系统工具箱提供了一个用于求解零初始条件微分方程数值解的函数lsim，其调用形式为：

),,(tfsyslsimy

式中，t表示计算系统响应的抽样点向量，f是系统输入信号向量（即激励），sys是LTI系统模型，用来表示微分方程。在求解微分方程时，微分方程的LTI系统模型sys要借助Matlab中的tf函数来获得，其调用形式为：

),(abtfsys

式中，b和a分别为微分方程右端和左端各项的系数向量。例如对于三阶微分方程：

)()()()()()()()(01230123tfbtfbtfbtfbtyatyatyatya

可以用以下命令：

b=[b3,b2,b1,b0];

a=[a3,a2,a1,a0];

sys=tf(b, a);

来获得LTI模型。

系统的LTI模型建立后，就可以求出系统的冲激响应和阶跃响应。在连续时间LTI中，冲击响应和阶跃响应是系统特性的描述。输入为单位冲击函数)(t所引起的零状态响应称为单位冲击响应，简称冲击响应，用)(th表示；输入为单位阶跃函数)(t所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用)(tu表示。求解系统的冲激响应的函数是impulse，求解系统的阶跃响应可以利用函数信号与线性系统实验报告三

考研专业课郑君里版《信号与系统》第二章补充习题——附带答案详解

考研专业课郑君里版《信号与系统》第二章补充习题——附带答案详解

1 第二章 连续时间系统的时域分析

1．已知连续时间信号1()e()tftut和2()e()tftut，求卷积积分12()()()ftftft，并画出()ft的波形图。

解：1212()()()()()ftftftftfd

反褶1()f得1()f，右移t得11[()]()ftft，作出2()f图形及不同t取值的1()ft图形，由此可得：

当0t时，

21()eeeee2tttttftdd

当0t时，

0021()eeeee2tttftdd

综上，||111()e()e()e222tttftutut

()ft是个双边指数函数。

讨论：

当1()ft、2()ft为普通函数（不含有()t、()t等）时，卷积结果()ft是一个连续函数，且()ft非零取值区间的左边界为1()ft、2()ft左边界之和，右边界为1()ft、2()ft右边界之和，也就是说，()ft的时宽为1()ft、2()ft时宽之和。

0 1

 2()f

0 1

 1()f

0

1

0 1

 1()ft

1()ft 0t

0t t

t

1

0 t ||1()e2tft 12 0 t 2()e()tftut 1

0 t 1()e()tftut 2 2．计算题图2（a）所示函数)(1tf和)(2tf的卷积积分)()()(21tftftf，并画出)(tf的图形。

解法一：图解法

1212()()()()()ftftftftfd

其中1()ft的波形见题图2(b)，由此可得：

当10t，即1t时，()0ft

当011t，即10t时，120()2(1)tftdt

当11t但10t，即01t时，10()21ftd